11 判 断 题
判断正误，如果错误请更正
第二章 线形规划的对偶理论
1. 原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.
2. 互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.
3. 原问题有多重解,对偶问题也有多重解.
4. 对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.
5. 原问题无最优解,则对偶问题无可行解.
6. 设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝ 和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝ 的可行解,则有(1)CX<=Yb;
(2)CX是w的上界;
(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;
(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;
(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;
(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.
7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.
8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.
9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.
10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.
11影子价格就是资源的价格.
12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.
13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.
14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.
15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.
16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.
22 17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.
18.减少一个非基变量, 目标值不变.
19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题
在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章 线性规划的对偶理论
1. 如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同
B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对
第二章 线性规划的对偶问题
４７ 习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4
st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4 ≤5
4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3 ＝－4
xj ≥0 （j＝1,2,3） x1 － x3＋ x4≥1
x1，x3≥0，x2，x4无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5
x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束 x1≤0， x2≥0，x3 无约束
2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；
（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；
（4）模型中全部x1用31'x代换。
2.3 已知线性规划问题 min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4
st. x1＋2x2 ＋ x4≥3
3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6
x3 ＋ x4＝2
x1 ＋ x3 ≥2
xj≥0（j＝1,2,3,4）
(1) 写出其对偶问题；
对偶理论知识点总结
一、一般理解
对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义
在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。对于一个原始优化问题：
\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]
它的对偶问题可以定义为：
\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]
其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质
对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geq
b^Ty\]
2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \
c^Tx=sup \ b^Ty\]
这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用
对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
研究生课程教学大纲格式
课程编号：（由研究生院统一编写）
课程名称：高等运筹学
开课院系：数学系 任课教师：刘巍
先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计
适用学科范围：交通信息工程及控制、交通运输规划与管理、物流工程与管理、管理科学与工程、交通工程、企业管理、行政管理
学时：36 学分：2
开课学期：第一学期 开课形式：课堂讲授为主
课程目的和基本要求：（200字左右）
课程目的是通过本课程的教学使学生掌握运筹学的基本原理和方法，具有运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用能力。基本要求：正确理解运筹学方法论，掌握运筹学整体优化思想；熟悉决策分析的思路和过程；掌握线性规划、动态规划、网络模型等基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应技巧；能够采用计算机软件对常用模型进行求解计算和分析，能正确应用各类模型分析、解决一些实际问题；培养和提高学生科学思维、科学方法和创新能力，为进一步的研究和应用打下基础。
课程主要内容：（1000~1500字）
第一章 线性规划及单纯形法
1. 线性规划问题及其数学模型
2. 线性规划问题的几何意义
3. 单纯形法
4. 应用举例
第二章 对偶理论与灵敏度分析
1. 单纯形法的矩阵描述
2. 对偶问题的提出
3. 线性规划的对偶理论
4. 对偶问题的经济解释—影子价格
5. 对偶单纯形法
6. 灵敏度分析
第三章 运输问题
1. 运输问题的数学模型
2. 表上作业法 3. 产销不平衡的运输问题及其求解方法
4. 应用举例
第四章 目标规划
1. 目标规划的数学模型
2. 解目标规划的图解法
3. 解目标规划的单纯形法
4. 应用举例
第五章 整数规划
1. 整数规划问题的提出
2. 分枝定界法
