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浅谈数学中函数的单调性及其应用

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浅谈数学中函数的单调性及其应用

浅谈数学中函数的单调性及其应用

摘要

函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。

关键词：函数；单调性；数学

前言

函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。

不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。

针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。

函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。

函数的单调性应用很广泛，可以解决很多相关的数学问题。在完成函数单调性概念的意义的建构后，对函数单调性概念的反思辨析也是重要的环。本文以点带面，在总结前人成果的基础上，在函数单调性定义、函数单调性判定方法、函数单调性应用等方面做出简要的讨论。

1函数的单调性及其性质

1.1函数的单调性定义

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

D⊆Q（Q是函数的定义域）。

区间D上，对于函数f(x)，⊆（任取值）x1，x2⊆D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，⊆x1，x2⊆D且x1>x2，都有f(x1)0时，f(x)和a'f(x)单调性相同；

当af(x2时，称f为D上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数y=f(x)在给定区间D.上的单调性的一般步骤:

(1)设元，任取x1,x2⊆D且x1f(x2)，所以f(x)在(-oo,+oo)上是减函数。

【例2.2】.用定义证明函数（k>0)在(-0,+oo)上的单调性。

证明：设x1、x2⊆(-0,+oo),且x10，

当时x1x2-k≤0→f(x1)-f(x2)≥0，此时函数f(x)为减函数；

当时x1x2-k>0→f(x1)-f(x2)0)在区间内为减函数；在区间内为增函数。

此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0)不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x10时，y在R上是增函数；

当k0时，时y单调减，时y单调增；当a0时，y在X0时单调减；当k0时单调增

指数函数 (a>0,a≠1) 当a>1时，y在R上是增函数；

当00,a≠1)

当a>1时，y在(0,+oo)上是增函数；

当00时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k0得x>1 所以f(x)＝x2-2x+3在(1，＋∞)内是增函数；解不等式2x-20时，

f(m)>0，试讨论函数f(x)的单调性。

解：由题得f(m+n)-f(m)=f(n)， 令x1=m+n，x2=m，且x1>x2，n=x1-x2>0

又由题意当m>0时，f(m)>0→f(x1)-f(x2)=f(n)>0，所以函数f(x)为增函数。

（2）添项法

弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“f(x1)-f(x2)”与0大小关系的目的。

【例2.7】.（同例6）

解:任取x1，x2ЄR,x1>x2，则x2-x1>0，f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)由题意函数f(x)对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)，且当m>0时，f(m)>0 →f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)>0，所以函数f(x)为增函数。

（3）放缩法

利用放缩法，判断f(x1)与f(x2)的大小关系，从而得f(x)在其定义域内的单调性。

【例2.8】.已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数m、n均有f(mn)=f(m)f(n)，且当m>1时01时，f(t)f(1)＝1，

因为当t>1与t<1时，f(t)≠1，而t=1时，f(1)＝1，

所以t=1，此时x=92=81。

经检验，原方程解为x=81。

【评析】利用函数单调性解方程，关键是合理变形，其中蕴含着很多数学思想，有换元思想、构造函数思想，通过方程两边式子的结构特征观察以构造。

3.3利用单调性求值

[例3.4]已知实数x，y满足x3-3x2+5x=1,y3-3y2+5y=5，求x+y。

分析：用一般的方法，解两个方程求解x,y，但这样做不仅浪费时间，又麻烦。不妨先考虑函数的单调性。

解:观察这两个式子，形式类同，对他们进行合理适当地变化，从而设函数f(z)=z3+2z+2.显然，该函数在R上是单调递增的。

由以上式子知f(x-1)=f(1-y)=0，由函数单调性得到 X-1=1-y，即x+y=2.

3.4利用单调性解决实际问题

函数单调性在实际生活中的应用主要反映在最值(极值)上，如材料优化、资源整合、利润最大化、路径选择等。那具体怎样解决一些生活中的实际问题，一般步骤是:

(1)把生活实际问题抽象成对应的数学问题，列出函数关系式y=f(x).

(2)求f(x)的导数.f'(x)，并解方程f'(x)=0。

(3)把f(x)的两个端点和上一步中所求的所有极值点，放在一起比较它们函数值的大小，从而得出函数f(x)的最值。

(4)根据实际问题的意义给出答案。

3.4.1在材料合理利用中的应用

【例3.4】当圆柱形金属饮料罐的体积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使材料最省？

解:要求材料最省，即就是要求圆柱体的表面积最小，设圆柱体的半径为R，高为h,表面积为S，且S是R和h的函数，。

由体积是一个定值，有,把它代入表面积公式得：。，令。

当时，，当，。

所以，当时，最小，此时。

所以当高是底面半径的2倍时，金属饮料罐所用材料最省。

3.4.2在优化路径中的应用

【例3.5】工厂A到铁路线的垂直距离为20km，垂足为B，铁路线上距离B100km处有一原料供应站C，现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站，再由车站D向工厂修一条铁路，如果己知每千米铁路运费与公路运费之比为3:5，那么D应该建立何处，才能使原料供应站C运货到A处所需费用最省?(如图3所示)。图3-1

解:设每千米铁路费用是a元那么每千米公路费用是元总费用是y元，

设BD=xkm，则，CD=(100-x)km

所以总费用,

令y`=0得到：x1=15,x2=-15(舍去)

由导数可知，x=15是定义域内唯一的极值点，且是极小值点。

故当D建在距B15km时，才能使原料供应站C运货到A处所需费用最省。

3.4.3在产量与利润中的应用

对于一些企业家来说，其生产成本、销售收入和利润之间的关系是个特别重要的问题。通过研究一家药品生产公司发现:这个公司的生产成本Y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数，分别为：

y=x3一24x2+63x+10

z=18x

(1)问:这个公司的生产利润w(单位:万元)与产量x之间相关的函数表达;

(2)当产量为多少时，该公司获得的利润最大?最大利润为多少?

解:(1)因为总收入-总成本=总利润，即w=Z-y，所以

w=w(x)=18x-(x3-24x2+63x+10)即

w=-x3+24x2-45x-10(x≥0)

(2)求w=w(x)的导函数w`(x)=-3x2+48x-45，

解方程w`(x)=0，得x1=1,x2=15

根据x1,x2，分析导数的正负，从而得到函数的单调性与极值点。

由上表得出x=15是函数的极大值点，比较x=0和x=15的函数值 w(0)=-10，w(15)=1340，

可知，函数w=w(x)在x=15处取得最大值，最大值为1340，即该企业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为1340万元。

通过以上各例，解决一些生活实际问题时有一些策略，要想用单调性解决实际问题，首先得对已知条件进行整体分析、整理与抽象，并与已学习的函数模型相比较，确定合适的函数模型的种类，从而把实际问题转化为函数模型。

5结论

总而言之，函数的单调性应用很广泛，可以解决很多相关的数学问题。在完成函数单调性概念的意义的建构后，对函数单调性概念的反思辨析也是重要的环节。函数的单调性是研究函数基本性态的重要内容，是讨论函数在变量变化过程中的特性的重要方面。本文系统地总结了函数单调性相关的知识，同时与函数的单调性能够解决的实际中的应用相结合。相信函数的单调性将会在解决实际问题中发挥越来越大的作用。

参考文献

[1]柏元兵.函数的单调性在高中数学中的学习与应用[J].高考,2019(12):80-80.

[2]许家睿.高中数学函数单调性的解法探讨[J].启迪与智慧(教育),2019(1).

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[5]马聪.浅析函数单调性在高中数学解题中的应用[J].好家长,2019(13).

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函数的单调性在高中数学中的运用

函数的单调性在高中数学中的运用

函数的单调性在高中数学中的运用

函数是一种形象的模型，函数的单调性是运用这种模型的关键所在，还是函数增减性的直观体现。然而函数的单调性在高中阶段是一个重难点，这考验了学生对函数性质的掌握程度与运用的灵活程度。本文通过对函数单调性概念的理解、具体实例的运用，阐述了如何用高中的所学知识解答一般的函数问题。

标签： 函数；单调性；高中数学

引言：数学学科的学习主要在于理解解题的思路，学会举一反三地应用多种方法解决数学知识。还有运用这一种方法去解多种类型的题。所以函数的单调性价值就再次体现。掌握并运用函数的单调性有助于提高学生的解题能力，函数的单调性可以给予学生具体可靠的参考思路和方法。从以往的数学高考案例分析，函数单调性的运用同样是重要的考点，教师在教学的过程中主要会引导学生发现函数的单调性。这不仅有助于提高学生对知识点的掌握，对于学生的创新思路也是一种训练。

一、函数单调性的概念及其判定方法

在函数的定义域内的一个子区间A内，如果对于任意两个自变量，当时，都有，则称函数在区间A上是单调递增的，也成为增函数；当时，都有，则称函数在区间A上是单调递减的，也称为减函数。

1.图像观察法。

具有单调性的函数反应在图像上石油上升、下降变化的，可以利用函数的上升和下降变化将函数分为不同的区间，有明显的上升区间与下降区间的函数图像则说明是单调性函数。

2.定义法。

定义法顾名思义就是根据函数的定义来判断函数的单调性，具体的判定步骤依次为取值、作差、对函数结果做变形处理、确定符号和下结论，其中对结果变形处理就会应用到函数的单调性解决不同的数学问题。

3.等价定义法。

设函数的定义域为A，在定义域内任意取，且，若，则函数是增函数；若，则函数是减函数。等价定义是函数单调性的第二定义，主要是利用解析定义判定函数的增减性。

4.求导法。

求导法是利用导数与单调性的密切关系研究函数的手段，主要用来判断具体函数的单调性。求导法判定函数的单调性是所有判定方法中最简单同时也是最具特征的判定方法，有固定的判定步骤，判定函数的思路清晰并且容易建立。这种求导法也是学生最容易学习和掌握的判定方法，包含的逻辑性和推理性比较少，学生应用的前提是熟练掌握基本的求导公式，是一种建立在基本理论与公式之上的单调性判断法。

高考数学中的函数基本性质及应用

高考数学中的函数基本性质及应用

高考数学中的函数基本性质及应用

在高考数学中，函数是一个非常重要的概念。作为数学的一门基础学科，函数贯穿于整个数学教育中，乃至于其他实用科学领域中。为了成功地应对高考数学考试，在这篇文章中，我们将重点探讨函数基本性质及其应用。

函数的定义

在数学中，函数是一种特殊的关系，由两个集合 A 和 B 构成，其中 A 称为自变量的定义域（domain），B 称为函数值域（range）。函数的定义可以用符号表示为：f(x):A→B。

例如，我们可以定义一个简单的函数：f(x) = x²。在这种情况下，我们可以说定义域为实数集，函数值域也为实数集，而每个自变量 x 对应一个函数值 x²。

函数的性质

在高考数学中，有一些基本的函数性质需要牢记。这些性质不仅是理解和解决函数问题的基础，也是解决其他高等数学问题的基础。

1. 单调性

函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或者单调递减。如果函数在定义域内是单调递增的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)>f(y)。同样，如果函数在定义域内是单调递减的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)

2. 奇偶性

函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中是否关于原点对称。如果函数是奇函数，那么 f(-x) = -f(x)。如果函数是偶函数，那么 f(-x)

= f(x)。如果函数既不是奇函数也不是偶函数，那么它就是一般函数。

3. 周期性

函数的周期性指的是函数图像是否可以沿 x 轴平移得到相似的图像。如果函数是周期性的，那么就存在一个正数 p，满足对于所有 x∈定义域，f(x+p)=f(x)。

4. 对称性

如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (-a, f(-a)) 对称，那么就称函数关于 a 点对称。如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (a, -f(a)) 对称，那么就称函数关于 y 轴对称。如果函数图像在点 (-a, -f(-a)) 和 (a, f(a)) 对称，那么就称函数关于原点对称。

导数与函数的单调性解析与归纳

导数与函数的单调性解析与归纳

导数与函数的单调性解析与归纳

导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。

一、导数的定义与计算方法

函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：

\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]

具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。

二、导数与单调性的关系

函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。

三、导数与函数单调性的解析和证明

为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。具体解析单调性的方法有以下几个步骤： 1. 求得函数的导数；

2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；

3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。

举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：

1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；

2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；

3. 绘制导数的符号变化表：

指数函数与对数函数的增减性与单调性

指数函数与对数函数的增减性与单调性

指数函数与对数函数的增减性与单调性

指数函数和对数函数是高中数学中重要的函数概念，它们在数学中具有广泛的应用。本文将讨论指数函数和对数函数的增减性与单调性。

一、指数函数的增减性与单调性

指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为一个正实数且不等于1。我们来讨论指数函数的增减性和单调性。

1. 增减性

当a>1时，指数函数是递增的，也就是随着x的增大，y的值也增大。例如，当a=2时，y = 2^x 的函数图像是一个递增的曲线。

当0

2. 单调性

指数函数在其定义域内是严格单调的，即要么递增要么递减，不存在局部最大值或最小值。当a>1时，指数函数是严格递增的；当0

二、对数函数的增减性与单调性

对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数。我们来讨论对数函数的增减性和单调性。

1. 增减性 对数函数是递增的，也就是随着x的增大，y的值也增大。例如，y

= log2(x) 的函数图像是一个递增的曲线。

2. 单调性

对数函数在其定义域内是严格单调的，即要么递增要么递减，不存在局部最大值或最小值。对数函数是严格递增的。

综上所述，指数函数和对数函数都具有一定的增减性和单调性。指数函数的增减性和单调性与底数的大小关系密切相关，而对数函数则始终是严格递增的。

需要注意的是，在具体计算中，我们还可以利用导数的性质来判断指数函数和对数函数的增减性和单调性。导数的正负可以直接反映函数的增减性，导数大于零表示函数递增，导数小于零表示函数递减。

在解决实际问题时，了解指数函数和对数函数的增减性和单调性是十分重要的。例如，我们可以利用指数函数和对数函数的性质来求解方程、不等式，解决复利、利润、生长和衰减等实际问题。

总结起来，指数函数和对数函数的增减性和单调性是数学中的基本概念。它们的增减性与底数的大小关系密切相关，而单调性则是它们共有的性质。掌握了指数函数和对数函数的增减性和单调性，可以帮助我们更好地理解和应用这两个函数。