说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分40分）如图，在锐角ABCD中，M是BC边的中点．点P在
ABCD内，使得AP平分BAC．直线MP与,ABPACPDD的外接圆分别相交于
不同于点P的两点,DE．证明：若DEMP=，则2BCBP=．
证明：延长PM到点F，使得MFME=．连接,,BFBDCE．
由条件可知BDPBAPCAPCEPCEM=
===． ………………10分
因为BMCM=且EMFM=，所以BFCE=且//BFCE．
于是FCEMBDP==，进而BDBF=． ………………20分
又DEMP=，故DPEMFM==．
于是在等腰BDFD中，由对称性得BPBM=．从而22BCBMBP==．
………………40分
二、（本题满分40分）设整数
122019,,,aaa满足
122019199aaa=£££=．
记222
12201913243520172019()()faaaaaaaaaaa=+++-++++．
求f的最小值
0f．并确定使
0ff=成立的数组
122019(,,,)aaa的个数．
解：由条件知
201722222
12201820192
12()
ii
ifaaaaaa
+
==++++-å． ①
由于
12,aa及
2(1,2,,2016)
iiaai
+-=均为非负整数，故有22
1122,aaaa³³，
且2
22()(1,2,,2016)
iiiiaaaai
++-³-=．于是
20162016222
12212220172018
11()()
iiii
iiaaaaaaaaaa
++
==++-³++-=+åå． ②
………………10分 FED
MBCA
P参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）由①、②得
1 全国高中数学联赛模拟试题(一)
第一试
一、选择题(共36分)
1. 在复平面上，非零复数z1，z2在以z=i对应的点为圆心，1为半径的圆上，21zz的实部为零，argz1＝π6，则z2＝ ( )
A.－32＋32i B.32－32i C.－32＋32i D.32－32i
2. 已知函数f(x)＝loga(ax2－x＋12)在[1，2]上恒正，则实数a的取值范围是( )
A.(12，58) B.(32，＋∞) C.(12，58)∪(32，＋∞) D.(12，＋∞)
3. 已知双曲线过点M(－2，4)和N(4，4)，它的一个焦点为F1(1，0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是 ( )
A.(x－1)225＋(y－4)216＝1(y≠0)或x＝1(y≠0)
B.(x－1)216＋(y－4)225＝1(x≠0)或x＝1(y≠0)
C.(x－4)225＋(y－1)216＝1(y≠0)或y＝1(x≠0)
D.(x－4)216＋(y－1)225＝1(x≠0)或y＝1(x≠0)
4. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则M＝1＋a2＋1＋2b的整数部分是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 一条笔直的大街宽度为40米，一条人行横道穿过这条街，并与街道成一定的角度，人行横道长度为50米，与大街边缘结合部的宽度为15米，则人行横道的宽度为( )
A.9米 B.10米 C.12米 D.15米
6. 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n(n＞1)个车站，结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)，那么原有车站的个数为
A.12 B.13 C.14 D.15 ( )
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案
1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：
$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$
为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
解：根据题意可列出
历年全国高中数学联赛试题及答案
1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。
2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不
能使用计算器。
参考公式：二次函数 图象的顶点坐标是 。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．2的相反数是（ ▲ ）
A． -2 B．2 C．- D．
2．下列计算正确的是 （ ▲ ）
A． Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5
3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．如图是由 个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ▲ ）
5．使分式 无意义的 的值是（ ▲ ）
A. B. C. D.
6．如图，已知 ,若 , ，则 等于（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%） 20 25 30 32
小区个数 2 4 3 1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（ ▲ ）
A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2%
