正切函数的图象与性质

正切函数的图像与性质
y=tanx
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π2
−π2
•正切函数的最小正周期是π
•正切函数的最小正周期是π，延伸成整个定义域上的的图像
•渐近线x =±π
2
y
x
π2
−π2
y
x
•单调递增区间：(−π2,π
2)•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z •值域：y ∈R
•为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上
•[−π2,π
2] 范围内的图像如图：
•单调递减区间：无
•对称轴：无•中心对称点：x =0
π2
−π2
y
x
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π
2+k π,π
2+k π],k ∈Z •中心对称点：(k π,0),k ∈Z
y =tanx 的图像与性质
•延伸成整个定义域上的的图像
•k π即周期的整数倍
π
3π2
B
•与点A 的函数值相同的点B ，它们的x 值相差π•两个相邻的中心对称点(0,0)，(π,0)相差πA
•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π2+k π,π
2+k π],k ∈Z
•中心对称点：(k π,0),k ∈Z
总结
π
3π2
•定义域：x ≠
π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2。

《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。

如果我们将这个概念推广到整个定义域，就得到了正切函数。

对于任意角α（α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z），正切函数可以表示为tanα＝sinα ／cosα。

需要注意的是，cosα 不能为0，否则正切函数无定义。

二、正切函数的定义域正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}。

这是因为当α ＝kπ ＋π/2 时，cosα ＝ 0，而分母不能为 0，所以这些点不在定义域内。

三、正切函数的周期性正切函数是一个周期函数，其最小正周期为π。

这意味着对于任意实数 x，都有 tan(x ＋π) ＝ tan x。

四、正切函数的奇偶性正切函数是一个奇函数，即tan(α) ＝tanα。

这表明正切函数的图像关于原点对称。

五、正切函数的图像正切函数的图像是由无数条不连续的曲线组成的。

我们可以通过分析其在一个周期内的图像来了解其整体特征。

在区间（π/2，π/2）内，正切函数的图像是单调递增的。

当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于负无穷；当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于正无穷。

正切函数的图像在每个周期内都有一个垂直渐近线，即在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处，函数值趋近于无穷。

为了更直观地理解正切函数的图像，我们可以通过列表、描点、连线的方法来绘制。

六、正切函数的性质1、单调性正切函数在每个周期内都是单调递增的，但在整个定义域内不是单调函数。

2、值域正切函数的值域是 R，即全体实数。

3、零点正切函数的零点为kπ（k∈Z）。

4、渐近线如前所述，正切函数在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处有垂直渐近线。

七、正切函数的应用正切函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在数学中，正切函数常用于解决三角函数的相关问题，如求解三角形的边长和角度。

在物理学中，例如在波动和振动的研究中，正切函数可以用来描述某些周期性现象。