2m阶差分方程边值问题解的存在性
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2m阶差分方程边值问题解的存在性
周展;徐菲
【摘 要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.
【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(015)004
【总页数】5页(P13-17)
【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题
【作 者】周展;徐菲
【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.8
差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.
设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}， Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI等讨论了如下差分方程的周期边值问题：
这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.
2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题
的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7]
中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：
Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,
n∈Z(1,T)
在边值条件
下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程
Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+
(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)
在边值条件
下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意 n∈Z(1,T).
设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：
由E上的内积可以诱导空间E上的范数：
对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：
因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得
c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E
这里u.显然J ∈C1(E,R)， 其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有
f(n,un),∀n∈Z(1,T).
因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A使得
显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义
}.
设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则
W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,
w∈R,i∈Z(1,T)},
且
下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.
定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)， 如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.
记Bρ={y∈S: ‖y‖
(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;
(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0
那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.
定理1 如果以下假设都满足:
(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T);
(A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;
(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且
(A4)存在正常数R2和β>2使得0
(A5)存在正常数R3和α
那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.
注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.
注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.
记
p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},
p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.
则p*≥p*>0.
为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.
引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.
证明 设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有
‖
a1c1β(β)‖ ‖‖u(l)‖α-
‖
注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得
‖‖u(l)‖2-
‖C.
因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件.
定理1的证明 由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点.
可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,
‖u‖2-ε‖u‖2=
‖u‖2
令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有
‖
‖w‖β.
定义 ,
‖w‖β.
可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到
，
则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|00,其中}.
令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|00,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.
例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题
Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0
对照式(5), 有
因此
易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.
【相关文献】
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