2009年全国高中数学联赛试题及答案
- 格式：doc
- 大小：866.90 KB
- 文档页数：20
-
--- 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中 所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。 主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 . 一 试 一、填空（每小题 7 分，共 56 分）
1． 若函数 f x x
x2 且 f
( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．
1
n
2． 已知直线 L : x y 9 0 和圆 M : 2 x2 2 y2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ， C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围
为 ．
y ≥ 0
． 在坐标平面上有两个区域
M 和 N ，
M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由
3
y ≤ 2 x 不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数
f t ．
4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数
n 1 n 2 2n 1 3 a 的值为 ．
2 2
5． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最
a2 b2 小值为 ．
6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表， 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数
之和，最后一行仅有一个数， 100 个正整数按从小到大排成的行， -
--- 第一行是前 则最后一行的
数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50
9∶10
9∶30
9∶50
概率 1 1 1
6
2
3
一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题
1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x2 y 2
16 1交于不同两
x2
y2 12
点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量
4 12
AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
16 -
---
2． （ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根 ， ，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ， (Ⅰ )求数列 an 的通项公式（用 ， 表示）； (Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 an 的前 n 项和． 4 3． （ 15 分）求函数 y x 27 13 x x 的最大和最小值． 加试 一、填空（共 4 小题，每小题 50 分，共 200 分） 9． 如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （ A B ）的外接圆 中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 于 P 点， I 为 ABC 的内心，连接 PI ⑴求证： MP MT NP NT ； ⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ， T ， B ），记 上弧 BC 、 AC 的并延长交圆 于 T ． AQC ， △QCB 的内
心分别为 I1 ， I 2 ，
P C N M I B
A 求证： Q ， I1 ， I 2 ， T 四点共圆． T Q
-
--- 16 -
--- 10． 求证不等式：
n
k ln n ≤ 1 ，
n 1 ， 2，⋯
1 2
k 1 k 1 2 11． 设 k ， l 是给定的两个正整数． 证明：有无穷多个正整数 m≥ k ，使得 Ckm 与 l 互素． -
--- 16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
--- \ -
--- 16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16 -
---
16
