下载文档原格式
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高中数学总复习系列之函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…1．了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域．了解映射的概念在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了解简单的分段函数并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分以考查函数的概念、三要素及表示法为主同时函数的图像、分段函数的考查是热点另外实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像仍是2019年高考考查的重要内容．课前自助餐函数与映射的概念函数映射两集合A设A是两个非空数集设A 是两个非空集合对应关系：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中有唯一的数(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．(4)两个函定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才相同．分段函数在一个函数的定义域中对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系这样的函数叫分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f(x)＝＋(2)A＝R＝R：x→y＝表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(3)函数(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．(4)y＝2x(x∈{1)的值域是2(5)y＝与y＝2表示同一函数．(6)f(x)＝则f(－x)＝答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．2018年是平年假设月份构成集合A每月的天数构成集合B是月份与天数的对应关系其对应如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是3．已知(x)＝m(x∈R)则f(m)等于()． D．不确定答案4．已知f(x＋1)＝x－1则(x)＝________答案x－2x5.函数y＝(x)的图像如图所示那么(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3]∪[2，3][1][1)∪(4，5]6．(2018·衡水调研卷)函数(x)＝则()＝________；方程f(－x)＝的解是________答案－2－或1解析f()＝＝－2；当x<0时由f(－x)＝(－x)＝解得x＝－当x>0时由f(－x)＝2－x＝解得x＝1.授人以渔题型一函数与映射的概念(1)下列对A到B的映射能否构成函数？A＝N＝N：x→y＝(x－1)；＝N＝R：x→y＝±；＝N＝Q：x→y＝；＝{衡中高三·一班的同学}＝[0]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】①是映射也是函数．不是映射更不是函数因为从A到B的对应为“一对多”．当x ＝1时值不存在故不是映射更不是函数．是映射但不是函数因为集合A 不是数集．【答案】①是映射也是函数不是映射更不是函数不是映射更不是函数是映射但不是函数(2)下列表格中的x与y能构成函数的是()【解析】中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数也是有理数．【答案】★状元笔记★映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A 为非空数集时即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他思考题1(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．④中中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}下列不表示从A到B的函数的是()：x→y＝．：x→y＝：x→y＝：x→y＝【解析】依据函数概念集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项不符合．(2018·湖北宜昌一中月考)已知函数(x)＝|x－1|则下列函数中与(x)相等的函数是()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝与(x)的定义域和对应关系完全一致故选【答案】★状元笔记★判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时才是相同函数．思考题2下列五组函数中表示同一函数的是________(x)＝x－1与g(x)＝(x)＝与g(x)＝2(x)＝x＋2与g(x)＝x＋2(u)＝与f(v)＝＝(x)与y ＝f(x＋1)【答案】④题型二函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f()＝求(x)的解析式；(2)已知f(＋)＝x＋求(x)的解析式；(3)已知(x)是二次函数(x＋1)－(x)＝2x＋1且f(0)＝3求(x)的解析式；(4)定义在(0＋∞)上的函数(x)满足(x)＝()·－1求(x)的解析式．【解析】(1)(换元法)设＝t[－1]，∵f(cosx)＝＝1－(t)＝1－t[－1]．即(x)＝1－x[－1]．(2)(凑配法)∵f(＋)＝(＋)－2(x)＝x－2[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为(x)是二次函数可设(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)(x＋1)＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1解得又∵f(0)＝3＝3(x)＝x＋3.(4)(方程组法)在(x)＝2f()－1中用代替x得f()＝2(x)－1将f()＝－1代入(x)＝2f()－1中可求得(x)＝＋【答案】(1)(x)＝1－x[－1](2)f(x)＝x－2[2，＋∞)(3)f(x)＝x＋3(4)f(x)＝＋★状元笔记★函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝(x)，可将(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法(4)方程思想：已知关于(x)与f()或f(－x)等的表达式可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程组求出(x)．思考题3(1)若函数(x)满足f(1＋)＝求(x)的解析式．(2)定义在R上的函数(x)满足f(x＋1)＝2(x)，若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤0时求(x)解析式．(3)已知(x)＋2f()＝x(x≠0)求(x)．【解析】(1)令1＋＝t＝t－1＝－1(t)＝(x)＝(2)当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤00≤x＋1≤1(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)而(x)＝(x＋1)＝－－当－1≤x≤0时(x)＝－－(3)∵f(x)＋2f()＝x将原式中的x与互换得f()＋2(x)＝于是得关f(x)的方程组解得(x)＝－(x≠0)．【答案】(1)(x)＝(2)f(x)＝－－(3)f(x)＝(x≠0)题型三分段函数与复合函数(1)已知函数(x)＝(x)＝x＋1则：①g[(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．【解析】①x＜0时f(x)＝[f(x)]＝＋1；时(x)＝x[f(x)]＝x＋1.[f(x)]＝由x＋1＜0得x＜－1.由x＋1≥0得x≥－1.∴f[g(x)]＝【答案】①g[(x)]＝[g(x)]＝(2)(2018·南京金陵中学模拟)已知函数(x)＝则使得(x)≤3成立的x的取值范围是________【解析】当x≥0时－1≤3＝2当x<0时－2x≤3－2x－3≤0－1≤x<0.综上可得x∈[－1]．【答案】[－1]★状元笔记★分段函数、复合函思考题4(1)(2018·河北清苑一中模拟)设(x)＝则f(f(－1))＝________(x)的最小值是________【解析】∵f(－1)＝(－1)＋1＝2(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.当x≥1时(x)在[1]上单调递减在[＋∞)上单调递增(x)min＝f()＝2－3<0.当x<1时(x)min＝1，∴f(x)的最小值为2－3.【答案】02－3(2)(2017·课标全国Ⅲ)设函数(x)＝则满足(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是________【解析】当x>0时(x)＝2x恒成立当x－即x>时(x－)＝2－当x－即01恒成立．当x≤0时(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋所以－综上所述的取值范围是(－＋∞)．【答案】(－＋∞)常用结论记心中快速解题特轻松：映射问题允许多对一但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟但不允许一石三鸟！函数问题定义域优先！抽象函数不要怕赋值方法解决它！4．分段函数分段算本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素分段函数函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面也要教给学生把握复习的尺度教学大纲是高考命题的依据而教材是贯彻大纲的载体研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．从近几年的新课标高考试题可以看到高考试题严格遵循教学大纲及《高考大纲》有一定数量的试题直接源自教材这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学对各模块的内容要课外阅读抽象函数设函数(x)的定义域为R对于任意实数x都有f(x)＋f(x)＝2f()f()(π)＝－1则(0)＝________．【解析】令x＝x＝则f()＋f()＝2f()f(0)，∴f(0)＝1.【答案】1已知偶函数(x)，对任意的x恒有(x1＋x)＝f(x)＋f(x)＋2x＋1则函数(x)的解析式为________．【解析】取x＝x＝0所以f(0)＝2f(0)＋1.所以f(0)＝－1.因为f[x ＋(－x)]＝(x)＋f(－x)＋2x·(－x)＋1又f(－x)＝(x)，所以(x)＝x－1.【答案】(x)＝x－1【讲评】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具(2)利用特殊值代入寻求规律和解法。
2．1 等式性质与不等式性质第1课时 不等关系与不等式教材要点要点一 不等式与不等关系1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号________________或________． (2)所表示的关系是________________．(1)不等式a ≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b\”，等价于“a 不小于b\”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．(2)不等式a ≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b\”，等价于“a 不大于b\”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确．要点二 比较两个实数a ，b 大小的依据 1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ； 如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a －b 是________，那么a ＜b ，反之也成立． 2．符号表示a －b ＞0⇔a ________b ； a －b ＝0⇔a ________b ； a －b ＜0⇔a ________b .状元随笔 比较两实数a ，b 的大小，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a ，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．要点三重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()(2)若ab ＞1，则a＞b.()(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.()(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.()2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()A．v＜60 B．v＞60C．v≤60 D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1用不等式(组)表示不等关系例1(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1(1) 中国“神舟七号\”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式表示x ，y 所满足的不等关系．题型2 实数(式)的比较大小例2 已知a ＞0，试比较a 与1a 的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2 (1)已知a ∈R ，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p 与q 的大小关系为( ) A ．p ＞q B ．p ≥q C ．p ＜q D ．p ≤q(2)已知b ＞a ＞0，m ＞0，比较b+ma+m 与ba 的大小．题型3比较大小在实际问题中的应用例32021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠\”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000\”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y\”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是()A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A. 3或4B. 4或5C. 3或5D. 4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式要点一1．(1)＜、≤、＞、≥≠(2)不等关系要点二1．正数等于0负数2．>＝<要点三≥[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．答案：C3．答案：A4．答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x ＞408.故不等关系表示为72＋12x ＞408.(2)设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：{500x +600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ∈N +，y ∈N +.答案：(1)72＋12x ＞408 (2)见解析跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v ＜11.2. (2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56 000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2 (2)见解析 例2 解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a−1)(a+1)a ，a ＞0所以当a ＞1时，(a−1)(a+1)a＞0，有a ＞1a ； 当a ＝1时，(a−1)(a+1)a＝0，有a ＝1a ； 当a ＜a ＜1时，(a−1)(a+1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a ； 当a ＝1时，a ＝1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a .跟踪训练2 解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b+ma+m −ba ＝ab+am−ab−bm a (a+m )＝m (a−b )a (a+m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a−b )a (a+m )＜0，∴b+m a+m ＜ba.答案：(1)C (2)见解析例3 解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n5)， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，) 则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a+b )200＝a+b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b＝21a +1b＝2aba+b ，因为a+b 2−2aba+b ＝(a+b )2−4ab 2(a+b )＝(a−b )22(a+b )＞0，所以a+b 2＞2aba+b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．答案：CD 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：x <y5．解析：(1)设糖水b 克，含糖a 克，易知糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b ＞a ＞0，m ＞0，则a b ＜a+mb+m .(2)设淡糖水b 1，含糖a 1克，浓糖水b 2克，含糖a 2克， 易知淡糖水浓度为a 1b 1，浓糖水浓度为a2b 2，则混合后的糖水浓度为a 1+a 2b 1+b 2，则提炼出的不等式为：若b 1＞a 1＞0，b 2＞a 2＞0，且a1b 1＜a2b 2，则a1b 1＜a 1+a 2b 1+b 2＜a2b 2.。
高中数学（人教B 版）必修一：第二章 函数2.1.1 函数函数的值域一.值域：在函数y=f(x)中，由所有函数值构成的集合：{y |y=f(x)，y ∈A}，叫做这个函数的值域。
值域即因变量y 的取值范围，是函数的象的集合。
二.基本函数的值域： ①.一次函数y=kx+b [ y ∈R 或（-∞，+∞) ]②.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0） ( , +∞)③.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0） (-∞, ) ④.反比例函数y= [ y ≠0或（-∞，0) ∪（0，+∞)] 二.求函数的值域的方法：方法一.观察法：例一：求函数y= 的值域.例二：求函数y= 的值域.规律总结：当x ≥2时， = 。
当x ≤2时， = 。
当x ≥-2时， = 。
当x ≤-2时， = 。
方法二.分离常数法：——适用于分式。
例三：求函数y= 的值域.4a 4ac-b 2 4a 4ac-b 2 k x 1 1 x 2+1 x 2-1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x-1 x+1例四：求函数y= 的值域.方法三.反表示法：用y 表示f(x).——适用于形如y= 的函数。
例五：求函数y= 的值域.方法四.二次函数配方法：配方、画图、截断——适用于形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的函数。
例六：求函数y=x 2-4x+5的值域.方法五.换元法：——适用于带根号且根号下为一次式的函数。
例七：求函数y=x+ 的值域.方法六.判别式法：——适用于二次分式函数。
例八：求函数y= 的值域.x 2-1 x 2+1 af(x)+b cf(x)+d 2x-1 x+1 2x+1 x 2-3x+4 x +3x+4。
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
