高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3.4 互斥事件含答案

学习目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系；2.掌握互斥事件的概率加法计算公式．知识点一互斥事件思考一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？梳理互斥事件的概念：________________的两个事件称为互斥事件．知识点二事件A＋B思考一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？梳理一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B 发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝__________________.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝________________.知识点三对立事件思考在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？梳理对立事件及其概率公式：如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A；对立事件概率公式P(A)＝__________.类型一互斥、对立的判定例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．反思与感悟如果A 、B 是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．类型二互斥、对立概率公式例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，问： (1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？反思与感悟事件C 是事件A 与事件B 的并事件，且事件A 与事件B 互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P (D )＝1－P (C )．跟踪训练2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？类型三事件关系的简单应用例3某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？反思与感悟对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率．1．给出以下结论，其中正确命题的个数有________．①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A 为“向上的点数至少为5”．则事件A 是指__________________．3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有两个红球．5．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．1．互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．2．当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；3．若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．答案精析问题导学知识点一思考不可能．梳理不能同时发生知识点二思考A，B至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6.梳理P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)知识点三思考不是，比如掷出点数为3，则A，B都不发生，定义C：点数不大于4，则A，C必有一个发生．梳理1－P(A)题型探究例1解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．跟踪训练1解A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．例2解(1)因为C ＝A ＋B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12. (2)事件C 与事件D 互斥，且C ＋D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝12. 跟踪训练2解设得到黑球、黄球的概率分别为x ，y ，由题意得⎩⎨⎧ x ＋y ＝512，y ＋(1－13－x －y )＝512，解得x ＝14，y ＝16， 所以得到绿球的概率为1－13－14－16＝14. 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 例3解(1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ＋D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A )＋P (B )＝0.3＋0.2＝0.5，P (C )＋P (D )＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．跟踪训练3解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16. (2)方法一设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23. 即甲不输的概率为23. 方法二设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23. 即甲不输的概率是23. 当堂训练1．2解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P (A ∪B )＝P (A )，∴④错；只有A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．向上的点数至多为43.0.304．④解析①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意．5．解设射中10环或7环的概率为P 1，不够7环的概率为P 2.(1)P 1＝0.21＋0.28＝0.49；(2)P 2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0.03.。

课题：3. 4互斥事件教学目标：1、知识与技能：(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；(2)概率的几个基本性质：1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0 WP(A)W1；2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A) + P(B)；3)若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，所以P(A+B)= P(A) + P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)(3)正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

教学重点：概率的加法公式及其应用教学难点：事件的关系与运算教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班5 0名学生参加了体育考试, 结果如下：优85分及以上9人良75~8415 A中10〜7421人不及格60分以下5人体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A, B, C, D.(1 )在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？(2)从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？二、建构数学1.即事件A与E是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

2.事件A, B, C, D,其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A - A 2,…，A”中的任何两个都是互斥事件，就说事件A- A2,…，A”彼此互斥.3.设A, B为互斥事件，当事件A, B有一个发生，我们把这个事件记作A + B.在上述关于体育考试成绩的问题中，事件A + B就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B发生的概率是多少呢？由以上分析不难发现，概率必须满足如下第三个基本要求：如果事件A, B互斥，那么事件A + B发生的概率，等于事件A , B分别发生的概率的和，即P (A+B) = P(A)+ P (B).一般地，如果事件A「，A -…，A ”两两互斥，则P (A , + A2+ …+A n) = P(A,) + P (A2)+ …+P(A”).两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为A .对立事件方与A必有一个发生，故A + A是必然事件，从而P ( A ) +P (A) = P (A+A) = 1 .由此，我们可以得到一个重要公式：P ( A ) = 1 - P (A).三、数学运用1.例题例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问：事件A与B是否为互斥事件？是否为对立事件？例2某人射击1次，命中7〜1 0环的概率如表所示:命中环数10环9环8环7环概率0.120. 180. 280. 32(1 )求射击1次，至少命中7坏的概率;(2 )求射击1次，命中不足7坏的概率.例3黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示:血型A B AB 0该血型所占比％2829835已知同种血型的人可以输血，0型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给A B型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1 )任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2 )任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例4 一个射于进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.例5抛掷一骰子，观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P （A） =丄，P（B） = 1,求出“出现奇数点或偶数点”.2 2例6如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是丄，取到方块（事件B）的概率是丄，问：4 4（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？例7袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为得到黑球或黄球的概率是丄，得到黄球或绿球的概率也是丄，试求得到黑球、得到黄3 1212球、得到绿球的概率各是多少？2.练习课木第108页练习1, 2, 3, 4备用：1.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

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3。

4 互斥事件1．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．（重点）3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．（难点)［基础·初探]教材整理互斥事件、对立事件阅读教材P112～P113“例1”上边的内容,并完成下面的问题．1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件概率的加法公式（1）如果事件A,B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B）＝P(A)＋P(B）．(2)一般地,如果事件A1，A2，…,A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P（A n）．3．对立事件及概率公式（1)如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为错误!。

(2）对立事件A与错误!必有一个发生，故A＋错误!是必然事件．对立事件的概率公式：P （错误!)＝1－P（A)．填空:(1）若事件A与事件B为对立事件，且P（A)＝错误!,则P（B)＝________.【解析】因为事件A与事件B为对立事件，则P（B）＝1－P(A)＝1－14＝错误!.【答案】错误!（2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点"，事件B为“出现3点"，事件C为“出现5点"，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点"为事件D,则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P（D)＝P(A＋B＋C)＝P(A）＋P(B）＋P（C)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.【答案】1 2［小组合作型]互斥事件、对立事件的判断各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．（1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2）至少有1名男生和全是女生;(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4）至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】（1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件,也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况,它与“全是女生"不可能同时发生,且其和事件是必然事件,所以是对立事件．(3）不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是:“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生"包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生,故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生"和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．［再练一题］1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中,任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1）“抽出红桃”与“抽出黑桃"；(2）“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1）是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃"和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件．(2）是互斥事件,又是对立事件．理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌"两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3）不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10,因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件。

互斥事件及其发生的概率班级________姓名________【学习目标】1．了解互斥事件和对立事件的概念，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件2．了解互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率和为13．运用互斥事件概率和公式及对立事件的概率和进行简单的概率计算【预学单】〔一〕问题情境问题1：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取 1个小球。

求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;3得到红球或绿球的概率想一想:“得到红球〞和“得到绿球〞这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗事件得到“红球或绿球〞与上两个事件又有什么关系它们的概率间的关系如何【研学单】〔二〕建构数学1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥．2．互斥事件的概率如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．一般地，如果事件两两互斥，那么问题2：互斥事件一定不能同时发生,那么是否可以同时不发生？举例说明问题3：“从盒中摸出1个球，得到的不是红球〔即绿球或黄球〕〞与“得到是红球〞之间有什么关系？3．对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而．因此，我们可以得到一个重要公式．备注：对立事件是互斥事件的特殊情形；前者两个事件都可以不发生，但后者两个事件必有一个发生概念理解问题4、抛掷一颗骰子一次，记“向上的点数是4，5，6〞为事件A，“向上的点数是1，2〞为事件B，“向上的点数为1，2，3〞为事件C，“向上的点数是1，2，3，4〞，为事件D，判别以下每件事件是不是互斥事件1A与B 〔2〕A与C 〔3〕A与D问题5、判断以下给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。

从40张扑克牌〔红桃、黑桃、梅花、方块点数从1~10各10张〕中，任取一张〔1〕“抽出红桃〞与“抽出黑桃〞；〔2〕“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞；〔3〕“抽出的牌的点数为5的倍数〞与“抽出的牌的点数大于9〞问题6、一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球。

2016年春节前夕，南京市某超市进行有奖促销活动，有一等奖与二等奖奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，假设每位顾客只有一次机会．问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D 至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等。

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3.4 互斥事件（1）教学目标：1．了解互斥事件、对立事件的概念，2．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式．教学重点：互斥事件概率的加法公式．教学难点:互斥事件与对立事件的区别与联系．教学方法：谈话、启发式．教学过程:一、问题情境体育考试的成绩分为4个等级;优、良、中、不及格．某班50名学生参加了体育考试，结果如下：问题1:在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良?问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的测试成绩为“优”的概率,为“良”的概率，为“优良”（优或良)的概率分别是多少？二、学生活动优的概率为509，良的概率为5015．优良的概率为5024，是优和良的概率之和．三、建构数学体育考试成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C,D ．1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．“优良”可以表示为A ＋B ．3．事件A ，B ，C,D 其中任意两个都是互斥的．推广：一般地，如果事件A1，A2，…,An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥．若事件A,B 至少有一个发生，我们把这个事件记作事件A ＋B ．四、探索新知问题3：如果将“测试成绩合格”记为事件E, “不合格”记为D 那么E 与D 能否同时发生 ?他们之间还存在怎样的关系？两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件与互斥事件有何异同？1．对立事件是相对于两个互斥事件来说的 ；2．我们可用如图所示的两个图形来区分:A ，B 为互斥事件 A ，B 为对立事件3．结合集合知识，进一步认识互斥事件与对立事件:表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但是两个对立事件集合的并集是全集，而两个互斥事件集合的并集不一定是全集．五、数学运用1．例题．例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球．记摸出2只白球的事件为A,摸出1只白球和1只黑球的事件为B．问：事件A与事件B是否为互斥事件?是否为对立事件？结论:1．根据对立事件的意义，A＋A是一个必然事件,它的概率等于1．又由于A与A互斥，我们得到 P(A＋A）＝P(A)＋P（A）＝12．对立事件的概率的和等于1 P(A）＝1－P（A)3．如果事件A，B是互斥事件,那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率,等于事件A，B分别发生的概率的和．即:P（A＋B）＝P（A）＋P（B）4．一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An） = P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An）．例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击一次,命中不足7环的概率．注：像例2这样,在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种①将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；②在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而求其对立事件的概率．2．练习．（1）作业:课后练习1，2．（2）对飞机连续射击两次．每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中}，B＝{每次都没击中｝，C ＝{恰有一次击中}，D＝{至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是_____________________________ ；互为对立事件的是________________．3．某射手在一次训练射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0．21，0．23，0．25,0．28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环、或7环的概率；（2）不够7环的概率．六、要点归纳与方法小结:本节课学习了以下内容：1．互斥事件和对立事件的概念；2．如何判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．两个互斥事件概率的加法公式．。

3.4 互斥事件庖丁巧解牛知识·巧学一、与〔并〕事件假设某事件发生当且仅当事件A或事件B至少有一个发生，那么称此事件为事件A与事件B与事件〔或与并事件〕，记作A+B〔或A∪B〕知识拓展事件与运算满足交换率，事件A与事件B与事件等于事件B与A与事件，即A+B=B+A.深化升华与集合并集运算定义类似，并集事件可用图3-4-2中阴影局部表示，即事件A+B所包含结果所组成集合等于事件A与B 所包含结果所组成集合并集.图3-4-2二、互斥事件在一次试验中，不能同时发生两个事件称为互斥事件.推广：如果事件C1，C2，…,C n中任何两个事件都互斥，就称事件C1，C2，…，C n彼此互斥.要点提示对于互斥事件要抓住如下特征进展分析：第一，互斥事件研究是两个事件之间关系;第二，所研究两个事件是在一次试验中涉及;第三，两个事件互斥是从试验结果不能同时出现来确定.深化升华从集合角度来看，A、B两个事件互斥，那么表示A、B这两个事件所含结果组成集合交集是空集.2.互斥事件概率加法公式如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生概率，等于事件A、B 分别发生概率与，即P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件“A1+A2+…+A n〞发生〔是指事件A1，A2，…，A n中至少有一个发生〕概率，等于这n个事件分别发生概率之与，即P〔A1+A2+…+A n〕=P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕.方法点拨利用互斥事件概率加法公式来求概率，首先要确定事件是否彼此互斥.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生概率一个重要指导思想.三、对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.集合A对立事件记作A.要点提示第一，事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.第二，对立事件是一种特殊互斥事件，两个事件对立，那么两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件；第三，对立事件是针对两个事件来说，且A∪B〔或A+B〕为必然事件.深化升华事件A、B互为对立事件，从集合角度看，由事件B 所含结果组成集合，是全集中由事件A所含结果组成集合补集.即A∪A=U，A∩A= .图3-4-3A=B.图3-4-32.对立事件概率公式对立事件概率公式P(A)=1-P(A).方法点拨这个公式为我们求出P〔A〕提供了一种方法，当计算事件A概率P〔A〕比拟困难时，常可以转化为求其对立事件A概率.四、互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是研究两个事件关系,它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件,是互斥中特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥〞是“对立〞必要而非充分条件.从集合角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含结果组成集合彼此互不相交,而事件A对立事件A所含结果组成集合,是全集中由事件A含结果组成集合补集，不仅不相交，而且它们并集必须是全集.典题·热题知识点一判断事件类型例1 某小组有3名男生与2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断以下每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生.思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生，判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.解：(1)因为“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当“恰有2名女生〞时，它们都不发生，所以它们不是对立事件.(2)因为“恰有2名男生〞时，“至少1名男生〞与“全是男生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少1名男生〞与“全是女生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们对立.(4)由于选出是一名男生一名女生时“至少1名男生〞与“至少1名女生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.拓展延伸两个互斥事件是否对立要依据试验条件.此题条件假设改为“某小组有3名男生与1名女生，任取2人〞，那么“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞便是对立事件.知识点二互斥事件与对立事件计算公式例2 抛掷一均匀正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6)，假设事件A为“朝上一面数是奇数〞,事件B为“朝上一面数不超过3”,求P(A+B),下面解法是否正确假设不正确,指明原因.解：P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕而P 〔A 〕=63=21，P 〔B 〕=63=21， ∴P(A+B)=21+21=1. 思路分析：此题利用互斥事件定义、互斥事件概率公式.此解法是否正确,主要取决于事件A 、B 是否互斥.解：事件A 包含“朝上一面是1,3,5”三种情况,事件B 包含“朝上一面是1,2,3”三种情况，显然两个事件不互斥,故解法错误,事件A+B 包含“朝上一面是1,2,3,5”四种情况,由等可能性事件角度考虑:P(A+B)=.误区警示 在选择概率公式求解之前,必须分清题目所涉及事件关系以及各概率公式使用条件.例3 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中: 〔1〕射中10环或7环概率；〔2〕不够7环概率.思路分析：由于射手在一次射击中,射中10环与射中7环不可能同时发生,故这两事件为互斥事件,且求又是两事件与概率,故可考虑用公式P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环.但由于这些概率都未知，故不能直接下手，可考虑从反面入手，不够7环反面是大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于这两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件方法处理.解：〔1〕记“射中10环〞为事件A，记“射中7环〞为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环〞事件为A+B，故P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环概率为0.49.〔2〕记“不够7环〞为事件E,∴P〔E〕=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P〔E〕=1-P〔E〕=1-0.97=0.03.∴射不够7环概率为0.03.方法归纳必须分析清楚事件A、B互斥原因,且所求事件必须是几个互斥事件与.满足上述两点才可用概率与公式.当直接求某一事件概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件概率.例4 袋中有红、黄、白3种颜色球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球概率；(2)3只颜色全一样概率；(3)3只颜色不全一样概率；(4)3只颜色全不一样概率.思路分析：(1)(4)用等可能性事件概率观点求解.(2)可分拆成三个互斥事件“三只红球〞“三只黄球〞“三只白球〞利用互斥事件概率与公式求解.〔3〕情况较多,但其对立面却是(2),故可用对立事件概率公式求解.解：(1)记“3只全是红球〞为事件A.从袋中有放回地抽取3次,每次取1只,共会出现3×3×3=27种等可能结果,其中3只全是红球结果只有一种,故事件A 概率为P 〔A 〕=271. (2)“3只颜色全一样〞只可能是这样三种情况:“3只全是红球〞(设为事件A);“3只全是黄球〞(设为事件B);“3只全是白球〞(设为事件C),且它们之间是或者关系,故“3只颜色全一样〞这个事件可记为A+B+C,由于事件红、黄、白球个数一样,故不难得到P 〔B 〕=P 〔C 〕=P 〔A 〕=271. 故P 〔A+B+C 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕+P 〔C 〕=91.(3)3只颜色不全一样情况较多,如有两只球同色而与另一只球不同色,可以两只同红色或同黄色或同白色等等;或三只球颜色全不相等.考虑起来比拟麻烦,现在记“3只颜色不全一样〞为事件D,那么事件D 为“3只颜色全一样〞,显然事件D 与D 是对立事件.∴P(D)=1-P(D )=1-91=98.(4)要使3只颜色全不一样,只可能是红、黄、白各一只,要分三次抽取,故3次抽到红、黄、白各一只可能结果有3×2×1=6种,故3只颜色全不一样概率为.误区警示 〔1〕有放回抽取跟无放回抽取其根本领件数是不一样. 〔2〕搞清“全一样〞对立面是“不全一样〞,而不是“全不一样〞. 问题·探究思想方法探究问题 能否从频率角度说明互斥事件概率加法公式？探究过程：假定A 、B 是互斥事件，在n 次试验中，事件A 出现频数是n 1，事件B 出现频数是n 2，那么事件A∪B 出现频数正好是n 1+n 2，所以事件A∪B 频率为 而n n 1是事件A 出现频率，nn 2是事件B 出现频率.因此，如果用f n 表示在n 次试验中事件出现频率，那么总有f n 〔A∪B〕=f n 〔A 〕+f n 〔B 〕；由此得到概率加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.探究结论：能从频率角度说明互斥事件概率加法公式.。

课时训练20互斥事件基础夯实1.一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B,则事件A和B是()A.互斥事件B.对立事件C.既不对立也不互斥D.既对立又互斥解析:事件A和B不可能同时发生,所以事件A和B是互斥事件.因为从中一次可以摸出2只黑球,所以事件A和B不是对立事件.答案:A2.某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为()A.0.07B.0.21C.0.28D.0.49解析:结合集合知识可得概率P=0.21+0.28=0.49.答案:D3.某人射击一次,设事件A:“中靶”;事件B: “击中环数大于5”;事件C:“击中环数小于5”;事件D:“击中环数大于0且小于6”,则下列正确的关系是()A.B和C为互斥事件B.B和C为对立事件C.A与D是互斥事件D.A与D为对立事件解析:“击中环数大于5”的对立事件是:“击中环数不大于5”,它包括事件“击中5环”.答案:A4.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一次,恰得正品的概率为.解析:由互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率公式可得P=1-0.03-0.01=0.96.答案:0.965.同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为,则至少有一个5点或6点的概率是.解析:记没有5点或6点的事件为A,至少有一个5点或6点的事件为B,则P(A)=.因A∩B=⌀,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-.故至少有一个5点或6点的概率为.答案:6.试指出下列错误命题的序号.(1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么得出结论:目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25.(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50.那么得出结论:目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75.(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于1-.解析:(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1.答案:(1)(3)7.导学号51810138盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球,设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,求“3个球中既有红球又有白球”的概率.解记事件C为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A(“3个球中有1个红球,2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球,1个白球”),而且事件A与事件B是互斥的,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=.8.某战士射击一次,问:(1)若事件A(中靶)的概率为0.95,则事件E(不中靶)的概率为多少?(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7,那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少?(3)在(1)(2)的条件下,求事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?解(1)A与E互为对立事件.所以P(A)+P(E)=1,所以P(E)=1-P(A)=1-0.95=0.05;(2)事件B与C也是对立事件.所以P(C)=1-P(B)=1-0.7=0.3;(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率,即P(D)=P(C)-P(E)=0.3-0.05=0.25.能力提升9.导学号51810139某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)]3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.。

3.4 互斥事件 1整体设计教材分析本节的内容主要是互斥事件及其概率，为了能简洁地叙述相关内容，可以通过实例来叙述，如在粉笔盒里装有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A 为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件.互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生.事件A的对立事件通常记作A.如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即，且A∪B=I.图1 图2公式P(A+A)=P(A)+P(A)=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)，在解题中会经常用到.本节基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.三维目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算.2.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，进一步理解随机事件概率的意义，从而掌握互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型的区别与联系.3.通过对互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想.5.结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法.重点难点教学重点：1.理解互斥事件的概率加法公式.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.教学难点：1.用定义判断较复杂的事件是否互斥.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（实例导入）在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.请同学们思考下列事件的概率：事件A ：得到红球；事件B ：得到绿球；事件C ：得到红球或者绿球.设计思路二：（情境导入）体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C ，D.问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率分别是多少？问题3：如果将“体育成绩及格”记为事件E ，那么E 与D 能否同时发生？它们之间有什么关系？推进新课新知探究对于导入思路一：1.互斥事件的有关概念在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.则事件A“得到红球”的概率为107；事件B“得到绿球”的概率为51；事件C“得到红球或者绿球”的概率为109. 下面来研究以下问题：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A 发生，那么事件B 就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B 发生，那么事件A 就不发生.就是说，事件A 与B 不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(exclusive events).一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说A 1，A 2，…A n 彼此互斥.从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一个发生的概率设A 、B 是两个互斥事件，那么A ＋B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 与B 中有一个发生就表示它发生.那么事件A ＋B 的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件A ＋B.由于从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7＋2种，所以得到红球或绿球的概率 P （A ＋B ）＝1027+， 另一方面 P （A ）＝107，P （B ）＝102， 由1021071027+=+，我们看到 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.这就是说，如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生（即A 1，A 2，…A n 中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）.3.对立事件如果事件A 与事件B 是互斥事件，并且事件A 与事件B 中必有一个事件发生，则称事件A 与事件B 为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件的关系对立事件必定是互斥事件，两个互斥事件或对立事件不能同时发生.对立事件有且只有一个发生，而互斥事件可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生.从集合的角度来看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集.如图所示：注：椭圆表示全集左图是集合表示的互斥事件之间的关系，右图是集合表示的对立事件之间的关系.由于对立事件A 与A 必定有一个发生，因此A+A 是必然事件，所以P(A)+P(A )=P(A+A )=1，由此，可以有如下的重要公式P(A )=1－P(A).对于导入思路二：对于问题1，在同一次体育考试中，同一人不可能既得优又得良，即事件A 和B 是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events ）.对于本例中的事件，其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.设A ，B 为互斥事件，当事件A ，B 有一个发生，我们把这个事件记作A+B.在上述关于体育考试成绩的问题2中，事件A+B 就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B 发生的概率是多少呢？用古典概型的求概率公式，可以得到事件A 发生的概率P(A)=509，事件B 发生的概率P(B)= 5015.因此有P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A ，B 为互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B).一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).在上述关于体育考试成绩的问题3中，事件E 与D 不可能同时发生，但是必然有一个发生.由分析可知，事件E 与D 是互斥事件，但是比互斥事件的条件要强.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件有何异同？互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A 与B 是对立事件，则A 与B 互斥且A+B 为必然事件，故A+B 发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A 、B 互斥，是指事件A 所含的结果组成的集合与事件B 所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A 与B 对立，是指事件B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集，即A∩B= ，且A ∪B=I.图1 图2公式P(A+A )=P(A)+P(A )=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A )或P(A )=1-P(A)，在解题中会经常用到.应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A ，“命中的环数大于5”为事件B ,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D.那么A 、B 、C 、D 中有多少对互斥事件？分析：判断两个事件是否是互斥事件，主要依据是互斥事件的概念即两个事件不能同时发生.解：由于一个射手进行一次射击，“命中的环数大于8”与“命中的环数小于4”不能同时发生，也就是事件A 与事件C 不能同时发生，所以，事件A 与事件C 是互斥事件.同样道理，事件A 与事件D ，事件B 与事件C ，事件B 与事件D 也是互斥事件，因此，事件A 、B 、C 、D 中有四对互斥事件，即A 与C ，A 与D ，B 与C ，B 与D.点评：在判断两个事件是否是互斥事件时，紧紧抓住关键词“两个事件不能同时发生”，如果满足条件就是互斥事件.对于对立事件则首先是互斥事件，还要满足条件“其中一个不发生，则另一个必定发生”.例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)求射击1次，至少命中7环的概率；(2)求射击1次，命中不足7环的概率.分析：若将“射击1次，命中k 环”记为事件A k (k ∈N,且k≤10)，事件A k 两两不可以同时发生，因此，事件A k 两两互斥，考虑用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来计算.解：记事件“射击1次，命中k 环”为A k (k ∈N,且k≤10),则事件A k 彼此互斥.（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10,A 9,A 8或A 7之一发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A 10+A 9+A 8+A 7)=P(A 10)+P(A 9)+P(A 8)+P(A 7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9.(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A 表示事件“射击1次，命中不足7环”.根据对立事件的概率公式，得P(A )=1－P(A)=1－0.9=0.1.答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1.点评：在解有关互斥事件的概率问题时，有时为了问题解答的简洁，往往采用间接的解题方法来求解，例如，要求某一个事件A 的概率时，可以先求这一个事件A 的对立事件A 的概率，再通过公式P(A)=1－P(A)来求解.AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？分析：由于每个人的血型是确定的，因此，对于任何一个人所具有的血型对应的事件是互斥的.解：（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(D B '+')=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.答：任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64，其血不能输给小明的概率是0.36. 点评：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′+D′)=1－P(B′+D′)=1－0.64=0.36.例4 （1）某家庭电话响第一声时被接的概率为101，响第二声时被接的概率为51，响第三声时被接的概率为41，响第四声时被接的概率为41，求电话在响第五声之前被接的概率.（2）有10件产品分为3个等级，其中一级品有4件，二级品3件，三级品3件，从这10件产品中任意取出2件，试求：①所取2件产品中有1件一级品、1件二级品的概率；②所取2件产品中至少有1件是一级品的概率；③所取2件产品是同等级产品的概率.分析：根据题意，事件“所取2件产品中至少有1件是一级品”可以分为事件“所取2件产品中恰有1件一级品”和“所取的2件产品都是一级品”，这两个事件是互斥事件；事件“所取2件产品是同等级产品”可以分为“所取2件产品都是一级品”“所取2件产品都是二级品”“所取2件产品都是三级品”这三个互斥事件，因而可以运用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来求解.解：（1）假设“电话在响第n 声被接”为事件Ai （i=1，2，3，4，5），则电话在响第5声之前时被接的概率为P （A 5）=P （A 1）+ P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=101+51+41+41=54. （2）①记事件A 为“所取2件产品中有1件一级品、1件二级品”，则P(A)=154291034=⨯⨯.②记事件B 为“所取2件产品中至少有1件是一级品”，记事件B 1为“所取2件产品中恰有1件一级品”，事件B 2为“所取的2件产品都是一级品”，由于B 1、B 2不能同时发生，所以B 1、B 2是互斥事件，所以P(B)=P(B 1)+P(B 2)=321521582910234291064=+=⨯⨯+⨯⨯. ③记事件C 为“所取2件产品是同等级产品”，事件C 1为“所取2件产品都是一级品”，事件C 2为“所取2件产品都是二级品”，事件C 3为“所取2件产品都是三级品”，而事件C 1、C 2、C 3是彼此互斥事件，因此，事件C 的概率为P(C)=P(C 1)+P(C 2)+P(C 3)=291022329102232910234⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=154. 点评：本题运用n 个彼此互斥事件概率的计算公式P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )，它实际上是公式P(A+B)=P(A)+P(B)的推广；另外用把某一个事件分解为若干个彼此互斥的事件的方法来解决有关概率问题，是求解概率问题常用的方法.思路2例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B.问：事件A 与B 是否为互斥事件？是否为对立事件？分析：可以根据互斥事件和对立事件的概念来判断.解：由于事件A 与事件B 不可能同时发生，所以事件A 与B 互斥.因为从口袋中一次可以摸出2只黑球，不符合对立事件所满足的条件，即“事件A 与事件B 是互斥事件，且事件A 与事件B 中必定有一个发生”，所以事件A 与B 不是对立事件.点评：要判断是否是互斥事件或对立事件，必须从互斥事件和对立事件的概念出发，紧扣相应概念的条件，若满足相应条件，就是互斥事件或对立事件，否则就不是.（1）求年降水量在［100,200)（mm ）范围内的概率；（2）求年降水量在［150,300)（mm ）范围内的概率.分析：分别记年降雨量在［100,150)、［150,200)、［200,250)、［250,300)为事件A 、B 、C 、D ，事件A 、B 、C 、D 不可能同时发生，所以，它们是互斥事件，可以运用互斥事件的概率的计算公式计算相应事件的概率.解：（1）因为事件“年降雨量在［100,200)”是互斥事件A 与B 有一个发生的情况，所以事件A 与B 有一个发生的概率为P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37，即年降雨量在［100,200)的概率为0.37.（2）由于事件“年降雨量在［150,300)”是互斥事件B 、C 、D 有一个发生的情形，所以，互斥事件B 、C 、D 有一个发生的概率为P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55，因此，年降雨量在［150,300)的概率为0.55.点评：正确判断所要求解的问题的概率类型，选择正确的计算公式，是解概率问题的关键所在.例3 同时抛掷两枚骰子，试求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率.分析：由于事件“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”可以分为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”这四个事件，这四个事件不可能同时发生，因此是彼此互斥事件.解：记事件A 为“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”，事件B 为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”，事件C 为“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”，事件D 为“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”，事件E 为“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”，事件A 可以分为四个彼此互斥事件B 、C 、D 、E ，所以事件A 的概率为P(A)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=. 答：所求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率为95. 点评：在求某一个事件的概率时，可以将该事件分解为若干个彼此互斥事件，再运用彼此互斥事件概率的计算方法来求解.这种方法是求解概率问题常用的方法之一.例4 一个盒子中装有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，有放回地从中任取两次，每次取一只灯泡，试求下列事件的概率：(1)取到的2只灯泡都是次品；(2)取到的2只灯泡中正品、次品各一只；(3)取到的2只灯泡中至少有一只正品.分析：问题（1）可以用古典概型的概率的求解方法来解；问题（2）、（3）由于满足互斥事件的条件，所以考虑运用互斥事件有一个发生的概率的求解方法来解答.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364 .(2)由于取到的2只灯泡中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品.即两个基本事件，而这两个事件符合互斥事件的条件，因而所求概率为P=9436423624=⨯+⨯. (3)由于“取到的两只灯泡中至少有一只正品”有两种可能即“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”，对于事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”的概率由（2）可知为94，又由于“取到的两只灯泡中两只都是正品”的可能有42=16，因此，事件“取到的两只灯泡中两只都是正品”的概率为943616=，由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是互斥事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”有一个发生的情形，所以，事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”的概率为989494=+. 点评：由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而问题（3）还可以运用对立事件概率的求法来解答.因此，所求事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”概率为P=1-9891=.运用对立事件的概率求解是求解概率问题常用的方法.知能训练课本本节练习.解答：1.事件A 与B 互斥不对立；事件A 与C 互斥且对立；事件A 与D 不互斥.2.D3.21,87,83. 4.分别记“年降水量在［600,800)”“年降水量在［800,1 000)”“年降水量在［1 000,1 200)”“年降水量在［1 200,1 400)”“年降水量在［1 400,1 600］”为事件A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，则事件A 1、A 2、A 3、A 4、A 5彼此互斥.（1）记“年降水量在［800,1 200）”为事件A ，那么当A 2、A 3之一发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A 2+A 3)=P(A 2)+P(A 3)=0.26+0.38=0.64.（2）记“该地区发生涝灾”为事件B ，根据题意，当A 4、A 5之一发生时，事件B 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(B)=P(A 4+A 5)=P(A 4)+P(A 5)=0.16+0.08=0.24.答：年降水量在［800，1 200）内的概率为0.64；该地区可能发生涝灾的概率为0.24. 点评：互斥事件的正确判断和互斥事件有一个发生的概率的正确计算，是建立在对互斥事件概念的正确及深入理解的基础上的，所以，在解决概率计算的问题时，要紧紧抓住相关概念和公式.课堂小结今天这节课我们主要学习了互斥事件及其发生的概率，学习了互斥事件、对立事件. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件.两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.互斥事件概率的加法公式为P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊之处有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.今天还学习了一种求概率的方法，那就是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率容易求解时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.从集合的角度，借助图形，来看互斥事件、对立事件，有利于接受与理解.作业课本习题3.41～6.设计感想本节课的主要内容是互斥事件及其概率.因此，对以下内容要加以重视：互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.另外，本节课概率计算的基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.。

高中数学第3章概率3．4 互斥事件共同成长学案苏教版必修３编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第3章概率 3.4 互斥事件共同成长学案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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3。

4 互斥事件共同成长见仁见智关于互斥事件和等可能事件，几个同学各自发表了自己的看法.甲：互斥事件是指不能同时发生的2个或多个事件。

乙:在一次试验中,由于某种对称条件，使得若干个随机事件发生的可能性相同,这些事件称为等可能事件，在数量上可为2个或多个.丙:互斥事件在实际生活中大量存在，如在十字路中“向左拐”与“向右拐”是互斥事件,“去学校”与“不去学校"也是互斥事件.由于在十字路中“向左拐”与“向右拐”可能性相等，它也是等可能事件,因此有些互斥事件也是等可能事件。

丁:互斥事件和等可能事件是意义不同的两个概念。

你对互斥事件和等可能事件的看法如何呢?合作共赢请你和你的同学先阅读下列资料,然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.一次梅某和赌友掷骰子，各押赌注3２个金币.双方约定,如果梅某先掷出三次６点或赌友先掷出三次４点,就算赢了对方。

赌博进行了一段时间,梅某已经两次掷出了6点,赌友已经一次掷出了4点。

这时梅某接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了．(1）如果再掷一次骰子，赌友掷得了一个4点。

请问两个人应该怎样分这６４个金币？(2)如果赌博就此中断了,请问两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。

事件？是否为对立事件？
例2 某人射击1次，命中7~10环的概率如下图所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率
12.0 18.0 28.0 32.0
（1）求射击1次，至少命中7环的概率； （2）求射击1次，命中不足7环的概率．
例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血 型
A B AB O 该血型的人所占比/%
28
29
8
35
同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B 型血，若小明因病需要输血．
问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少? （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少?
巩固练习
1．判断：
（1）若B A ，是互斥事件，则B A ，中至多有一个发生，他们可能都不发生，但不可能都发生 （ ）。

3.4 互斥事件系并能正确区分、判断.1．互斥事件在一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件．一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．设A ，B 为互斥事件，若事件A ，B 至少有1个发生，那么我们把这个事件记作A ＋B .预习交流1如何从集合的角度理解互斥事件？提示：对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识，如果A ，B 是两个互斥事件，反映在集合上是表示A ，B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交，即如果事件A 与B 是互斥事件，那么A 与B 两事件同时发生的概率为0.2．互斥事件的概率计算如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．预习交流2某人射击一次，击中环数大于7的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该人击中环数大于5的概率是0.6＋0.3＝0.9对吗？为什么？提示：不对．该人“击中环数大于7”与“击中环数是6或7或8”不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式求解．3．对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .对立事件A 与A 必有1个发生，故A ＋A 是必然事件，从而P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1，故有P (A )＝1－P (A )．预习交流3对立事件一定是互斥事件吗？反之是否成立？提示：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．预习交流4(1)袋中装有除颜色外其他均相同的红球和黄球各3个，从中任取2个球，在下列事件中是对立事件的是__________．①恰有1个红球和恰有2个黄球②至少有1个红球和全是红球③至少有1个红球和至少有1个黄球④至少有1个红球和全是黄球(2)小明、小欣两人下棋，两人下成和棋的概率是0.2，小欣获胜的概率是0.5，则小欣不输的概率是__________．提示：(1)④(2)0.7一、互斥事件与对立事件的判断判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．思路分析：解答本题可先看每组中两个事件是否能同时发生，若能，则不是互斥事件，更不是对立事件；若不能同时发生，则为互斥事件，再进一步判断二者是否必有一个发生，若是，则为对立事件；若不是，则只是互斥事件，而不是对立事件．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是__________．(填序号)①至少有1个黑球与都是黑球②至少有1个黑球与至少有1个红球③恰有1个黑球与恰有2个黑球④至少有1个黑球与都是红球答案：③解析：设A＝“恰有1个黑球”，B＝“恰有2个黑球”．事件A与B不可能同时发生，因此事件A与B互斥．但是A与B也有可能都不发生，因此A与B不对立；“至少有1个黑球”与“都是黑球”既不互斥也不对立；“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”既不互斥也不对立；“至少有1个黑球”与“都是红球”对立也互斥．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若不同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件．只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．二、互斥事件的概率加法公式的应用冰箱里有5袋牛奶，其中有两袋已经过期，小明随机取出两袋，求：(1)恰好两袋都已过期的概率；(2)取到过期牛奶的概率．思路分析：弄清各个事件之间的关系是解答本题的关键，本题可利用互斥事件的概率加法公式求解．解：给每袋牛奶编号：没过期的牛奶分别记作：1,2,3号，过期的两袋牛奶分别记作：4,5号．取两袋牛奶的所有基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，每种基本事件发生的可能性相同．(1)设“恰好两袋都已过期”为事件A，则P(A)＝0.1；(2)设“恰有一袋牛奶过期”为事件B，则事件B包含：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)共6种基本事件，所以P(B)＝0.6.“取到过期牛奶”＝A＋B，又因为A，B互斥，所以取到过期牛奶的概率为0.7.1．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为__________．答案：713解析：记事件“转盘指针分别停在红、黄、蓝、黑区域”分别为A，B，C，D，则它们两两互斥．∵P(A)＝66＋2＋1＋4＝613，P(C)＝16＋2＋1＋4＝113，∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝613＋113＝713.2．从一副去掉大小王混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ＋B )＝__________.答案：726解析：52张扑克牌中红桃K 只有1张，黑桃有13张， ∴P (A )＝152，P (B )＝1352＝14.又∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.(1)利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤是：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．(2)概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题．该公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．如果事件A ，B 不互斥，就不能应用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )来求概率．三、对立事件的概率甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，求：(1)甲胜的概率； (2)甲不输的概率．思路分析：由题目可知甲、乙两人下棋的结果共有三种：和棋、甲胜、乙胜．三个事件彼此互斥．解答本题时可考虑将事件分解成几个互斥事件的和事件或对立事件．解：(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.(2)设“甲不输”为事件A ，可看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23，即“甲不输”的概率是23.1．(1)小芳参加考试，她考试及格的概率是0.85，则她考试不及格的概率是__________． (2)某射手在一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则该射手在一次射击中击中不足9环的概率是__________．答案：(1)0.15 (2)0.48解析：(1)小芳考试及格与否是对立事件，考试及格的概率为0.85，所以她考试不及格的概率为1－0.85＝0.15.(2)记该射手击中10环、9环的事件分别为A ，B .则该射手在一次射击中击中不足9环的概率P＝1－P(A)－P(B)＝0.48.2．从一篮鸡蛋中取1个，如果其质量小于30克的概率为0.1，质量在30～40克的概率为0.6，则质量大于40克的概率是__________．答案：0.3解析：记“质量小于30克”的概率为P(A)，“质量在30～40克”的概率为P(B)，“质量大于40克”的概率为P(C)，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，∴P(C)＝1－0.1－0.6＝0.3.3．2012年5月1日某购物中心举行“庆五·一回报顾客”的超低价购物有礼活动，某求：(2)至少30人排队的概率．解：(1)记“没有人排队”为事件A，“20人排队”为事件B，“30人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，所以至多30人排队的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少30人排队”为事件D，结合(1)，因为事件D与事件A＋B是对立事件，所以至少30人排队的概率为P(D)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.16＝0.74.(1)利用对立事件求概率的方法：首先确定对立事件，求出对立事件的概率，再利用公式P(A)＝1－P(A)通过求事件A 的概率P(A)来求P(A)．(2)利用对立事件求概率时应注意的问题：①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率；②在计算事件的概率时，有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较复杂，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．1．一箱机器零件中有合格品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件合格品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是合格品．四组中是互斥事件的组数是__________．答案：2解析：①互斥；②不互斥；③不互斥；④互斥且对立．所以①④互斥．2．把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是__________事件．答案：互斥但不对立解析：只有一张红牌，甲、乙不能同时分得，∴两事件互斥．但有可能甲、乙都没分得红牌，而丙、丁中一人分得，∴两事件不对立．3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__________．答案：0.3解析：事件“摸出黑球”的对立事件为：“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”，根据对立事件的公式，摸出黑球的概率为：1－0.42－0.28＝0.3.4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________．答案：910解析：由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种，所取的3个球全是红球的情况有1种，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．解：记此河流某处的年最高水位在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)(m)分别为事件A ，B ，C ，D ，E .则事件A ，B ，C ，D ，E 两两互斥，由互斥事件的概率公式可得：(1)P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.10＋0.28＝0.38. (3)P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位在[10,16)，[8,12)，[14,18)(m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.。

3．4互斥事件及其发生的概率（一）【新知导读】1．某个人去新华书店买书，走到一个十字路口，他犹豫了，是向前走，还是向左拐，还是向右拐？把他的三个选择视为三个事件，你知道这三个事件有什么关系吗？2.盒子中放有红，黄，蓝，白四种颜色的球各一个，从中任取一球，设事件A为“取得红球”，事件B为“取得黄球”，事件C为“取得白球或蓝球”，则：（1）A，B是互斥事件吗？（2）A，C 是互斥事件吗？（3）B，C是互斥事件吗？3.把红，黑，白，蓝四张纸牌，随机地分给甲，乙，丙，丁四人，每人得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是什么事件？【范例点睛】例1：判断下列给出的事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点数从1～10各10张)中,任取一张.(1)”抽出红桃”与”抽出黑桃”;(2)”抽出红色牌”与”抽出黑色牌”(3)”抽出牌点数为5的倍数”与”抽出的牌点数大于9”.思路点拨：根据互斥事件与对立事件的定义进行判断.判断是否为互斥事件,主要是看两事件是否同时发生;判断是否为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生,则为对立事件,否则,不是对立事件.易错辨析：对立事件是非此即彼的关系,要看一次试验的结果有几种.例2：在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18).思路点拨：把事件”最高水位在[10,16)”看作是彼此互斥的事件的和,再用加法公式.方法点评: 在用加法公式之前,要先判断是否为互斥事件,再将要求概率的事件写成几个已知(或易求)概率的事件的和.最后用概率加法公式求得.【课外链接】1.若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为______________.【自我检测】1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和至少有1个红球C.恰有1个白球和恰有2个白球D.至少有1个红球和全是白球2.如果事件A,B 互斥,那么 ( )A.A+B 是必然事件B.A B +是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥3.下列命题中,真命题的个数是 ( )①将一枚硬币抛两次,设事件A 为”两次出现正面”,事件B 为”只有一次出现反面”,则事件A与B 是对立事件;②若事件A 与B 为对立事件,则事件A 与B 为互斥事件③若事件A 与B 为互斥事件,则事件A 与B 为对立事件;④若事件A 与B 为对立事件,则事件A+B 为必然事件.A ．1 B.2 C ．3 D ．44.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40％,甲不输的概率为90％,则甲,乙两人下成和棋的概率为( )A.60％B.30％C.10％D.50％5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概率是____________.6.在区间[0,10]上任取一个数x ,求3x <或6x >的概率___________.7.有5张1角,3张2角和2张5角的邮票,任取2张,求其中两张是同价格的概率___________.8.已知随机事件E 为”掷一枚骰子,观察点数”,事件A 表示”点数小于5”,事件B 表示”点数是奇数”,事件C 表示”点数是偶数”.问:(1)事件A+C 表示什么?(2)事件,,A A C A C ++分别表示什么?9.我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求,18％的进口商品恰好4年关税达到要求,其余的进口商品将在3年或3年内达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.10.袋中有2个伍分硬币，2个贰分硬币，2个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过7分的概率.10.某地区有5个工厂,由于用电紧张,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的),假定工厂之间的选择互不影响.(1)求”5个工厂均选择星期日停电”的概率;(2)求”至少有2个工厂选择同一天停电”的概率.3.4 互斥事件及其发生的概率(一)【新知导读】1. 三个事件不可能同时发生2. 是，是，是3. 是互斥事件但不是对立事件【范例点睛】例1. (1)是互斥事件,不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,也不是对立事件.例2.记河流年最高水位在”[8,10)”为事件A, ”[10,12)”为事件B ,”[12,14)”为事件C, ”[14,16)”为事件D, ”[16,18)”为事件E,则A,B,C,D,E 为互斥事件.由互斥事件的概率的加法公式,得 (1)最高水位在[10,16)的概率为()()()()0.280.380.160.82P B C D P B P C P D ++=++=++=.(2) 最高水位在[8,12)的概率()()()0.10.280.38P A B P A P B +=+=+=. (3)最高水位在[14,18)的概率为()()()0.160.080.24P D E P D P E +=+=+=.【课外链接】1. 1745【自我检测】 1.C 2.B 3.B 4.D 5.0.44 0.03 6. 347111111P =+= 7.1445 8. (1)A+C 表示出现点数为1,2,3,4,6. (2){5,6}A =,{5}A C +=,{5,6}{1,3,5}{1,3,5,6}A C +=⋃=9. 79％ 10.710。

互斥事件1学习目标：（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件． （2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算． 情境设计:在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？ 问题探究：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？形成概率：1．互斥事件及其概率互斥事件： 的两个事件。

如果事件123,,n A A A A 中的任何两个都是互斥的，则说事件123,,n A A A A 彼此互斥。

互斥事件的概率加法公式：若事件,A B 互斥，则()P A B += 。

如果事件123,,n A A A A 彼此互斥，则()12n P A A A +++= 。

2．对立事件及其概率对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。

两个对立事件的和是必然事件，即()()()1P A P A P A A +=+=当一个事件的概率直接求解比较复杂时，也可以考虑从它的反面进行求解，公式是()P A = 。

思考：对立事件和互斥事件有何异同？ 例题分析：例1． 从40张扑克牌中，任取1张，其中红桃、黑桃、方块、梅花的点数均是从1到10,记“抽出黑桃”为事件A ,“抽出红桃”为事件B ,“抽出红色牌”为事件C ,“抽出黑色牌”为事件D ,“抽出牌面的点数为5的倍数”为事件E ,“抽出的牌面点数大于9”为事件F 判断下列每对事件是否为互斥事件如果是,再判断它们是否为对立事件（1）A 与B ；（2）C 与D ；（3）E 与F例2（1）求射击一次，至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率．例3已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例4从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则求（1）恰有一个红球的概率；（2）恰有2个红球的概率；（3）至少有1个白球的概率；课堂小结：⑴互斥事件、对立事件的概念及它们的关系；⑵n 个彼此互斥事件的概率公式；⑶对立事件的概率之和等于1作业：课本P116 习题、2、3、4。

［学习目标］1•了解事件间的相互关系 2理解互斥事件、对立事件的概念 .3•会用概率的加法 公式求某些事件的概率.戸知识梳理 ________ 自主学习知识点一互斥事件与对立事件的概念 1.事件的包含关系定义一般地，对于事件 A 与事件B ,如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件 B 包含事件A （或称事件A 包含 于事件B ）符号B? A （或 A? B ）图示注意事项①不可能事件记作？，显然C?? （C 为任一事件）；②事件 A也包含于事件 A ,即卩A? A ;③事件B 包含事件A ，其含义就是事件 A 发生，事件B 一定发生，而事件 B 发生，事件 A 不一定发生2.定义 一般地，若B? A ,且A? B ，那么称事件 A 与事件B 相 等符号A = B图示注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓A—B ,就是A , B 是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的和定义 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的和事件符号A + Bara 孝概率§3.4互斥事件4•互斥事件和对立事件的含义不能同时发生的两个事件称为互斥事件. 如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为~A .［思考］⑴在掷骰子的试验中，事件A = ｛出现的点数为1｝，事件B = ｛出现的点数为奇数｝, 事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答⑴因为1为奇数，所以A? B.(2) ①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生•若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.知识点二概率的几个基本性质1. 概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0〜1之间，从而任何事件的概率在0〜1之间，即0w P(A)w 1.⑵必然事件的概率为 1.(3) 不可能事件的概率为0.2. 互斥事件的概率加法公式如果事件A, B互斥，那么事件A+ B发生的概率，等于事件A, B分别发生的概率的和，即P(A + B) = P(A)+ P(B).3•对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A+ B为必然事件，P(A + B)= 1.再由互斥事件的概率加法公式P(A + B)= P(A) + P(B)，得P(A) = 1—P(B).戸题型探究重点突破题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1〜10各10张)中，任取一张.(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；⑶“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1) 是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块” 或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40 张扑克牌中任意抽取1 张，“抽出的牌点数为5 的倍数” 与“抽出的牌点数大于9”反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn 图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练 1 从装有5个红球和3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是________________ ．①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有两个红球．答案④解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．①中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球” 是两事件的交事件；②中两事件是对立事件；③ 中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球” ，故不是互斥事件；④中两事件是互斥而不对立事件．题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件•例如，事件C i = ｛出现1点｝，事件C2= ｛出现2点｝，事件C3= ｛出现3点｝，事件C4= ｛出现4点｝,事件C5= ｛出现5点｝，事件C6= ｛出现6点｝，事件D1=｛出现的点数不大于1｝，事件D2 = ｛出现的点数大于3｝，事件D3 = ｛出现的点数小于5｝，事件E = ｛出现的点数小于7｝，事件F = ｛出现的点数为偶数｝，事件G = ｛出现的点数为奇数｝，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；⑵利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解⑴因为事件C i, C2, C3, C4发生，贝U事件D3必发生，所以C i? D3, C2? D3, C3? D3, C4? D3.同理可得，事件E包含事件C i, C2, C3, C4, C5, C6;事件D2包含事件C4, C5, C6;事件F包含事件C2, C4, C6;事件G包含事件C i, C3, C5.且易知事件C i与事件D i相等，即C i= D i.⑵因为事件D2 = ｛出现的点数大于3｝= ｛出现4点或出现5点或出现6点｝,所以D2= C4+ C5 + C6.同理可得，D3= C i + C2+ C3+ C4 , E = C i + C2 + C3+ C4 + C5 + C6 , F = C2+ C4+ C6, G = C i＋C3＋C5.反思与感悟事件间运算方法：(1) 利用事件间运算的定义•列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2) 利用Venn图•借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2 盒子里有6个红球, 4个白球,现从中任取3个球,设事件A=｛3 个球中有一个红球,两个白球｝,事件B= ｛3 个球中有两个红球,一个白球｝,事件C= ｛3 个球中至少有一个红球｝，事件D = ｛3个球中既有红球又有白球｝.则：(1) 事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2) 事件C 与事件A 的交事件是什么事件？解(i)对于事件D，可能的结果为i个红球2个白球或2个红球i个白球，故D = A+ B.⑵对于事件C,可能的结果为i个红球2个白球，2个红球i个白球或3个红球，故C P A=A.题型三对立事件、互斥事件的概率 例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ,同时抛掷两枚骰子， 可能的结果如下表：20 5所以P (A 戸斎方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ,至少有一个 有5点又没有6点，记为A .如上表，既没有5点又没有6点的结果共有16个,16 4则既没有5点又没有6点的概率为P( A ) = —= 9.4 5所以至少有一个 5点或6点的概率为P(A)= 1 — P(A)= 1 —-=", 反思与感悟1•互斥事件的概率的加法公式P(A + B)= P(A) + P(B).2. 对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原 事件的概率就是这些简单事件的概率的和.3.当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题. 跟踪训练 3 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.解 设“低于7环”为事件E,则事件~E 为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射 中7环” “射20个, 共有36种不同的结果，其中至少有一个 5点或6点的结果有 5点或6点的对立事件是既没中8环” “射中9环” “射中10环”彼此互斥,故P( E ) = 0.21 + 0.23 + 0.25+ 0.28= 0.97,从而P(E)= 1 —P( E ) = 1 —0.97 = 0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.多种方法解复杂事件的概率例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出15 111个绿球” •已知P(A)=祛P(B)=壬P(C)=石,P(D)=-(1) 求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2) 求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.分析事件A, B, C, D为互斥事件，A+ B与C + D为对立事件，A+ B+ C与D为对立事件，因此可用两种方法求解.解方法一(1)因为事件A, B, C, D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为5 , 1 3P(A + B)= P(A) + P(B) = 12+ 3 = 4.(2) “取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为5,1,1 11P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C)= 12 +3+6 =方法二(1) “取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A113 + B 的对立事件为C+ D,所以P(A + B)= 1 —P(C+ D)= 1 —P(C)—P(D) = 1—"—匚=3即“取出1个球为红球或黑球”的概率为4.(2) “取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A+ B + C的对立事件为D ,1所以P(A+ B + C) = 1 —P(D)= 1 —匸解后反思求复杂事件的概率通常有两1112,即“取出1个球为红球或黑球或白球11 ”的概率为—.种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)= 1 —P(B)(B是A的对立事件).戸当堂检测_ 自査自纠1. 给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)= 1—P(B).其中正确命题的个数为___________ .答案2解析对立必互斥，互斥不一定对立，•••②③正确，①错；又当A+ B= A时，P(A + B)= P(A), •••④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)= 1—P(B), •⑤错.2. _________ 对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是___ 事件.答案对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.1 13•甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是2,甲获胜的概率是3，则甲不输的概率为____________ . 答案5解析先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算. 事件“甲不输”包含“和棋”115和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为1+1=5.2 3 64. 从集合｛a, b, c, d, e｝的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合｛a, b, c｝的子集3的概率是3 4，则该子集恰是集合｛a, b, c｝的子集的概率是__________ .3 1解析该子集恰是｛a, b, c｝的子集的概率为P = 1— 3 = 1.4 45. 从几个数中任取实数x,若x€ ( —a, —1]的概率是0.3, x是负数的概率是0.5,则x€ (—1,0)的概率是_________ .答案0.2解析设“ x€ (—a,—1]”为事件A, “ x是负数”为事件B, “ x€ (—1,0)”为事件C,41答案140.3= 02「课堂A结------------------------------------ 11•互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥，未必对立；对立，一定互斥.2 •互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A + B) = P(A)+ P(B).3. 求复杂事件的概率通常有两种方法：(1) 将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；(2) 先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.由题意知，A, C 为互斥事件，B = A + C, • P(B)= P(A) + P(C), P(C)= P(B) —P(A)= 0.5 —。

3.4 互斥事件名师导航三点剖析一、互斥事件1．互斥事件定义：不能同时发生两个事件称为互斥事件例如，在一个盒子里放有大小一样10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球〞叫做事件A，“从盒中摸出1个小球，得到绿球〞叫做事件B，“从盒中摸出1个小球，得到黄球〞叫做事件C，那么这里事件A、事件B、事件C中任何两个是不可能同时发生.事件A与事件B、事件B与事件C都是互斥事件.从集合角度来看，事件A与事件B是互斥事件，那么事件A所包含根本领件构成集合与事件B所包含根本领件构成集合交集是空集.2．互斥事件有一个发生概率设A、B为互斥事件，当事件A、B有一个发生时，我们把这个事件记作A+B．事件A+B发生概率等于事件A、B分别发生概率与,即P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕，此公式也称概率与公式.例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球〞叫做事件A，那么P〔A〕=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球〞叫做事件B，那么P〔B〕=0.2．假设记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球〞为事件D，那么D=A+B，此时P〔D〕=P〔A〕+P〔B〕=0.7+0.2=0.9.3．一般地，如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.从集合角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含结果组成集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P〔A1+A2+…+A n〕=P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕.二、对立事件对立事件定义：两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.事件A对立事件记为A．从集合角度看，由事件A对立事件A所含结果组成集合是全集中由事件A所含结果组成集合补集.此时，事件A与它对立事件交集为空集，而并集为全集.假设对立事件A与A必有一个发生，那么A+A是必然事件，从而P〔A〕+P〔A〕= P〔A+A〕=1 .由此我们可以得到一个重要公式：P〔A〕= 1- P〔A〕.由此可知，当从正面求一个事件概率比拟困难时，可以通过求其对立事件概率来求解.例如，一枚硬币连掷3次，那么出现正面概率是多少？此题假设从正面分析那么有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生概率公式来求解，但解题比拟复杂.如果考虑其反面利用对立事件概率来求解，那么简单得多.解：出现正面对立事件是出现三次都是反面，由于三次都是反面概率为81，那么出现正面概率为81 =87.三、互斥事件与对立事件区别与联系两个事件假设对立那么必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件假设是对立事件那么一定是互斥事件，但假设是互斥事件那么不一定是对立事件.四、互斥事件有一个发生概率求解步骤〔1〕确定这些事件是互斥事件；〔2〕这些事件有一个发生；〔3〕分别求每一个事件概率，再相加.前两条是使用互斥事件有一个发生概率概率与公式前提条件，如果不符合这一点就不能用概率与公式.问题探究问题1: 某人把外形相似4把钥匙串在一起，其中两把是房门钥匙，但他忘记了开房门是哪两把，只好逐把试开，试后不放回.请你探究思考如下问题：〔1〕此人一次就能翻开房门概率是多少？〔2〕此人在两次内能翻开房门概率是多少？探究：第〔1〕问显然是古典概型，每次拿哪把钥匙是等可能，因此，此人一次就能翻开房门概率是21.在第〔2〕问中，记“恰好第i 次翻开房门〞为事件A i 〔i=1，2〕，显然题设事件A=A 1+A 2. A 1表示第1次翻开房门事件，A 2表示第1次未翻开，第2次翻开房门事件.对事件A 1来说，其概率已由第〔1〕问求出来，但对事件A 2来讲，用我们现有知识不容易求出，因而用这种方法做有一定难度. 不妨换个角度来想，从反面入手，如果把“在两次内能翻开房门〞记为事件A ，那么对立事件A 就表示“在两次内不能翻开房门〞. 设a 、b 、c 、d 分别表示四把钥匙，其中a 、b 表示能翻开房门那两把钥匙，显然，共有24种根本领件，它们分别为a ，b ，c ，d ；a ，b ，d ，c ；a ，c ，b ，d ；a ，c ，d ，b ；a ，d ，b ，c ；a ，d ，c ，b ；b ，a ，c ，d ；b ，a ，d ，c ；b ，c ，a ，d ；b ，c ，d ，a ；b ，d ，a ，c ；b ，d ，c ，a ；c ，a ，b ，d ；c ，a ，d ，b ；c ，b ，a ，d ；c ，b ，d ，a ；c ，d ，a ，b ；c ，d ，b ，a ；d ，a ，b ，c ；d ，a ，c ，b ；d ，b ，a ，c ；d ，b ，c ，a ；d ，c ，a ，b ；d ，c ，b ，A ．而A 包含4个根本领件，分别为c ，d ，a ，b ；c ，d ，b ，a ；d ，c ，a ，b ；d ，c ，b ，A ．因而P 〔A 〕=244=61，进而所求概率P 〔A 〕=65. 问题2: 有3个 1 g 砝码，3个 3 g 砝码与2个 5 g 砝码，任意取出2个砝码，请探究如下问题：〔1〕两个砝码重量一样概率是多大？〔2〕两个砝码总重为6 g 概率是多大？〔3〕两个砝码总重量不超过8 g 概率是多大？探究：〔1〕记“两个砝码重量一样〞为事件A ．“两个砝码重量都是1g 〞为事件A 1，“两个砝码重量都是3g 〞为事件A 2，“两个砝码重量都是5g 〞为事件A 3，A 1、A 2、A 3是互斥.显然A=A 1+A 2+A 3，由前面知识得P 〔A 1〕=283，P 〔A 2〕=283，P 〔A 3〕=281. 由互斥事件加法公式，有P 〔A 〕=P 〔A 1〕+P 〔A 2〕+P 〔A 3〕=283+283+281=41. 〔2〕记“两个砝码总重量为6 g 〞为事件B ．“两个砝码中一个砝码为1g ，另一个砝码为5g 〞为事件B 1，“两个砝码重量都为3g 〞为事件B 2，B 1、B 2互斥.显然B=B 1+B 2.P 〔B 1〕=286=143，P 〔B 2〕=283. ∴P〔B 〕=P 〔B 1〕+P 〔B 2〕=143+283=289. 〔3〕正面去求比拟复杂，故可考虑其对立事件.记“两个砝码总重量不超过8g 〞为事件C ，设其对立事件为D ，那么D 表示“两个砝码总重量超过8g 〞，那么只有两个砝码都取5g ，而由上可知“两个砝码重量都是5g 〞为事件A 3，P 〔A 3〕=281.所以，P 〔C 〕=1-281=2827. 精题精讲例1．从装有两个红球与两个白球口袋内任取两个球，那么以下事件中互斥事件个数是( )①至少有一个白球；都是白球②至少有一个白球；至少有一个红球③恰有一个白球；恰有两个白球④至少有一个白球；都是红球A．0 B．1 C．2 D．3思路解析①当取出两球都是白球时，两个事件同时发生，故①中两个事件不是互斥事件.②当取出两球为一红一白时，两个事件同时发生，故②中两个事件不是互斥事件.③中两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.④中两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.答案：C例2．某地区年降水量在以下范围内概率如下表：［100,150)［150,200)［200,250)［250,300)年降水量(单位:mm)概率〔1〕求年降水量在［100，200)〔mm〕范围内概率；〔2〕求年降水量在［150，300)〔mm〕范围内概率.思路解析这个地区年降水量在各范围内是彼此互斥，故可根据互斥事件概率加法公式求解.答案：〔1〕记这个地区年降水量在［100，150)，［150，200)，［200，250)，［250，300)〔mm〕范围内分别为事件A、B、C、D．这4个事件是彼此互斥.根据互斥事件概率加法公式，年降水量在［100，200)〔mm〕范围内概率是P〔A+B〕= P〔A〕+P〔B〕= 0.12+0.25=0.37 .由于热切地想要躲避过错，我们却常常更易陷入荒唐。