分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性

仑肥学院学赧（自然科学版）　２０１２年５月第２２卷第２期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｆｅｊ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｍａｖ　２０１２　Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．２　

一类分数阶微分方程边值问题多个正解的存在性　

周玲，周宗福　

（安徽大学数学科学学院，合肥２３０６０１）　

摘　要：用锥压拉不动点定理和Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理，以及一些分析的技巧研究了一类分数阶微分方程　边值问题正解的存在性，得到了这类边值问题其正解存在的充分条件，从而推广了该类方程解的性态．　关键词：正解；分数阶；边值问题　中图分类号：０１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１６２Ｘ（２０１２）０２－０００５－０４　

Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　

Ｖａｌｕｅ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＺＨＯＵ　Ｌｉｎｇ，ＺＨＯＵ　Ｚｏｎｇ—ｆｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ　２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｋｉｉｓ　ｆｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ，Ｌｅｇｇｅｔｔ・Ｗｉｌｌｉａｍｓ　ｆｉｘｅｄ・ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　

ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｋｉｌｌ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｔｕｄｉｅｓ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　

ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｓｏｍｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　

ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｉｓ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｓｙｓｔｅｍｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｏｒｄｅｒ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　

第３２卷第３期　２０１５年６月　贵州大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏｌ＿３２　Ｎｏ．３　Ｊｕｎ．２０１５　

文章编号１０００—５２６９（２０１５）０３—０００４一ｏ３　ＤＯＩ：１０．１５９５８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｄｘｂｚｒｂ．２０１５．０３．０２　

分数阶微分方程边值问题正解的存在性　

于家富　，周　妍　，孙建凯　

（１．齐鲁师范学院继续教育学院，山东济南２５００１３；２．齐鲁师范学院数学学院，山东济南２５００１３）　

摘要：本文利用上下解方法与不动点定理研究分数阶边值问题　

ｆＤ０＋　（ｔ）＋，（ｔ，“）＝０，０＜ｔ＜１　

Ｌｕ”　（Ｏ）＝０，ｕ（１）＝０，０≤Ｊ≤ｎ一２　正解的存在唯一性，这里　一１＜Ｏ／＜ｎ（ｎ≥３），Ｄ　＋是Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数，厂：［０，　

１］×［０，＋∞）一（０，＋。。）是连续函数。　关键词：分数阶边值问题；不动点定理；上下解；正解　中图分类号：０１７４　文献标识码：Ａ　

本文主要研究分数阶边值问题　

』Ｄｏ＋ｕ（　）＋　，ｕ）＝０，０＜　（１）　

ＬＭｕ’（０）：０，　（１）＝０，０≤　≤ｎ一２　正解的存在性，这里ｎ一１＜　＜ｎ（凡≥３），Ｄ　＋是　Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数，Ｉ厂：［０，１］×［０，＋∞）　

一（０，＋∞）是连续函数。　近年来，分数阶微积分学及微分方程引起了越　

来越多专家学者的关注，广泛应用于工程等各个领　域。　

随着分数阶微分学的发展，关于分数阶微积　分、分数阶微分方程的一些著作随之出现，可参考　

文献［１］－［３］。　越来越多的类似文献也相继出现，可参考文献　

［４］一［１Ｏ］。　在文献［４］，Ｃ．Ｙｕａｎ研究了分数阶边值问　题：　

ｆＤｏ＋ｕ（　）＋　ｔ，ｕ）＝０，０＜　（２）　

【Ｍｕ　（０）＝０，Ⅱ（１）＝０，０≤　≤ｎ一２　这里参数Ａ＞０，ｆ是变号的，在Ａ充分小时，给出　

分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

如何理解分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

正解，正解是指题目的正确答案或者正确的解决方案，通常用于测验、考试等场景。

正解边值问题，最小边值问题（Minimum Cut Problem）指在一个连通的加权图G（V，E）中找到一个切割S，使得S中包含的边的总权重最小。G表示一个有向图或无向图，V代表其节点集合，E表示其边集合，边e的权重用w(e)表示。S是V的子集合，S-S表示S的补集，切割S定义为从V到S-S的路径中的边的集合。要得到最小的切割，我们就要求出最小的边权重和。

正解边值问题微分方程，边值问题微分方程定义是指一类常微分方程，给出了在某个区间的未知函数及其一阶导数的某些边界条件，要求求出该函数在这个区间内的解。

正解边值问题微分方程分数，式为：

∂u/∂t + a∂u/∂x = b(∂²u/∂x²) + c(∂u/∂x)

其中，u是函数的值，a、b、c是常量参数。其中：

∂u/∂t表示函数u随时间的变化率；

∂u/∂x表示函数u随空间的变化率；

∂²u/∂x²表示函数u随空间的二阶变化率。

分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性，答：

一阶分数阶微分方程两点边值问题的正解存在性取决于给定边值问题的可解性。一般来说，当方程有足够的初值解的连续性或足够的连续性以及给定的两点边值条件，正解就存在。

为什么需要分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

1.意义意味着当各种不同的初始/边界条件及其未知函数给定时，它能找到合适的解决方法。

2.它说明了求解此问题的算法的可靠性，从而保证了其精确性和有效性。

3.它能帮助科学家和工程师更好地了解其实际应用中出现的一系列问题的原因和解决方案，从而可以更有效地解决问题。

怎么进一步推进完成分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

1. 利用Kirchhoff积分变换，尝试将微分方程转化为微分不等式来证明有限解的存在性。

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分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性

作者：江卫华 李庆敏 周彩莲

来源：《河北科技大学学报》2016年第06期

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摘要：为了解决对半无穷区间上具有可数个脉冲点且带有积分边界条件的分数阶脉冲微分方程边值问题，具体研究此类微分方程边值问题解的存在性。通过定义合适的Banach空间、范数以及算子，合理运用分数阶微积分的性质，分别应用压缩映像原理和Krasnoselskii不动点定理证明了分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性，最后通过实例验证了此类方程边值问题解的存在性。

关键词：常微分方程解析理论；脉冲；压缩映像原理；Krasnoselskii不动点定理；边值问题；半无穷区间

中图分类号：O175.8 MSC（2010）主题分类：34B18 文献标志码：A 龙源期刊网

Abstract：In order to solve the boundary value problem of fractional impulsive differential

equations with countable impulses and integral boundary conditions on the half line， the existence of

solutions to the boundary problem is specifically studied. By defining suitable Banach spaces， norms

and operators， using the properties of fractional calculus and applying the contraction mapping