浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用

高中数学三角函数的单调性知识分析

卢玉玺

(安徽省临泉第二中学　２３６４００)

摘　要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大

“风景点”.但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以“三角函数

中的单调性”类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.

关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性

中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２

收稿日期:２０２０－０２－０５

作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究. 一、正弦函数的单调区间

在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角

函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有

着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数

的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间

我们就可以借助诱导公式的方法.

例１　求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.

思路分析　分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的

ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数

中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求

出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ

＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ

－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)

的增区间.

之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以

得到２ｋπ＋π２≤２ｘ－π３≤２ｋπ＋３π２(ｋ∈Ｚ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２

≤ｘ≤ｋπ＋１１π１２(ｋ∈Ｚ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋

５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋ∈Ｚ).

同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种

思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我

们可知２ｋπ－π２≤２ｘ－π３≤２ｋπ＋π２(ｋ∈Ｚ)ꎬ解得ｋπ－

π１２≤ｘ≤ｋπ＋５π１２(ｋ∈Ｚ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋ∈Ｚ).

2-2 函数的基本性质 page 1 of 6

（一）知识内容

1.函数单调性的定义：

①如果函数fx对区间D内的任意12,xx，当12xx时都有12fxfx，则称fx在D内是增函数；当12xx时都有12fxfx，则fx在D内时减函数．

②设函数()yfx在某区间D内可导，若0fx，则()yfx为xD的增函数；若0fx，则()yfx为xD的减函数．

2.单调性的定义①的等价形式：

设12,,xxab，那么12120fxfxfxxx在,ab是增函数；

12120fxfxfxxx在,ab是减函数；

12120xxfxfx()fx在,ab是减函数．

3.复合函数单调性的判断：“同增异减”

4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．

即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx（1x2,xD）；

若()fx在区间D上递递减且1212()()fxfxxx．（1x2,xD）．

①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等

（二）主要方法

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：

⑴用定义；

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

①取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx

②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．

③定号：确定差12()()fxfx（或21()()fxfx）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．

高中数学函数四大思想总结

高中数学中的函数最核心的思想可以总结为四个方面，分别是函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。

第一，函数的定义域与值域思想。在高中数学中，函数的定义域与值域的确定是非常重要的。定义域指的是函数能够取到的自变量的值的范围，值域则是函数能够取到的因变量的值的范围。这个思想在解决函数的范围和取值问题时非常关键。

第二，单调性思想。单调性指的是函数在定义域内的变化趋势。由于学生在学习中常常会遇到函数的增减性和凹凸性等问题，使用单调性思想可以更好地解决这些问题。单调函数的概念和性质是高中数学中非常重要的内容，它不仅体现了函数的变化趋势，同时也反映了函数的导数的意义。

第三，奇偶性思想。奇偶性在函数的对称性与图像的性质方面起到了重要的作用。奇函数是指满足$f(-x)=-f(x)$的函数，而偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数。通过利用奇偶性的性质，可以更好地简化函数的计算和图像的观察，同时也可以推导出更多的函数性质和结论。

第四，周期性思想。周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中T称为函数的周期。周期性思想在高中数学的解题中扮演了非常重要的角色。通过刻画函数图像的周期性，可以更好地理解和分析函数的特点，推导出函数的周期和对称轴等性质，进一步简化问题。

综上所述，高中数学中的函数主要体现了函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。这四个思想在理论学习和实际问题中的应用非常广泛，是高中数学中的核心内容。通过深入理解和应用这些思想，可以更好地掌握函数的概念和性质，提高数学解题的能力。

高中数学《函数的单调性 》说课稿

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《函数的单调性》。

新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

本节课选自苏教版高中数学必修一2.2.1的内容，主要讲解的内容是函数的单调性。学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识。在高中阶段，用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维，为后续函数的学习作准备，也为利用导数研究单调性的相关知识奠定了基础。

二、说学情

接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。因此教师在教学过程中要给学生留置充分的思考时间和空间。此外教师要注重在学生的已有认知基础上，建构知识。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：

(一)知识与技能

理解函数的单调性和单调函数的意义，会判断和证明简单函数的单调性。

(二)过程与方法 在探究学习的过程中，体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

(三)情感、态度与价值观

激发探求数学知识的欲望，凸显主观能动性，提高学习兴趣。

四、说教学重难点

我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。教学难点是：函数单调性概念(数学符号语言)的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。

五、说教法和学法