高中数学必修5第三章《不等式》复习知识点总结与练习

一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c <0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0，0<c <d ⇒a c ＞b d； (6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0，0＜c ＜d ，则a c ＞b d. (3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞n b .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式；②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解；③画出相应的二次函数的图象；④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0.②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点．③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P 的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面区域．也可把二元一次不等式改写成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax ＋By ＋C ＞0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的上方，Ax ＋By ＋C ＜0表示在直线Ax ＋By ＋C ＝0(B >0)的下方．(3)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab ≤a ＋b 2. (1)基本不等式：设a ，b 是任意两个正数，那么ab ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a ＋b 2看做是正数a ，b 的等差中项，ab 看做是正数a ，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． ③基本不等式ab ≤a ＋b 2几何意义是“半径不小于半弦”． (2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a．当a＝b时等号成立的含意是：a＝b⇒a＋b2＝ab；b．仅当a＝b时等号成立的含意是：a＋b2＝ab⇒a＝b；综合起来，其含意是：a＋b2＝ab⇔a＝b.(3)设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab⇔ab≤a2＋b22⇔ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22.(4)基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋1a≥2，ba＋ab≥2，a2b≥2a－b.(5)常用的几个不等式：①a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时，取等号)；③真分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min ＞A ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max ＜B.例 1 设函数f(x)＝x ，g(x) ＝x ＋a(a>0)，若x ∈[1，4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1恒成立，求a 的取值范围． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1⇔－1≤f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1，得0≤ag （x ）f （x ）≤2， 即ax ＋a 2x≤2在x ∈[1，4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1，4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1，2]上恒成立，设g(t) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎨⎧g （1）≤0，g （2）≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0，22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.例2 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D.例4 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合． 解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，∴Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab(a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．例5 已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞0，∴y ＝x(8－3x)＝13·3x ·(8－3x) ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， ∴当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163. 设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)． 求函数f(x)的最小值．解析：f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取最小值．此时f(x)min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．例6若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A .73B .37C .43D .34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．例7 当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（4m ）2－4×2×（3m －1）≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13. ∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根． 题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f(x)的定义域为(－1，1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)．由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)，∴f(1－a)＜f(a 2－1)．又f(x)在(－1，1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，∴a 的取值范围是(0，1)．题型8 求分式函数的最值例9 求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． 解析：y ＝（x 4＋2x 2＋1）＋（x 2＋1）＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2（x 2＋1）·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．题型9 数轴标根法(1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线自右至左，依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．例10解不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.分析：本题考查高次不等式的解法，应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．解析：设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1，1，2，将其分别标在数轴上，并画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．点评：利用数轴标根法解不等式，需注意：(1)要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围，可取特殊值检验，以防不慎造成失误．(2)有些点是否要舍掉，要仔细检验．题型10变换主元法例11设f(x)＝mx2－mx－6＋m.(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；分析：根据题意，f(x)可看作是m 的一次函数，也可以看作是x 的二次函数来解．解析：(1)依题意，设g(m)＝(x 2－x ＋1)m －6，则g(m)是关于m 的一次函数且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，∴g(m)在[－2，2]上递增． ∴欲使f(x)＜0恒成立．需g(m)max ＝g(2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，解得－1＜x ＜2.∴实数x 取值范围是(－1，2)．(2)方法一 ∵f(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0， 在x ∈[1，3]上恒成立．∴⎩⎨⎧m ＞0，f （x ）max ＝f （3）＝7m －6＜0或⎩⎨⎧m ＝0，f （x ）＝－6＜0或 ⎩⎨⎧m ＜0，f （x ）max ＝f （1）＝m －6＜0.解得m ＜67. 方法二 要使f(x)＝m(x 2－x ＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，则有m ＜6x 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立． 而当x ∈[1，3]时，6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67.∴6x2－x＋1的最小值为67.∴m＜67.点评：若给出m的取值范围，则看作是m的一次函数，若给出x的取值范围，则看作是x的二次函数．。

描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、学习任务1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．二、知识清单平面区域的表示 线性规划 非线性规划三、知识讲解1.平面区域的表示二元一次不等式表示的平面区域已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这两个区域的边界（boundary）．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域．（1） ；（2）．解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画成虚线．② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．3x +2y +6>0y ⩾3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y+6=6>03x +2y +6>0描述：2.线性规划线性规划的有关概念若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则称为线性约束条件（objective function）．一般地，满足线性约束条件的解 叫做可行解（feasible solution），由所有可行解组成的集合叫做可行域（feasible region）．要求最大（小）值所涉及的关于变量 ， 的一次解析式叫做线性目标函数（linearobjectives）．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题叫做线性规划问题（linearprogram）．（2）① 画出直线 ，画成实线．② 取点 ，代入 ，所以 不在不等式 表示的平面区域内，不等式表示的区域如图．y =3x (1,0)y −3x =−3<0(1,0)y ⩾3x 画出不等式组 表示的平面区域．解：不等式 表示直线 及右下方的平面区域； 表示直线及右上方的平面区域； 表示直线 及左方的平面区域；所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．⎧⎩⎨x −y +5⩾0x +y ⩾0x ⩽3x −y +5⩾0x −y +5=0x +y ⩾0x +y =0x ⩽3x =3(x ,y )xy⎩⎨4x+y+10⩾0作出可行域如图中阴影部分所示：可知，图可知，答案：解析：1. 下列各点中，不在 表示的平面区域的是 A ．B ．C ．D ．C将 代入得 ，故 不在 表示的平面区域内．x +y −1⩽0()(0,0)(−1,1)(−1,3)(2,−3)x =−1,y =3x +y −1−1+3−1=1>0(−1,3)x +y −1⩽02. 在平面直角坐标系 中，满足不等式组 ，点 的集合用阴影表示为下列图中的 A．B ．C ．xOy {|x |⩽|y ||x |<1(x ,y )()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

一对一个性化辅导教案数学11-031 x‘ —4x >02 22 (x -1) (x -5x 6) ：： 022x x -12x 1-0 3A (1,2) u (3，址)B(710,畑)C. (1,2) u (710,畑)D (1,2)123x—5 >2x 2 2x -32(2x-1)2(x-7)3(3_2x)(x-4)6 . 0211 2x —1 > J x +12 x + 2 < .x 2-12小x _3 x24log 。

2）一02x 4 c2e , x ：： 2, log 3(x 2 -1),x —2,题型4:不等式恒成立问题1 2例1 ：若关于x 的不等式一^ x+2x>mx 的解集是｛x|0cxc2｝，则m 的值是 _______________________练习：一兀二次不等式 2ax bx 20的解集是 1 1(-一,—)，则a b 的值是(2 3 A . 10 B -10 C.14 D .-142log a 3 :: 10 ::: a2 <3D 0®|a 1f (x) =f(x) 2例2:已知不等式x^(a 1)x a ::: 0，(1) __________________________________________________ 若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是______________________________________________________ 。

(2) ________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是________________________________________________ 。

(3)若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是 _________________例3 :若一兀二次不等式ax2 -4x + a兰0的解集是R则a的取值范围是___________________ 。

第三章 不等式§3.1 不等关系与不等式1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b >0⇔a >b ； a －b ＝0⇔a ＝b ； a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．§3.2 一元二次不等式及其解法(一)1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ；(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根． 3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．§3.2 一元二次不等式及其解法(二)1．一元二次不等式的解集： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都相同．(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝01．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．3．3.2 简单的线性规划问题(一)线性目标函数关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.2 简单的线性规划问题(二)1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(一)1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．2．若a ，b 都为正数，那么a ＋b2≥ab 当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R)；(2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab≤－2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．。

不等式知识总结一、不等式的主要性质：（1）对称性:a b b a <⇔> (２)传递性:c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>; d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2 的图象))((212x x x x a c bx ax y --=++= ))((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2一元二次方程02=++c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 02>++c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax {}21x x x x << ∅∅ 顺口溜：在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间三、均值不等式:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1． 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式:①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭;⑤)0(2>≥+ab b a a b ３、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数)，即2112a ba b+≥≥≥+(当a=b时取等)４、极值定理:设x、y都为正数，则有⑴若x y s+=（和为定值），则当x y=时，积xy取得最大值24s.⑵若xy p=(积为定值）,则当x y=时,和x y+取得最小值四、含有绝对值的不等式1、绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||x x-是指数轴上12,x x两点间的距离2、解含有绝对值不等式的主要方法:（１)解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次(二次）不等式（组）进行求解;（2）去掉绝对值的主要方法有：①公式法:|| (0)x a a a x a<>⇔-<<,|| (0)x a a x a>>⇔>或x a<-．②定义法:零点分段法；③平方法:不等式两边都是非负时，两边同时平方.五、分式不等式的解法:先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩六、数轴穿根法:奇穿，偶不穿例题：不等式03)4)(23(22≤+-+-xxxx的解为七、线性规划:1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：方法一:取特殊点检验；“直线定界、特殊点定域”（1）在平面直角坐标系中作出直线Ax＋Ｂｙ+Ｃ=０;（２）在直线的一侧任取一点P(x０，y0）,特别地,当C≠0时，常把原点作为此特殊点.(3)若Ax0＋By0＋C>０,则包含此点P的半平面为不等式Ax+Ｂy＋Ｃ>０所表示的平面区域，不包含此点P 的半平面为不等式Ax+Bｙ+C<0所表示的平面区域.(4)同侧同号,异侧异号方法二:“直线定界、左右定域”利用规律：ﻩ（由x的大小确定左右，由ｙ的大小确定上下）1.Ax+Ｂy+Ｃ>０,当A>0时表示直线Ax＋Bｙ+C=0右方,当Ａ<0时表示直线Ax＋By+Ｃ＝0左方;2.Ax+By＋C<０,当A>0时表示直线Ax+By＋Ｃ=０右方,当A<０时表示直线Ax+By+C=０左方。

必修五第三章 不等式一．不等关系与不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．比较两个数的大小可以用相减法；除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >． 例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a（1）若;,bc ac b a <>则 (2);,22b a bc ac >>则若(3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,11,<>>>b a ba b a 则若 例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是 ( ).A.22+x >2 B.222≥+x C.22+x <2 D.222≤+x（2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n <m（3）设则下列不等式成立的是是非零实数，若,,b a b a < （ ） A.22b a < B.b a ab 22< C.b a ab 2211< D.ba ab <例3（1）2. 函数122-+=x x y 的定义域是 ( ) A.{}34>-<x x x 或 B.{}34<<-x x C.{}34≥-≤x x x 或 D.{}34≤≤-x x（2） 不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则b a +等于 ( )A.10B.-10C.14D.-14（3） 对于任意的实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，实数a 的取值范围是( ) A.()2，∞- B.(]2，∞- C.()22，- D.(]22，- （4） 解关于的不等式)0(01)1(2><++-a x a ax .例4.解不等式（1）()()()0321≥-+-x x x （2）()()()0321>-+-x x x（3）()()()()032112≤-+-+-x x x x x （4）()()()()032112>-+-+x x x x（5）012<-+x x （6）221≤-+x x （7）027313222≥+-+-x x x x例5（1）.已知不等式22622>++++x x kx kx 对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围。

一、选择题第三章不等式单元测试题1. 已知a、b、c、d R,且a b 0, cad, 则下列各式恒成立的是（）bA bc adB bc adC a b a bDc d c d2. 若a0, 1 b 0, 则有（）A a ab ab2B a ab ab2C ab a ab 2D ab ab2 a3.x(x-3)(2-x)(x+1)>0 的解集为（）A （-1 ，1）B ( 1,0) (2,3)C ( , 1) (2,3)D ( , 1) (0,2) (3, )4. 在第二象限，sin 4 2m,cosm 5m 3，则m 满足（）m 5A m<-5 或m>3B 3<m<9C m=0 或m=8D m=05. 不等式（1x)(1 x) 0 的解集为（）A （-1 ，1）B (, 1) (1, )C ( , 1) ( 1,1) D( 1,1) (1, )6. 已知不等式ax2bx c 0(a0) 的解集是，则（）A a 0, 0B a 0, 0C a 0, 0D a 0, 07. 图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（）y 1A2x y 2 0y 1B2x y 2 0x 0C y 22x y 4 0y2-1 xOy=-2x 0D y 22x y 4 08. 已知在（-1,1 ）上的奇函数f(x) 是增函数，若f (1 a) f (1 a 2 )0 , 则a 的取值范围是（）A （-1 ，1）B （0， 2 ）C （0，1）D （1， 2 ）a 2b 29. 2 ．“ a b 0 ”是“ab ”的（）2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件ab10. 不等式 ax2bx 2 0 的解集是 ( 1 1, ) ，则 a b 的值等于（ ）2 3A ．－ 14 B．14C．－ 10D． 10二、 填空题11. 点 (a,b) 在直线 x+2y=3 上移动，则24 的最小值是.12. 设 0<x<5, 则函数f ( x ) 3x(8 x) 的最大值为.13. 不等式 ax2bx 2 0 的解集是 { x1 21x } ，则 a+b=.314. 若 x0, y 0且x y 1,则z x y 的最大值是.x2ax (a 1)15. 若不等式0 的解为 -1<x<5 ，则 a=.x23 x 416. 设 f (x )ax 2bx ,且1f ( 1) 2,3f (1) 4,则f ( 2) 的取值范围是.三、 解答题（共 4 题，满分 36 分）17. 已知集合A { xx 4 x 40} ， B{ x x24x 3 0} ，求 A B, A B （8 分）18. 求证： a 2b 2 1 ab a b（ 8 分）19. 解关于 x 的不等式 ax 2(a 1)x 1 0(10分)20. 某学校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造2平面图形为矩形且面积为126 m的厂房（不管墙高） ，工程的造价是：（ 1）修 1m 旧墙的费用是造 1m 新墙费用的 25%; (2) 拆去 1m 旧墙用所得的材料来建1m 新墙的费用是建 1m 新墙费用的 50%.问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？（10 分）一、选择题ADBD CCCC AC二、 填空题1.2 22.4 33.-104. 15. 46.[10,14]参考答案三、解答题1, 解：因为 不等式x 4x 40 的解集为： -4<x4不等式x24x 3 0 的解集为： x 1或x 3所以 AB R AB (-4,1] [3,4]2, 证明：a2 +b 22aba 2+1 2ab 2+12b把以上三个式子相加得： 2(a 2 +b 2 +1)2(ab+a+b)a2b21 ab a b3, 解：就 a 的范围进行讨论：1) 当 a=0 时，原不等式可化为： -x+10 得不等式的解集{ x x 1}2) 当 a>0 时， 原不等式可化为： (x-1)(x-1 )<0a 当 a>1 时，不等式的解集为： { x 1ax 1}当 0<x<1 时，不等式的解集为：当 a=1 时，不等式的解集为 :{ x 1 x1} a3, 当 a<0 时，原不等式可化为： (x-1)(x-4, 解：1 )>0解之得： a{ x x 1 1或x} a设保留旧墙 x m, 即拆去旧墙（ 14-x ） m 修新墙，设建 1m 新墙费用为 a 元，则修旧墙的费用为y 1 =25% ax= 1ax; 拆旧墙建新墙的费用为y 4 2 =(14-x) 50 %a=1 2a(14-x); 建新墙的费用为：y 3 =(252 +2x-14)a.x72527252 于是，所需的总费用为： y=y 1 + y 2 + y 3 =[( x4) 7] a [2 xx 4x7 ]a=35a,当且仅当7 x252 ，即 x=12 时上式的“ =”成立；4x故保留 12 m 的旧墙时总费用为最低。

不等式31、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．32、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n na b a b n n >>⇒>∈N >；⑧()0,1nn a b a b n n >>⇒>∈N >．33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． ①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域． ②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． 43、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．不等式与不等关系1．实数x 大于10，用不等式表示为( )A ．x ＜10B ．x ≤10C ．x ＞10D ．x ≥102．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，x ∈R ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .一、选择题1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( )A ．h ＜4.5B ．h ＞4.5C ．h ≤4.5D ．h ≥4.5 2．实数x 的绝对值不大于2，则可用不等式表示为( ) A ．|x|＞2 B ．|x|≥2X k b 1 . c o m C ．|x|＜2 D ．|x|≤2 3．下列不等式中不成立的是( ) A ．－1＞－2 B ．－1＜2 C ．－1≥－1 D ．－1≤－2 4．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v 的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，则可用不等式表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120km/h d ≥10m B ．v ≤120(km/h)或d ≥10(m) C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m)5．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A<B 或A>B D ．A>B6．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则( ) A ．M>N B ．M<N C ．M ＝N D ．不能确定答案：1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.A1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，命题：①若a>b ，c ≠0，则ac>bc ；②若a>b ，则ac 2>bc 2；③若ac 2>bc 2，则a>b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：当c<0时，①不正确； 当c ＝0时，②不正确；只有③正确． 答案：B 2．如果a>b ，给出下列不等式，其中成立的是( ) ①1a <1b ；②a 3>b 3；③a 2＋1>b 2＋1；④2a >2b . A ．②③ B ．①③ C ．③④ D ．②④ 解析：∵a 、b 符号不定，故①不正确，③不正确．∵y ＝x 3是增函数，∴a>b 时，a 3>b 3，故②正确．∵y ＝2x 是增函数，∴a>b 时，2a >2b，故④正确． 答案：D 3．已知a ，b 为非零实数，且a<b ，则( )A ．a 2<b 2B ．a 2b<ab 2C ．2a －2b<0 D.1a >1b解析：取a ＝－4，b ＝2即可判断选项A 、B 、D 错． 答案：C 4．已知a 、b 满足0<a<b<1，下列不等式中成立的是( )A ．a a <b bB ．a a <b aC ．b b <a bD ．b b >b a解析：取特殊值法．令a ＝14，b ＝12，则a a ＝(14)14＝(12)12， b b＝(12)12，∴A 错．a b ＝(14)12<(12)12＝b b ，∴C 错． b b ＝(12)12<(12)14＝b a，∴D 错． 答案：B5．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab<1解析：∵y ＝2x 是单调递增函数，且0<b<a<1， ∴2b <2a <21，即2b <2a<2. 答案：C 6．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b<ab ；②|a|>|b|；③a<b ；④b a ＋ab >2中，正确的不等式是A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：取a ＝－1，b ＝－2，验证排除②③. 答案：C7．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A ，下底面有一点B ，则A 、B 两点间的距离d 满足的不等式为________．解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2 3.故2≤d ≤2 3. 答案：2≤d ≤2 38．若a ＞b ＞0，则1a ________1b.解析：∵1a －1b ＝b －aab ，b －a ＜0，ab ＞0，∴b －a ab ＜0， ∴1a ＜1b. 答案：＜ 9．若实数a ＞b ，则a 2－ab________ba －b 2.(填“＞”或“＜”)解析：因为(a 2－ab)－(ba －b 2)＝(a －b)2，又a ＞b ，所以(a －b)2＞0，即a 2－ab ＞ba －b 2.7．已知三个不等式：ab>0，bc －ad>0，c a －db>0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是____个．解析：由ab>0，bc －ad>0. 两端同除以ab ，得c a －db>0.同样由c a －db>0，ab>0可得bc －ad>0.⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad>0c a －d b>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad>0bc －adab>0⇒ab>0. 答案：38．下列四个不等式：①a<0<b ；②b<a<0；③b<0<a ；④0<b<a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号． 答案：①②④ 9．(2011·三明模拟)给出下列四个命题：①若a>b>0，则1a >1b ； ②若a>b>0，则a －1a >b －1b ；③若a>b>0，则2a ＋b a ＋2b >a b ； ④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b|＋1a －b≥2.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a>b>0，则b －a ab <0，此式错误．②a>b>0，则1a <1b，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b 正确．③2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2a ＋b －a a ＋2b a ＋2b b ＝b 2－a 2a ＋2b b ＝b －a b ＋a a ＋2b b<0，错误．④a －b<0时此式不成立，错误． 答案：②一元二次不等式练习：判断下列式子是不是一元二次不等式？（依据是…）（2）03≤+xy （3）（0)3)(2<-+x x （4）)1(32->-x x x x 2．如何解一元二次不等式？（1）将不等式化为标准式（等号右边为0，二次项的系数为正） （2）判断△的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.例1：（1）40142>+-x x （2）0322>-+-x x（1）0432>--x x （2）0652<+-x x例2.自变量x 在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0呢？小于0呢？（1）y=3x 2-6x+2 (2) y=25-x 2例3．求下列函数的定义域 ：（1）y=log 2(x 2-3x-4) （2）622--=x x y4.若关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围5.已知函数f(x)=213324x x --, 求使函数值大于0的x 的取值范围 4．已知不等式ax 2+bx+6<0的解集是 {x ︳x<-2或x>3 (1)求a,b 的值 (2)求不等式x 2+bx+a>0的解集.例 2 若关于x 的不等式 mx 2-(2m+1)x+m-1≥0 的解集为空集，求m 的取值范围.变式 1：若解集为非空，求m 的取值范围变式2. 若解集为R ，求m 的取值范围不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{x |x<1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}. 一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x 10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x 13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x 16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x 19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x 25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x 31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x 34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x 37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x 40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x 43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x 46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x 49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-< 52、03222<--a ax x 53、0)1(2<--+a x a x221 1 3 1二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为__________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为_______ 12、不等式0＜x 2+x-2≤4的解集是_________13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．9．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R ，求m 的取值范围2.求函数()2110lg 2+-=x x y 的定义域。

不等式知识点复习及例题+练习+答案一、不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 例题：题型一：不等式的性质1.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是____题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2.设0x y <<，比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；3.比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小题型三：求范围4.已知31<+<-b a ，42<-<b a ，求b a 32+的取值范围。

课题一元二次不等式及其解法20 年月日A4打印/ 可编辑1.一元一次不等式与函数关系首先，我们来回忆两个知识点:其一，是对平面直角坐标系的认识同学们看一下坐标图，在x轴上方的y值及x轴下方的y值有什么特点。

其二。

现在我们来看看，2x+4>0的解是什么？请从图上读出它的取值范围:（2）二次函数图像（a>0）与x轴的关系及函数值y的正负性。

当Δ>0时，图像如下：设x1,x2为函数对应方程的两根，即ax2+bx+=0两根，现在我们来看看，当y>0时，对应的x的取值和当y<0时，对应的x的取值。

你们能用一句话来总结一下：“大于零，两根之外，小于零，两根之间”。

现在（a>0）时的一元二次不等式你能求解吗？例：x2+3x+2≥0练习：(1)x2+2x>0;(2)(x+2)2−4x+8≤0;(3)9x2+24x+16<0;(4)x2−15x+56>0;下面我们来看一下Δ=0和Δ<0的情形，其图像如下，你们能说出这时候不等式的解吗？a>0,Δ=0时，函数图像于x轴只有一个交点，这时，除x=−b2a外，其余的都在x轴的上方，所以“大于零，解集为{x|x≠−b2a}，小于零无解。

” a>0,Δ<0时，函数图像于x轴没有交点，图像都在x轴的上方，所以“大于或等于零，解集为R，小于零无解。

”到这里为止，我们已经解决a>0时的一元二次不等式的求解方法，那么当a<0时，我们怎么求解呢？例如：−x2+2x>0.这个问题，留给大家在课下去讨论。

下节课请同学们讲解讨论现在，我们来总结一下a>0时解一元二次不等式的一般方法：第一步：a>0，判断Δ第二步：解对应的一元二次方程；为：{x|x≤−2或x≥−1}Δ=0时，大于零，只要求x≠−b2a，小于零无解。

Δ<0时，大于零解集为R，小于零无解。

学生在老师的提示下尝试归纳总结，口述出自己归纳的结论，可以在同学间讨论，彼此补充不足。

⾼中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（⼆）⾼中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（⼆）第三节⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题[知识能否忆起]1．⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)在平⾯直⾓坐标系中⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域：不等式表⽰区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某⼀侧的所有点组成的平⾯区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表⽰平⾯区域的公共部分(2)⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域的确定：⼆元⼀次不等式所表⽰的平⾯区域的确定，⼀般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进⾏判定，满⾜不等式的，则平⾯区域在测试点所在的直线的⼀侧，反之在直线的另⼀侧．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的⼀次不等式(或⽅程)组成的不等式(组) ⽬标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性⽬标函数关于x，y的⼀次解析式可⾏解满⾜线性约束条件的解(x，y)可⾏域所有可⾏解组成的集合最优解使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解线性规划问题在线性约束条件下求线性⽬标函数的最⼤值或最⼩值问题确定⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域时，经常采⽤“直线定界，特殊点定域”的⽅法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某⼀侧取⼀个特殊点(x0，y0)作为测试点代⼊不等式检验，若满⾜不等式，则表⽰的就是包括该点的这⼀侧，否则就表⽰直线的另⼀侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可⾏域是⼀个多边形，那么⽬标函数⼀般在某顶点处取得最⼤值或最⼩值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将⽬标函数的直线平⾏移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表⽰线性⽬标函数的直线与可⾏域的某条边平⾏时，其最优解可能有⽆数个．⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域典题导⼊x－y≥－2，4x＋3y ≤200与不等式组＝10－y＋x直线2)湖北⾼考2011·(1]例[表⽰的平⾯区域的公共点有( )A．0个B．1个C．2个D．⽆数个[⾃主解答]由不等式组画出平⾯区域如图(阴影部分)．，即43＝－ABk＜2恰过点＝10－y＋x2直线直线2x＋y－10＝0与平⾯区域仅有⼀个公共点A(5,0)．[答案]B由题悟法⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域的判断⽅法：直线定界，测试点定域．注意：不等式中不等号有⽆等号，⽆等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选⼀个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a若满⾜条件)海淀期中2012·()1．(1的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a不等式组，在平⾯直⾓坐标系中)北京朝阳期末2012·()2(所表⽰的平⾯区域的⾯积是9，则实数a的值为________．解析：(1)不等式组所表⽰的平⾯区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1 )，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C. (2)不等式组所表⽰的平⾯区域是如图所⽰的△ABC，且A(－的长为BC，＞a，故4≤ABC△S的⾯积ABC≤a，若)a，－a(C，)4＋a，a(B，)2,2 1.＝a，解得9＝)4＋a2(·)2＋a(12＝ABC △S的⾯积，由⾯积公式可得4＋a2答案：(1)C (2)1求⽬标函数的最值典题导⼊x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，满⾜约束条件y，x设)新课标全国卷2012·()1(2]例[则z＝x－2y的取值范围为________．x≥0，y≤1，2x －2y ＋1≤0，满⾜y ，x 已知实数)⼴州调研2012·()2(若⽬标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最⼩值时的最优解有⽆数个，则实数a 的值为________．[⾃主解答] (1)依题意，画出可⾏域，如图阴影部分所⽰，显然，)0,3(A ；当直线过点3取得最⼩值为－z 时，)2,1(B 过点z2(2)画出平⾯区域所表⽰的图形，如图中的阴影部分所⽰，平移直线ax ＋y ＝0，可知当平移到与直线2x －2y ＋1＝0重合，即a ＝－1时，⽬标函数z ＝ax ＋y 的最⼩值有⽆数多个．[答案] (1)[－3,3] (2)－112，1仅在点)0≠a (y ＋ax ＝z 条件变为⽬标函数)2(若本例处取得最⼩值，其它条件不变，求a 的取值范围．解：由本例图知，当直线ax ＋y ＝0的斜率k ＝－a ＞1，即a ＜－1时，满⾜条件，所求a 的取值范围为(－∞，－1)．由题悟法1．求⽬标函数的最值的⼀般步骤为：⼀画⼆移三求．其关键是准确作出可⾏域，理解⽬标函数的意义．2．常见的⽬标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .ab＝－y ：转化为直线的斜截式by ＋ax ＝z 求这类⽬标函数的最值常将函数．的最值z 的最值间接求出zb通过求直线的截距，z b ＋x.2)b －y ＋(2)a －x ＝(z 形如：距离型)2( .y －bx －a＝z 形如：斜率型)3( 注意：转化的等价性及⼏何意义．以题试法x ＋y≥0，x －y≤0，0≤y≤k，满⾜y ，x 其中，y ＋x 2＝z 设)1．(2若z 的最⼤值为6，则k 的值为________；z 的最⼩值为________．)y ，x (M 若点)，0,1(A 点，是坐标原点O 已知)2(．|的最⼩值是________＋则|，上的⼀个动点解析：(1)在坐标平⾯内画出题中的不等式组表⽰的平⾯区域及直线2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最⼤值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平⾯区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最⼩，此时z ＝2x ＋y 取得最⼩值，最⼩值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.可错误!＝|＋|，)y ，1＋x (＝＋依题意得，)2(视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平⾯内画出题中的不等式组表⽰的平⾯区域，结合图形可知，在该平⾯区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂⾜位于该平⾯区域内，且与点(－1,0)的距离最⼩，因此.322＝|－1＋0－2|2的最⼩值是|＋|322)2( 2－ 2)1(答案：线性规划的实际应⽤典题导⼊[例3](2012·四川⾼考)某公司⽣产甲、⼄两种桶装产品．已知⽣产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；⽣产⼄产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶⼄产品的利润是400元．公司在⽣产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排⽣产计划，从每天⽣产的甲、⼄两种产品中，公司共可获得的最⼤利润是(B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 [⾃主解答] 设每天分别⽣产甲产品x 桶，⼄产品y 桶，相应，在坐标平⾯y 400＋x 300＝zx ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x≥0，y≥0，元，则z 的利润为内画出该不等式组表⽰的平⾯区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平⾯区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最⼤，此时z ＝300x ＋400y 取得最⼤值，最⼤值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最⼤利润是2 800元．[答案] C由题悟法与线性规划有关的应⽤问题，通常涉及最优化问题．如⽤料最省、获利最⼤等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及⽬标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3．(2012·南通模如c 及每万吨铁矿⽯的价格b 的排放量2冶炼每万吨铁矿⽯的CO ，a 的含铁率B 和A 矿⽯铁)拟下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56则购买铁矿⽯)，万吨(的排放量不超过22若要求CO ，铁)万吨(某冶炼⼚⾄少要⽣产1.9的最少费⽤为________百万元．解析：可设需购买A 铁矿⽯x 万吨，B 铁矿⽯y 万吨，y≥0，0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，则根据题意得到约束条件为⽬标函数为z＝3x＋6y，画出不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰当⽬标函数经过(1,2)点15.＝2×6＋1×3＝minz时⽬标函数取最⼩值，最⼩值为答案：15第四节基本不等式[知识能否忆起]a＋b2≤ab⼀、基本不等式.>0b>0，a：基本不等式成⽴的条件时取等号b＝a当且仅当：等号成⽴的条件．2⼆、⼏个重要的不等式)．同号b，a(2≥ab＋ba)；R∈b，a(ab2≥2b∈b，a(a2＋b22≤2a＋b2)；R∈b，a(2a＋b2≤ab三、算术平均数与⼏何平均数基本不等式可叙述为2的算术平均数为b，a则，>0b，>0a设．两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数：四、利⽤基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：)积定和最⼩：简记(.p有最⼩值是2y＋x，时yp是定值xy如果积)1()和定积最⼤：简记(.p24有最⼤值是xy，时y＝x那么当且仅当，p是定值y＋x如果和)2(1.在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．ab ，ab 2≥b ＋a 对于公式．2．的转化关系b ＋a 和ab 两个公式也体现了，要弄清它们的作⽤和使⽤条件及内在联系，2 3．运⽤公式解题时，既要掌握公式的正⽤，也要注意公式的逆⽤，例如a 2＋b 2≥2ab 逆⽤就是ab ≤a2＋b22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆⽤就是ab ≤a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成⽴的条件利⽤基本不等式求最值典题导⼊．的最⼤值为________x ＋4x＋2)＝x (f 则，0＜x 已知)1( 1]例[ (2)(2012·浙江⾼考)若正数x ，y 满⾜x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最⼩值是( )245A.285B. C ．5D ．6 [⾃主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，.错误!－2＝x ＋4x＋2＝)x (f ∴．时等号成⽴2＝－x ，即4－x＝x ，当且仅当－4＝42≥)x －(＋4x －∵，2＝－4－2≤错误!－2＝)x (f ∴∴f (x )的最⼤值为－2.1.＝? ??5＋135≥? ????3x y ＋12y x 15＋135＝?3x y ＋4＋9＋12y x 15＝? ????1y ＋3x ·)y 4＋x 3(·15＝y 4＋x 3∴ 5.的最⼩值为y 4＋x 3∴，)时取等号y 2＝x 当且仅当(5＝3x y ·12yx2× [答案] (1)－2 (2)C本例(2)条件不变，求xy 的最⼩值．，x·3y2≥y3＋x＝xy5，则＞y，＞x∵解：．时取等号y3＝x，当且仅当122525的最⼩值为xy∴由题悟法⽤基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后⽤基本不等式求出最值．在求条件最值时，⼀种⽅法是消元，转化为函数最值；另⼀种⽅法是将要求最值的表达式变形，然后⽤基本不等式将要求最值的表达式放缩为⼀个定值，但⽆论哪种⽅法在⽤基本不等式解题时都必须验证等号成⽴的条件．以题试法．的最⼤值为________2xx2＋1)＝x(f则，0时＞x当)1．(1．的最⼩值为________b9＋alog＋a2已知log)天津⾼考2011·()2((3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成⽴，则实数m的最⼤值是________．，1＝22≤2x＋1x＝2xx2＋1＝)x(f∴，＞x∵)1(解析：．时取等号x＝x当且仅当，1≥)ab(2log得1≥b2log＋a2log由)2(．)时取等号b2＝a，即b23当且仅当(a＋2b23×2≥b23＋a3＝b9＋a3∴，2≥ab即，)时取等号b2＝a当且仅当b2＋a∵⼜18.＝23×2≥b9＋a3∴18.有最⼩值b9＋a3时，b2＝a即当－m恒成⽴，得－m，于是由8≥xy，得2xy2≥y2＋x＝xy，＞y，＞x由)3(2≤8，即m≤10.故m的最⼤值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应⽤典题导⼊[例2] (2012·江苏考)如图，建⽴平⾯直⾓坐标系xOy ，x 轴在地平⾯上，y 轴垂直于地平⾯，单位长度为1千⽶，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的120－kx ＝y 轨迹在⽅程炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．与发射⽅向有关k 其中，表⽰的曲线上)0＞k (2x )2k ＋1(．(1)求炮的最⼤射程；(2)设在第⼀象限有⼀飞⾏物(忽略其⼤⼩)，其飞⾏⾼度为3.2千⽶，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．＞k ，0＞x ，由实际意义和题设条件知0＝2x )2k ＋1(120－kx ，得0＝y 令)1( ]⾃主解答[0，．时取等号1＝k ，当且仅当10＝202≤20k ＋1k＝20k 1＋k2＝x 故所以炮的最⼤射程为10千⽶．成⽴2a )2k ＋1(120－ka ＝3.2，使0＞k 存在?，所以炮弹可击中⽬标0＞a 因为)2( 有正根0＝64＋2a ＋ak 20－2k 2a 的⽅程k 关于? 0≥)64＋2a (2a 4－2)a 20－(＝Δ判别式? ?a ≤6.所以当a 不超过6千⽶时，可击中⽬标．由题悟法利⽤基本不等式求解实际应⽤题的⽅法(1)问题的背景是⼈们关⼼的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题⽬往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有⽤信息，建⽴数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运⽤基本不等式求最值时，若等号成⽴的⾃变量不在定义域内时，就不能使⽤基本不等式求解，此时可根据变量的范围⽤对应函数的单调性求解.以题试法2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提⾼1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收⼊不低于原收⼊，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩⼤该商品的影响⼒，提⾼年销售量．公司决定明年对该商品进⾏全⾯技术⾰16公司拟投⼊．元x 并提⾼定价到，新和营销策略改⾰15，投⼊50万元作为固定宣传费⽤，万元作为技改费⽤)600－2x (x 万元作为浮动宣传费⽤．试问：当该商品明年的销售量a ⾄少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收⼊不低于原收⼊与总投⼊之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，，8×25≥t ? ??8－t －251×0.2依题意，有 40.≤t ≤25，解得0≤000 1＋t 65－2t 整理得因此要使销售的总收⼊不低于原收⼊，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，有解，x 15＋)600－2x (16＋50＋8×25≥ax 不等式．有解15＋x 16＋150x ≥a 时，25＞x 等价于 10.2.≥a ∴，)时，等号成⽴30＝x 当且仅当(10＝150x ·16x2≥x 16＋150x ∵因此当该商品明年的销售量a ⾄少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收⼊不低于原收⼊与总投⼊之和，此时该商品的每件定价为30元．练习题[⼩题能否全取]1.(教材习题改编)如图所⽰的平⾯区域(阴影部分)，⽤不等式表⽰为( )A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0 解：选B将原点(0,0)代⼊2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.x≥1，y≤2，x －y≤0，满⾜y 、x 已知实数)教材习题改编(．2则此不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积是( )12A. 14B.1．C18D. .12＝1×1×12＝△S ∴作出可⾏域为如图所⽰的三⾓形， A 选解析： )(的最⼩值是y －x ＝z 则x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3满⾜约束条件y ，x 若)安徽⾼考2012·(．3 A ．－3B ．0 32C.3．D 解析：选Ax≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3得可⾏域如图中阴影部分所⽰，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最⼩值－3.4.写出能表⽰图中阴影部分的⼆元⼀次不等式组是__________．x≤0，0≤y≤1，2x －y ＋2≥0.由可⾏域知不等式组为解析：。