高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(总)

一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{ x |x <x 1或x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{}x|x 1<x<x 2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12，或x ＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6.(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． 解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x |1<x <6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )． 解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0∴－1a＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1.当a ＜－1时，－1a＜1，∴x ＞1或x ＜－1a，综上原不等式的解集是： 当a ＝0时，{x |x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a＜x ＜1；当a ＝－1时，{x |x ≠1}； 当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．[解] ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0， 即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x (2－x )＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞0} B ．{x |x ＜2} C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}， 则M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x |x ≤－2或x ＞3}D ．{x |x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0} ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x ＜3 答案：(1,3) 4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－2 3 5．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识点总结一．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（了解）二．一元二次不等式的解法二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆= ()12x x < 有两个相等实数根122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++>()0a > {}12x x x x x <>或 2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R20ax bx c ++< ()0a >{}12x x x x << ∅ ∅ 注：（１）当二次项系数不是正数时，把它化成正数；解集可简记为小于０在两根之间，大于０在两根之外 （２）题目中不等式带等号，解集中带等号，题目中不带等号，解集中也不带（３）解题时要充分利用二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系（４）恒成立问题：2y ax bx c =++若ａ＞０，0∆<，则ｙ＞０恒成立若ａ＜０，0∆<，则ｙ＜０恒成立（５）若ｍ＜≤（）()f x 恒成立，只需ｍ＜≤（）()min f x若ｍ＞()≥()f x 恒成立，只需ｍ＞()max ()f x ≥三．跟踪训练１．若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -值是( ) .A 10- .B 14- .C 10 .D 14２．集合M={x |0x 2}，N={x |x 2-2x-3<0}，则M N 为（ ）A 、{x |0x 2}B 、{x |0<x<2}C 、{x |-1<x<3}D 、{x |x>０}３．若不等式022>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为_ ４．求下列不等式的解集（１）４2x －４x ＞１５ （２）１３－４2x ＞０（３）2x －３x －１０＜０ （４）x （９－x ）＞０５．已知集合Ｍ＝｛x ｜2x －１６＜０｝，Ｎ＝｛x ｜2x －４x ＋３＞０｝,求M N６．）已知集合A ={x |220x a -≤，其中0a >}，B ={x |2340x x -->}，且A B = R ，求实数a 的取值范围７．解关于x 的不等式2(1)10axa x -++<８．已知：ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当)2,3(-∈x 时， 0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)(<x f（1）求)(x f y =的解析式（2）c 为何值时，02≤++c bx ax 的解集为R.。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

一元二次不等式【知识概述】本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法，以及利用一元二次不等式解决其他相关数学问题.通过本节课的学习，要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，能够解决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参数的取值范围的问题.b－4ac）三个二次之间的关系（下表中a>0，△=2【学前诊断】1.[难度] 易不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是（ ）A. }12|{>-<x x x 或B. }12|{<<-x xC. {|12}x x x <->或D. }21|{<<-x x 2. [难度] 易方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. 41->mB. 41-<mC. 41≥mD. 41->m 且0≠m 3. [难度] 中若不等式220ax bx +->的解集是(－2，－41)，则a =___________，b =____________【经典例题】例1. 解下列关于x 的不等式（1）(5)(32)6:x x +-≥（2）2(12)20ax a x -++>.例2. 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}24x x <<，求不等式20cx bx a ++<的解集.例3. 若关于x 的不等式2230ax ax -+>对一切实数x 都成立，求a 的取值范围.例4. 若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++≥在区间(],1-∞上总成立，求a 的取值范围.例5.若关于x 的不等式22320x ax a +-≤在区间[]1,2-上总成立，求a 的取值范围.例6.若对(],1x ∈-∞-，不等式21()2()12x x m m --<恒成立，求实数m 的取值范围.【本课总结】不等式是高考的基本内容之一，作为重要的工具性知识，在高考数学试卷中一直占有较高的比例，由于不等式内容的高渗透性特征，所以本部分内容的考查形式比较灵活，可以出现在各种题型内，如选择、填空、解答题都可以渗透不等式内容，所以新课标卷对不等式的考查都是小题和大题兼顾，而且由于高考试卷命题的综合性特征明显，单纯考查不等式的题目不是很多，常在一些函数、数列、解析几何和实际应用问题的试题中有所涉及，并在其中充分发挥着工具性作用，不等式高考题的落脚点在于不等式的基础知识和不等式的解法，特别是一元二次不等式（包括含参数和不含参数的）的解法.不等式部分要求考生要有足够的运算求解能力和转化化归能力，且由于解题途径的多样性，又对考生的综合运用所学知识分析和解决问题的能力有较高要求.具体学习时要注意一下几点：1.要特别重视四位一体的综合思维模式，即将二次函数、二次方程、二次不等式、二次函数图像作为有机整体进行思考，并能进行必要的转化，此思维模式中包含重要的数学思想，如数形结合思想、转化思想等，通过数形结合将抽象问题直观化，通过转化则可将复杂问题简单化、将陌生问题熟悉化.2.解一元二次不等式时，要转化为标准形式，即二次项系数大于零，在此背景下才能直接套用不等式的解集公式.3.如果不等式的系数中包含字母参数，则在解不等式时一般要进行分类讨论，在含参问题的讨论中，充分利用二次函数图像突出其直观性是重要的思想方法.此类问题的难点在于含参问题的讨论，许多同学的困惑在于如何确定分类讨论的标准，一般来说此类问题的讨论分三个层次：先讨论二次项系数的符号，如本题中分k=0,k>0；再讨论判别式的符号；在有根的情况下，如有必要再讨论两根之大小关系，若该二次三项式可以因式分解，则不需讨论判别式而直接讨论两根之大小..4. 在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.已知不等式恒成立求参数的取值范围，是一种重要的数学模型，如(1)()()f x a x D ≥∈恒成立，求参数a 的取值范围；（2）()()f x g x ≥恒成立，求式中参数m 的取值范围等，此类数学模型一般有两种基本解法，一是转化为求函数的最小值：如()()f x a x D ≥∈恒成立max ()(),f x a x D ⇔≥∈二是分离参数法，将参数m 与自变量x 进行分离，分离参数是一种重要的方法，可避免分类讨论的痛苦，在研究不等式恒成立的问题时非常有效..5.要关注求解不等式的逆向思维问题，即若给出不等式的解集研究原不等式.6.要关注在其他数学问题背景中涉及到一元二次不等式的相关问题，此类问题具有一定的综合性，对解题方法的选择有一定灵活性.【活学活用】1 . [难度] 易若10<<a ，则不等式0)1)((>--a x x a 的解集是（ ） A. a x a 1<< B. a x a <<1 C. a x 1>或a x < D. a x 1<或a x > 2. [难度] 中解关于x 的不等式0))((2<--a x a x .3. [难度] 中对于任意实数x ，一元二次不等式0)4()1()12(2>-+++-m x m x m 恒成立，求实数m 的取值范围.。

必修 5《一元二次不等式及其解法》练习卷知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：鉴别式b2 4ac 0 0 0 二次函数y ax2bx ca0 的图象有两个相异实数根一元二次方程ax2 bx c 0x1,2 b 有两个相等实数根2a x1 x2b 没有实数根a 0 的根2ax1 x2ax2 bx c 0x x x1或x x2x xbRa 0 2a一元二次不等式的解集ax2 bx c 0x x1 x x2a 0同步练习：1、不等式6x2 5x 4 的解集为（）A ．, 4 1 , B． 4 , 13 2 3 2C．, 1 4 , D． 1 , 42 3 2 32、设会合x 1 x 2 ，x x a 0 ，若，那么实数 a 的取值范围是（）A．1, B．2, C．,2 D．1,3、若不等式x2 mx 1 0 的解集为 R ，则 m 的取值范围是（）A ．RB ．2,2 C．, 2 2, D．2,24、设一元二次不等式ax 2 bx 1 0 的解集为x 1 x 1 ，则 ab 的值是（）3A ．6 B．5 C．6 D．55、不等式x2 ax 12a2 0 a 0 的解集是（）A ．3a,4 aB ．4a, 3a C．3,4 D ．2a,6 a6、不等式ax2 bx 2 0 的解集是x 1 x 1，则2 3 A．14 B．14 C．a b（）10D．101 2 x2 6 x 9 x2 3x 191的解集是（）7、不等式22A ．1,10 B．, 1 10,C．R D．, 1 10,8、不等式x 1 2 x 0 的解集是（）A ．x 1 x 2 B．x x 1或x 2 C．x 1 x 2 D．x x 1或x 29、不等式ax2 bx c a 0 的解集为，那么（）A ．a 0，0B ．a 0，0 C．a 0，0 D ．a 0，010、设f x x2 bx 1 ，且 f 1 f 3 ，则 f x 0 的解集是（）A．,1 3, B．R C．x x 1 D ．x x 111、若0 a 1，则不等式 a x1的解是（）x 0aA ．a1 1x a x B．a aC．x a或x 1 D．x 1或 x aa a12、不等式x 1 3x 0 的解集是（）A．,1B．,0 0,1C．1, D．0,13 3 3 313、二次函数y ax2 bx c x R 的部分对应值以下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6则不等式 ax2 bx c 0 的解集是____________________________．14、若a b 0 ，则 a bx ax b 0 的解集是_____________________________．15 、不等式ax2 bx c 0 的解集为x 2 x 3 ，则不等式ax2 bx c 0 的解集是________________________ ．16、不等式x2 2x 3 0 的解集是___________________________．17、不等式x2 5x 6 0 的解集是______________________________．18、k 1 x2 6x 8 0 的解集是或4 ，则k_________．x x 2 x519、已知不等式x2 px q 0 的解集是x 3 x 2 ，则 p q ________．20、不等式x x3 0 的解集为____________________．21、求以下不等式的解集：⑴ x 4 x 1 0 ；⑵3x2 x 2 ；⑶ 4x2 4x 1 0 ．22、已知不等式ax 2bx 2 0 的解集为x 1x1，求a、b的值．2 323、已知会合x x29 0 ，x x24x 3 0 ，求，．会合的运算一、知识点：1．交集：由所有下于会合 A 即：A B2．并集：由所有下于会合 A 即：A B 属于会合 B 的元素所组成的会合，叫做 A 与 B 的交集。

一元二次不等式及其解法（选择题：一般）1、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或2、关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A． B． C． D．5、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．6、已知集合则 ( )A． B． C． D．7、关于的不等式()的解集为,且,则（）A． B． C． D．8、已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．11、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B．(-∞,2］ C． D．12、若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．413、若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是A． B． C． D．14、不等式的解集是（）A． B．C． D．15、不等式的解为（）A． B． C． D．16、已知不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．17、不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A． B． C． D．18、关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B． C． D．19、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．20、不等式的解集是（）A． B． C． D．21、对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(-∞,2) B．(-∞,2］C．(-2,2) D．（-2,2］22、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．23、设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x成立，则下列关系中成立的是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=φ24、若实数，且，满足，，则代数式的值为（）A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或2025、若实数，且满足，，则代数式的值为（）A．-20 B．2 C．2或-20 D．2或2026、已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A． B． C． D．27、若为的解集，则的解集为()A．或 B．C． D．或28、若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）29、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则的取值范围是( ) A．或 B．或C．或 D．或30、已知集合，，则（）A． B． C． D．31、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．32、已知集合，，则A． B． C． D．33、已知集合，，则A． B． C． D．34、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )A．6 B．7 C．9 D．1035、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或36、若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．37、不等式的解集是（）A． B． C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．1440、对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．41、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．42、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a-b等于（）A．-10 B．10 C．-14 D．1443、当时，不等式恒成立，则k之的取值范围是（）A． B． C． D．（0，4）44、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =245、若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为()A．{x|x<2或x>3} B．{x|2<x<3}C． D．46、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．47、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是()A．(-∞,2] B．(1,+∞) C．(-∞,2) D．[1,+∞)48、函数的定义域是()A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4<x<3}C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}49、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－50、不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或51、当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)52、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]53、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)54、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．55、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．56、不等式的解集为A． B． C．R D．57、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－58、二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D.59、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、若关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．61、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]62、不等式的解集是 ( )A． B．C． D．63、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．64、设，=,C U A=,则m的取值范围是（）A．[0， ) B．{0} (，+)C．(-，0] D．( -，0] (，+)65、关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2） B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+） D．（-，1）（2，+）66、当x>0时，若不等式x2+ax+4≥0恒成立，则a的最小值为（）A．-2 B．2 C．-4 D．467、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．68、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．69、函数的定义域为_______________．70、关于x的不等式的解集中，恰有个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、C2、A3、B4、D5、B6、C．7、A8、B9、A10、C11、D12、A13、A14、D15、C16、A17、B18、C19、B20、A21、D22、B23、C24、A25、A26、A27、D28、A29、D30、B31、D32、A33、A34、C35、C36、D37、D38、B39、A40、A41、B42、A43、C44、B45、D46、C47、A48、C49、C50、C51、C52、C53、D54、B55、A56、A57、C58、C59、A60、D61、C62、B63、A64、A65、C66、C67、A68、A69、70、D【解析】1、求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2、试题分析：原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以，解得，故选A.考点：一元二次不等式3、由题意可知的两个根为，不等式即为，解不等式得解集为.考点：三个二次之间的关系.4、当时，恒成立；当时，有解得，所以.考点：不等式恒成立问题.5、试题分析：由已知可得是方程的两根．由根与系数的关系可知，，．代入不等式解得．考点：本题考查一元二次不等式的解法．6、试题分析：解得，，故选C．考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．7、试题分析：由得，，所以.所以选A. 考点：1.含参的二次不等式的解法.8、不等式等价于，令，由得在上是减函数，时，取最大值，故选B.9、不等式对于恒成立，(1)时，不等式成立；当时，，；综上可知：的取值范围是.10、，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.11、首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4<0,恒成立；当时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零，，且两种情况并到一起，得到a的范围为。

一元二次不等式及其解法（填空题：较易）1、已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是．2、不等式的解集是_________．3、已知关于的不等式的解集为（2，），则的解集为．4、函数的定义域为___________.5、若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．6、已知函数，则不等式的解集是__________．7、已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.8、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。

9、若函数的两个零点是－2和3，则不等式的解集是________．10、已知不等式的解集为，则_______．11、不等式的解集是_______________12、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．13、若方程的两根分别为和1，则不等式的解集为__________．14、若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．15、不等式的解集为________16、不等式的解集为_____17、不等式的解为_____________18、不等式的解集是_____________.19、如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___.20、集合，，则___________．21、不等式的解集是______．22、不等式的解集是___________.23、已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是．24、不等式的解集是 .25、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．26、设关于的一元二次不等式的解集为，则．27、二次不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .28、已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .29、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．30、不等式的解集是 .31、若对任意实数恒成立，求x的取值范围_________32、不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝____．33、若不等式的解集为，则__________ .34、已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .35、对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是．36、不等式的解集为______.37、不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．38、（1）的解集是；（2）的解集是 .39、关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________.40、二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.41、关于的不等式的解集是，则的取值范围是______．42、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．43、关于的不等式的解集为，则．44、若不等式的解集为，则_______.45、已知，不等式恒成立，则的取值范围为__________.46、已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是 .47、已知函数,如果不等式的解集是则不等式的解集是___________48、不等式的解集为．49、不等式的解集为，则。

一元二次不等式及其解法教学重点： 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。

1. 一元二次不等式（1） 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；（2） 一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；（3） 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况，列表如下：0>∆0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=23.一元二次不等式的解法步骤（1）对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；（2）计算相应方程的根的判别式；（3）当0∆>时，求出相应的一元二次方程的两根；（4）根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。

注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。

（一看，二算，三写）4.含参数的一元二次不等式的解法（1）二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；（2）解∆得过程中，若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号，这时根据∆的符号确定的需要，对参数进行讨论；（3）方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。

5.不等式的恒成立问题（1）结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般用此法；（2）从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；（3）能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；（4）数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。

一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】 解下列不等式(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0， 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0， 它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0， 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2<0，② 解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0， 即⎩⎨⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.∴23<x <34. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}. 题型二、不等式中的恒成立问题【例2】 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＜0，或m ＞43⇔m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.【类题通法】不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0； 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0； 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅的条件为⎩⎨⎧a ＜0，Δ≤0. 【对点训练】 2．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0， 解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.【练习反馈】1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0⇔x <0或x ≥12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0.解得－1＜a ＜0.答案：(－1,0)5．你能用一根长为100 m 的绳子围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0＜x ＜50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )＞600，即x 2－50x ＋600＜0，解得20＜x ＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．。

一元二次不等式及其解法之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数,而且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,x2,(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x ＋3＞0；(2)x2－4x －5≤0；(3)－4x2＋18x －814≥0； (4)－12x2＋3x －5＞0； (5)－2x2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0,所以方程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3,x2＝－12.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x ＞－12,或x ＜－3}． (2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94. (4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0,Δ＝(－6)2－40＝－4＜0,所以方程x2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0,所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步伐(1)通过对不等式变形,使二次项系数年夜于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1, x2＝6.结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知,原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0.解方程x2－7x ＋6＝0得,x1＝1,x2＝6.结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知,原不等式的解集为{x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．(4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2.∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.解方程9x2－12x ＋4＝0,得x1＝x2＝23.结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知,原不等式的解集为{x|x≠23}. 题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1,x2＝a,函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上,则当a ＜－1时,原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时,原不等式解集为∅；当a ＞－1时,原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数年夜于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的年夜小进行讨论．【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a∈R)．解：原不等式可化为：(ax ＋1)(x －1)＜0,当a ＝0时,x ＜1,当a ＞0时⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a＜x ＜1. 当a ＝－1时,x≠1,当－1＜a ＜0时,⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0, ∴x＞－1a或x ＜1. 当a ＜－1时,－1a＜1, ∴x＞1或x ＜－1a, 综上原不等式的解集是：当a ＝0时,{x|x ＜1}；当a ＞0时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1a ＜x ＜1； 当a ＝－1时,{x|x≠1}；当－1＜a ＜0时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a . 当a ＜－1时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1, 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2},求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}, ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2b ＝1×2得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝2代入所求不等式,得2x2－3x ＋1＞0.由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞12∪(1,＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根,也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部份,是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部份,是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的,三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2. (1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2, 由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋2＝－b a －12×2＝2a .解得a ＝－2,b ＝3. (2)由(1)知,ax2＋bx －1＞0可酿成－2x2＋3x －1＞0,即2x2－3x ＋1＜0,解得12＜x ＜1. ∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12＜x ＜1}． 【练习反馈】1．不等式x(2－x)＞0的解集为( )A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ＜2}C ．{x|x ＞2或x ＜0}D ．{x|0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0,故0＜x ＜2.2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0},N＝{x|x2－x －6＞0},则M∩N 为( )A ．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B ．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C ．{x|x≤－2或x ＞3}D ．{x|x ＜－2或x≥3}解析：选A∵M＝{x|x2－3x －28≤0}＝{x|－4≤x≤7},N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3},∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0,∴1＜x ＜3谜底：(1,3)4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2,则实数a ＝________,实数b ＝________.解析：由题意可知－12,2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋2＝－b a －12×2＝2a解得a ＝－2,b ＝3.谜底：－235．解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；时间：二O二一年七月二十九日(2)x2＞2(x－1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0,因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3,x2＝4,所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0,因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0,方程x2－2x＋2＝0无实根,而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.时间：二O二一年七月二十九日。