高中上海市金山中学高一上学期期中数学试题 (3)

上海市金山中学【精品】高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合5,1,,AaBab，若AB，则ab__________.

2．函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．

3．已知函数21,g1xxfxxxx，则fxgx__________.

4．设集合|22Axyx，|22Byyx，则AB______.

5．已知全集UR，集合11Axx，则UCA____________

6．若集合2|210Axaxx至多有一个元素，则实数a的取值集合是______.

7．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

8．若命题“存在实数x，使得222(2)40axax成立”是假命题，则实数a的取值范围是________.

9．已知集合|250Mxxx，集合|210Nxxaxa，若MNN，则实数a的取值范围是______.

10．已知ab，且1ab，则221abab的最小值是 .

11．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为PA，用nA表示有限集A的元素个数.给出下列命题：①对于任意集合A，都有APA；②存在集合A，使得3nPA；③若AB，则PAPB；④若AB，则PAPB；⑤若1nAnB，则2nPAnPB.其中所有正确命题的序号为______.

12．对一切xR，2fxaxbxcab的值恒为非负实数，则abcba的最小值为______.

二、单选题 13．下列结论正确的是

A．若,abcd，则acbd B．若,abcd，则adbc

C．若,abcd，则acbd D．若,abcd，则abdc

14．设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是UABU（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

15．设整数4n,集合1,2,3,,Xn.令集合,,|,,,,,SxyzxyzXxyzyzxzxy且三条件恰有一个成立若,,xyz和,,zwx都在S中,则下列选项正确的是( )

A．,,yzwS,,,xywS B．,,yzwS,,,xywS

C．,,yzwS,,,xywS D．,,yzwS,,,xywS

16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,0,RxQfxxQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数fx有如下四个命题：①1ffx；②函数fx是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，fxTfx对任意的xR恒成立；④存在三个点11,Axfx，22,Bxfx，33,Cxfx，使得ABC为等边三角形.其中真命题的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题

17．解不等式组：22211xxx

18．设22|430Axxaxa，2|560Bxxx，2|2520Cxxx.

（1）若ABAB，求a的值；

（2）若ABAC，求a的值.

19．已知两个正数a，b满足a+b=1 （1）求证：114ab；

（2）若不等式11221xxab对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．

20．某森林出现火灾，火势正以每分钟100𝑚2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50𝑚2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元.

（1）设派名消防队员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立t与𝑥的函数关系式；

（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？

（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）

21．已知全集UR，集合2|320Axxx，2|20,BxxaxaaR.

（1）当ABA时，求a的取值范围；

（2）当ABA时，求a的取值范围. 参考答案

1．11

【解析】

【分析】

根据两个集合相等的知识列方程组，解方程组求得,ab的值，进而求得ab的值.

【详解】

由于AB，所以51aab，解得5,6ab，故11ab.

故答案为：11.

【点睛】

本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题.

2．3

【解析】

由f(－x)＝f(x)，得a＝1，∴f(2)＝3.

3．x(x>-1且x≠0)

【分析】

先求得fx和gx定义域的交集，由此求得fxgx的表达式.

【详解】

由10x得fx的定义域为1,A，由100xx有gx的定义域为1,00,B，ABB，所以fxgxx(1x且0x).

故答案为：x(1x且0x)

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题.

4．2

【分析】

求出函数22yx的定义域化简集合M的表示，求出函数22yx的值域化简集合N的表示，运用集合的交集定义求出AB. 【详解】

由22yx，得到20x，即2x，

∴|2Axx，

由N中222yx，得到|2Byy，

则2AB.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了函数的定义域和值域，考查了集合的交集定义，考查了数学运算能力.

5．01，

【分析】

解分式不等式求得集合A，由此求得集合A的补集.

【详解】

由11x，有1110xxx，解得0x或1x，故UCA01，.

故答案为01，

【点睛】

本小题主要考查集合补集的概念，考查分式不等式的解法.

6．|1aa或0a

【分析】

对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解的性质求解即可.

【详解】

当0a时，12A，符合题意；

当0440aa时，1a，此时方程2210axx至多有一个解，即集合A至多有一个元素；

∴1a，或0a，即实数a的取值集合是|1aa或0a. 故答案为：|1aa或0a.

【点睛】

本题考查了已知集合元素的个数求参数问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

7．A＜5

【解析】

解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥>5}，集合𝐵={𝑥|𝑥>𝑎}，且命题“𝑥∈𝐴”是命题“𝑥∈𝐵”的充分不必要条件，说明而来集合A是集合B的子集，那么a<5

8．（﹣2，2]．

【分析】

由原命题的否定为真命题得到∀实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解．

【详解】

命题“存在实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0成立”是假命题，

则其否定为“∀实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0成立”是真命题，

当a＝2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立；

当a≠2时，则2204(2)1620aaa＜＜，解得﹣2＜a＜2．

综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．

故答案为：（﹣2，2]．

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．

9．,215,

【分析】

解一元二次不等式化简集合M的表示，分类讨论求出一元二次不等式的解集化简集合N的表示，最后根据MNN，分类讨论求出实数a的取值范围.

【详解】

(2)(5)0|2Mxxxxx或5x， ∵MNN，∴NM.

1a，21,Naa，∴2a；

1a，N，满足题意；

1a，,21Naa，∴5a.

综上，实数a的取值范围是,215,.

故答案为：,215,.

【点睛】

本题考查了已知集合交集运算的结果求参数问题，考查了解一元二次不等式，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

10．

【解析】

试题分析：由题意，由及均值不等式可得最小值为.

考点：均值不等式.

11．①④⑤

【分析】

根据所给定义，结合集合子集个数公式，逐一判断即可.

【详解】

由PA的定义可知①正确，④正确，

设nAn，则2nnPA，∴②错误，

若AB，则PAPB，③不正确；

1nAnB，即A中元素比B中元素多1个，

则2nPAnPB.⑤正确，

故答案为：①④⑤.

【点睛】