2017-2018年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及答案

第1页（共24页） 2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（ ）

A．|a|＞|b| B．＞ C．＞ D．a2＞b2

2．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（ ）

A． B． C． D．

5．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，则S5=（ ）

A．81 B．80 C．121 D．120

6．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．2

7．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（ ）

A． B． C．7 D．6

8．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

第2页（共24页） 9．（4分）设点Pi（xi，yi）在直线li：aix+biy=ci上，若i（ai+bi）=ci（i=1，2），且恒成立，则c1+c2的值（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

10．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（ ）

A． B． C．6π D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中的横线上．

11．（6分）已知直线l1：mx+3y=2﹣m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m= ；若l1⊥l2，则实数m= ．

12．（6分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2= ，数列{an}的前n项和Sn的最小值是 ．

13．（6分）若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，表面积为

14．（6分）若实数x，y满足，不等式组所表示的平面区域面积为 ；若z=ax+y在点处取到最大值，则实数a的取值范围 ．

15．（6分）m∈R，动直线l1：x+my﹣1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为 ．

16．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1

第3页（共24页） 上的动 点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是 ．

17．（6分）设数列{an}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017= ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（12分）如图，在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，G是线段BE的中点，AB=2，

（Ⅰ）若F是线段CD上的中点，求证：GF∥平面ADE

（Ⅱ）若F是线段CD上的动点，求三棱锥F﹣ABE的体积．

19．（12分）已知直线l经过点P（6，4），斜率为k

（Ⅰ）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；

（Ⅱ）若k=﹣1，一条光线从点M（6，0）出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．

20．（14分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣1

（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；

（Ⅱ）当x∈（0，1]时，恒成立，求实数a的取值范围．

21．（15分）如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，

第4页（共24页） AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合

（Ⅰ）求证：AB⊥CF；

（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．

22．（15分）已知数列{an}，{bn}，．

（Ⅰ）记Pn=b1•b2•…•bn，求Pn的取值范围；

（Ⅱ）记Sn=b1+b2+…+bn，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

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2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（ ）

A．|a|＞|b| B．＞ C．＞ D．a2＞b2

【解答】解：∵a＜b＜0，

∴a＜a﹣b＜0，

∴．

因此B不正确．

故选：B．

2．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；

对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，

m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；

对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；

对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．

故选：B．

3．（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（ ）

A． B． C． D．

第6页（共24页） 【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，

设正四面体的棱长为a，

则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，

∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，

取CD中点G，连结BG、AG，

则AG⊥CD，BG⊥CD，

∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，

∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，

∴OF⊥OE，

∴∠EFO=．

∴异面直线EF与CD所成的角为．

故选：B．

4．（4分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：tanα==tan，α∈[0，π），可得α=．

故选：C．

5．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，则S5=（ ）

第7页（共24页） A．81 B．80 C．121 D．120

【解答】解：∵，

∴Sn+1﹣Sn=2Sn，即Sn+1=3Sn．

∴数列{Sn}是等比数列，公比为3，首项为1．

则S5=1×34=81．

故选：A．

6．（4分）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．2

【解答】解：联立，解得x=1，y=2．

把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．

∴m=﹣5﹣2n．

∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．

∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．

故选：A．

7．（4分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（ ）

A． B． C．7 D．6

【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，

∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，

∴≥，

∴ab≥，

∵+=3，

∴2a+b=3ab，

∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，

第8页（共24页） ∴（a+1）（b+2）的最小值是，

故选：B．

8．（4分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【解答】解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1，

若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a﹣1（x∈R）的解集为空集，

则|x﹣1|﹣|x﹣2|＜a2+a﹣1恒成立，

即a2+a﹣1＞1，

解得a＜﹣2或a＞1，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣，2）∪（1，+∞），

故选：D．

9．（4分）设点Pi（xi，yi）在直线li：aix+biy=ci上，若i（ai+bi）=ci（i=1，2），且恒成立，则c1+c2的值（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：∵点Pi（xi，yi）在直线li：aix+biy=ci上，ai+bi=ici（i=1，2），

∴l1过定点M（1，1），l2过定点N（2，2），

又|P1P2|≥恒成立，∴l1∥l2，

∵|MN|==，

∴MN⊥li（i=1，2）．

又kMN=1．

∴直线l1，l2的方程分别为：x+y=2，x+y=4，

∴c1+c2=6，

故选：C．

10．（4分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC