08年全国高中数学联赛试题及答案
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梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档 2008年全国高中数学联赛
受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。
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一 试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．函数254()2xxfxx在(,2)上的最小值是 （ ）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2．设[2,4)A，2{40}Bxxax，若BA，则实数a的取值范围为（ ）。
（A）[1,2) （B）[1,2] （C）[0,3] （D）[0,3)
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为 （ ）。
（A）24181 （B）26681 （C）27481 （D） 670243
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3
（C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3
5．方程组0,0,0xyzxyzzxyyzxzy的有理数解(,,)xyz的个数为 （ ）。
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
6．设ABC的内角ABC、、所对的边abc、、成等比数列，则
sincotcossincotcosACABCB的取值范围是（ ）。
（A）(0,) （B） 51(0,)2
（C）5151(,)22 （D）51(,)2
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．设()fxaxb，其中,ab为实数，1()()fxfx，1()(())nnfxffx，1,2,3,n，若7()128381fxx，则ab .
8．设()cos22(1cos)fxxax的最小值为12，则a . 梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档
梅花三麓付费文档梅花三麓付费文档 第15题 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．
10．设数列{}na的前n项和nS满足：1(1)nnnSann，1,2,n，则通项na= ．
11．设()fx是定义在R上的函数，若(0)2008f ，且对任意xR，满足
(2)()32xfxfx，(6)()632xfxfx，则)2008(f= .
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx )0(k有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：
2cos1sinsin34．
14．解不等式
121086422log(3531)1log(1)xxxxx．
15．如图，P是抛物线22yx上的动点，点BC、在y轴上，圆22(1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值．
解 答
1. 当2x时，20x，因此21(44)1()(2)22xxfxxxx12(2)2xx
