2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理70知识讲解导数的综合应用题基础

导数在实际问题中的应用目标认知学习目标：1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点：利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.4. 写出的单调区间.知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.（二）求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)知识点三：函数的最大值与最小值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数（2）求在内的极值；（3）求在闭区间端点处的函数值，；（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如。

充分条件与必要条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ,则q ”为真命题,记作:p q ⇒；“若p ,则q ”为假命题,记作:p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒,称p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒,又有q p ⇒,就记作p q ⇔,这时p 是q 的充分必要条件,称p 是q的充要条件.要点诠释:对p q ⇒的理解:指当p 成立时,q 一定成立,即由p 通过推理可以得到q .①“若p ,则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ,则q ”,其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒,但q p ⇒/,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/,但q p ⇒,则p 是q 的必要不充分条件,q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒,且q p ⇒,即p q ⇔,则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/,且q p ⇒/,则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p:x ∈A,q:x ∈B,①若A ⊆B,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集,则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B,则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集,则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:①确定哪是条件,哪是结论；②尝试用条件推结论,③再尝试用结论推条件,④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)要点诠释:对于命题“若p ,则q ”①如果p 是q 的充分条件,则原命题“若p ,则q ”与其逆否命题“若q ⌝,则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件,则其逆命题“若q ,则p ”与其否命题“若p ⌝,则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件,则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一:充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中,p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=, q : 2x =；(2) p : 0c =,q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形,q : 四边形的邻边相等【试题解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/,∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法,即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三:【变式1】指出下列各题中,p 是q 的什么条件？(1)p :A B ∠=∠,q :A ∠和B ∠是对顶角.(2):1p x =,2:1q x =；【参考答案】(1)∵p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件,q 是p 的充分不必要条件.(2)∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=,但211x x =⇒=/, ∴p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.(1)p :0a >且0b >, q :0ab >(2)p :1>yx , q : x y >. 【参考答案】(1)p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时,0ab >成立；反之,当0ab >时,只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立,同理必要性也不成立.【高清课堂:充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p:0＜x ＜3,q:|x-1|＜2,则p 是q 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【试题解析】q:|x-1|＜2,解得-1＜x ＜3,亦即q:-1＜x如图,在数轴上画出集合P=(0,3),Q=(-1,3), 从图中看P Q, p ⇒q,但q ⇒/p,所以选择(A). 【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简,然后由定义判断；②不等式(解集)表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三:【高清课堂:充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈,则条件“2x >”的一个必要不充分条件为( )A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【参考答案】A【变式2】(2015 天津文)设x ∈R,则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3,可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l ⊥m ”是“l ∥α的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】若l ⊥m,因为m 垂直于平面α,则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α,又m 垂直于平面α,则l ⊥m,所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件,故选B.类型二:充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【试题解析】(1)充分性:若xy=0,那么①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0,即x ＞0,y ＞0或x ＜0,y ＜0,当x ＞0,y ＞0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0,y ＜0时,|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.(2)必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,|xy|=xy,∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法:(1)定义法；(2)等价法,即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断,若A B ⊆,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B,则A 是B 的充要条件.举一反三:【变式1】已知a, b, c 都是实数,证明ac ＜0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【参考答案】(1)充分性:若ac ＜0,则Δ=b 2-4ac ＞0,方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根,设为x 1, x 2, ∵ac ＜0, ∴x 1·x 2=ac ＜0,即x 1,x 2的符号相反,即方程有一个正根和一个负根. (2)必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x 1,x 2,且x 1＞0, x 2＜0,则x 1·x 2=ac ＜0,∴ac ＜0 综上可得ac ＜0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【参考答案】(1)a=0时适合.(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根,则必须满足102001440a a a a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1；反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三:充要条件的应用例4. 已知p :A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0},q :B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0},若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【试题解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2},∵p 是q 的充分不必要条件,∴p q ⇒,即A B ,可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4＜0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩,得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题,应尽量运用集合法求解,即先化简集合A 、B,再由它们的因果关系,得到A 与B 的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可.举一反三:【变式1】已知命题p :1－c ＜x ＜1＋c (c ＞0),命题q :x ＞7或x ＜－1,并且p 是q 的既不充分又不必要条件,则c 的取值范围是________.【参考答案】0＜c ≤2【试题解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c ＜x ＜1＋c ,c ＞0},同理,命题q 对应的集合B ＝{x |x ＞7或x ＜－1}.因为p 是q 的既不充分又不必要条件,所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集,所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩,①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩,②,解①得c ≤2,解②得c ≥－2,又c ＞0,综上所述得0＜c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件,求m 的取值范围.【参考答案】9m ≥【试题解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件,所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。

人教版高中数学选修1-1第3章 导数及其应用教案3.1.1 变化率问题一. 设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二. 教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

三. 教学重点1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 四. 教学难点：平均变化率的概念． 五. 教学准备1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2. 向有经验的同事请教；3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六. 教学过程 一．创设情景（1） 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2） 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习． 二．新课讲授 （一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈−气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈−−⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈− 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈−−可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r −−问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =−−=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v −=−−=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =−−=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.ht o1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f −−表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x −=∆, )()(12x f x f f −=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f −=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆−∆+=−−)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f −−表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x −∆=∆−. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +−2的图象上的一点)2,1(−−A 及临近一点)2,1(y x B ∆+−∆+−,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+−+∆+−−=∆+−，∴x xx x x y ∆−=∆−∆+−+∆+−−=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+),这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释:若1212PF PF F F +=,则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<,则动点P 的轨迹无图形.要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导:由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤.(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F 1、F 2的直线为x 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系(如图).设|F 1F 2|=2c(c ＞0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F 1(-1,0),F 2(c,0).(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为:P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝. (3)代数方程即:(4)化简方程 由22a c >可得222a cb -=,则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.因此,方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上,焦点是F 1(-c,0)、F 2(c,0).这里c 2=a 2-b 2.椭圆的标准方程:1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+by a x )0(>>b a ,其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；要点诠释:1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中,都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为(,0)c ,(,0)c -；当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,)c ,(0,)c -；4. 在两种标准方程中,∵a 2＞b 2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法:(1)待定系数法:①若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再由题设确定方程中的参数a,b,即:“先定型,再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置,一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式:221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.(2)定义法:先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根据椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定量”。

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段导数的计算□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容导数的计算【学习目标】1．知识与技能（1）了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数y=f(x)在x处导数的步骤．0（2）熟练记忆8个基本初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数．（3）了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数．（4）了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数．2．过程与方法（1）通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤的过程以及由函数y=f(x)在x处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联0系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透．（2）经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所得函数求导数，培养学生的运算能力．3．情感、态度与价值观在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用．【要点梳理】第1页共18页⎝ x ⎭' '(tan x)'= ⎛sin x ⎫⎪ '=(cot x )'= ⎛ cos x ⎫⎪ '=要点一：基本初等函数的导数基本初等函数导数 特别地常数函数 y = c (c为常数)y ' = 0π ' = 0 ， e '=0幂函数 y = x n (n为有理数)y = n ⋅ x n -1 ⎛ 1 ⎫⎪' = 1 x 2 ， ( x )= 1 2 x指数函数 y = a xy ' = a x ⋅ ln a(e x) =ex对数函数 y = log xa正弦函数 y = sin x余弦函数 y = cos xy ' = 1x ⋅ ln ay ' = cos xy ' = - sin x(ln x )' = 1x 1⎝ cos x ⎭cos 2 x 1⎝ sin x ⎭ sin 2 x要点诠释：1．常数函数的导数为 0，即 c ' =0（ c 为常数）．其几何意义是曲线 f ( x ) = c （ c 为常数）在任意点处的切线平行于 x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数 n 与自变量的（ n －1）次幂的乘积，即 ( x n )' = nx n -1 (n ∈ Q ) ．3．在数学中，“ ln ”表示以 e (e=2.71828 K ) 为底数的对数；“ lg ”表示以 10 为底的常用对数． 4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．要点二：和、差、积、商的导数要点诠释：1． 上述法则也可以简记为：第2页共18页（ⅲ）商的导数： u ⎫ ' = ⎢ g ( x ) ⎥ g 2 ( x ) 当 f ( x) = 1 时， ⎢' ==- ( g ( x ) ≠ 0) ． ⎣ g ( x) ⎦g 2 ( x )g 2 ( x )（1）类比： (uv)' = u ' v + uv ' ， u ⎫ ' = （2）注意： ⎛ u ⎫ ⎪ ' ≠ 且 ⎪ ' ≠（ⅰ）和（或差）的导数： (u ± v)' = u '± v ' ，推广： (u ± u ± L ± u )' = u ' ± u ' ± L ± u ' ．1 2n12n（ⅱ）积的导数： (u ⋅ v)' = u ' v + uv ' ，特别地： (cu )' = cu ' （c 为常数）．⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2(v ≠ 0) ，两函数商的求导法则的特例⎡ f ( x ) ⎤ f '(x) g ( x ) - f ( x ) g '(x)' = ( g ( x ) ≠ 0) ，⎣ ⎦⎡ 1 ⎤ 1'⋅ g ( x ) - 1⋅ g '(x) g '(x)⎥这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2 （v≠0），注意差异，加以区分．⎝ v ⎭ v ' ⎝ v ⎭v 2 u ' ⎛ u ⎫ u ' v + uv '（v≠0）．3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．例如，要对函数y = (x + 2)(x 1)2求导，可先因式分解将该函数化为 y = x 3-3x +2 ，再利用加法和减法法则求导．要点三：复合函数的导数1．复合函数的概念对于函数 y = f [ϕ ( x )] ，令 u = ϕ ( x ) ，则 y = f (u ) 是中间变量 u 的函数， u = ϕ ( x ) 是自变量 x 的函数，则函数 y = f [ϕ ( x )] 是自变量 x 的复合函数．例如，函数 y=ln (sin x ) 是由 y=ln u 和 u=sin x 复合而成的．要点诠释： 常把 u = ϕ ( x ) 称为“内层”， y = f (u ) 称为“外层” ．2．复合函数的导数设函数 u = ϕ ( x ) 在点 x 处可导，u ' = ϕ '(x) ，函数 y = f (u ) 在点 x 的对应点 u 处也可导 y ' = f '(u ) ，则复x u第 3 页 共 18 页x 2+2log x ； 5 '+2(log x )' = x - 5 ⎪ '+2 (log x )' = x 5 + （1） y ' = ⎪ 5 x ln 3⎝ 5 x 2 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 3 1⎝ ⎭ ⎝ x ⎭' '合函数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x 处可导，并且 y ' = y ' ⋅ u ' ，或写作 f ' [ϕ ( x )] = f '(u) ⋅ϕ '(x) ．x uxx3．复合函数求导一般步骤（1）分层：将复合函数 y = f [ϕ ( x )] 分出内层、外层．（2）各层求导：对内层 u = ϕ ( x ) ，外层 y = f (u ) 分别求导．得到ϕ '(x), f '(u)（3）求积并回代：求出两导数的积： f '(u) ⋅ϕ '(x) ，然后将u 用ϕ ( x )替换 ，即可得到 y = f [ϕ ( x )] 的导数．要点诠释：1． 整个过程可简记为：分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2． 选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【典型例题】类型一：导数的计算例 1． 求下列各函数的导数：（1） y =13（2） y = 5 1x 3 + π ；x（3） f ( x ) = ( x 2 + 1)(2x - 3) ；（4） y = 1 - ln x．1 + ln x【思路点拨】先将各函数写出初等函数的和、差、积、商的形式，再利用求导法则展开，最后代入各初等函数的导数值．【解析】⎛ 1 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 2 - 7 2 3 3．2 （2） y ' = x 5 ⎪ ' ⎪ '+ π '= x 5 + 5 x 2．（3）法一：去掉括号后求导．∵ f ( x )=( x 2 + 1)(2x - 3)=2 x 3 - 3x 2 + 2 x - 3 ，∴ f '(x) = 2 (x 3 ) - 3 (x 2 )+ 2 x '= - 36 x 2 - 6 x + 2 ．法二：利用两个函数乘积的求导法则第 4 页 共 18 页= x2 ==f '(x) = ( x 2 + 1)'⋅ (2 x - 3) + ( x 2 + 1)⋅ (2 x - 3)'= x(2 x －3) + (x 2 + 1)⨯ 2= 6 x 2－6 x + 2.（4） y '= (1 - ln x )'⨯ (1 + ln x ) (1 - ln x )⨯ (1 + ln x )'(1 + ln x )21 1- (1+ ln x) - (1- ln x)x (1+ ln x)2=-2．x(1+ ln x)2【总结升华】（1）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简；（2）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（3）如果遇到求多个积的导数，可以逐层分组进行；举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1） y = 2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4 ；（2） y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) ；（3） y =x + 3 x 2 + 3；（4） f ( x ) = tan x ．【答案】（1） y ' = (2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4)' = (2 x 3 )' - (3x 2 )' + (5 x )' - 4' = 6 x 2 - 6 x + 5 ．（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：y ' = (2 x 2 + 3)'g(3x - 2)+(2 x 2 + 3)g(3x - 2)'=4x g(3x - 2) + 3(2 x 2 + 3)= 18x 2 - 8x + 9 ．法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) = 6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6 ，∴ y ' = (6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6)' = (6 x 3 )' - (4 x 2 )' + (9 x )' - 6' = 18 x 2 - 8 x + 9 ；( x + 3)'g( x 2 + 3) - ( x + 3)g( x 2 + 3)'( x 2 + 3) - ( x + 3) ⋅ 2 x- x 2 - 6 x + 3 （3） y ' =．( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2第 5 页 共 18 页（4）f'(x)=(sin x（3）y=1（1）y'=(2x sin x)'+ cos x⎪'⎛-1⎫=x sin x+2x cos x+ ⎪cos x+(-sin x)⋅18-+4log x 4x3(2+log x)-8x3+4x3log x-lg ax ln a=ln a=x3．a2（3）∵y=1=(sin x)'⋅cos x-sin x⋅(cos x)'cos x⋅c os x-sin x(-sin x)1 )'===．cos x(cos x)2cos2x cos2x【变式2】求下列函数的导数：（1）y=2x sin x+1xcos x；x4（2）y=；2+log xa1+；1-x1+x（4）y=x gsin x gln x．【答案】⎛1⎫⎝x⎭1-2⎝x2⎭11=(x-2-x-1)sin x+(2x2-x-2)cos x．1 x（2）y'=a a12-2(1-x)'2+=，∴y'=．1-x1+x1-x(1-x)2(1-x)2（4）y'=(xsinx)'⋅lnx＋xsinx⋅(lnx)'=⎡⎣x'⋅sinx+x⋅(sinx)'⎤⎦lnx＋sinx=(sinx＋xcosx)lnx＋sinx．例2．求下列复合函数的导数：（1）y=ln(8x)；（2）y=5e2x+1；（3）y=sin2x－cos2x.【思路点拨】利用复合函数的求导步骤，按照分层——求导——回代的顺序逐步进行．【解析】（1）第一步：分层：令u=8x，则y=ln u．第6页共18页u 8x x法二：∵ y ＝ 2 sin(2 x － ) )，∴ y '＝ 2 cos(2x － ) ·2＝2 2sin(2x ＋ )．π( ) ，所以 =5e ⋅ ⎡(e 2)2)2= 10e 2x +1 ．因为 y =5e2x +1=5e ⋅ e 2'1 ⎣⎦第二步：求导： u ' = 8 ， y ' = x u 1 u．1 1 1第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 8 ⋅ = 8 ⋅ = ．u x （2） 第一步：分层：设 y ＝5e u ，u ＝2x ＋ ，第二步：求导： y ' ＝5e u ，u ' ＝2 ，ux第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 10e u =10e 2 x +1 ．ux（3）法一： y '＝(sin 2 x －cos2 x)'＝(sin 2 x )'－(cos2 x )'＝2cos2 x ＋2sin 2 x ＝2 2 sin(2 x ＋π) ．4ππ 444【思路点拨】（1）复合函数求导的本质是逐层求导，在求导的过程中把一部分量或式子暂时当作一个整体，即中间变量，求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．（2）通过恒等变换，将复合函数化简为初等函数和、差、积、商的形式，再通过四则运算求导法则计算导数，从而简化步骤，减少失误．比如，本题第（1）题的另一解法：x⎢ ⎥（3）在熟悉复合函数的求导步骤后，可省略中间步骤，如第（2）题，可写成如下形式：y '=5 [log (2x+1)]'= 2 5 10g(2 x + 1)'= ．(2 x + 1)ln 2 (2 x + 1)ln 2举一反三：【变式 1】求下列函数导数．（1） y = ln( x + 2) ；（2） y = e 2 x +1 ；（3） y = cos(2 x 2 + 1) ；第 7 页 共 18 页（4） y = ⎪ sin x ≠ 0 ）． （4）方法一： y ' = 2 ⎪ ' = ⋅ =- - =- - ()⎛ cos x ⎫2⎝ sin 2 x ⎭【答案】（1）令 y = ln u ， u = x + 2 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (ln u ) '⋅ ( x + 2)' = x u x1 1⋅1 =u x + 2（2）令 y = e u ， u = 2x +1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (e u ) '⋅ (2 x + 1)' = 2e u = 2e 2 x +1xu x（3）令 y = cos u ， u = 2x 2 + 1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (cos u ) '⋅ (2 x 2 + 1)' = -4 x sin u = -4 x sin(2 x 2 + 1) ．xu xcos x ⎛ cos x ⎫ 2cos x (cos x) 'sin 2 x - cos x(sin 2 x) '⋅sin 2 x ⎝ sin 2 x ⎭ sin 2 x sin 6 x2cos x(- sin 3 x - 2cos 2 x ⋅ s in x) 2cos x 4cos 3 x= ．sin 6 x sin 3 x sin 5 xcos 2 x方法二：∵ y = ，sin 4 x∴ y ' =(cos 2 x)'sin 4 x - cos 2 x(sin 4 x)'sin 8 x2cos x(- sin x)sin 4 x - cos 2 x ⋅ 4sin 3 x cos x 2cos x 4cos 3 x= ．sin 8 x sin 3 x sin 5 x【变式 2】求下列函数导数：（1） y = cos 2(2 x +π3 )；（2） f ( x ) = e - x (cos x + sin x) ；（3） y = ln x ＋ 1 + x 2．【答案】第 8 页 共 18 页y ' = ⎢cos 2 (2 x + ) ⎥ ' = 2cos(2 x + ) ⋅ ⎢cos(2 x + ) ' ⎦（1）设 y = μ 2， μ = cos v ， v = 2 x +π3，则y ' = y ' ⋅ μ ' ⋅ v ' = -2μ ⋅ sin v ⋅ 2xμV xπ π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ 23 3 2π= -2sin(4 x + )3在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：⎡ ⎣ π ⎤ π ⎡ π ⎤ 3 ⎦ 3 ⎣ 3 ⎥π π π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ (2 x + )'3 3 3 2= -2sin(4 x + π )3（2） f '(x) = e - x ⋅ (- x )'(cos x + sin x) + e - x ⋅ (cos x + sin x)'= -e - x (cos x + sin x) + e - x (- sin x + cos x)= e - x (- sin x + cos x - cos x - sin x)= e - x (-2sin x)= -2e - x ⋅ sin x ．（3） y ' =1 x + 1 + x2 ( x + 1 + x 2) ' = 1 x + 1 + x 2 (1+ x1 + x2 ) ＝ 11 + x 2【变式 3】函数 y = ( x + 1)2 ( x - 1) 在 x = 1 处的导数等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D法一： y ' = [( x + 1)2 ]'( x - 1) + ( x + 1)2 ( x - 1)'= 2( x + 1)⋅ ( x - 1) + ( x + 1)2 = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．第 9 页 共 18 页例 3． 曲线 y = e2 在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）1 1 x【解析】 y ' = (e 2)' = (( e ) x )' = ( e ) x ⋅ ln e = ( e ) x = e 2 ，2【总结升华】本题考查导数的知识以及切线方程的求法，关键是求切线的斜率，而 y = e 2 的导数采用将解析式 利用指数幂运算法则变形为 y ' = (e 2 )' = (( e ) x )' ，从而由导数公式求解．ex k 法二：∵ y = ( x + 1)2 ( x - 1) = ( x 2 - 1)(x + 1) = x 3 + x 2 - x - 1∴ y ' = ( x 3 )' + ( x 2 )' - x '- 1' = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．类型二：曲线的切线问题1 xA ． 9 2e 2B ． 4e 2C ． 2e 2D ． e 2【思路点拨】通过求导，求出切线斜率，进而得到切线方程，再求切线方程与坐标轴的交点，即可求出三角形的面积．【答案】D1x 2 2曲线在点 (4, e 2 ) 处的切线斜率为 y ' x=4 1= e 2 ，2所以切线方程为 y - e 2 = 12e 2 ( x - 4) ，令 x = 0 得 y = -e 2 ；令 y = 0 得 x = 2 ，所以 S = 1⨯ 2e 2 = e 2 ．∆1 x1 x举一反三：【变式】已知直线 y = kx 是曲线 y = ln x 的切线，则 k 的值为（）A ． eB ．–C ． 1e【答案】CD ． - 1e【解析】设切点 P( x , y ) ， y = ln x 的导数为 y ' = (ln x)' = 0 0 1 x，∴ y ' x =x= 1 1= k , 显然 x > 0,∴ x = ，0 0x ⎪⎪ 2 2 ⎧a = 1,b 7 ⎩b = 3. x x x x2 x代入 y = kx 中得 y = 1 ，再代入 y = ln x 中得 ln x = 1 ，0 0∴ x = e ,∴ k = 10 01= ，故选 C ．e类型三：利用导数求解析式中的参数例 4． 设函数 f ( x ) = ax - b x，曲线 y = f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x - 4 y - 12 = 0 ，（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）证明：曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解析】（1）方程 7 x - 4 y - 12 = 0 可化为 y =7 4x - 3 ，当 x = 2 时， y = 1 2，又 f '(x) = a + b b 7，故 f '(2) = a + = ，x 2 4 4⎧b 1 2a - = , 所以 ⎨ ，解得 ⎨⎪a + = .⎪⎩ 4 4故 f ( x ) = x - 3.x（2）证明：设点 P( x , y ) 为曲线上任一点． 0 0由 f '(x) = 1 +3知，曲线 y = f ( x ) 在点 P( x , y ) 处的切线方程为：2y - y = (1+ 30 2 0 3 3)( x - x ) ，即 y - ( x - ) = (1+ )( x - x ) ，0 0 2 0 0 0令 x = 0 得 y = - 6 6，从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 (0, - ) ．x x0 0令 y = x 得 y = x = 2 x ，从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为 (2 x ,2 x ) ，0 01 6所以点 P( x , y ) 处的切线与直线 x = 0 、 y = x 所围成的三角形面积为 ⋅ -0 0 0⋅ 2 x = 6 ． 0故曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6 ．【总结升华】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算法则以及方程思想．举一反三：A．－1B．－2C．2D．0【答案】B)＝4ax3＋2bx，若f'(1)＝2，【解析】由题意知f'(x)＝4a＋2b＝2，即f'(1故f'(－1)＝－4a－2b＝－2．【变式2】已知f(x)是关于x的多项式函数．（1）若f(x)=x2+2x f'(1)，求f'(0)；（2）若f'(x)=3x2-6x且f(0)=4，解不等式f(x)>0．【答案】（1）显然f'(1)是一个常数，所以f'(x)=2x+2f'(1)，所以f'(1)=2⨯1+2f'(1)，即f'(1)=-2，所以f'(0)=2⨯0+2f'(1)=-4．（2）∵f'(x)=3x2-6x，∴可设f(x)=x3-3x2+c，∵f(0)=c=4∴f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2，由f(x)>0，解得{x|x>-1且x≠2}．课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：作业内容作业得分作业内容【巩固练习】一、选择题3 4 43 m/sx =3=-8． ⎪ = ___________， ⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦ = ____________．1．下列运算中正确的是（）A ． (ax 2 + bx + c)' = a( x 2 )' + b ( x )'B ． (sin x - 2 x 2 )' = (sin x)' - 2'( x 2 )'C ． ( sin x (sin x)' - ( x 2 )')' =x 2 x 2D ． (cos x ⋅ s in x)' = (sin x)' c os x + (cos x)' c os x2．质点做直线运动的方程是 s = 4 t （位移单位：m 时间单位：s ），则质点在 t=3 时的速度是（）A ．14 4 3 m/s B ． 1 4 3 3 m/s C ． 1 2 3 3m/s D ． 13．下列结论：①若 y=cos x ，则 y ' = - sin x ；②若 y = - 1 1 1 2，则 y ' = ；③若 y = ，则 y ' | x 2 x x x 2 27中，正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知曲线 y = x 2 1- ln x( x > 0) 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）4 2A ．3B ．2C ．1D ．1 25．函数 y = 5x 4 + 3x - 8的导数是（ ）A ．54 x 3 + 3B ． 5(4 x 3 + 3) 5(4 x 3 + 3)C ．0D ． -( x 4 + 3x - 8)2 ( x 4 + 3x - 8)26． 已知函数 f ( x ) =ax 2 - 1 且 f ' (1) = 2 ，则实数 a 的值为（）A ． a =1B ． a =2C ． a = 2D ． a > 07．设曲线 y = x + 1( x ≠ 1) 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（x - 11 1A ．2B ．C ．―D ．―22 2二、填空题⎛ x 3 - 1 ⎫' ' ⎝ sin x ⎭）9．曲线 y = sin x 在点,1⎪ 处的切线方程为________．⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭10．在曲线 y ＝4 x 2上求一点 P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°，则 P 点坐标为________．11． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y = x 3―10 x + 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________．三、解答题12．求函数的导数．（1） y = 1 1+1 - x 1 + x（2） y = x ⋅ tan x ；x 4（3） y = ．2 + log xa13．已知 f ( x ) = cos x ， g ( x ) = x ，求适合 f '(x) + g '(x) ≤ 0 的 x 的值．14． 求曲线 y = 1 1在点 (1, ) 处的切线方程．(3x + x 2 ) 2 16s＝s(t)＝5－25-9t2，求函数在t＝s时的导数，并解释它的实际意义．1-31-3115．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为715【答案与解析】1．【答案】A【解析】由求导的四则运算法则可以判断．2．【答案】A1【解析】s=4t=t4，则s'=t4，当t=3时，s'=⋅34=．4444333．【答案】D【解析】①②③正确．4．【答案】D【解析】由y=x+12=1+x-1x-12，求导得y'=-，(x-1)2所以切线斜率k=y'|1 x=3=-2，则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2．5．【答案】D⎝ sin x ⎭【解析】⎪ =12． 【解析】（1）∵ y =1（2） y ' = ( x) 'tan x + x(tan x) ' = tan x + x ⋅⎪ '【解析】 y =5x 4 + 3x - 8，则 y ' = - 5(4 x 3 + 3) ( x 4 + 3x - 8)2 ．6．【答案】B【解析】 f '(x) =2ax2 ax 2 - 1=ax ax 2 - 1，af '(1)= = 2 ，所以 a=2 ．a - 17．【答案】D【解析】 由 y =x + 1 2= 1 +x - 1 x - 12 ，求导得 y ' = - ， ( x - 1)2所以切线斜率 k = y ' | 1x =3 =- 2 ，则直线 ax+y+1=0 的斜率为 2，所以―a=2，即 a=―2．3x 2 sin x - ( x 3 - 1)cos x8． 【答案】 ， 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5)sin 2 x⎛ x 3- 1 ⎫' 3x 2sin x - ( x 3-1)cos xsin 2 x；⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦' = 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5) ；9． 【答案】y=1【解析】 (sin x)' = cos x ， k = y ' |10． 【答案】(2，1)【解析】设 P (x 0，y 0)，x = π2= 0 ，从而切线方程为 y=1．y ′＝ ( 4x 2) ' ＝(4x －2)′＝－8x －3，∴tan135°＝－1＝－8 x -3 ．∴x 0＝2，y 0＝1．11．【答案】（―2，15）【解析】y ' = 3x 2 - 10 ，令 y ' = 2 ⇒ x 2 = 4 ，P 在第二象限 ⇒ x=―2 ⇒ P （―2，15）．12 -2(1- x)' 2 +=，∴ y ' ==1 - x 1 + x1 - x(1- x)2(1- x)2⎛ sin x ⎫⎝ cos x ⎭lg a2(k∈Z)．（3）y'=4x3(2+log x)-a(2+log x)2ax4x ln a= =8x3+4x3log x-a(2+log x)2a18-+4log xa(2+log x)2ax3ln ax3．13．【解析】f'(x)=-sin x，g'(x)=1，则-s in x+1≤0，sin x≥1，即sin x=1．∴x=2kπ+π14．【解析】y=(3x+x2)-2，则y'=-2⋅3+2x (3x+x2)3y'|x=1=-2⋅543=-532．15∴切线方程为y-=-(x-1)1632即5x+32y-7=0．15【解析】。

导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。

1．1 导数与函数的单调性学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．( ×)2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ×)3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √)4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．( ×)5．若f (x )的图像在[a ，b ]上是一条连续曲线，且f (x )在(a ，b )上f ′(x )<0，则f (x )在[a ，b ]上是减少的．( √ )题型一 原函数和导函数图像之间的关系例1 已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图像可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数的图像确定导函数的图像 答案 C解析 由函数y ＝f (x )的图像的增减变化趋势判断函数y ＝f ′(x )的正、负情况如下表：↘ ↗ ↘由表可知函数y ＝f ′(x )的图像，当x ∈(－1，b )时，函数图像在x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，函数图像在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，函数图像在x 轴下方．故选C.反思感悟 1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．跟踪训练1 函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12∪[1,2] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3 考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数图像 答案 A解析 求f ′(x )≤0的解集，即求函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3上的递减区间．由题干图像可知y ＝f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，[2,3)．题型二 利用导数求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间 解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0，得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0，解得－3<x <2.故f (x )的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 递减区间是(－3,2)．(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得0<x <33.∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞， 递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 反思感悟 求函数的单调区间的具体步骤 (1)优先确定f (x )的定义域． (2)计算导函数f ′(x )． (3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0.(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为递增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为递减区间． 跟踪训练2 求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 题型三 含参数函数的单调性例3 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，则k 的取值范围是________． 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的，得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．因为k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1，即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x，当k ≤0时，函数的递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k .2．若f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上不单调，则k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 由引申探究1知k >0，且1k>1，则0<k <1.反思感悟 1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．2．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．3．恒成立问题的重要思路 (1)m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max . (2)m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min . 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减少的，求实数a 的取值范围．考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝x ＋－ax －－ax，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可知，函数f (x )的递减区间是(0，－a )； 递增区间是(－a ，＋∞)．(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1,2]上为减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立，即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x－x 2，则h ′(x )＝－1x2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x <0，x ∈[1,2]，所以h (x )在[1,2]上是减少的，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤－72.含有参数函数单调性的讨论典例 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增加的； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上是减少的； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上是减少的，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上是增加的． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上是增加的； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是减少的； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上是减少的， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上是增加的． [素养评析] (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准． (2)将函数单调性问题转化为求解一元二次不等式问题，明确了运算方向，而分类与整合思想能优化数学运算过程，对数学运算素养有较大的提高.1．f (x )＝(x －3)e x的递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数的函数求单调区间 答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)·e x＝(x －2)e x>0， 解得x >2，所以f (x )的递增区间是(2，＋∞)．2．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数图像确定导函数图像 答案 D解析 ∵函数f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，∴当x >0时，f ′(x )<0；当x <0时，f ′(x )<0.故选D.3．若函数y ＝f (x )＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________． 考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 令f ′(x )<0，由已知得－33<x <33， 可得a >0.4．已知a >0且a ≠1，证明：函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定(证明)函数的单调性 证明 y ′＝a xln a －ln a ＝ln a (a x－1)， 当a >1时，因为ln a >0，a x<1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的； 当0<a <1时，因为ln a <0，a x >1，所以y ′<0，即y 在(－∞，0)上是减少的． 综上，函数y ＝a x－x ln a 在(－∞，0)上是减少的．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0. (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上是增加的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定函数的单调性 答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e x，y ′＝(x ＋1)e x ，因为e x 恒大于零，易知y ＝x e x在(0，＋∞)上是增加的； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上是增加的， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上是减少的；对于D ，y ′＝1x －1(x >0)．故函数在(1，＋∞)上是减少的，在(0,1)上是增加的．故选B. 2．函数y ＝f (x )＝x cos x －sin x 的递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D.()2π，3π考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定函数的单调性 答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ， 若y ＝f (x )在某区间内是增加的， 只需在此区间内y ′>0恒成立即可， ∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立． 3．函数f (x )＝x －ln x 的递减区间为( ) A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间 答案 C解析 ∵f ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x >0)，令f ′(x )≤0，解得0<x ≤1，∴f (x )在区间(0,1]上是减少的．4．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增加的B ．在(1,3)上f (x )是减少的C ．在(4,5)上f (x )是增加的D ．在(－3，－2)上f (x )是增加的 考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据导函数图像研究原函数图像 答案 C解析 由题图知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，所以在(4,5)上f (x )是增函数． 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减少的，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2－1，由题意知，对任意x ∈R ， 3ax 2－1≤0，当a >0时，显然不符合题意， 当a ≤0时，成立．故a ≤0.6．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示y ＝f (x )的图像的是( )答案 C解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的．由上述分析可知选C.7．已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是( )A．减少的B．增加的C．先增加后减少D．先减少后增加考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定(证明)函数的单调性答案 B解析因为函数f(x)在定义域R上是增加的，所以f′(x)≥0在R上恒成立．又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内是增加的．8．函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>2x－1的解集为( ) A．(－1,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案 C解析令g(x)＝f(x)－2x＋1，则g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)是减函数．又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0， 当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0，即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)．二、填空题9．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的递减区间为____________． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 含参数的函数求单调区间 答案 (－∞，0) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ，故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )<0，解得x <0， 故f (x )的递减区间为(－∞，0)．10．函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式fxx<0的解集为________．考点 函数变化快慢与导数的关系 题点 求解不等式 答案 (－3，－1)∪(0,1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故不等式fxx<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．11．已知f (x )＝4xx 2＋1在区间[m ，m ＋1]上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [－1,0]解析 f ′(x )＝x 2＋－8x 2x 2＋2＝－x 2x 2＋2，∴当－1≤x ≤1时，f ′(x )≥0，即f (x )的单调递增区间是[－1,1]，又f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0，即实数m 的取值范围是[－1,0]．三、解答题12．已知x >0，求证：x >sin x . 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式证明 设f (x )＝x －sin x (x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增加的，又f (0)＝0，∴f (x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴x >sin x (x >0)．13．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内是减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a 的取值范围． 考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1,4)内是减少的， 所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内是增加的， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7， 所以实数a 的取值范围为[5,7]．14．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________．考点 题点答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 令h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，因此函数h (x )在R 上是奇函数．①∵当x <0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴h (x )在(－∞，0)上是增加的，∵h (－3)＝f (－3)g (－3)＝0，∴由h (x )<0，得x <－3. ②当x >0时，∵函数h (x )在R 上是奇函数，∴h (x )在(0，＋∞)上是增加的，且h (3)＝－h (－3)＝0， ∴h (x )<0的解集为(0,3)，∴不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．15．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图像如图，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．考点 利用函数的单调性求变量 题点 已知函数的单调性求参数 解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ， 其图像为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x＋2x －8＝x －x －x(x >0)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴f (x )的递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f (x )的递减区间为(1,3)．要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.。

变化率与导数 编稿:赵 雷【学习目标】(1)理解平均变化率的概念；(2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；(3)理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵； (4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】知识点一:平均变化率问题1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地,函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为:2121()()f x f x x x --要点诠释:① 本质:如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题,平均变化率富于不同的实际意义。

如位移运动中,位移S(m)从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,要想更精确地刻画物体运动,就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法:①作差:求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商:对所求得的差作商,即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释:1. x ∆是1x 的一个“增量”,可用1x x +∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号,而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ,两者都可正、可负,但x 的值不能为零,y 的值可以为零。

若函数()y f x =为常函数,则y =0. 知识点二:导数的概念定义:函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim,我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 要点诠释:① 增量x ∆可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0。

第一章常用逻辑用语1。

1命题及其关系1。

1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p,则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程:1．复习回顾初中已学过命题的知识,请同学们回顾：什么叫做命题?2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．(2）2+4=7．(3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1，则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６)３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真,（2）（4)(6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清.4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题?（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行．(５）2)2( ＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习,引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点:第一是“陈述句”,第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

导数的应用一---函数的单调性编稿:赵 雷【学习目标】1. 理解函数的单调性与其导数的关系。

2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。

3. 会利用导数求函数的单调区间。

【要点梳理】要点一、函数的单调性与导数的关系我们知道,如果函数()f x 在某个区间是增函数或减函数,那么就说()f x 在这一区间具有单调性,先看下面的例子:函数2()43y f x x x ==-+的图象如图所示。

考虑到曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()f x 的导数,从图象可以看到:在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,即'()0f x >时,()f x 为增函数；在区间(－∞,2)内,切线的斜率为负,即'()0f x <时,()f x 为减函数。

导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数)(x f y =在某个区间内有导数,则在这个区间上, ①若()0f x '>,则()f x 在这个区间上为增函数； ②若()0f x '<,则()f x 在这个区间上为减函数； ③若恒有0)(='x f ,则()f x 在这一区间上为常函数.反之,若()f x 在某区间上单调递增,则在该区间上有()0f x '≥恒成立(但不恒等于0)；若()f x 在某区间上单调递减,则在该区间上有()0f x '≤恒成立(但不恒等于0).要点诠释:1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率,故当在某区间上()0f x '>,即切线斜率为正时,函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<,即切线斜率为负时,函数()f x 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2.若在某区间上有有限个点使'()0f x =,在其余点恒有'()0f x >,则()f x 仍为增函数(减函数的情形完全类似)。

人教版高中数学选修1-1教学讲义利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要点四：最优化问题的常见类型(1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题．【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m )【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x （或y ）的函数.【解析】依题意，有1822x xy x +=g ， ∴ 8(042)4x y x x =-<<，于是框架用料总长度为 2316222222x L x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 231622L x '=+-，令0L '=，即2316202x+-=， 解得1842x =-，2428x =-(舍去)．当0＜x ＜8－42时，0L '<；当84242x -<<时，0L '>．∴ 当x ＝842-时，L 取得最小值，此时842 2.343m x =-≈，y ≈2.828 m ．即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．【总结升华】本问题中，由0L'=，得到1842x=-，2428x=-，由于x表示边框的长度，故x＞0，所以舍去2428x=-．解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义．举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设CD＝x，则AC＝50-x(0≤x≤50)用2240BC x=+，∴水管费2223(50)540(150351600)y a x a x a x x=-++=-++．∴2225353216001600x xy a ax x⎛⎫⎛⎫'=-+⨯=-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，令0y'=，得25301600xx-+=+，∴x＝30．当0≤x＜30时，0y'<；当30＜x≤50时，0y'>．∴x＝30时，y取得最小值，此时，CD＝30 km，故AC＝50-30＝20(km)，因此供水站建在A、D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．类型二：利润最大问题例2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元／辆，出厂价为13万元／辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价一每辆车的投则22S R Rh ππ=+22(0)V R R Rπ=+<<+∞ 322222V V S R R R R πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭, 令0S '=，得3VR π=，从而32V V h R ππ==． 因为函数在(0，+∞)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点．故当圆柱的底面半径和高均为3Vπ时，用材料最省．【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值．举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短的边长为x cm ，则相邻一边长为2x cm ，又设箱子高为h ，则2272362h x x ==， 设表面积为S ，则223642(2)S x x x x =++g 22164(0)x x x =+>，32221688(27)S x x x x'=-=-． 令0S '=，解得S 在(0，+∞)内的唯一可能的极值点x ＝3．当x ＜3时，S ′＜0．当x ＞3时，S ′＞0．∴ 在x ＝3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm ，6 cm ，高为4 cm 时，长方体箱子的表面积最小．励 学 国 际 学 生 课 后 作 业8．设某银行中的总存款与银行付给储户的利率的平方成正比，若银行以10％的年利率把总存款的90％贷出，同时能获得最大利润，需要支付给储户的年利率为________．9. 水以20m3／min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，底面直径为12 m，当水深10 m时，水面上升的速度是________．三、解答题10．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得=++最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．l AB BC CD11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，两桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小?12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．【答案与解析】1. 【答案】C【解析】 解法一：设内接矩形的宽为z ，则长为2225x ，面积2225S x x =-g ．则2250425x S x -'=-．令0S '=，得522x =或522x -=(舍)． ∵ 此函数为单峰函数，∴ 当522x =时，max 25S =． 解法二：如图所示．设∠NOB ＝θ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则矩形的面积5sin 25cos S θθ=⨯⨯＝25sin 2θ，故max 25S =．2．【答案】D【解析】 设高为x cm ，则底面半径为2220x -cm ，体积22(20)(020)3V x x x π=-<<g ，则2(4003)3V x π'=-，由0V '=得2033x =或2033x =-(舍去)． 当20303x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '>， 当203203x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '<，所以当2033=时，V 取最大值． 3．【答案】A【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙总长为5122(0)L x x x =+>，则25122L x'=-，令0L '=，得x ＝±16．又x ＞0，∴ x ＝16．则当x ＝16时，长为5123216=(米)． 4．【答案】A【解析】作轴截面如图，设圆柱高为2h ，则底面半径为22R h -，圆柱的体积2223()222V R h h R h hπππ=-=-g g．∴2226V R hππ'=-，令0V'=，得22260R hππ-=，∴33h R=．即当2323h R=时，圆柱的体积最大．5．【答案】C【解析】设此三棱柱底面边长为a，高为h，则234V a h=，∴表面积223343322VS a ah aa=+=+．由24330VS aa'=-=0得34a V=．6．【答案】D【解析】由题意，总成本为C＝20000+100x，所以总利润213002000(0400)260000100(400)x x xP R Cx x⎧--≤≤⎪=-=⎨⎪->⎩，.则300(0400)100(400)x xPx-≤≤⎧'=⎨->⎩，.令0P'=，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，0P'<恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．7．【答案】1:1【解析】设窗户面积为S，周长为L，则222S x hxπ=+，24Sh xxπ=-，所以窗户周长2222SL x x h x xxππ=++=++，。

《高二数学选修1-1导数及其应用》课程纲要课程名称：高二数学选修1-1第三章导数及其应用课程类型：高中选修课程教学材料：人民教育出版社授课时间：20-25课时授课教师：葛庆潮授课对象：一、课程目标微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。

通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用。

二、课程内容内容与要求1. 导数及其应用（约16课时）（1）导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。

②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算①能根据导数定义求函数的导数。

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于两次复合）的导数。

③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1－1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例。

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修1－1案例中的例5）。

导数的几何意义 编稿:赵雷【学习目标】1.理解导数的几何意义。

2.理解导数的全面涵义。

3.掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。

4.会求过点(或在点处)的切线方程。

【要点梳理】(根据课标要求进行适当的深化与拓展。

)要点一、导数几何意义1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率。

如图所示,函数()f x 的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是:直线AB 的斜率。

事实上,2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆。

换一种表述:曲线上一点00(,)P x y 及其附近一点00(,)Q x x y y +∆+∆, 经过点P 、Q 作曲线的割线PQ , 则有0000()()PQ y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

要点诠释:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。

2.导数的几何意义——曲线的切线x如图1,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.定义:如右图,当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ,即0x ∆→时,割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

也就是:当0x ∆→时,割线PQ 斜率的极限,就是切线的斜率。

即:0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。

椭圆综合【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题；3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+),这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.椭圆的标准方程:1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a ,其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；要点诠释:求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.椭圆椭圆的定义与标准方程椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题最大（小）值问题椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围要点二、椭圆的几何性质要点三、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点. 直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点,则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:12||x x -12||y y -椭圆的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 【典型例题】类型一:椭圆的方程与性质【高清课堂:椭圆综合357255 例1】例1.若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) A.12m > B. 12m < C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且【参考答案】D【试题解析】由题知22(1)0,m m ->>所以102m m <≠且,选D【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同,标准方程的形式不同,另外要注意对应的a,b,c 的不同 举一反三:【高清课堂:椭圆综合357255 例2】【变式】已知椭圆过两点(1,(2,求椭圆的标准方程.【参考答案】设椭圆的方程为221,mx ny +=因为(1,(2,)5-在椭圆上 所以有4151415m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得151m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以所求椭圆方程为2215x y +=例2. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 【试题解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k . 【总结升华】本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.举一反三:【变式】已知椭圆的方程为222116x y m +=,焦点在x 轴上,则m 的取值范围是( ) A.－4≤m ≤4B.－4＜m ＜4且m ≠0C.m ＞4或m ＜－4D.0＜m ＜4【参考答案】B例3 . 若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0),△ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( )A.221259x y += B.221259x y += (y ≠0) C.221169x y +=(y ≠0) D.221259x y += (y ≠0) 【参考答案】 D【试题解析】 |AB |＝8,|AC |＋|BC |＝10＞|AB |,故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ,又因为C 点的纵坐标不能为零,所以选D.【总结升华】本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.举一反三:【变式】ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.【参考答案】(1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x . (2)设()y x A ，,()y x G ''，,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). 类型二:直线与椭圆的位置关系例4.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B ,C 是AB 的中点,若|AB |＝||AB =OC 的斜率为2,求椭圆的方程. 【试题解析】 由2211ax by x y ⎧+=⎨+=⎩得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则||AB =1)=∵||AB =∴1a b =+.①设C (x ,y ),则122x x b x a b +==+,1ay x a b=-=+, ∵OC的斜率为2,∴2a b =. 代入①,得13a =,b =∴椭圆方程为2213x y =.【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法【变式1】椭圆1449422=+y x 内有一点P(3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点,那么这弦所在直线的方程为( )A.01223=-+y xB.01232=-+y xC.014494=-+y xD. 014449=-+y x 【参考答案】B【试题解析】设直线与椭圆的两交点坐标1212(,),(,),A x x B y y ,利用点差法可求直线斜率为k=121223y y x x -=--,所求直线方程为01232=-+y x【变式2】已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(,0),直经y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ,以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标. 【参考答案】 (1)∵3c a =且c =∴a =b ＝1. ∴椭圆c 的方程为2213x y +=. (2)由题意知点P (0,t )(－1＜t ＜1),由2213y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴圆P, 又∵圆P 与x 轴相切,∴||t =解得2t =±, 故P点坐标为0,2⎛± ⎝⎭. 类型三:椭圆中的最值问题例5 . AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦,F (c,0)为椭圆的左焦点,则△AFB 的面积最大值是( )A.b 2B.bcC.abD.ac【参考答案】 B【试题解析】 S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |, 当A 、B 为短轴两个端点时,|y A －y B |最大,最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【总结升华】椭圆中的最值问题往往要多结合图形的特征,或是设出有关变量利用函数思想解决. 举一反三:【变式】设P 是椭圆2221(1)x y a a+=>短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求||PQ 的最大值【参考答案】依题意可设(0,1),(,)P Q x y ,则||PQ ∵Q 在椭圆上 ∴222(1),x a y =-2222||(1)21PQ a y y y =-+-+=222(1)21a y y a --++=2222211(1)()111a y a a a---++--∵||1,1,y a a ≤>≥若则21||11a ≤-当211y a=-时,||PQ若1a <<则1y =-当时,||PQ 取最大值2.。

【巩固练习及参考答案解析】 一、选择题1.函数y ＝f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M ＝m,则f ′(x)( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能2. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=,则( )A 1,1a b ==B 1,1a b =-=C 1,1a b ==-D 1,1a b =-=-3.函数f(x)＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A.1,－1B.1,－17C.3,－17D.9,－194.已知f(x)＝x 3的切线的斜率等于1,则其切线方程有( )A.1个B.2个C.多于两个D.不能确定5.若a ＞0,b ＞0,且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值,则ab 的最大值等于( )A.2B.3C.6D.96.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件7.曲线4()2f x x =上的点到直线1y x =--的距离的最小值为( )A.B.C. D. 二、填空题8.函数496)(23-+-=x x x x f 的极值点是 ____________。

9.函数2()2ln f x x x =-的单调递增区间为 。

10.曲线3()3f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为_ _____.11. 函数32()3f x x a x a =-+(0a >)的极大值为正数,极小值为负数,则a 的取值范围 。

三、解答题12.设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-(Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间.13.设函数()sin cos 1f x x x x =-++,02x π<<,求函数()f x 的单调区间与极值。