圆公共弦定理证明

求两圆公共弦长的方法嘿，咱今儿就来唠唠求两圆公共弦长的那些事儿！你想啊，这两个圆就像是两个小伙伴，它们有时候会有一条共同的“线”牵连着，这就是公共弦啦！那怎么找到这条弦的长度呢？咱先说一个简单直接的办法，那就是把两个圆的方程相减！这一减，嘿，就得出了公共弦所在的直线方程。

然后呢，咱再在其中一个圆里，利用圆心到直线的距离公式，算出圆心到这条公共弦的距离。

就好比你要知道你和小伙伴之间的距离一样。

有了这个距离，再结合圆的半径，用勾股定理一捣鼓，不就能求出公共弦长的一半啦！然后再乘以 2，公共弦长不就出来了嘛。

还有啊，有时候咱可以通过图形来直观感受。

想象一下，那两个圆就像是两个大圆盘摆在那，公共弦就是它们之间的那根纽带。

咱仔细观察这个图形，利用一些几何关系，也能找到公共弦长呢。

再比如说，咱可以设出公共弦的端点坐标，然后把这些坐标代入到两个圆的方程里，这不就有了一堆等式嘛。

再通过解方程组，就能把端点坐标求出来，那公共弦长不也就知道了嘛。

哎呀，你说这求公共弦长的方法是不是挺有意思的？就像解谜题一样，一点点地去探索，去发现。

这可需要咱有点耐心和细心哦！可别嫌麻烦，等你真正掌握了这些方法，再遇到求两圆公共弦长的问题，那还不是手到擒来呀！你想想，要是以后有人问你怎么求两圆公共弦长，你就能胸有成竹地告诉他，用这个方法，用那个方法，多牛啊！而且这在数学里可重要啦，好多问题都可能涉及到呢。

总之呢，求两圆公共弦长的方法有好几种，咱得根据具体情况选择合适的方法。

就跟咱出门穿衣服一样，得看天气和场合嘛。

咱得把这些方法都掌握好了，才能在数学的世界里畅游无阻呀！所以呀，别小瞧了这些方法，它们可是咱探索数学奥秘的重要工具呢！好好学，好好用，你肯定能行的！。

求公共弦长的方法求公共弦长是在数学和几何学中常见的问题，它涉及到圆和直线之间的关系。

下面将介绍一种方法来求解公共弦长。

我们需要了解什么是公共弦。

在一个圆上，如果有两个点分别位于圆上的两条弧上，并且通过这两个点可以画出一条直线，那么这条直线就是圆的公共弦。

公共弦的长度可以通过一些几何关系来求解。

假设有一个圆，圆心为O，半径为r。

现在我们需要求解两个公共弦AB和CD的长度。

我们可以连接OA和OB，这样就得到了两个半径。

根据圆的性质，半径相等。

所以，OA和OB的长度都是r。

接下来，我们可以连接AC和BD，这样就得到了两个直径。

根据圆的性质，直径是圆上两个相对的点的连线。

所以，AC和BD的长度都是2r。

现在，我们可以利用三角形的性质来求解公共弦的长度。

首先，我们可以观察到四边形ABOC是一个菱形，因为AO和OB的长度相等，并且AO和OB的连线垂直于AB和OC。

所以，我们可以得到AOB是一个直角三角形，且AO和OB是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，我们可以得到AB的长度。

同样地，我们可以观察到四边形CDOB是一个菱形，因为CO和OB的长度相等，并且CO和OB的连线垂直于CD和OD。

所以，我们可以得到COD是一个直角三角形，且CO和OD是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，我们可以得到CD的长度。

我们可以通过勾股定理来求解公共弦AB和CD的长度。

公共弦的长度等于圆的直径的平方减去半径的平方。

在实际应用中，我们可以通过测量圆的直径和半径的长度，然后代入公式来求解公共弦的长度。

这种方法简单易行，并且准确度高。

总结一下，求解公共弦长度的方法是通过勾股定理来计算。

首先，连接圆心和公共弦的两个点，得到半径和直径的长度。

然后，利用勾股定理求解公共弦的长度。

这种方法简单实用，适用于各种圆的情况。

两圆的公共弦方程公式秒杀结论：圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则两圆公共弦所在的直线方程为：(D1−D2)×+(E1−E2)y+F1−F2=0也就是将两个圆的方程直接相减。

题1：已知圆 c1:x2+y2−10x−10y=0 ，圆C2:x2+y2+6x+2y−40=0 ，两个圆相交于 A,B 两点，求直线 AB 的方程。

极简分析：直接使用结论，将两个圆方程相减，得到， 4x+3y −10=0题2：已知圆 x2+y2+x−2y−20=0 与圆 x2+y2=25 相交于 A,B ，则AB= _________。

极简分析：先求 AB 所在直线的方程，直接将两圆方程相减即可： AB:x−2y+5=0然后再利用《直线和圆的弦⻓计算》中的方法计算弦长我们就选 x2+y2=25 吧！这个看起来比较简单.圆心到直线的距离为 d=512+22=5 ，于是 AB=252−52=45 题3：圆 C1:(x−1)2+y2=4 与圆 C2:(x+1)2+(y−3)2=9 相交弦所在直线为 l ，则 l 被圆 O:x2+y2=4 截得的弦长为_______。

极简分析：先求 l 的方程，两个圆直接相减即可：2x−3y+2=0然后按照求直线和圆弦长的方法.圆心 (0,0) 到直线 l 的距离为 d=213 ，于是弦长 =222−(213)2=83913练习1：已知圆 C1:x2+y2+2x−6y+1=0 ，圆C2:x2+y2−4x+2y−11=0 ，两个圆相交于 A,B 两点，求直线AB 的方程。

练习2：已知两圆 x2+y2=10 和 (x−1)2+(y−3)2=20 相交于 A,B 两点，则直线 AB 的方程为________。

练习3：圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦的弦长为________。

练习4：已知点 (8a,4b)(a>0,b>0) 在圆 C:x2+y2=4 和圆 M:(x −2)2+(y−2)2=4 的公共弦上，则 1a+2b 的最小值为_______。

高中圆的公共弦长公式首先，我们需要了解圆的定义和性质。

在平面几何中，圆是由平面上的一组点构成的，这组点到一个固定点的距离都相等。

这个固定的点叫做圆心，距离圆心且相等的任意两点叫做圆上的点。

圆上的两点和圆心之间的线段叫做弦。

圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的弦。

圆的半径是圆心到圆上的任意一点的距离。

接下来，我们需要了解两个圆相交的性质。

如果两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，那么这两个圆相交；如果两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，那么这两个圆相切；如果两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，那么这两个圆相离。

接着，我们来探讨两个相交圆的公共弦长公式。

假设有两个相交圆，它们的圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。

假设它们的公共弦为AB，其中A在圆O₁上，B在圆O₂上，且AB的中点为M。

我们需要求解的是弦长AB。

首先，我们可以将两个圆的半径和弦的长度相连，形成一个三角形O₁O₂B。

由于圆的性质，OB和两个半径r₁和r₂共面，且OB与AB以及O₁O₂的垂线相交于同一个点M。

因此，三角形O₁O₂B是一个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系：O₁M²+O₂M²=O₁O₂²（1）由于O₁M=O₂M，所以我们可以将上述关系简化为：2O₁M²=O₁O₂²（2）另外，根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sin(∠O₁BM) = BM / O₁Bsin(∠O₂BM) = BM / O₂B由于∠O₁BM = ∠O₂BM（夹角O₁BM和夹角O₂BM都是弦AB和两个半径的夹角），所以sin(∠O₁BM) = sin(∠O₂BM)。

因此，BM / O₁B = BM / O₂B。

由于BM是常数，所以O₁B = O₂B。

将上述结果代入公式（2）中，可以得到：2O₁M²=O₁B²+O₂B²由于O₁B=O₂B，所以上述公式可以进一步简化为：2O₁M²=2O₁B²化简得：O₁M²=O₁B²由于O₁M和O₁B之间的关系是垂直关系，所以O₁M就是弦AB的半长。

圆与圆的公共弦方程1. 嘿，你知道圆与圆的公共弦方程吗？这可是个挺有意思的数学知识呢！就像两个好朋友，它们之间有一条特殊的“纽带”，那就是公共弦。

我记得有一次和同学一起讨论数学作业，就碰到了关于圆与圆公共弦方程的问题。

同学一脸疑惑地问我：“这公共弦方程到底咋找呀？”我笑着说：“别急，咱们一起来探索探索。

”你有没有过这样和同学一起研究难题的经历呢？2. 咱来说说圆与圆的公共弦方程哈。

它就像是一座神秘的桥梁，连接着两个圆。

有一次上数学课，老师讲到这个知识点的时候，打了个比方：“同学们，你们看，这两个圆就像两个独立的小岛，公共弦方程就是那座把它们连接起来的桥，让它们有了联系。

”我一下子就明白了，你觉得这个比喻形象不？后来我和同桌在做练习题的时候，还互相提醒要注意找到这座“桥”呢。

你在学习的时候有没有遇到过让你一下子恍然大悟的比喻呀？3. 圆与圆的公共弦方程啊，我觉得它真的很神奇呢！它就像一个隐藏的宝藏，等待我们去挖掘。

有一回我参加数学小组讨论，大家都在为如何快速准确地求出公共弦方程而发愁。

这时，有个同学灵机一动说：“我们可以把两个圆的方程相减呀，说不定就能找到宝藏（公共弦方程）了。

”大家一试，还真的是这样！那种感觉就像发现了新大陆一样兴奋。

你有没有在学习中体验过这种突然找到解题方法的喜悦呢？4. 你瞧，圆与圆的公共弦方程可不容小觑哦。

它就像是一把钥匙，能打开很多数学问题的大门。

我曾经和好朋友一起准备数学考试，复习到这个知识点的时候，我们互相出题考对方。

我出了一道关于两个相交圆的题目，让他求公共弦方程。

他想了一会儿，就用我们学的方法顺利地解出来了，还得意地说：“这钥匙（公共弦方程）还真好用，一下子就把门（题目）打开了。

”你在考试中有没有遇到过用这个知识点解决问题的情况呢？5. 说说圆与圆的公共弦方程吧。

它真的像一个魔法公式，有着神奇的力量。

我和小组同学们在做一个数学项目的时候，就用到了公共弦方程。

一开始大家都觉得有点复杂，但是当我们深入理解了这个公式后，就发现它能帮我们解决很多关于圆的位置关系的问题。

两圆的公共弦方程的求法与应用【推导结论】求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y =2212497430,0,16413x x x x x x ++-===-解得 211240133;.0713x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩分别代入（），得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则 方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。

过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

【应用结论】例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.【解析】构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3 求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．【解析】将已知的两椭圆方程相加，得 2222222b a b a y x +=+．此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。

两个圆相交的公共弦方程推导过程1.假设有两个相交的圆。

Assume there are two intersecting circles.2.圆的方程式为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。

The equations of the circles are (x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2 and (x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2.3.假设两个圆相交于点A和点B。

Suppose the two circles intersect at points A and B.4.点A和点B有相同的坐标(x, y)。

Points A and B have the same coordinates (x, y).5.因此，点A和点B的坐标都满足圆的方程式。

Therefore, the coordinates of points A and B satisfy the equations of the circles.6.将点A的坐标代入两个圆的方程式，得到以下方程式：(x -h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。

Substituting the coordinates of point A into the equations of the circles, we get the following equations: (x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2 and (x - h2)^2 + (y - k2)^2 =r2^2.7.将点B的坐标代入两个圆的方程式，得到以下方程式：(x -h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。

相交圆的公共弦方程推导哎呀，说到相交圆的公共弦方程，这可是一件既有趣又神秘的事情，感觉就像在探索宇宙中的某个秘密。

圆圈，咱们平常见得多，乍一看，它们好像就是一些简单的图形，没啥特别的。

但实际上，圆圈里藏着不少故事哦，就像咱们身边的人，有时候你不去深入了解，它们的精彩只会悄悄溜走。

想象一下，有两个圆圈，在平面上优雅地交错着，正如朋友们在一起聚会，欢声笑语，不同的背景，却能碰撞出有趣的火花。

这就是相交圆，它们不仅仅是图形，更是数学的浪漫。

公共弦是什么呢？简单来说，就是那条把两个圆连接起来的线，就像是一条纽带，把它们的心紧紧相连，仿佛在说：“嘿，我们是朋友，要一起走下去！”可别小看这条线，它可承载了许多秘密。

就像你和朋友之间的共同经历，越多越深厚。

想象一下，两个圆圈相交，形成的公共弦就是它们之间最美的回忆。

咱们就来聊聊怎么推导出这条公共弦的方程吧，保证让你轻松get到这个数学小秘密。

咱们得把两个圆圈的方程拿出来晃一晃，想象它们像两位老朋友，互相打招呼。

第一个圆的方程是 ((x x_1)^2 + (y y_1)^2 = r_1^2)，第二个圆的方程是 ((x x_2)^2 + (yy_2)^2 = r_2^2)。

哇，这个看起来有点复杂，不过别担心，慢慢来。

咱们可以把这两个方程展开，就像拆开礼物一样，兴奋又期待。

展开之后，你会发现它们其实有很多相似之处，简直就像是双胞胎兄弟，虽然长得差不多，但心里都藏着各自的故事。

咱们可以把其中一个方程减去另一个方程，这样就能消掉一些不必要的东西，留下的东西就简单多了。

你看，数学不就是这么好玩嘛！当你把两个方程结合在一起，解出来后，会得到一个关于 (x) 和 (y) 的方程。

这时候，哇哦，奇迹发生了，咱们已经找到了这条公共弦的方程！就像是朋友们聚在一起，找到了共同话题，聊得不亦乐乎。

哦，对了，推导过程中别忘了要保持耐心，数学就像是养花，慢慢来，才能收获美丽的花朵。

如果中途有点困难，也没关系，大家都有这样的经历。

两圆公共弦所在直线方程
求两个圆的公共弦，在数学中是一个比较重要的问题，因为它决定了两个圆的交点和最短
的距离，并有助于解决实际的计算问题。

首先，计算两个圆的公共弦所在的直线，要知道两圆的圆心和半径，因此，我们需要首先计算出圆心坐标(x1,y1)，(x2,y2)，半径R1，R2。

假设O1O2是这两个圆心点连接的线段，则两个圆的公共弦AB所在的直线方程为：
e: (y1 - y2)x + (x2 - x1)y + (x1 * y2 - x2 * y1) = (R1 + R2) * (R1 - R2)
其中e是看上去有点晦涩的符号，像一个算式，但是了解其中的原理以后，就不再是一个
令人生畏的算式了。

当我们已知两个圆心和半径时，都可以通过上述方程来解决计算两个圆的公共弦所在的直线方程。

而为了求出以AB为直径的圆，我们就可以利用上述方程，求出AB两端点的坐标，从而求出AB两端点连接线段的中点坐标，以及该直线上AB的中点到AB的最短距
离来求出AB的半径。

运用数学方法可以轻松的解决两个圆的公共弦所在的直线方程问题，因此，数学在实际应
用中变得至关重要。

当我们能够利用它去解决实际的问题时，数学的运用会变得更加出色，从而为我们带来更多的惊喜。