【步步高】届高三数学大一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案 理 新人教A版

第4讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质一、填空题1．已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.解析 由题中图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π，所以φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A sin π4＝－23，所以f (0)＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝A cos π4＝23.答案 232．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________． 解析 法一 由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sinπ3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2. 法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 23．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________. 解析 由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3， 因此y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π，因此A ·ω＝2×712π＝76π. 答案76π 4．要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的范围为________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋116π，∴将函数y＝sin x 的图象向左平移116π个单位可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．答案 116π6． 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2(x ∈[0,2π])，画出图象可得在[0,2π]上它们有2个交点．答案：27．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2， 2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tan β＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立． 答案 ①④8．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋16，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案 －59．设函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析 因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点， 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 答案 －π610．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下列结论：①图象C 关于直线x ＝π6对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③. 答案 ③ 二、解答题11．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)由题意，A ＋1＝3，所以A ＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2.故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.又0<α<π2，所以α－π6＝π6，即α＝π3.12．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．13．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.14．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。

《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》专题一、相关知识点1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.图像变换的相关结论(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念以及五点法作图“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 解析：13 4π3 π42．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4 B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8 D ．2，12π，－π8解析：选A ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A ，令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像． 解析：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．5．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 求它的振幅、周期、初相；并用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解析：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：6．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)画出f (x )在[0，π]上的图象． 解析：(1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：7．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像；解析：①由题意知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.列表如下：8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解析：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值； (3)写出f (x )的单调递增区间．解析：(Ⅰ)令X ＝2x ＋π6，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin X . 列表：描点，画出函数f (x )在⎣⎦⎤－π12，11π12上的图像：(2)因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最大值等于1，即f (x )的最大值等于1； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最小值等于－12，即f (x )的最小值等于－12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值为1，最小值为－12. (3)根据函数的图像知，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)． 题型二 三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．将函数y ＝2sin2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：D ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin2x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图像，只需将y ＝3sin x 的图像上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：B ，将y ＝3sin x 的图像上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图像，再将y＝3sin 2x 的图像再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图像． 3．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：A ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，故选A ． 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选D ． 5．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图像向右平移π6个单位长度，则所得图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6 解析：把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，故选A ． 6．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin2x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A ． 7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到 解析：选A ，为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到.8．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2 解析：选C ，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x . 9．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：A ，由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin3x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图像． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3 解析：选B ，由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的，函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 11．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到解析：由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.12．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上是减少的 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增加的 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 解析：A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图像向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图像．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的． 13．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B ，函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6. 14．定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54. 15．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A ．5π12B ．π3C ．π12D ．7π12解析：A ，平移后的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2m ，又图像关于y 轴对称，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2m ＝±1，∴π3－2m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝－k π2－π12，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为5π12.16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将 y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解析：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1.又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min＝－12， 故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. 17．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.题型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33 C ．1 D. 3 解析：选D ，由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝56 B ．x ＝13 C ．x ＝12D ．x ＝0 解析：选B ，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π6解析：选B ，由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 4．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：D ，由图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D ． 5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12 D.34解析：选C ，由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C. 6．若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6解析：由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D. 7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.解析：由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1.函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π－π3(k ∈Z)，又因为|φ|＜π，所以φ＝－π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. 9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1 解析：由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图像上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.10．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 解析：选B ，由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝ T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π. 12．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．12解析：由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3， 当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ， 即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. 13．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12 B ．ω＝23，φ＝－11π12 C ．ω＝13，φ＝－11π24 D ．ω＝13，φ＝7π24解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A ． 14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得 22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.15．（理科）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x 解析：选A ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A.16．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)． 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 17．(理科)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34 D.24解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. 18．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解析：(1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π6，故ω＝2， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π. 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－co s 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令z ＝2x －π6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z. 设A ＝⎣⎡⎦⎤0，π2，B ＝x ⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，π3. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减． 题型四 三角函数模型的简单应用1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．2．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式． 解析：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

第6讲 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用[基础达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：选 B.令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3．(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2－1解析：选B.函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin 2x ，沿y 轴向上平移1个单位，得到y ＝sin 2x ＋1，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1.故选B.4．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2在x ＝2π3时取得最大值，且它的最小正周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的图象的一条对称轴是x ＝5π12解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)在x ＝2π3时取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝±1，即2×2π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中A <0；对于选项A ，因为f (0)＝A sin π6＝A 2≠12，所以选项A 不正确；对于选项B ，因为函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间满足：π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是增函数，所以选项B 不正确；对于选项C ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，即选项正确；对于选项D ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0， 所以x ＝5π12不是f (x )的图象的一条对称轴，即选项D 错误．故选C.5．(2019·杭州中学高三月考)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选C.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω－14π， 向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ω＋14π. 因为所得的两个图象对称轴重合，所以ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π①，或ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π＋k π，k ∈Z ②.解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k ，k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π＋π24，32(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫3k π－3π8，23(k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋5π8，32(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )解析：选D.由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π4.由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )．7．(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π38．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1， A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)， 所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：311．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．12．已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.[能力提升]1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.2．(2019·杭州市七校联考)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A ．3π4B ．4π3C ．5π3D ．3π2解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C.3．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx －π3＝－π6＋2k π或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z .所以x ＝π6ω＋2k πω或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z .设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω.因为方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，计算得出72<ω≤256. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2564．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位， 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再向下平移2个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象， 若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]， 则g (x 1)＝g (x 2)＝－4， 则2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]， 得x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－17π12，－5π12，7π12，19π12，当x 1＝19π12，x 2＝－17π12时，2x 1－x 2取最大值55π12，故答案为55π12.答案：55π125．(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，求f (B )的取值范围． 解：(1)f (x )＝12sin 2x 3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＝0即2x 3＋π3＝k π(k ∈Z )得x ＝3k －12π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k －12π，0，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，所以12≤cos B <1，0<B≤π3，π3<2B 3＋π3≤5π9，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9－π2，所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3≤1，所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3＋32≤1＋32，即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，－π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得T 2＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1 ＝sin(2x ＋π6＋φ)＋b －1.再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin 2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1(n ∈Z )．(2)由(1)可得g (x )＝sin 2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0，1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，因为h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m6<1， 解得m <－5或m ＝－2 6.。

第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)． 当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)． 综上知，存在a ＝32符合题意．。

课时作业24 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用一、选择题1．若函数y＝sin2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到y ＝f（x）的图象,则（C）A．f(x）＝－cos2x B．f(x)＝sin2xC．f（x)＝cos2x D．f(x)＝－sin2x解析：函数y＝sin2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到y＝sin2错误!的图象,所以f(x）＝cos2x。

2．要得到函数y＝错误!sin错误!的图象，只需将函数y＝错误!sin错误!图象上所有点的横坐标(A)A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移错误!个单位长度B．伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移错误!个单位长度C．缩短为原来的错误!(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移错误!个单位长度D．缩短为原来的错误!(纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移错误!个单位长度解析：将函数y＝错误!sin错误!图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，得到y＝错误!sin错误!＝错误!sin错误!的图象，再将得到的图象向左平移错误!个单位长度，得到y＝错误!sin错误!＝错误!sin错误!的图象．故选A.3．已知函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为(D）A．f(x）＝2sin错误!B．f(x)＝2sin错误!C．f(x）＝2sin错误!D．f（x）＝2sin错误!解析：由函数的图象得A＝2，T＝4×错误!＝π,∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x）＝2sin（2x＋φ)．∵f错误!＝2sin错误!＝2，∴sin错误!＝1,则错误!＋φ＝错误!＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋错误!，k∈Z。

∵｜φ|〈错误!,∴φ＝错误!，则函数f(x）＝2sin错误!。

故选D.4．将函数f(x)＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得到函数g（x)的图象，则函数g（x)的单调递增区间为（C)A.错误!（k∈Z）B.错误!（k∈Z)C.错误!（k∈Z)D.错误!(k∈Z)解析：将函数f（x)＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变)，可得y＝sin2x的图象，再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得到函数g（x）＝sin2错误!＝sin错误!的图象．令2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，可得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z，所以函数g（x)的单调递增区间为错误!，k∈Z.故选C。

课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，22．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π43．(2015·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π25．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关6．(2015·青岛一模)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．1 B.12C.22 D.32二、填空题7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 8．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．10．(2015·广东梅州二模)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．12．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．B 卷：增分提能1．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？答案A 卷：夯基保分1．选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．选A 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x .3．选C 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C.4．选D y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――――→向左平移π6个单位 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3， 即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D. 5．选C π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，x ＝π时，函数y 的值为0.正确答案为C.6．选D 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.7．解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：08．解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：09．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 10．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.答案：②④11．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．12．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.B 卷：增分提能1．解：(1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.2．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234. 得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1.又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。

《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》专题一、相关知识点1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.图像变换的相关结论(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念以及五点法作图“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4 B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8 D ．2，12π，－π83．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．5．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 求它的振幅、周期、初相；并用“五点法”作出它在一个周期内的图像．6．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)画出f (x )在[0，π]上的图象．7．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像；8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值； (3)写出f (x )的单调递增区间．题型二 三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．将函数y ＝2sin2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图像，只需将y ＝3sin x 的图像上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度3．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 25．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图像向右平移π6个单位长度，则所得图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π66．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到8．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－29．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π311．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到12．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上是减少的 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增加的 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的13．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．814．定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.3415．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A ．5π12B ．π3C ．π12D ．7π1216．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将 y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．17．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．题型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33C ．1 D.32．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝03．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π64．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12 D.346．若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π67．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π68．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32 D ．110．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.12．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．1213．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π2414．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________.15．（理科）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x16．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.17．(理科)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.2418．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．题型四 三角函数模型的简单应用1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．2．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．。