高阶中立型差分方程正解的存在性
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Ｊ ｕｎ． ２００ ７
高阶 中立型 差分方程正解 的存 在性
董文雷 汪 琦 付丽慧
河北石 家庄 ００４） ５ ０１ （ 家庄铁路职 业技术 学院 石
摘要 ：利用在集合上定义映射和不动点原理 ，讨论奇数 阶中立型差分方程 正解的存在性 。根 据 中立型项取值 的不 同情况，得 出相应方程 正解存在 的充分条件 。 关键词：中立型差分方程 正解存在性 最终正解 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空间
ｎ２
定理 ｌ ：假 设 条件 （ 成 立 ，如 果存 在 ）
１ ，使得
∑Ｓｍ （ ，Ｏ ＜０ （） ｓ … ） ｏ ２ｆ ， ｒ
并且对于任何ｎ ｏ ０ ， 口， ｉ １ ｋ ｎ ， ＝ ， 有 …，
（） ２
Ｉｎ ｌ ， ）ｆｎ ｌ ， Ｉｆｎ ， ，） ・ ｐ ｆ ｙ， ｆ ，， 一 （Ｖ… ） （ …Ｏ・ ｓ Ｉ～』 （ … Ｉ ，， ， ｒ ｋ ｕ Ｉ
选取
＞ｏ － 足够大，使得 ＋ — ａ ） ｎ ，并且有 ￣ ｆ ｒｎ＞ ｏ
１
。
ｓ２ ） （ｍ
≤
一
。
定Ｑ 口（口 ，ＱＥ一有闭子。义上映 义 ｛ ≤）， ｝ 是的个界凸集定Ｑ的射 ∈ ≤≥ 则
（ ） ｆ（，ｌ ｕ １ ｎ ， Ｄ∈Ｃ（ ｏｏ） Ｒ ， ： …， ［， × ｎ ｏ ）
（ ） ・ ｎ ， ） ０， ／ ｎ ， ２ ｆ（，ｌ …，Ｉ ． ， ｏ ／ ０， ｆ ， ｋ； ＝ｌ …，
（ ）当 ≠０ ， ｎ 一 ） ， ３ 时 ｆ（， ， ≠０ 且对每 一 个 ， ｆ是单 调 非减 的 。 我们 称 ｘｎ 为 方程 （） （） １ 的一 个最 终 正解 ，如 果存 在 Ｎ
ｌ
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家庄铁路职业技术学院学 报
神
。
２０ 年第２ ０７ 期
定Ｑ ： 口（口 ，ＱＥ一有闭子。义上映 义＝∈ ）， ｝则是的个界凸集定Ｑ的射 ｛Ｅ ≤≥
Ｆ： Ｑ Ｅ如下 ： （ ）） （ ：
』 一 ｆ ｏｎ（— ， ～） ≥ 半口 ） ｏ ） ｆ… ） 一 （２， ｌ ， ） ， 一 Ｓｍ ， －厂
ｊＩ ｃ＋ ２ ｌ
ｌ ｐ ＋一Biblioteka 七Ｉ 一２ ・ ｊ Ｉ ｃ Ｉ
ｊ ｃ ２ ｊ１ ｃ． ２ ｌ ＜， １ 所以ｒ 上的 压缩映 所以 一 是Ｑ 一个 射， 存在
４
因 ０ 一 ｌ 此， ＜
情 况 ２ 一０ ： Ｏ ＜Ｐ＜一 １
一２。由 ＜ ｊｌ 于０ ｃ ｌ
个 不 动点 ∈ ，使 得 ＝ 。显 然 ） 方程 （） Ｑ 是 １ 的一 个 最终 正解 。
ｌｉ ＜ ＜ｋ
（） ３
则方程 （ 有一最终正解。 １ ） 证 明：根据 中立型项系数 Ｐ的不同取值范围，以下分 ５ 种情况讨论。
情况 ｌ ｌ Ｐ ：一 ＜ ０
、
由条件 （） ２ ，选取 ＞ ｏ － ｎ ￣ ｇ
，使得 当ｎ ｔ ￣ ｆ － ＞ｈ ｒ ｎ
，并且有
收稿 日期 ：２ ０ － ２ ０ ０ ７０ － ３ 作者简介 ：董文雷 （ ９ ６ ） １ ７ 一 ，男 ，汉 ，河北唐 山人 ，博士 ，讲师 ，研究方 向微分动力系统及稳定性理论 。 基金项 目：河北省 自然科学基金 （ 基金号 ０ Ｍ０ ４ ７ ０）
【 （ （） ） ， ｎ≤ ＜ ｏ ．
则对于 Ｑ，当 时得（ｎ＿ 口 ＝ 并且有 ∈ ≥ ｒ ）＋ 一 半口， ＇ ≥ 半口 ｘ ｌ Ｘ ｐ （ ） — ｐ 一 “ 口≤ ） ｌ ｕ 十 ＋ 丁 ＋ ｌｐ 口 于当≥时有 ≤ ）≤，以 。面 是 ，半口（（ 口所 ｒ Ｑ下 ） Ｑ
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第６ 卷第２ 期
２０ ０ ７年 ６月
石 家庄铁路职 业技 术学院学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬＯＦ Ｓ ＪＡＺＨＵＡＮ Ｇ ＨＩＩ Ｉ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ ＲＡＩ ＷＡＹ ＴＥ ＮＳ Ｉ Ｌ ＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖ ． ． ＯＬ６Ｎｏ ２
中图分类号： １５７ ０ ７． 文献标识码 ： Ａ 文章编号： ６３ １１ （ ０ ）２ ０ ０— ５ １７ —８６ ２ ７０ —０ １０ ０
关 于 高阶差 分方程 的振 动性 和 渐进 性 ，已经 越来 越 引起人 们 的关注 ，如 ［ ］ 卜５ 。本 文 中，笔 者主
要 讨论 了奇数阶 中立 型差 分 方程 Ａ ｍｌ （） ｎ ）＋ｆ（， （ （） …， （ 一 ｎ） ＝０ｎ≥ｎ ， ２＋【 ｎ ＋ｐ （ —ｆ】 ｘ ｎｘｎ一 ｎ） ｘｎ （） ， ） ， ０ （） １
定义 １ 七 ＝ｋ （ ） ． ： （ ） ． ｋ一１… （ 七一ｎ ） ＋１ ，且有 ｋ。＝ｌ （ ） 。
，使 得 当 ｎ Ｎ 时 ，有 ｘｎ ＞０。 （）
定 ：Ｅ 义在 序列［， ＋，） 义２ 是定 实 ｎｎ ｌ 上的Ｂｎｃ空间， 具有 ｏ。 … ａａ ｈ 且 上确界 ＝ｕｌｎ。 模 ｓ ｘ ） Ｐ （Ｉ
。
我 ｔ 证 明 Ｆ 是 Ｑ 上 的 一 个 压 缩 映 射 。 事 实 上 ， 对 于 ｊ ∈Ｑ ， ｎ＞ｎ ＇ ｆ Ｊ ｃ ２ ｏ时 ， 我 ｆ 有 Ｊ
，
（ （
＜ ｐ ＿ ） … ） ＿ ｆ ｌ ＋
（ ）Ｉ ２ Ｊ ，
－ｌ … ｆ （ ，
一
ｆｓ ｚ — ｌ）…， — ） （ｘ（ ｆ ） ｊ （） ， ｓ ， ｃ ２ ）Ｉ
正解 的存 在性 。其 中 △为前 差分 算 子 ，即 ａ （） （ ） ｘｎ 。 ｎ∈Ｚ ｘｎ ＝ｘｎ＋１一 （） ， Ｐ∈Ｒ， ｆ 和 （） 是 非 ｎ均
负整 数， 且有 ｎ —Ｌ（）－∞ － ） ｎ－ － ， ９ ９∞
ｌ ｋ。我 们 假设 下列 条件 （ 成 立 ： ， …， ）
高阶 中立型 差分方程正解 的存 在性
董文雷 汪 琦 付丽慧
河北石 家庄 ００４） ５ ０１ （ 家庄铁路职 业技术 学院 石
摘要 ：利用在集合上定义映射和不动点原理 ，讨论奇数 阶中立型差分方程 正解的存在性 。根 据 中立型项取值 的不 同情况，得 出相应方程 正解存在 的充分条件 。 关键词：中立型差分方程 正解存在性 最终正解 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空间
ｎ２
定理 ｌ ：假 设 条件 （ 成 立 ，如 果存 在 ）
１ ，使得
∑Ｓｍ （ ，Ｏ ＜０ （） ｓ … ） ｏ ２ｆ ， ｒ
并且对于任何ｎ ｏ ０ ， 口， ｉ １ ｋ ｎ ， ＝ ， 有 …，
（） ２
Ｉｎ ｌ ， ）ｆｎ ｌ ， Ｉｆｎ ， ，） ・ ｐ ｆ ｙ， ｆ ，， 一 （Ｖ… ） （ …Ｏ・ ｓ Ｉ～』 （ … Ｉ ，， ， ｒ ｋ ｕ Ｉ
选取
＞ｏ － 足够大，使得 ＋ — ａ ） ｎ ，并且有 ￣ ｆ ｒｎ＞ ｏ
１
。
ｓ２ ） （ｍ
≤
一
。
定Ｑ 口（口 ，ＱＥ一有闭子。义上映 义 ｛ ≤）， ｝ 是的个界凸集定Ｑ的射 ∈ ≤≥ 则
（ ） ｆ（，ｌ ｕ １ ｎ ， Ｄ∈Ｃ（ ｏｏ） Ｒ ， ： …， ［， × ｎ ｏ ）
（ ） ・ ｎ ， ） ０， ／ ｎ ， ２ ｆ（，ｌ …，Ｉ ． ， ｏ ／ ０， ｆ ， ｋ； ＝ｌ …，
（ ）当 ≠０ ， ｎ 一 ） ， ３ 时 ｆ（， ， ≠０ 且对每 一 个 ， ｆ是单 调 非减 的 。 我们 称 ｘｎ 为 方程 （） （） １ 的一 个最 终 正解 ，如 果存 在 Ｎ
ｌ
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神
。
２０ 年第２ ０７ 期
定Ｑ ： 口（口 ，ＱＥ一有闭子。义上映 义＝∈ ）， ｝则是的个界凸集定Ｑ的射 ｛Ｅ ≤≥
Ｆ： Ｑ Ｅ如下 ： （ ）） （ ：
』 一 ｆ ｏｎ（— ， ～） ≥ 半口 ） ｏ ） ｆ… ） 一 （２， ｌ ， ） ， 一 Ｓｍ ， －厂
ｊＩ ｃ＋ ２ ｌ
ｌ ｐ ＋一Biblioteka 七Ｉ 一２ ・ ｊ Ｉ ｃ Ｉ
ｊ ｃ ２ ｊ１ ｃ． ２ ｌ ＜， １ 所以ｒ 上的 压缩映 所以 一 是Ｑ 一个 射， 存在
４
因 ０ 一 ｌ 此， ＜
情 况 ２ 一０ ： Ｏ ＜Ｐ＜一 １
一２。由 ＜ ｊｌ 于０ ｃ ｌ
个 不 动点 ∈ ，使 得 ＝ 。显 然 ） 方程 （） Ｑ 是 １ 的一 个 最终 正解 。
ｌｉ ＜ ＜ｋ
（） ３
则方程 （ 有一最终正解。 １ ） 证 明：根据 中立型项系数 Ｐ的不同取值范围，以下分 ５ 种情况讨论。
情况 ｌ ｌ Ｐ ：一 ＜ ０
、
由条件 （） ２ ，选取 ＞ ｏ － ｎ ￣ ｇ
，使得 当ｎ ｔ ￣ ｆ － ＞ｈ ｒ ｎ
，并且有
收稿 日期 ：２ ０ － ２ ０ ０ ７０ － ３ 作者简介 ：董文雷 （ ９ ６ ） １ ７ 一 ，男 ，汉 ，河北唐 山人 ，博士 ，讲师 ，研究方 向微分动力系统及稳定性理论 。 基金项 目：河北省 自然科学基金 （ 基金号 ０ Ｍ０ ４ ７ ０）
【 （ （） ） ， ｎ≤ ＜ ｏ ．
则对于 Ｑ，当 时得（ｎ＿ 口 ＝ 并且有 ∈ ≥ ｒ ）＋ 一 半口， ＇ ≥ 半口 ｘ ｌ Ｘ ｐ （ ） — ｐ 一 “ 口≤ ） ｌ ｕ 十 ＋ 丁 ＋ ｌｐ 口 于当≥时有 ≤ ）≤，以 。面 是 ，半口（（ 口所 ｒ Ｑ下 ） Ｑ
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２０ ０ ７年 ６月
石 家庄铁路职 业技 术学院学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬＯＦ Ｓ ＪＡＺＨＵＡＮ Ｇ ＨＩＩ Ｉ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ ＲＡＩ ＷＡＹ ＴＥ ＮＳ Ｉ Ｌ ＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖ ． ． ＯＬ６Ｎｏ ２
中图分类号： １５７ ０ ７． 文献标识码 ： Ａ 文章编号： ６３ １１ （ ０ ）２ ０ ０— ５ １７ —８６ ２ ７０ —０ １０ ０
关 于 高阶差 分方程 的振 动性 和 渐进 性 ，已经 越来 越 引起人 们 的关注 ，如 ［ ］ 卜５ 。本 文 中，笔 者主
要 讨论 了奇数阶 中立 型差 分 方程 Ａ ｍｌ （） ｎ ）＋ｆ（， （ （） …， （ 一 ｎ） ＝０ｎ≥ｎ ， ２＋【 ｎ ＋ｐ （ —ｆ】 ｘ ｎｘｎ一 ｎ） ｘｎ （） ， ） ， ０ （） １
定义 １ 七 ＝ｋ （ ） ． ： （ ） ． ｋ一１… （ 七一ｎ ） ＋１ ，且有 ｋ。＝ｌ （ ） 。
，使 得 当 ｎ Ｎ 时 ，有 ｘｎ ＞０。 （）
定 ：Ｅ 义在 序列［， ＋，） 义２ 是定 实 ｎｎ ｌ 上的Ｂｎｃ空间， 具有 ｏ。 … ａａ ｈ 且 上确界 ＝ｕｌｎ。 模 ｓ ｘ ） Ｐ （Ｉ
。
我 ｔ 证 明 Ｆ 是 Ｑ 上 的 一 个 压 缩 映 射 。 事 实 上 ， 对 于 ｊ ∈Ｑ ， ｎ＞ｎ ＇ ｆ Ｊ ｃ ２ ｏ时 ， 我 ｆ 有 Ｊ
，
（ （
＜ ｐ ＿ ） … ） ＿ ｆ ｌ ＋
（ ）Ｉ ２ Ｊ ，
－ｌ … ｆ （ ，
一
ｆｓ ｚ — ｌ）…， — ） （ｘ（ ｆ ） ｊ （） ， ｓ ， ｃ ２ ）Ｉ
正解 的存 在性 。其 中 △为前 差分 算 子 ，即 ａ （） （ ） ｘｎ 。 ｎ∈Ｚ ｘｎ ＝ｘｎ＋１一 （） ， Ｐ∈Ｒ， ｆ 和 （） 是 非 ｎ均
负整 数， 且有 ｎ —Ｌ（）－∞ － ） ｎ－ － ， ９ ９∞
ｌ ｋ。我 们 假设 下列 条件 （ 成 立 ： ， …， ）
