整式

整式的概念。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。

在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。

而这些式子往往可以被统一地称为整式。

整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。

整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。

在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。

整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。

整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。

通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。

在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。

整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。

整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。

化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。

而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。

化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。

总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。

通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。

整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。

整式的概念，整式的运算法则是什么
单项式和多项式统称整式，注意整式中可以出现分数和未知数，但如果未知数出现在分母当中，那么这个式子就不是整式而是分式了。

扩展资料
概念
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也是单项式。

单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的.性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，其中常数项的单项式次数为0。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字母的项叫做常数项。

一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式的运算法则
整式的加减运算：整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式。

整式的乘除运算：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，这个单项式与括号内各项都要相乘。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

初中数学什么是整式整式是指由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。

在初中数学中，整式是一个基础而重要的概念，它是代数运算的基本单位，也是解决各种数学问题的重要工具。

下面将详细介绍整式的定义、性质和应用。

一、整式的定义整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。

整式可以包含一个或多个项，每个项由系数、字母和指数构成，且同一字母的指数必须是非负整数。

二、整式的性质1. 项的性质：整式中的每一项都是由常数、字母和它们的乘积构成，其中常数称为该项的系数，字母称为该项的字母部分，字母的指数表示该字母的幂次。

2. 同类项的性质：整式中的同类项是指具有相同字母部分和相同指数的项。

同类项可以进行合并，合并时保留它们的共同字母部分和指数，系数相加。

3. 整式的加减性质：整式的加法和减法运算遵循交换律和结合律，可以通过合并同类项来简化整式。

4. 常数项的性质：只含有常数项的整式称为常数整式，常数整式的运算结果仍为常数。

三、整式的应用整式在数学中有着广泛的应用，特别是在代数运算、方程求解和数学建模等方面。

1. 代数运算：整式的加减法运算是代数运算的基础，通过整式的加减法运算，可以简化复杂的代数表达式，从而进行进一步的运算和求解。

2. 方程求解：在方程求解中，整式被广泛应用。

将一个方程转化为整式的形式，可以利用整式的性质和运算规则，解决方程的求解问题。

3. 函数的表示：在函数的表示中，整式可以用来表示函数的表达式。

通过整式表示函数，可以进行函数的运算、分析和研究，从而深入理解函数的性质和特点。

4. 数学建模：在数学建模中，整式可以用来描述和分析实际问题，将问题转化为数学模型。

通过将问题中的信息转化为整式，可以进行整式的加减法运算，最终得到问题的解答。

总之，整式是由常数、字母和它们的乘积以及它们的和、差构成的代数表达式。

整式具有一系列的性质和运算规则，并在代数运算、方程求解和数学建模等方面有着广泛的应用。

第三讲：整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。

2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。

【提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。

④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。

【提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm）÷m= 。

三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：不变相加，即：a m a n＝（a＞0，m、n为整数）2、幂的乘方：不变相乘，即：(a m) n ＝（a＞0，m、n为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。

什么叫整式什么叫整式？整式是在代数学中，用常数和变量之间的四则运算（加、减、乘、除）以及乘方运算构成的表达式。

它是代数学中的基本概念，对于学习代数学的人来说，理解整式的定义和特性是非常重要的。

整式由常数项、一次项、二次项和更高次项组成。

常数项是指没有变量的项，如3、-5等；一次项是指有一个变量的项，如2x、-3y 等；二次项是指有两个变量的项，如2xy、-3x²等；更高次项是指有三个或更多变量的项，如2xyz、-3x³等。

整式的每一项都可以进行加减乘除运算，从而形成整式。

整式的核心思想在于将代数表达式转化成形式简单、易于计算和分析的形式。

使用整式可以简化数学计算过程，使得问题更易于解决。

此外，整式也是代数学中其他概念的基础，如多项式、因式分解和多项式方程等。

对于整式的运算，加法和减法是基本的运算操作。

当两个整式进行加法运算时，相同次数的项进行相加，不同次数的项直接写在一起。

例如，对于整式2x² - 3x + 4 和3x² + 5x - 1，将相同次数的项进行相加，得到整式5x² + 2x + 3。

同样地，减法运算也是类似的方式进行操作。

在整式的乘法运算中，将每一项与其他整式的每一项进行相乘，然后将结果进行合并和整理。

例如，对于整式2x + 3 和3x - 4的乘法运算，将2x乘以3x和-4，得到6x² - 8x，然后将3乘以3x和-4，得到9x - 12。

最后将结果合并并整理，得到整式6x² + x - 12。

整式的除法运算相对复杂，需要使用长除法的方法进行操作。

首先，确定除法的被除式和除数，并按照长除法的步骤进行计算。

将被除式中的最高次项除以除数的最高次项，得到商的最高次项，并将其乘以除数。

然后将乘积与被除式相减，并重复上述步骤，直到无法继续减。

这样最后得到的结果就是整式的商和余数。

在代数学中，整式存在着许多重要的性质和规律。

整式的基本概念
整式是指由一组单项式按照加减法组成的式子，其中单项式的系数和指数均为实数。

整式的基本概念包括：同类项、次数、最高次项和系数。

1. 同类项：整式中具有相同变量的单项式称为同类项，它们的系数可以不同。

例如，4x²、-3x²和2x²都是同类项，可以合并为3x²。

2. 次数：整式中单项式中变量的指数之和称为单项式的次数，整式中次数最高的单项式的次数称为整式的次数。

例如，3x²- 4x + 2 的次数为2，最高次项为3x²。

3. 最高次项：整式中次数最高的单项式称为最高次项，它的系数称为整式的首项系数。

例如，5x³+ 2x²- 3x的最高次项为5x³。

4. 系数：整式中单项式中变量的系数称为系数，整式的首项系数为最高次项的系数。

例如，2x²- 3x + 1中，2、-3和1为系数，2为首项系数。

整式的概念整式的概念整式（Polynomial）是指只涉及加法、减法和乘法运算的代数表达式。

它包含有限个单项式的和，其中每个单项式称为整式的项。

整式是代数学中的基本概念，它在数学中有着广泛的应用。

整式可以包含常数、变量和指数，其中常数是整数、有理数或实数。

变量可以是任意字母，用来表示未知数或变量。

指数是常数，表示变量的次数。

整式的项由变量的幂次和系数相乘得到，各项之间通过加法和减法运算得到整个整式。

整式的一般形式为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n 是系数，x 是变量，n 是次数，n \in \mathbb{N}，n \geq 0，a_n \neq 0。

整式的次数为最高次项的指数。

整式可以简单地分为单项式和多项式两类。

单项式仅包含一个项，形如ax^n，其中a 是非零常数，x 是变量，n 是非负整数。

多项式由多个单项式相加得到，形如P(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_m, a_{m-1}, \ldots, a_1, a_0 是系数。

整式的加法运算满足交换律和结合律。

对于两个多项式P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 和Q(x) = b_mx^m +b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x + b_0，它们的和S(x) = (a_n +b_m)x^{\max(n, m)} + (a_{n-1} + b_{m-1})x^{\max(n-1, m-1)} + \ldots +(a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)。

整式的减法可以通过加上相反数实现。

整式的乘法运算也满足交换律和结合律。

对于两个多项式P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 和Q(x) = b_mx^m +b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_1x + b_0，它们的乘积P(x) \cdot Q(x) =c_{n+m}x^{n+m} + c_{n+m-1}x^{n+m-1} + \ldots + c_1x + c_0，其中c_k 是系数。

什么叫整式,单项式,多项式
整式：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式，如Q，-1，a，β等。

多项式：由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式。

（化为最简式，即（常数）（指数不为负数））。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号。

一元N次多项式最多N+1项。

整式整式单项式与多项式统称整式。

一、用加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算符号把数或字母连接起来的式子二、字母的次数是正整数或0三、除了分式就是整式（有理数分为整式和分式）单项式都是数或字母的积的式子叫做单项式。

一、定义：数字和字母的积或所有的单个的字母或实数（实数分为有理数和无理数），单项式又称多项式中的项，（每个单项式叫做多项式的项）没有字母的数叫做常数项（不含字母的项叫做常数项），它也是一个单项式（如：1x）二、数字×字母求3xy的平方的系数（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数）和次数（单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）解：系数：3，次数：1＋2＝3（x1次，y2次）三、字母×字母解：系数：1，次数：有几个字母的指数就有几次多项式几个单项式的和叫做多项式。

一、定义：几个单项式的和二、多项式的次数：（多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数）多项式中的最高次数的单项式的次数三、多项式化简：1、直接化简（使用合并同类项的五大步骤）2、已知一个或两个字母的值，求x＝？，y＝？，代数式（用几个字母代替的式子，是没有数只有字母的）的值3、使用换元思想（见换元法），填空4、使用换元思想（见换元法），求值同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

一、所含字母相同，且字母的指数也分别相同，满足这两个条件的项叫做同类项，所有数都是同类项。

二、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

1、法则：系数相加减，字母和字母的指数不变合并同类项的步骤及技巧一、去括号（务必去完）（如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

）二、=、—等”）三、组合同类项（标准格式○1（一组同类项）＋（另一组同类项）；○2数字×字母的指数：x＝1x；○3字母顺序2yx＝2xy）四、合并同类项（合并后的单项式＋另一个合并后的单项式）五、化为最简格式（区括号○1不含（）：（－1）x＝－x○2字母前不含1：1x＝x，－1x＝－x）注：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

整式知识点总结归纳一、整式的基本概念1. 代数式与整式的关系代数式是由数字、字母及它们的各种运算组成的式子，整式是代数式中涉及字母的有理数幂和同类项的加减式。

因此，整式是代数式的一种，而代数式不一定是整式。

2. 整式的分类整式可以分为单项式、多项式和零多项式三种形式。

单项式是只含有一个项的代数式，形如ax^n（a为系数，n为整数），其中a为任意常数，n为非负整数。

如3x^2、-5xy等。

多项式是由一些单项式相加（或相减）而得出的代数式。

如2x^3-3x^2+4x+7。

零多项式是所有系数都为0的多项式，用0表示。

如0、0x+0等。

3. 同类项的概念同类项是指具有相同字母相同指数的项，可以进行合并和化简。

如3x^2、-5x^2是同类项，可以合并为-2x^2。

4. 整式的值整式的值指的是整式中的字母取定值后所得的值。

例如，若整式为3x-2，当x=5时，整式的值为13。

二、整式的运算1. 整式的加减法整式的加减法要求首先化简成同类项，然后再进行相应的运算。

例如，(3x^2-4x+5) +(2x^2+3x-5) = 5x^2-x。

2. 整式的乘法整式的乘法是指将两个整式相乘而得到的代数式。

例如，(2x+3)(3x-4) = 6x^2-5x-12。

3. 整式的除法整式的除法是指用一个整式去除另一个整式，得到的商式和余式。

例如，(4x^2+5x-3)÷(2x+1) = 2x-3，余式为0。

4. 整式的乘方整式的乘方是指将一个整式用自己去乘法n次而得到的代数式。

例如，(x+2)^2 =x^2+4x+4。

5. 整式的分式整式的分式是指将两个整式的形式化表示为分子与分母的形式，其中分子与分母都是整式的运算。

三、整式的应用1. 代数式的因式分解与提公因式代数式的因式分解是指将一个代数式分解成几个个因式的乘积。

提公因式是指找出一个代数式中的一些部分可相同因式进行合并。

例如，2x^2+3x = x(2x+3)。

七年级数学整式的知识点总结1、整式的概念(1)单项式：由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

(3)整式：单项式和多项式统称整式。

2、整式的运算(1)整式的加减法同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项的概念：把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

(2)整式的乘除法单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

(3)整式的乘方乘方的意义：求n个相同因数的积的简便运算叫做乘方。

幂：乘方运算的结果叫做幂。

在an中，运算指数n叫做底数，a 叫做底数，在an中n可以省略不写。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

重难点精析1、重点(1)整式的加减法：掌握同类项的概念以及合并同类项的方法。

(2)整式的乘除法：掌握单项式与单项式、单项式与多项式的乘除运算法则。

(3)整式的乘方：掌握幂的概念以及乘方的运算法则。

2、难点(1)整式的加减法：正确判断同类项，以及正确合并同类项是难点。

(2)整式的乘除法：在多项式的乘法中，如何避免出现漏项和错位是难点。

(3)整式的乘方：掌握乘方的意义和运算法则是难点。

典型例题例1. 合并同类项解：3x2y - 5xy2 - 2yx2 + 4xy2= (3x2y - 2yx2) + ( - 5xy2 + 4xy2)= 3x2y - 2yx2 - xy2.例2. 单项式与单项式相乘解：(3x + y) ×(x + 4y)= 3x ×x + 3x ×4y + y ×x + y ×4y= 3x2 + 12xy + xy + 4y2= 3x2 + 13xy + 4y2.例3. 单项式与多项式相乘解：(3x + y) ×(x + 4y - 2x)= 3x ×(x + 4y - 2x) + y ×(x + 4y - 2x) = 3x2 + 12xy - 6x2 + x + 4y + 4y2 - 2xy - 2y2 = - 3x2 + (12xy - 2xy) + (x + 4y) + (4y2 - 2y2) = - 3x2 + 10xy + x + 4y + 2y2.。

整式的概念和运算整式是代数学中的一个重要概念，它是由字母和常数按照一定的规则组合而成的代数表达式。

整式的运算是代数学中的基础知识之一，它包括了整式的加法、减法、乘法以及整式的因式分解等内容。

下面我们将分别介绍整式的概念以及它的运算规则。

一、整式的概念整式是由字母和常数按照加法、减法的规则组合而成的代数表达式。

字母表示未知数或变量，常数则表示具体的数值。

整式的组成部分可以是单个字母或常数，也可以是字母或常数的组合。

整式的例子包括：3x^2 - 5xy + 2y^2、4a + 7b、-2xyz等。

其中，3x^2 - 5xy + 2y^2是一个二次整式，4a + 7b是一个一次整式，-2xyz是一个三次整式。

整式的次数是指整式中各个项次数的最大值。

例如，3x^2 - 5xy +2y^2的次数为2，4a + 7b的次数为1，-2xyz的次数为3。

二、整式的运算1. 整式的加法和减法整式的加法和减法遵循一般代数表达式的运算规则，即按照同类项相加或相减。

同类项是指具有相同字母部分，并且各个字母的指数也相同的项。

例如，3x^2和2x^2是同类项，因为它们具有相同的字母x和指数2；但是3x^2和2xy^2就不是同类项。

在整式的加法和减法中，我们只需要按照同类项的规则，将各个项的系数相加或相减，同时保持字母和指数不变即可。

例如，对于整式3x^2 - 5xy + 2y^2 和 2x^2 + 3xy - y^2来说，我们可以将它们的同类项相加得到：(3x^2 + 2x^2) + (-5xy + 3xy) + (2y^2 - y^2) = 5x^2 - 2xy + y^2。

2. 整式的乘法整式的乘法是指将两个整式相乘的运算。

在整式的乘法中，需要注意以下几点：（1）对于整式的乘法，一般使用分配律进行计算。

即将一个整式的每一项与另一个整式中的每一项分别相乘，然后将所得的各个乘积相加得到最终结果。

例如，将整式3x^2 - 5xy + 2y^2与2x - y进行乘法运算，我们可以将这两个整式中的每一项分别相乘，并将结果相加：(3x^2)(2x) +(3x^2)(-y) + (-5xy)(2x) + (-5xy)(-y) + (2y^2)(2x) + (2y^2)(-y) = 6x^3 -3x^2y - 10x^2y + 5xy^2 + 4xy^2 - 2y^3 = 6x^3 - 13x^2y + 9xy^2 - 2y^3。

数学中的整式运算知识点数学中的整式运算是指对整式进行各种加减乘除的运算。

整式是由常数、变量及其指数和系数之和组成的表达式，其中变量都是以整数指数出现的。

一、整式的加法和减法整式的加法和减法遵循相同的规律：将相同的项按照系数相加或相减，并保留同类项的系数。

例如，考虑以下两个整式的加法和减法：整式A：3x^3 + 2x^2 - 5x + 1整式B：-2x^3 + 4x^2 + 3x - 2将两个整式对应的同类项相加或相减得到结果：A +B = (3x^3 + (-2x^3)) + (2x^2 + 4x^2) + (-5x + 3x) + (1 + (-2))= x^3 + 6x^2 - 2x - 1A -B = (3x^3 - (-2x^3)) + (2x^2 - 4x^2) + (-5x - 3x) + (1 - (-2))= 5x^3 - 2x^2 - 2x + 3二、整式的乘法整式的乘法遵循分配律和乘法法则，即将每个项相乘，再将同类项相加。

例如，考虑以下两个整式的乘法：整式A：(2x + 1)(3x - 4)整式B：(x^2 - 3)(x + 2)将每个项相乘并将同类项相加得到结果：A = 2x * 3x + 2x * (-4) + 1 * 3x + 1 * (-4)= 6x^2 - 8x + 3x - 4= 6x^2 - 5x - 4B = x^2 * x + x^2 * 2 + (-3) * x + (-3) * 2= x^3 + 2x^2 - 3x - 6三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余式。

但需要注意的是，整式的除法不一定能得到整式的结果。

例如，考虑以下整式的除法：整式A：4x^3 - 9x^2 + 2x - 3整式B：2x - 1计算得到商和余式：2x^2 - 5__________________2x - 1 | 4x^3 - 9x^2 + 2x - 3- (4x^3 - 2x^2)__________________-7x^2 + 2x - 3- (-7x^2 + 7x)__________________-5x - 3通过除法运算可得到商为2x^2 - 5，余式为-5x - 3。

整式的概念知识点
摘要：
1.整式的定义
2.整式的分类
3.整式的基本运算
4.整式的性质与应用
正文：
一、整式的定义
整式是指由若干个单项式（常数、变量和它们的乘积）通过加减运算组合而成的代数式。

其中，单项式称为整式的项，这些项的和称为整式。

例如，3x^2 + 2xy - y^2 就是一个整式。

二、整式的分类
整式可以根据其中所含变量的次数进行分类，分为一次整式、二次整式、三次整式等。

此外，整式还可以根据项的数量分类，如单项式（只有一个项的整式）、二项式（有两个项的整式）和多项式（有两个以上项的整式）。

三、整式的基本运算
整式的基本运算包括加法、减法和乘法。

对于两个整式A 和B，它们的和为A+B，差为A-B，积为AB。

需要注意的是，整式的乘法遵循分配律，即A(B+C) = AB + AC。

四、整式的性质与应用
整式具有以下性质：
1.整式中的常数项是它的项之一，即常数可以看作是一次项系数为0 的单项式。

2.整式的次数是其中最高次项的次数。

3.整式中各项的系数和为0 时，该整式为零整式。

4.整式的相反数是各项系数取相反数后得到的整式。

整式在代数学、几何学、物理学等学科中有广泛应用。

例如，在解析几何中，我们常用整式表示直线、圆和曲线等图形的方程；在微积分中，导数和积分的计算也涉及整式的运算。

整式整式概念：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式和多项式都统称为整式。

分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式。

例题2x÷3 ? ?0.4X 3 ? ? ?xy是整式。

x÷y不是整式，因为分母不能含有未知数，它是分式。

由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也叫单项式，如Q，0，-1，a。

也叫常数项。

单项式的系数（1）单项式中的常数因数叫做单项式的系数(coefficient).如3x的系数是3。

（2）如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1.（3）如果只是一个数字，系数是本身。

如5的系数还是5.单项式的次数一个单项式中,所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。

例如6xy2中字母x的次数是1，字母y的次数是2，则6xy2的次数为1＋2=3.单独一个非零数的次数是1。

例如：4xy的系数为4，次数为2。

x的指数是1，y的指数是1，指数相加得2.补充说明：下列情况是单项式（1）单个数字、字母（2）字母与字母的乘积（3）数字与字母的乘积易错易混点（1）单项式的系数包括前面的符号，如：-a的系数是-1；（2）单项式是由数字因数和字母因数组成的，单项式不含加减运算，含有除法运算时，分母不含字母；（3）单项式的次数与多项式的次数是不同概念，要注意区分；（4）系数是1或-1时，省略1不写；指数是1时，1也省略不写，在这两个知识点上容易出现错误；（5）多项式的次数是次数最高项的次数，而不是各项次数的和，应理解透概念。

多项式多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式。

多项式的次数多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.多项式的项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号.例：在多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项；因为2x中x的次数是1，它有两项，所以2x-3是一次二项式。

整式整式单项式（1）由数或字母的积组成的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

如5x -，r π2，abc ，n -等都是单项式。

（2）单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面。

单项式的系数与次数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如单项式3231yz x -的系数是31-，次数是6. 注：（1）单项式的系数是带分数时要化为假分数。

（2）单项式的系数包括系数前面的符号。

多项式几个单项式的和叫多项式。

其中，每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项。

例如：5-t 是t 与5-的和，t 与5-都是它的项，5-是常数项。

多项式的次数与项数多项式里次数最高项的次数，叫这个多项式的次数。

多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数。

例如：多项式932421232-+-y xy y x 有四项，分别为3221y x ，24xy -，y 32，9-，这四项中最高次项是3221y x ，次数是5，所以这个多项式的次数是5.注：如果一个多项式只含一个字母，把这个多项式按每项的次数由高到低排列出来叫做降幂排列，反之叫做升幂排列；如果一个多项式含有两个或两个以上的字母，则一定要分清是按哪个字母来排列的，选定一个字母后，其他字母要暂时看作“系数”的一部分，不计算次数。

整式：单项式与多项式统称整式。

整式的加减同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。

几个常数项也是同类项。

如325.0bc a 与325.0bc a -是同类项，1-和32是同类项。

合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项时，只把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

合并同类项后，得到一个新的整式，这时应按降幂或升幂排列整齐。

例如：554)27()32()84()27()32()84(283724222222++-=-+++-=-+++-=--+++x x x x x x x x x x x x整式的加减（1）去括号规律：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。