2015届广东高考数学(理)一轮课件【3.3】导数的应用

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令 F′(x)＝0，得 x＝e2－a； 令 F′(x)>0，得 x<e2－a；
令 F′(x)<0，得 x>e2－a，
思想方法 练出高分
－ln x＋2－a 则 F′(x)＝ . x2
x
基础知识
题型分类
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 故函数 F(x)在区间(0，e2－a] 1 上是增函数， (a∈R)，g(x)＝x. 2－a (1)求 f(x)的单调区间与极值；
【例 1】 已知定义在正实数集 1 2 上的函数 f(x)＝ x ＋2ax， g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中 a>0.设两 曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共 点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调 区间； (2)判断区间端点函数值与 0
1 2 即有 b＝ a ＋2a2－3a2ln a＝ 2 5 2 a －3a2ln a. 2 52 令 h(t)＝2t －3t2ln t(t>0)，
则 h′(t)＝2t(1－3ln t)．
于是当 t(1 － 3ln t)>0 ，即
1 0<t<e 3 时，h′(t)>0；
当 t(1－3ln t)<0， 即 h′(t)<0.
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知定义在正实数集 1 2 上的函数 f(x)＝ x ＋2ax， g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中 a>0.设两 曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共 点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 单调递减区间为[e1－a， ＋∞)， 1－a 1 极大值为 f ( x ) ＝ f (e )＝ 极大值 (a∈R)，g(x)＝x. ea－1，无极小值． (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2) 令 F(x) ＝ f(x) － g(x) ＝ (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 ln x＋a－1， g(x)的图象在区间 (0， e ]上有 公共点， 求实数 a 的取值范围．
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×
解析
D D (－2,2)
f(a)<f(b)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知定义在正实数集 1 2 上的函数 f(x)＝ x ＋2ax， g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中 a>0.设两 曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共 点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
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题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 1 (1)解 f′(x)＝0， 根据函数值 (a∈R)，g(x)＝x. 的变化 得到单调区间、 极 (1)求 f(x)的单调区间与极值； 值； (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 (2) 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) － g(x)的图象在区间 (0， e2]上有 g(x)， 通过 F(x)的单调性和函 公共点， 求实数 a 的取值范围． 数值的变化研究 f(x)、g(x)的
于是 F(x)在(0，＋∞)上的最 小值是 F(a) ＝ F(x0) ＝ f(x0) － g(x0)＝0.
故 当 x>0 时 ， 有 f(x) － g(x)≥0，
即当 x>0 时，f(x)≥g(x)．
基础知识
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思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
故
1 h(t)在(0， e3
)上为增函数，
1 在(e 3 ，＋∞)上为减函数，
于是 h(t)在(0， ＋∞)上的最 2 1 3 大值为 h(e3)＝2e 3 ， 3 2 即 b 的最大值为2e3.
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题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知定义在正实数集 1 2 上的函数 f(x)＝ x ＋2ax， g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中 a>0.设两 曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共 点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
(2) 若函数 f(x) 的图象与函数
g(x)的图象在区间 (0， e2]上有
数学
粤（理）
§3.3 导数的综合应用
第三章 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题 的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的 大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
交点情况．

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题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x (1)函数 f(x)的定义域为(0， 1 ＋∞)， (a∈R)，g(x)＝x. 1－ln x＋a
f′(x)＝ . x2 (1)求 f(x)的单调区间与极值； 令 f′(x)＝0，得 x＝e1－a， (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 当 x∈(0， e1－a)时， f′(x)>0，
(1)设公共点为(x0， y0)， 则 f(x0) ＝ g(x0) 且 f′(x0) ＝ g′(x0)可得 a，b 的关系；
(2) 构造 函数 F(x) ＝ f(x) － g(x)，求 F(x)的最值．
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题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
(2)证明 设 F(x)＝f(x)－g(x) 1 2 ＝ x ＋ 2ax － 3a2ln x － 2 b(x>0)， 3a2 则 F′(x) ＝ x ＋ 2a － x ＝ x－ax＋3a (x>0)． x 故 F(x)在(0，a)上为减函数， 在(a，＋∞)上为增函数．
思想方法 练出高分
基础知识
g(x)的图象在区间 (0， e2]上有 f(x)是增函数；
1－a 当 x ∈ (e ， ＋ ∞) 时 ， 公共点， 求实数 a 的取值范围．
f′(x)<0，f(x)是减函数． 所以函数 f(x)的单调递增区 间为(0，e1－a]，
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
在区间[e2－a， e2] 上是减函数，
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x a＋1 1－a 2 又 F(e )＝ 0， F(e )＝ 2 e 1 (a∈R)，g(x)＝x. >0，
1－a 由图象， 易知当 0< x <e 时， (1)求 f(x)的单调区间与极值； F(x)<0；
在区间[e ，＋∞)上是减函 数． (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 ①当 e2－a<e2，即 a>0 时，
g(x)的图象在区间 (0， e2]上有 函数 F(x)在区间(0，e2－a]上 公共点， 求实数 a 的取值范围． 是增函数，
F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
【例 1】 已知定义在正实数集 1 2 上的函数 f(x)＝ x ＋2ax， g(x) 2 ＝3a2ln x＋b，其中 a>0.设两 曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共 点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大 值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
设两曲线的公共点为(x0，y0)， 3a2 f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ x ， 由题意知 f(x0)＝g(x0)，
而 f(0)＝0，所以 f(x)>0，即 tan x3 故 tan x>x＋ 3 .
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题型二 利用导数求参数的取值范围
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ln x＋a 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 1 (a∈R)，g(x)＝x. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2) 若函数 f(x) 的图象与函数 g(x)的图象在区间 (0， e2]上有 公共点， 求实数 a 的取值范围．
f′(x0)＝g′(x0)， 1x2＋2ax ＝3a2ln x ＋b， 0 0 2 0 即 2 3 a x0＋2a＝ x . 0 3a2 由 x0＋2a＝ x ，得 x0＝a 0 或 x0＝－3a(舍去)．