无限长单位冲激响应IIR数字滤波器的设计方法

数字信号处理实验指导实验四、 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法（一） 实验目的加深对无限冲激响应（ IIR ）数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。

（二） 实验内容常用函数介绍：1、Matlab 信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函数buttord 、buttap 和butter ，格式如下：（1）[,](,,,,C P S P S N W buttord W W R R s ='')用于计算巴特沃思模拟低通滤波器的阶N 和3dB 截止频率Wc (即本书中的符号c Ω)。

其中，Wp 和Ws 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为rad/s ；Rp 和Rs 分别是通带最大衰减系数p α和阻带最小衰减系数s α，单位为dB 。

（2）[,,]()z p G buttap N =用于计算N 阶巴特沃思归一化（c Ω=1）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N 的向量z 和p 分别给出N 个零点和极点，G 是滤波器增益。

得到的滤波器系统函数形式如下：1212()()()()()()()()()a N a a N Q s s z s z s z H s G P s s p s p s p ---==--- 其中，k z 和k p 分别是向量z 和p 的第k 个元素。

如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B 和A ，可以调用结构转换函数（3）[,]2(,,)B A zp tf z p G =，结构转换后系统函数的形式为111111()()()M M M a N N Nb s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 其中，M 是向量B 的长度，N 是向量A 的长度，k k b a 和分别是向量B 和A 的第k 个元素。

（3）[,](,,,)C B A butter N W ftype s =''''用于计算巴特沃思模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B 和A ，其中N 和C W 分别是滤波器的阶和3dB 截止频率c Ω，返回向量B 和A 中的元素k a 和k b 分别是上面的()a H s 表示式中的分母和分子系数。

iir数字滤波器设计原理IIR数字滤波器设计原理IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是一种常用的数字滤波器，其设计原理基于无限冲激响应。

与FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器相比，IIR数字滤波器具有更低的计算复杂度和更窄的频率过渡带。

在信号处理和通信系统中，IIR数字滤波器被广泛应用于滤波、陷波、均衡等领域。

IIR数字滤波器的设计原理主要涉及两个方面：滤波器的结构和滤波器的参数。

一、滤波器的结构IIR数字滤波器的结构通常基于差分方程来描述。

最常见的结构是直接型I和直接型II结构。

直接型I结构是基于直接计算差分方程的形式，而直接型II结构则是通过级联和并联方式来实现。

直接型I结构的特点是简单直接，适用于一阶和二阶滤波器。

它的计算复杂度较低，但对于高阶滤波器会存在数值不稳定性的问题。

直接型II结构通过级联和并联方式来实现，可以有效地解决数值不稳定性的问题。

它的计算复杂度相对较高，但适用于高阶滤波器的设计。

二、滤波器的参数IIR数字滤波器的参数包括滤波器的阶数、截止频率、增益等。

这些参数根据实际需求来确定。

滤波器的阶数决定了滤波器的复杂度和性能。

阶数越高，滤波器的频率响应越陡峭，但计算复杂度也越高。

截止频率是指滤波器的频率响应开始衰减的频率。

截止频率可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。

根据实际需求，选择合适的截止频率可以实现对信号的滤波效果。

增益是指滤波器在特定频率上的增益或衰减程度。

增益可以用于滤波器的频率响应的平坦化或强调某些频率。

IIR数字滤波器的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定滤波器的类型和结构，如直接型I或直接型II结构；2. 确定滤波器的阶数，根据要求的频率响应和计算复杂度来选择；3. 设计滤波器的差分方程，可以使用脉冲响应不变法、双线性变换法等方法；4. 根据差分方程的系数，实现滤波器的级联和并联结构；5. 进行滤波器的参数调整和优化，如截止频率、增益等；6. 对滤波器进行性能测试和验证，确保设计满足要求。

实验四 无限冲激响应（IIR ）数字滤波器设计一、实验目的1．熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理和方法；2．了解用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的原理和方法；3．掌握双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点；4．掌握数字滤波器的计算机仿真方法；二、实验原理介绍IIR 数字滤波器的系统函数为1z -的有理分式： 1011()1N kk Nk k b z H z a z -=-==+∑∑ 设计IIR 滤波器的系统函数，就是要确定()H z 的阶数N 及分子分母多项式的系数k a 和k b ，使其()()j j z e H e H z ωω==满足指定的频率特性。

由于模拟滤波器的设计有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，因此IIR 滤波器设计的方法之一是：先设计一个合适的模拟滤波器，然后将模拟滤波器通过适当的变换转换成满足给定指标的数字滤波器。

1、Butterworth 模拟低通滤波器221()1a N c H j Ω=⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭幅度平方函数：其中，N 为滤波器的阶数，c Ω为通带截止频率。

2．Chebyshev 模拟低通滤波器 2221()1()a N c H j C εΩ=Ω+Ω幅度平方函数：3、脉冲响应不变法原理 用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应()a h t ，让h(n)正好等于()a h t 的采样值，即：()()a h n h nT =其中，T 为采样间隔。

如果以()a H s 和H(z)分别表示()a h t 的拉氏变换及h(n)的Z 变换，则：12ˆ()()sT a a z e k H z H s H s j k T T π∞==-∞⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑4、双线性变换法原理双线性变换法是通过两次映射采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T 之间，再用sTz e =转换到z 平面上，从而使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。

第5章 无限长单位脉冲响应（IIR ） 数字滤波器的设计方法5.1 基本概念5.1.1 选频滤波器的分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。

5.1.2 滤波器的技术指标在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即1111 δδωω+<≤-≤）（jw P e H在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即2 ,δπωω≤≤≤）（jw S e H1)()ωj e H (π1 δ阻带过渡带ωπ2 δ通带11δ+11δ-sw p wN 为奇数时实轴上有极点，N 为偶数时实轴上没有极点。

要称为稳定的滤波器)s (H a 表示为：∏=-Ω=Nk k N Ca )s s ()s (H 1方法2:,s s p A A P 、、由模拟ΩΩc ,Ω→N c ,Ω→N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩNa P j H A 2c p 2p )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN a P j H A 2c S 2S )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ--=)(lg 2])110()110(lg[s p 1010sp A A N NA sc s 210110-Ω=Ω（通带指标改善）或 NA Pc P 210110-Ω=Ω（阻带指标改善）方法3: )()(s H s H a aN →NN N aN ss a s a s a s H ++++=--1122111)( caN a s s s H s H Ω'=→)()( 例 1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝2 rad/s 。

解 幅度平方函数是62)2/(11|)(|Ω+=Ωj H 令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有)2/(11)()(66s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k es k =1, 2, …, 6会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。

实验四、无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计一、实验目的1、熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法；掌握数字滤波器的计算机仿真方法。

2、掌握用Matlab软件设计流程。

二、实验设备微型计算机、Matlab7.0教学版三、实验原理数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。

数字滤波器有多种分类，根据数字滤波器冲击响应的时域特征，可以将数字滤波器分为两种，即无限长冲击响应滤波器（IIR）和有限长冲激响应滤波器（FIR）。

在MATLAB中，可以通过调用simulink中的功能模块，可以构成数字滤波器的仿真框图。

在仿真过程中，双击各个功能模块，随时改变参数，获得不同状态下的仿真结果。

四、实验内容（1）用fdatool设计一个IIR低通滤波器（具体参数不要求）（2）并用simulink 仿真（3）对滤波器输入一个含噪信号并能观察到滤波前后的波形（4）对结果进行分析。

五、实验结果1、Simulink仿真原理图2、Filter参数设置3、滤波效果Scope Scope1Scope2六、实验总结通过这次实验，我熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法；掌握数字滤波器的计算机仿真方法。

熟悉和了解了simulink仿真的真个过程。

Simulink中各种非常有用的工具箱不仅对于设计IIR数字滤波器非常有用，而且对于整个型号仿真处理具有相当可视化的效果，从仿真的角度看，是达到了技术指标的要求。

Simulink是一个进行动态系统建模、仿真和综合分析的集成软件包。

它可以处理的系统包括：线性、非线性系统：离散、连续及混合系统；单任务、多任务离散时间系统。

IIR滤波器的原理与设计方法IIR（Infinite Impulse Response）滤波器是一种数字滤波器，其具有无限冲激响应的特点。

与FIR（Finite Impulse Response）滤波器相比，IIR滤波器具有更高的效率和更窄的频带特性。

本文将介绍IIR滤波器的原理和设计方法。

一、IIR滤波器的原理IIR滤波器是通过对输入信号和输出信号之间的差异进行递归运算而实现滤波的。

其核心原理是利用差分方程来描述滤波器的行为。

IIR滤波器可以被表达为如下形式：y[n] = b₀x[n] + b₁x[n-1] + ... + bₘx[n-ₘ] - a₁y[n-1] - ... - aₘy[n-ₘ]其中，x[n]表示输入信号的当前采样值，y[n]表示输出信号的当前采样值，a₁，...，aₘ和b₀，...，bₘ是滤波器的系数。

二、IIR滤波器的设计方法设计IIR滤波器需要确定滤波器的阶数、截止频率和系数等参数，以下介绍一种常用的设计方法：巴特沃斯滤波器设计方法。

1. 确定滤波器阶数滤波器的阶数决定了滤波器的复杂度和频率响应的形状。

阶数越高，频率响应越陡峭。

根据需要的滤波效果和计算复杂度，选择适当的滤波器阶数。

2. 确定截止频率截止频率是滤波器在频域上的边界，用于确定滤波器的通带和阻带。

根据信号的频谱分析以及滤波器的应用要求，确定合适的截止频率。

3. 求解滤波器系数根据巴特沃斯滤波器的设计方法，可以采用双线性变换、频率抽样和极点放置等技术求解滤波器的系数。

具体方法比较复杂，需要使用专业的滤波器设计软件或者数字信号处理工具包进行计算。

4. 评估设计结果设计完成后，需要评估滤波器的性能指标，如频率响应、相位响应、群延迟等。

可以通过频域分析和时域仿真等方法来评估滤波器的设计效果。

三、结论IIR滤波器是一种常用的数字滤波器，其具有无限冲激响应的特点。

通过对输入信号和输出信号进行递归运算，可以实现滤波效果。

设计IIR滤波器需要确定滤波器的阶数、截止频率和系数等参数，并通过专业的设计方法进行求解。

实验三无限冲激响应滤波器(IIR)算法实验一．实验目的1．掌握设计IIR 数字滤波器的原理和方法。

2．熟悉IIR 数字滤波器特性。

3．了解IIR 数字滤波器的设计方法。

二．实验设备PC 兼容机一台操作系统为Windows2000(或Windows98，WindowsXP，以下默认为Windows2000)安装Code Composer Studio 3.1 软件三．实验原理1．无限冲激响应数字滤波器的基础理论。

2．模拟滤波器原理（巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器）。

3．数字滤波器系数的确定方法。

4．根据要求设计低通IIR 滤波器：要求：低通巴特沃斯滤波器在其通带边缘1kHz 处的增益为-3dB，12kHz 处的阻带衰30dB，采样频率25kHz。

设计：- 确定待求通带边缘频率fp1Hz、待求阻带边缘频率fs1Hz 和待求阻带衰减-20logδsdB。

模拟边缘频率为：fp1=1000Hz，fs1=12000Hz阻带边缘衰减为：-20logδs=30dB-用Ω=2πf/fs 把由Hz 表示的待求边缘频率转换成弧度表示的数字频率，得到Ωp1 和Ωs1。

Ωp1=2πfp1/fs=2π1000/25000=0.08π弧度Ωs1=2πfs1/fs=2π12000/25000=0.96π弧度- 计算预扭曲模拟频率以避免双线性变换带来的失真。

由w=2fs tan(Ω/2)求得wp1 和ws1，单位为弧度/秒。

wp1=2fs tan(Ωp1/2)=6316.5 弧度/秒ws1=2fs tan(Ωs1/2)=794727.2 弧度/秒- 由已给定的阻带衰减-20logδs 确定阻带边缘增益δs。

因为-20logδs=30，所以logδs=-30/20，δs=0.03162- 计算所需滤波器的阶数：因此，一阶巴特沃斯滤波器就足以满足要求。

- 一阶模拟巴特沃斯滤波器的传输函数为：H(s)=wp1/(s+wp1)=6316.5/(s+6316.5) 由双线性变换定义s=2fs(z-1)/(z+1)得到数字滤波器的传输函数为：因此，差分方程为：y[n]=0.7757y[n-1]+0.1122x[n]+0.1122x[n-1]。

常用的数字滤波器主要有两种，无限长单位冲激响应IIR滤波器和有限长单位冲激响应FIR 滤波器。

其中IIR数字滤波器主要有两种设计方法：①利用模拟滤波器的设计资源。

先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。

这种方法比较方便，因为模拟滤波器具有很多现成的设计公式，并且设计参数已经表格化，设计起来既方便又准确；②最优化设计方法。

先确定一种最优准则，如实际频率响应幅度与理想频率响应幅度的均方误差最小准则，或是它们的最大误差最小准则等，然后求此准则下滤波器系统函数的系数ai，bi。

这种方法需要进行大量的迭代运算，所以离不开计算机。

本文主要以设计IIR数字低通滤波器为例，介绍基于MATLAB的IIR数字滤波器设计方法，其中采用的是利用模拟滤波器设计资源的方法。

1利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤（１）先将给定的数字滤波器的性能指标，按照某一变换（冲激响应不变法、双线性变换法等）规则转换成相应的模拟滤波器的性能指标。

（２）若设计的不是数字低通滤波器，还需将步骤（１）变换得到（高通、带通、带阻）模拟滤波器的性能指标转变成模拟低通滤波器的性能指标，因为只有模拟低通滤波器才有图表资源可以利用。

（３）根据得到的模拟低通滤波器的性能指标，利用某种模拟滤波器的逼近方法（巴特沃斯滤波器、切贝雪夫滤波器、椭圆型滤波器、贝塞尔滤波器等），设计并查表求得此模拟低通滤波器的系统函数。

（４）利用与步骤（１）和步骤（２）中的同一变换规则，将模拟低通滤波器的系统函数最终转变成所需的数字各型滤波器的系统函数。

2基于Ｍａｔｌａｂ设计ＩＩＲ数字滤波器的步骤以设计ＩＩＲ数字低通滤波器为例，给定滤波器的性能指标：设计一个数字低通滤波器，通带纹波（最大衰减）δｐ＝１ｄＢ，阻带最小衰减δｓ＝２５ｄＢ，通带截止频率ωｐ＝０．２π，阻带截止频率ωｓ＝０．４π。

根据设计要求，模拟滤波器可以采用巴特沃斯型、切贝雪夫型、椭圆型、贝塞尔型等，而本文介绍巴特沃斯型、切贝雪夫Ｉ型。