固体物理学-期中考试试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2005级 2007-2008学年第二学期固体物理学期中考试答案一、简要回答下列问题：（30分）（1）简要说明热传导系数的温度依赖关系。
[答]晶格热导率的温度依赖关系如下：高温情况下，T>>德拜温度ΘD ，对于所有晶格振动模，平均声子数∝T ，温度升高时，声子间相互“碰撞”的几率增大，自由程减小，自由程与温度成反比；且在高温下，热容与温度无关。
因此高温情况下热导率与温度成反比。
低温时，尽管晶格热容遵从德拜T 3 定律，但热导率κ随温度的变化主要决定于平均自由程λ的指数因子，即κ 随温度降低而指数增大。
极低温度的情况下，声子的平均自由程可以增大到与声子被晶格缺陷散射所决定的平均自由程相比拟，甚至可以与晶体样品的有限尺寸相比拟。
这时的平均自由程不再是非谐效应引起的本征自由程，而应是以缺陷的空间分布或样品的尺寸所决定的与温度无关的平均自由程。
因此，热导率的温度依赖关系将与晶格热容的温度依赖关系（T 3）相同。
（2）声子数的物理意义是什么？晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T 之间有什么样的关系？［答］声子是指格波的量子，它的能量等于i ωη。
一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子。
所以，声子数代表晶格振动的格波数。
频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 11)(/-=T k i B e n ωωη即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。
晶体中的声子数目为ωωωωd g n N D)()('0⎰=其中令 T k x B ωη= 则 123'2/033233-=⎰x TB e dxx C T k V N D θπη在极低温度下，θD ／T→∞，于是 33323233233310332'()212B B x n V k T Vk x dx N T C e C nππ∞∞===-∑⎰h h（3）共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？[答]对电子束缚能力相同或相近的两个原子,彼此靠近时,各自贡献一个电子,为两个原子共有,从而使其结合在一起,这种结合,称为共价结合,或原子结合。
能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。
它有两个特点：饱和性和方向性。
饱和性指一个原子只能形成一定数目的共价键。
按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。
因此当一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的电子数。
设N 为一个原子的价电子数目，对于ⅣA ，ⅤA ，ⅥA ，ⅦA 族元素，价电子壳层共包含8个量子态，最多能容纳（8－N ）个电子，形成（8－N ）个共价键。
这就是共价结合的“饱和性”。
当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而且共价键结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。
因此，两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，也就是电子的波函数为最大的方向。
这就是共价键具有“方向性”的物理本质。
（4）一维双原子链中，原子的质量分别为M 和m ，若用一个杂质原子分别替代这两种原子，说明在何种情况下可以在晶格中产生隙模、高频模、共振模？[答]晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率。
在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模；特征频率落在了频带之中的，称为共振模；落在频隙之间，称为隙模。
对于一维双原子链，假设两种原子的质量分别为m 1 和m 2 ，而且m 2>m 1 ；杂质原子的质量为m ’ 。
当杂质原子替代m 1 原子（轻的）位置时，若m’>m 1 就会出现隙模；若m’<m 1 时则出现高频模。
当杂质原子替代m 2 原子（重的）位置时，如m’<m 2也会出现隙模；m’>m 2 则出现共振模。
（5）对晶体作结构分析时，是否可以用可见光，为什么？ ［答］不能用可见光作晶体的结构分析。
因为晶体的晶格常数的数量级为10－10m ，只有波长与晶格常数为一个数量级的电磁波或粒子才能以晶格作为衍射光栅，进行晶格常数的测定，而可见光的波长范围是400nm ～760nm ，远大于晶格常数，所以不能用它作晶体结构的分析。
二、填空题（10分）1、 同一晶体的正、倒格子一般属于同一晶系，其中面心立方晶体的倒格子是体心立方 ，若已知其晶胞的边长为a ，则其原胞体积为 34a ，原胞基矢为 ，其相应的倒格子原胞基矢为 ，1()2a a j k =+r r r 2()2a a k i =+r r r 3()2a a i j =+r r r12()b i j k a π=-++r rr r 22()b i j k a π=-+r rr r 32()b i j k aπ=+-r r r r倒格子晶胞基矢：i a a ϖϖπ2*= ，i b b ϖϖπ2*= ， i cc ϖϖπ2*=。
若假设已知该晶体中的密勒指数为（hkl ）的晶面族，则与该晶面垂直的倒格矢在倒格子晶胞坐标系下的表达式为 ***c l b k a h G hkl ϖϖϖ++=则该晶面在原胞坐标系中的相应面指数为 )})()({(1k h h l l k p+++ （ p 是公约数 ）2、 由N 个原胞组成的一维双原子链，q 可以取个不同的值，每个q 对应 2 个解，因此总共有 2N 个不同的格波。
若在由N 个原胞（每个原胞内有n 个原子）组成三维晶格中，对一定的波矢q ，有 3 支声学波， 3n-3 支光学波，在长波极限下，光学波原子振动的特点是 质心不动，相邻原子振动方向相反 ，声学波原子振动的特点是 相邻原子振动方向相同，反映质心运动 。
三（15分）写出长光学波的宏观运动方程，说明方程的物理意义，并由静电场和高频电场两种情况导出方程系数。
解：长光学波的宏观运动方程..1112b W bE W =+r rr（1）2122P b W b E =+r r r（2）这里，W r 称为折合位移，反映正负离子相对位移的矢量。
P r是宏观极化强度，E r是宏观电场强度。
物理意义：方程（1）是决定离子相对振动的动力学方程，称为振动方程；方程（2）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程。
这两个方程中系数并不都是无关的，由对称性要求有b 12＝b 21。
1） 静电场情况下 )0(εε= 所以 代入方程（2）中得（3）又因为（4）对比（3）式和（4）式知：（5）2）高频电场情况下 W r＝0， )(∞=εε所以 22P b E =r r（6）又因为 （7） 对比（6）式和（7）式知：（8）联立（5）式和（8）式得：（9）0[()1]P Eεε=∞-r r 220]1)([b =-∞εε112120)]()0([b b -=∞-εεε0W=g gr1211b W E b =-r r21212222211()b P b W b E b Eb =+=-r r r r 00(0)D E P E εεε=+=r r r r11212220]1)0([b bb -=-εε0[(0)1]P Eεε=-r r下面确定b 11 :对横光学波（下标T ）和纵光学波（下标L ）分别满足以下关系：静电场情况下：所以对方程（1）两边取旋度有： 即：即： （10）（10）是横光学波的振动方程，解此方程可得到b 11与横光学波的振动频率之间的关系最后各系数求解总结如下，其中0),(),0(ωεε∞可通过实验确定。
四（15分）低温下，固体比热和温度3T 成正比，称为德拜定律1112b W bEW ∇⨯=∇⨯+∇⨯g gr r rE ∇⨯=rL W ∇•≠r 0T W ∇⨯≠r0L W ∇⨯=r 0T W ∇•=r 0()0D E P ε∇•=∇•+=r r r 221122()()L TL T d W d W b W W dt dt∇⨯+=∇⨯+r rr r 2112TT d W b Wdt =rr 211ω=-b 211ω-=b 022]1)([εε-∞=b 02/102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b4312()5B V DNk T C π=Θ现已知温度T=100K 时金刚石的热容27.210/V C cal mol K -=⨯g ，求金刚石的零点振动能。
[解] 令0N N = （阿伏伽德罗常数），由德拜定律11443321212 3.14168.314()()10018615 4.18657.210D V R T K C πθ-⨯⨯===⨯⨯⨯g 因为1001861D T K K θ=<<=，所以可以利用100K 下金刚石热容数据求其零点振动能，金刚石零点振动能001()2mE g d ωωωω=⎰h g m ω是德拜模型中最高角频，()g ω是模式密度，对三维晶体 23()34(2)V g d q dq ωωππ=⨯⨯ 式中V 是晶体的体积，对于德拜模型，Cq ω=，C 是弹性波波速，所以2232233()34(2)2V d V g d d C C Cωωωωωπωππ=⨯⨯= 且()3mg d N ωωω=⎰， 因此 2336mN C Vπω=令德拜温度为 B D m k θω=h 则金刚石零点振动能为23023230133224mmV V E d d C Cωωωωωωωππ==⎰⎰h h98B D Nk θ=1摩尔金刚石零点振动能09917419.74/ 4.2/88B D D E Nk R J mol kcal mol θθ====五（15分）具有简立方布喇菲格子的晶体原子间距为02A ，由于晶格具有非线性作用，一个沿［100］方向传播、波矢 101[100] 1.310q m -=⨯r声子同另一个波矢大小相等但沿［110］方向传播的声子相互作用，合并生成第三个声子，试求合成后声子的波矢。
[解] 两声子相互作用形成第三个声子时，不仅要服从能量守恒，还要求满足波矢守恒（或准动量守恒） 123q q q +=r r r可知, q 3 沿[210]方向，22220131212||||||2 5.7710q q q q q m -=++•=⨯r r r r r∴ 1013|| 2.410q m -=⨯r或者：101010103122ˆˆˆˆˆ1.310 1.310() 2.22100.92102q q q ii j i j =+=⨯+⨯⨯+=⨯+⨯r r r 因为 10112|||| 1.571022b b m aπ-===⨯r r所以, q 3沿[100]方向分量已超出了第一布区.但q 3 沿 [010] 方向分量没有超出第一布区, 故可以在沿[100]方向给q 3加一倒格矢（110ˆ1014.3ˆ2-⨯-=-=m i i a G h πϖ）使之回到 第一布区.q [100]q [110]q 3q 3b 2/2=(π/a )jb 1/2=(π/a )i33101010101010101ˆˆˆ2.22100.9210 3.1410ˆˆ0.92100.921022ˆˆ1.310 1.310()22hq q G i j ii ji j m -'=+=⨯+⨯-⨯=-⨯+⨯=-⨯⨯+⨯⨯v v v所以三声子过程产生的第三个声子波矢方向是在[-1,1,0],其大小仍为110103.1-⨯m ，处于第一布里渊区内。
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