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固体物理+胡安版+部分习题答案

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固体物理习题参考答案

固体物理习题参考答案

固体物理第一次习题参考答案1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 0.526x π=≈体心立方 30.688x π=≈ 面心立方 20.746x π=≈ 六角密排 20.746x π=≈ 金刚石 30.3416x π=≈解：设钢球半径为r ，立方晶系晶格常数为a ，六角密排晶格常数为a,c 钢球体积为V 1，总体积为V 2（1）简单立方单胞含一个原子，a r =2 52.06343321≈==ππa r V V（2）体心立方取惯用单胞，含两个原子，r a 43= 68.0833423321≈=⋅=ππar V V （3）面心立方取惯用单胞，含4个原子，r a =2 74.0623443321≈=⋅=ππar V V （4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率 取图示单胞，含两个原子，a r =2 单胞高度a c 38=（见第2题） 74.062233422321≈=⋅⋅=ππc a r V V （5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，r a 2341= 34.01633483321≈=⋅=ππar V V2．试证六方密排密堆积结构中128() 1.6333c a =≈解： 六角密排，如图示，4个原子构成正四面体222)2332(2a a c =⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ ⇒ a c 38=3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。

证：体心立方基矢取为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=++-=-+=)(2)(2)(2321k j i a a k j i a a k j i a a其中a 为晶格常数其倒格子基矢，按定义)(2)(21111114212)(223321j i b j i a kj ia a a a b+=+=--⋅=⨯Ω=πππ)(2)(2132k j b a a b +=⨯Ω=π)(2)(2213k i b a a b +=⨯Ω=π可见，体心立方的倒格子是晶格常数为a b π4=的面心立方。

固体物理（胡安）课后答案（可编辑）

固体物理（胡安）课后答案（可编辑）

固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。

为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。

解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。

因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。

1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。

为整数。

问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。

解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。

1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。

证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。

证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。

证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。

解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。

(b)立方晶系中没有底心立方点阵。

(c)六角晶中只有简单六角点阵。

解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。

(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。

固体物理(胡安)课后答案

固体物理(胡安)课后答案

f + f B , h1 + h2 + h3为偶 = A f A − f B ,h1 + h2 + h3为奇
射强度： I ∝ F ( h1h2 h3 ) , 对于 h1 + h2 + h3 为奇数的衍射面 f A = f B 则会消
2
光。 1.11
试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有 8 个碳原子，坐标为：
( 2π ) =
Vc
3
3 2π ) ( 或: b1 b 2 × b3 = a1 ( a2 × a3 )
(
)
现 在 证 明 ： a
1
a
3
×b b = 2π b ⋅ (b × b )
1 2 1 2 3
× = 2π b b b ⋅ (b × b )
2 1 1 2 3
a
2
b ×b = 2π b ⋅ (b × 2 × b3 = a1 Vc 令
b2 × b1 c1 = 2π b1 ⋅ b2 × b3
(
(
)
) ( )
b3 × b1 c 2 = 2π = a 2 b1 ⋅ b2 × b3
伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文
第一章
晶体的结构及其对称性
1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式 格子。 为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元 胞。 解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为 如图点 A 和点 B 的格点在晶格结构中所处的地位不同， 并 不完全等价，平移 A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2 在正交直角坐标系中，若矢量 Rl = l1i + l 2 j + l3 k ， i ， j ， k 为单位向量。 li (i = 1,2,3) 为整数。问下列情况属于什么点阵？

固体物理学课后题答案

固体物理学课后题答案

第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

固体物理学习题解答

固体物理学习题解答

《固体物理学》习题解答第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。

解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。

氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。

金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。

由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。

试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。

解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。

所以，其晶面指数为()1121。

(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。

所以，其晶面指数为()1120。

(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。

所以，其晶面指数为()1100。

(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。

所以，其晶面指数为()0001。

3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6π；。

证明：由于晶格常数为a ，所以：(1)．构成简立方时，最大球半径为2m aR =，每个原胞中占有一个原子，334326m a V a ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭36m V a π∴= (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞中占有两个原子，334322348m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭328m V a ∴=(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞占有４个原子，334244346m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭346m V a ∴=(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知3m R =c 。

固体物理学习题解答(完整版)

固体物理学习题解答(完整版)

《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。

从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。

分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。

因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123o o o a n hda n kd a n id===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2）313()o o a n a a n =-+g g把（1）式的关系代入，即得正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（2）体心立方：8（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：16。

固体物理习题及答案

固体物理习题及答案

固体物理第一章习题及参考答案1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。

解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。

把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。

初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。

其中一种选法如图所示。

W －S 也如图所示。

左图中的正六边形为惯用元胞。

2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。

(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。

11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。

倒空间 ↑→ji i (B)由倒格基失的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。

（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。

12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。

证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。

固体物理学 的答案【胡安】

固体物理学 的答案【胡安】

第一部分 晶体结构-总结与习题指导1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。

布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。

布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。

点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。

初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。

布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。

对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。

2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。

初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。

对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅×。

3 惯用晶胞(单胞)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。

惯用晶胞可以是初基的或非初基的。

惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。

其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。

确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。

4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。

维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。

5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。

理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。

这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。

将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。

固体物理习题解答-完整版

固体物理习题解答-完整版
n
2.3
若一晶体的相互作用能可以表示为 u ( r ) = − 求 1 ）平衡间距 r 0
α
r
m
+
β
rn
3 ）体弹性模量 4 ）若取
2 ）结合能 W （单个原子的）
m = 2, n = 10, r0 = 0.3 nm, W = 4 eV ，计算 α , β 值。
解 1）晶体内能 U ( r ) =
N α β (− m + n ) 2 r r
⎛ ε 11 3ε 22 ⎜ + 4 4 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3ε 11 3ε 22 ε 23 ⎟ = ⎜ − + 4 4 ⎜ ε 33 ⎟ ⎠ ⎜ 3ε 23 − ⎜ 2 ⎝ − 3ε 11 3ε 22 + 4 4 3ε 11 ε 22 + 4 4 − − 3ε 23 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ε ⎟ − 23 ⎟ 2 ⎟ ε 33 ⎟ ⎟ ⎠
h k l ( )2 + ( )2 + ( )2 a b c
说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理 证 简单正交系 a ⊥ b ⊥ c 倒格子基矢 b1 = 2π
a1 = ai , a2 = bj , a3 = ck b2 = 2π a3 × a1 a1 ⋅ a2 × a3 b3 = 2π a1 × a2 a1 ⋅ a2 × a3
⎛ ε 11 ε 12 ⎜ 假 设 六 角 晶 系 统 的 介 电 常 数 为 ε = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε 32
⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε 32
ε 13 ⎞ ⎟ ε 23 ⎟ 则 由 ε = AT ε Ax 得 ε 33 ⎟ ⎠
x
ε 13 ⎞ ⎛ ε 11 − ε 12 − ε 13 ⎞ 0 ⎞ ⎛ ε 11 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ε 23 ⎟ = ⎜ − ε 21 ε 22 ε 23 ⎟ 可见 ε = ⎜ 0 ε 22 ε 23 ⎟ 将上式代入 ε = AzT ε Az ⎜ ⎜0 ε ε 33 ⎟ ε 33 ⎟ ε 33 ⎟ 32 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ε 31 ε 32
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1
3a(i j k) 4
2
3a(i jk) 4
1
2
3a 4
c o s 1 ,
2 1
1
2 1 1 0 9 0 2 7 23
1.5 证明：
K
J
H I
z
E
D aG F
a
1200 b
元胞DFEGHIJK
a b a
9 0 0 , 1 2 0 0
元胞基矢和体积，
aai
bcos600ai cos300aj
晶胞基矢
a a i , b a j , c a k
倒格子基矢 a 2 i,b 2 j,c2 k
a
a
a
倒格矢 G h klh2 a ik2 a jl2 a k
( h , k , l 0 , 1 , 2 , 3 , )
晶胞含８个同种原子，位置，
(0 ,0 ,0 )(,a,a,a )(,a,a,0 )(,a,0 ,a ) 444 22 2 2
1.1 a
解：是由红色代表的碳原子构成的二维菱形格子与黑色代 表的碳原子构成的二维菱形格子沿正六边形边长方向相互移 动一个边长长度 a 套购而成的复式格子。
其二维点阵和其元胞基矢如图所示：
a2
a1
1.2
(a)
R l l1 i l2j l3 k (l1 ,l2 ,l3 0 , 1 , 2 , 3 ,)
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a 2 i,b 2 j,c 2 k
a
a
a
a1
a(j k) 2
元胞基矢
a2
a(ik) 2
a1a2a3
a3
a(i 2
j)
与元胞坐标系对应的倒格子(体心立方)基矢：
b1
2
a
(i
j
k)
(a
b
c)
b2
2
a
(i
j
k)
(a
b
c)
b3
2
a
(i
2、当h k 全l 偶数时，
A0 h2kl奇 数 ， B=0，出现消光。 h2 kl偶 数 ， B0 ，不出现消光。
3、h k 中l 有一个指数分量为奇数，其余为偶数时，
A0 出现消光
4、h k 中l 有两个指数分量为奇数，其余为偶数时，
A0 出现消光
补充习题1
c
a1
a2 b
a3
a
晶胞基矢：a a i ,b a j,c a k abc
ki j
SC (全偶）
(全奇）
(b) fcc
ki j
1.3 解：这一离子晶体属于氯化钠结构。
ki Na+ j Cl-
1.4
解 (a) 对面心立方晶格，
a
元胞基矢
a1
a2
(j k) a2(ik)
2
ca3
a2 b
a1
a
a3
a(i 2
j)
a1 a2 a3
2a 2
面心立方晶胞与元胞
a3
(i 2
jk)
a1 a2 a3
3a 2
cos a1 , a2
a1 a2 a1 a2
1 109027 3
cos a2 , a3
a2 a3 a2 a3
1 109027 3
cos a1 , a3
a1 a3 a1 a3
1 109027 3
(b)
kj
i
金刚石晶胞
1ai 3aj 22
c ck
a
a 2 0
00
3 a 0 3 a2c
2
2
0c
倒格子基矢，
a2 bc 2 a i3 3j
b2ca43j
3a
c2ab2k
c
倒格矢，
G h k l h a k b lc
晶格面间距，
d hkl
2
G hkl
G hkl hakblc2
h a k b lc 2 h 2a 2 k 2b 2 l2c 2 2 h ka b 2 k lb c 2 h la c
a
所以，倒格子也是正六方格子。
4
a
b2
4
６ 0
b1
a
j
i
对称操作：
绕中心转动：
1、 C １1个； 2、 C 21个； 3、 C 34个（60度、120度、240度、300度）；
绕对边中心的联线转180度，共3条； 绕对顶点联线转180度，共3条； 以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共24个对称操作
fj
1ei(hk)
ei(hl)
ei(kl)
1ei
h2k22l
令 A1ei(hk) ei(hl) ei(kl) B1eih2k22l
1、当 h k 全l 奇数时，
A0 要使B ，0 必须，
h 2 k 2 2 l 奇 数 h k l 2 奇 数 = 偶 数 但 hkl，奇 所以数 不出现消光。
a2
a
2 2 2 2
k aj j
a2
2
a
倒格矢，
G h h 1 b 1 h 2 b 2 2 a2 h 1 i h 2 j, h 1 ,h 2 0 , 1 , 2 ,
得到布里渊区界面方程，
k G h 1 2 G h 2 2 a2 h 1 k x h 2 k y 2 a 2 22 h 1 2 h 2 2
晶格元胞体积，
a1 a2 a3
i jk
(a i a j) a a 0 a2
2 23 2 23
23
0 01
倒格子基矢及模:
2 2 2
b 1 a 2 a 3aia3 j
b1
2a 22a
2
3
4
a
b 2 2 a 3 a 1 2 ai 2 a3 j
b2
2a 22a
2
3
4
k y 3/a 2/a
/a
2 2/a k x
2/a 3 / 2a
j
k)
(a
b
c )
得到:
a
1 2
(b2
b3)
b
1 2
(b3
b1 )
c
1 2
(b1
b2)
与晶面族(hlk垂)直的倒格矢：
G hkl
h
a
kb
l
c
1 2
k
l b1 l h b2
h k b3
1
2 p ( h1b1 h2b2 h3b3 )
1 2 p G h1h2 h3
是p k l , l h 的 , 最 h 大 公k 约数。
已知晶面密勒指数 (hl，k )可得到元胞坐标系下的晶面指数：
(h 1 h 2h 3) 1 pkllh hk
补充习题2
a2
j
a
i a1
a1
a
i
2
a 23
j
a2
a
i
2
a 23
j
取单位矢量 k垂直于 i、 , j
a3 k
补充习题3
c
b
a
金刚石晶胞
abc a a2
a1
2a
a
2a
（110）面原子分布
a
a2
a1
（110）面二维格子的元胞和基矢
元胞基矢
a1
2
ai
2
a2aj
元胞体积
i jk
ka1a2k
2 2
0
0 2a2 2
0 a0
（110）面二维晶格倒格子基矢，
bb1222ak 2ak1
2 2ajk2 2i
cos a1, a2
a1 a2 a1 a 2
1 600 2
cos a2, a3
a2 a3 a2 a3
1 600 2
cos a1, a3
a1 a3 a1 a3
1 600 2
对体心立方晶格，
a1
a2
c
a3
b
a
体心立方晶胞与元胞
元胞基矢
aa12 a 2a2a(( iijjkk))
( 0 ,a ,a )(a ,,3 a ,3 a )(3 ,a ,3 a ,a )(3 ,a ,a ,3 a ) 22444 444444
F(G) f j (1eih2k22l ei(hk) ei(hl)
e e e e ) i(kl)
i
h3k 22
3l 2
i32h32k 2l
i
3hk 3l 2 22
2h1kxh2kya2h1 2h2 2
得到第一布里渊区边界方程，
h1 1,h2 0,kx
2
2
h1 0,h2 1,ky a
得到第二布里渊区边界方程，
3
h1 1, h2 1, 2kx ky a
h1
2, h2
0, kx
2
2
a
h1
0, h2
二布里渊区示意图，
a 2 4 3 2 a 2 ,b 2 4 3 2 a 2 ,c 2 2 c 2 2
ab
22
3 a
2
bc 0
ac 0
dhkl 4 32a2h24 32a2k22c2l24 32a2hk1/2
4 3h2a k22klcl221/2
1.11
晶胞
c
b
a