七年级上册第二章有理数及其运算2.4.2有理数的加法

第二章有理数及其运算1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数).3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题.1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧.3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法.1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象(事物)“表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:产生的实际背景——有理数的意义——数的表示.对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景,如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解(+1)+(- 1)=0和(- 1)+(+1)=0,然后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法则,并借助数轴加深理解.基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小数、分数的运算.【重点】理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.【难点】利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.1有理数1课时2数轴1课时3绝对值1课时4有理数的加法2课时5有理数的减法1课时6有理数的加减混合运算3课时7有理数的乘法2课时8有理数的除法1课时9有理数的乘方2课时10科学记数法1课时11有理数的混合运算1课时12用计算器进行运算1课时本章概括整合1课时1有理数1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数应用的广泛性.2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数合理分类和把具体数正确归类.1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解.2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要.3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知识的兴趣.【重点】负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类.【难点】正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P23~24.导入一:师:同学们小学都学过哪些数?生:整数、小数、分数、奇数、偶数……师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?[设计意图]通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点,使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及其分类做好铺垫.导入二:观察课本P22的图片.珠穆朗玛峰高出海平面8844 m,记作:+8844 m;吐鲁番盆地低于海平面155 m,记作: - 155 m.教师出示图片,并提出问题:1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识?3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?有了负数,能解决哪些实际问题?本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用有理数的知识解决实际问题.[设计意图]通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣.(出示课件1)(例题讲解)请同学们完成以下问题,并与同伴交流.某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:答题情况第一队第二队如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?思路一试完成下表:答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6第二队- 2思路二提出思考问题:(1)第一队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(2)第二队答对几题?是如何表示的?答错几题?又是如何表示的?(3)如何理解+6和- 2?(出示课件2)(教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?[处理方式]学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评.师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与,在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.探究活动2用正、负数表示生活中具有相反意义的量(出示课件3)(教材例题)(1)某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?(2)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02 g 记作+0.02 g,那么- 0.03 g 表示什么?(3)某大米包装袋上标注着“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示什么?[处理方式]学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.思路一如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为;一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是,所以- 0.03 g可以表示为;综上所述,“净含量:10 kg±150 g”,这里的“10 kg±150 g”表示.思路二(1)想一想:什么是具有相反意义的量?(2)品一品:如何表示具有相反意义的量?(3)考一考:和逆时针方向具有相反意义的量是,和超出标准质量具有相反意义的量是.【师生活动】学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决.解:(1)沿顺时针方向转了12圈记作- 12圈.(2) - 0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g.(3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米可能有150 g的误差,即每袋大米的净含量最多是10 kg+150 g,最少是10 kg - 150 g.反馈练习(出示课件4) (1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么? (2)东、西为两个相反方向,如果 - 4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?(3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?议一议:你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗?你是怎样表示的?与同伴交流.通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”.教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10 kg ”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”.学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.探究活动3 有理数的概念及分类1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 2.有理数的分类.问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?待学生思考后,请学生回答、评议、补充.教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.[设计意图] 使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义.[知识拓展] 对正数和负数的理解要注意以下几点:(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.(3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.即时巩固将下列各数填入到相应的数集中: - 2015, - 13,14,12, - 513, - 7.3,3,369,0.1,92, - 374.正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 正整数集合{ …}; 负整数集合{ …}; 分数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 负有理数集合{ …}; 有理数集合{ …}.〔解析〕 小数 - 7.3,0.1都属于分数,369=4不属于分数.(学生口述解答过程,师总结、板演)1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.2.正数前面添上“ - ”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限.3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为 - 3千米表示的是 ( )A.向西行驶3千米B.向南行驶3千米C.向北行驶3千米D.向东南方向行驶3千米解析:先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而 - 3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A .2.在0,2, - 7, - 513,3.14, - 317, - 3,+0.75中,负数共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:在正数的前面加上“ - ”号的数即是负数,本题中的 - 7, - 513, - 317, - 3是负数.故选D .3.飞机上升了 - 80米,实际上是 ( ) A.上升80米 B.下降 - 80米C.先上升80米,再下降80米D.下降80米解析:解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D .4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义.解:本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:河道中第一天的水位是 - 0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中 - 0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.1有理数1.认识生活中的负数.2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量.3.有理数的概念及分类.一、教材作业【必做题】教材第26页习题2.1的2,3题.【选做题】教材第26页习题2.1的4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结论中正确的是()A.0既是正数,又是负数B.0是最小的正数C.0是最大的负数D.0既不是正数,也不是负数2.向东运动记作“+”,向西运动记作“- ”,下列说法正确的是()A. - 5米表示向东运动了5米B.向西运动5米表示向东运动了- 5米C.+5米表示向西运动了5米D.向西运动5米也可以记作向西运动- 5米3.武汉市夏季气温比较高,若以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38 ℃与28 ℃分别记作()A.+8 ℃- 2 ℃B.+8 ℃+2 ℃C. - 8 ℃- 2 ℃D. - 8 ℃+2 ℃4.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃,该药品在温度范围内保存才合适.5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.- 18,+227,3.1416,0.2011, - 35, - 0.1010…, - π, - 2,99%.【能力提升】6.如果海平面的高度为0 m,一潜水艇在海平面以下40 m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10 m 处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.(1)钟表的指针逆时针方向旋转20°记作- 20°,顺时针方向旋转30°记作;(2)运进200箱记作,运出150箱记作- 150箱.【拓展探究】8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100 m记作- 1100 m,那么他向北跑1100 m时向后转又继续跑了1200 m是什么意思?这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?距A地多远?【答案与解析】1.D(解析:根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.)2.B(解析:A. - 5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为- 5米,故D错误.故选B.)3.A (解析:因为以30 ℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38 ℃与28 ℃分别记作:+8 ℃, - 2 ℃.故选A.)4.18~22 ℃(解析:温度是20 ℃±2 ℃,表示最低温度是20 ℃- 2 ℃=18 ℃,最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃,即18~22 ℃之间是合适温度.)5.解:正数有:+227,3.1416,0.2011,99%;负数有: - 18, - 35, - 0.1010…, - π, - 2.6.解:因为海平面的高度为0 m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方,故分别为- 40 m和- 30 m.7.(1)+30°(2)+200箱8.解:如果把向北跑1100 m 记作 - 1100 m ,那么他向北跑1100 m 时向后转又继续跑了1200 m ,说明小明又向南跑了1200 m ,此时他在A 地的南边,距A 地的距离=1200 - 1100=100(m ).本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反意义的量的成长过程。

的加法一、选择题1. 计算2＋(－2)的结果是( )A. －4B. －C. 0D. 42. 数a、b在数轴上的位置如图所示，则a＋b是( )A. 正数B. 零C. 负数D. 都有可能3. 把－1，0，1，2，3这五个数，填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是( )4. 气温由－1 ℃上升2 ℃后是( )A. －1 ℃B. 1 ℃C. 2 ℃D. 3 ℃5. 下列四个数中最小的数是( )A. －2B. 0C. －D. 5二、填空题6. +3+(－7)=_______；(－32)+(+19)=_______.7. （－4）+（－6）=____；（+15）+（－17）=___.8. 若一个数是5，另一个数比5的相反数大2，则这两个数的和为________．9. 有理数a，b，c在数轴上的对应点为A，B，C，如图所示(图中OA与OC的长度相等)，则(1)用“＜”号将a，b，c连接为________.(2)用“＞”“＜”“＝”号填空：a＋b________0；a＋c______0；b＋c______0.10. 若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，则a＋b________0.三、解答题11. 计算题：（1）23+17+(－7)+(－16)；（2）(－5)＋(－3.5)；（3） (＋)＋(－)；（4）+(－)+（－1）+.12. 计算：（1）；（2）.13. 某班10名同学参加数学竞赛，以80分为准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，评分记录如下：＋10，＋15，－10，－8，－9，－1，＋2，－3，－2，＋1，这10名同学的总分与800分相比超过或不足多少分？他们的总分是多少？14. 某工厂某周计划每日生产自行车200辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表(增加的为正数，减少的为负数)：星期一二三四五六日增减/辆－1 ＋3 －2 ＋4 ＋7 －5 －10(2)本周总生产量是多少？(3)是增加了还是减少了？增减数为多少？答案一、选择题1. 【答案】C【解析】2与-2互为相反数，根据有理数的加法法则，互为相反数的两个数相加得0，可得2+（-2）=0，故选C.2.【答案】C【解析】观察数轴可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，根据异号两数相加的法则可得a+b＜0．故选：C．考点：数轴；有理数的加法．3.【答案】D【解析】本题考查的是有理数的加法的应用，由图逐一验证，运用排除法即可选得．验证四个选项：A、行：1+（-1）+2=2，列：3-1+0=2，行=列，故本选项正确；B、行：-1+3+2=4，列：1+3+0=4，行=列，故本选项正确；C、行：0+1+2=3，列：3+1-1=3，行=列，故本选项正确；D、行：3+0-1=2，列：2+0+1=3，行≠列，故本选项错误．故选D．解答本题的关键是掌握好有理数的加法法则。

七年级上册第二章《有理数及其运算》第四节：有理数的加法（一）一、备课标（一）内容标准：课标要求：理解有理数的加法运算律，能运用运算律简化运算。

能运用有理数的加法运算解决简单的问题（二）十大核心概念：本节课初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，探索具体问题中的数量关系并能根据数量关系进行有理数加法运算，加深学生对运算本身意义的理解。

发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。

十大核心概念在本节课中突出培养的是符号意识数感运算能力二、备重点、难点（一）教材分析：本节课是七年级上册第二章《有理数及其运算》第四节第一课时的内容。

本节对于有理数的运算，首先在于运算的意义的理解，即首先要回答为什么要进行运算。

为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身意义的理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。

教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务：探索有理数的加法运算法则，进行有理数的加法运算。

（二）教学重点、难点内容：重点：有理数加法法则的探索过程，利用有理数的加法法则进行计算难点：探索异号两数相加的法则三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的，不同的是有理数运算多了一个符号问题。

符号法则是有理数运算法则的重要组成部分，也是学生学习本章知识和今后学习其他与计算有关的内容时容易出错的知识点之一。

（2）支持性条件：教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务，本节课渗透探索、归纳等思想方法。

数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定数学交流的能力。

2.起点能力分析：学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，而七年级的学生，对异号两数相加从未接触过，与小学加法比较，思维强度增大。

有理数及其运算知识总结一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力 .根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小 .8、有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0相加，仍得这个数.9、有理数加法运算律加法交换律： a＋b=b＋a加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)10、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).11、代数和的意义几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.12、有理数加减混合运算步骤（1）把加减混合运算统一成加法；（2）写成省略加号、括号的代数和；（3）利用加法法则及运算律进行计算.13、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0．14、多个非零因数相乘，积的符号规律n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．15、有理数乘法的运算律(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b ＋c)＝ab＋ac．16、倒数的概念乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数．由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为1a．17、有理数的除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．18、利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：6÷3可以写成63，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.19、乘方的概念求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即在n a中，a叫做底数，n叫做指数，n a叫做幂．na的读法有两种：(1)读作a的n次幂．(2)读作a的n次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、学记数法a 的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做学记数把一个大于10的数记成10n法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 .正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 .括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .6、积的符号的确定方法有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．如： (－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数：负＝－(12÷2÷3)＝－2(－12)÷2÷(－3)——两个负数：正＝＋(12÷2÷3)＝28、有理数混合运算中应注意的问题（1）要注意运算顺序；（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；（3）要灵活进行小数、分数的互化；（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.典型例题例1：一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6km，走－4.5km，走0km的意义各是什么？分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.解：走 6km表示物体向南走6km；走－ 4.5km表示物体向北走4.5km；走 0km表示物体原地不动.例2：某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋ 10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.解：依题意知，五位同学在实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：1(10085909887)92().5++++=分例3：如图所示的数轴上， A、B、C、D、E各点分别表示什么数？分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数，正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.解：点A表示数132；点B表示数12；点C表示数0；点D表示－3；点E 表示数142-. 例4：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.解：这些数在数轴上的表示如图所示.它们从小到大的排列为：111132101242242<-<-<<<< 例5：利用绝对值比较下列有理数的大小 .（1）－0.6，－60234(2) ,,345--- 分析：比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .解：（1）|－0.6|=0.6, |－60|=60∵ 0.6<60，∴ －0.6>－60.224033454448(2) ||||||336044605560404548 ,606060234 .345---<<∴->->-＝＝，＝＝，＝＝， 例6：已知 |a ＋2|＋|b －3|=0，求a 和b 的值.分析：由绝对值的非负性可知， |a ＋2|≥0，|b －3|≥0，而且只有当|a ＋2|和|b －3|都等于0时，|a ＋2|＋|b －3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=－2，b=3.解：∵ |a ＋2|＋|b －3|=0，又 ∵ |a＋2|≥0，|b －3|≥0，∴ |a ＋2|=0，|b －3|=0．∴ a ＋2=0，b －3=0．∴ a=－2，b=3．例7：计算分析：进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .解：（1）原式=（－5）＋（－3）＋（－9）＋（＋7）=－5－3－9＋7=（－5－3－9）＋7=－17＋7=－1034210(2)()()()()10757++++-+-原式＝例8：计算题：2322232183(1)(1)(1)(0.51);362141(2)(3)12(2).3(2)÷-+⨯------÷--- 268491(1)()()3721168471 76834922 (2)29(8)1⨯-+⨯---++-⨯-----解：原式＝＝121＝1684-6原式＝＝＝＝-1 注：（1）要按运算顺序进行计算.（2）乘方时要看清楚底数与指数，先确定幂的符号.例9：计算题：242112518(1){[(2)]()(2)}();23639131(2)0.25()(1)(12 3.75)24.283--÷---÷--÷-⨯-++-⨯112518(1){[2)]()2)}()23639251 []631 3 3131 (2)16(1)124224 3.7521683+÷-+÷-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯-⨯解：原式＝169＝（-）+2（-）589＝（-5+2）（-）889＝（-）（-）38＝原式＝4 1+33+56-900＝＝ 注：第（1）小题先由里及外逐层去掉括号，同时把除法转化为乘法进行运算，第（2）小题应用乘法分配律使运算得以简化.例10：用学记数法表示下列各数．(1)270．3； (2)3870000；(3)光的速度约为300 000 000米/秒；(4)0．5×9×1000000； (5)10．解：(1)270．3＝2．703×100＝2．703×102．(2)3870000＝3．87×1000000＝3．87×106．(3)300000000＝3×100000000＝3×108．(4)0．5×9×1000000＝4．5×106．(5)10＝1×10．说明：学记数法a ×10n 中，a 是小于10且大于等于1的数，n 比原数位的整数位数少1，比如：3870000000是10位数，指数n 就是9．这就是说n 等于原数的整数位数减1，而不是比所有的数位和少1．如179．4＝1．794×102，而不是179．4＝1．794×103．例11：某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？解： 1×｛［21－（－39）］÷6｝=1×（60÷6）=10（千米）因此：此处的高度是10千米．。

初中数学《北师大版》教材目录七年级上册：第一章丰富的图形世界⑴生活中的立体图形（2）⑵展开与折叠（8）⑶截一个几何体（13）⑷从不同方向看（15）⑸生活中的平面图形（22）回顾与思考（27）复习题（27）第二章有理数及其运算⑴数怎么不够用了（31）⑵数轴（36）⑶绝对值（）⑷有理数的加法（41）⑸有理数的减法（44）⑹有理数的加减混合运算（52）⑺水位的变化（62）⑻有理数的乘法（64）⑼有理数的除法（69）⑽有理数的乘方（72）⑾有理数的混合运算（77）⑿计算器的使用（80）回顾与思考（84）复习题（84）第三章字母表示数⑴字母能表示什么（90）⑵代数式（93）⑶代数式的值（98）⑷合并同类项（102）⑸去括号（108）⑹探索规律（111）回顾与思考（114）复习题（115）第四章平面图形及其位置关系⑴线段、射线、直线（120）⑵比较线段的长短（123）⑶角的度量与表示（126）⑷角的比较（131）⑸平行（135）⑹垂直（138）⑺有趣的七巧板（142）⑻图案设计（144）回顾与思考（146）复习题（146）第五章一元一次方程⑴你今年几岁了（149）⑵解方程（154）⑶日历中方程（161）⑷我变胖了（163）⑸打折销售（168）⑹“希望工程”义演（170）⑺能追上小明吗（172）⑻教育储蓄（174）回顾与思考（176）复习题（176）第六章生活中的数据⑴100万有多大（179）⑵科学计数法（181）⑶扇形统计图（185）⑷月球上有水吗（189）⑸统计图的选择（192）回顾与思考（196）复习题（197）课题学习制作一个尽可能大的无盖长方体（212）总复习（214）第七章平面图形的认识⑴整式（2）⑵整式的加减（6）⑶同底数幂的乘法（12）⑷幂的乘方与积的乘方（15）⑸同底数幂的除法（19）⑹整式的乘法（22）⑺平方差公式（29）⑻完全平方公式（33）⑼整式的除法（39）回顾与思考（44）复习题（44）第八章平行线与相交线⑴台球桌面上角（50）⑵探索直线平行的条件（53）⑶平行线的特征（59）⑷用尺规作线段和角（63）回顾与思考（69）复习题（69）第九章生活中的数据⑴认识百万分之一（74）⑵近似数和有效数字（78）⑶世界新生儿图（84）回顾与思考（90）复习题（90）课题学习制作“人口图”（94）第十章概率⑴游戏公平吗（98）⑵摸到红球的概率（105）⑶停留在黑砖上概率（109）回顾与思考（113）复习题（113）第十一章三角形⑴认识三角形（117）⑵图形的全等（128）⑶图案设计（132）⑷全等三角形（135）⑸探索三角形全等的条件（138）⑹作三角形（147）⑺利用三角形全等测距离（150）⑻探索直角三角形全等的条件（153）回顾与思考（157）复习题（157）第十二章变量之间的关系⑴小车下滑的时间（163）⑵变化中的三角形（167）⑶温度的变化（171）⑷速度的变化（176）回顾与思考（180）复习题（180）第十三章生活中的轴对称⑴轴对称现象（186）⑵简单的轴对称图形（191）⑶探索轴对称的性质（197）⑷利用轴对称设计图案（200）⑸镜子改变了什么（203）⑹镶边与剪纸（207）回顾与思考（210）复习题（210）总复习（215）第一章勾股定理⑴探索勾股定理（2）⑵能得到直角三角形吗（9）⑶蚂蚁怎样走最近（13）回顾与思考（16）复习题（16）课题学习拼图与勾股定理（19）第二章实数⑴数怎么不够用了（25）⑵平方根（31）⑶立方根（36）⑷公园有多宽（39）⑸用计算器开方（41）⑹实数（44）回顾与思考（52）复习题（52）第三章图形的平稳与旋转⑴生活中平移（57）⑵简单的平移作图（61）⑶生活中旋转（66）⑷简单的旋转作图（69）⑸它们是怎样变化过来的（71）⑹简单的图案设计（74）回顾与思考（78）复习题（78）第四章四边形性质探索⑴不行四边形的性质（83）⑵不行四边形的判别（88）⑶菱形（92）⑷矩形、正方形（95）⑸梯形（101）⑹探索多边形的内角和与外角和（106）⑺平面图形的密铺（111）⑻中心对称图形（114）回顾与思考（117）复习题（117）第五章位置的确定⑴确定位置（122）⑵平面直角坐标系（130）⑶变化的鱼（138）回顾与思考（145）复习题（145）第六章一次函数⑴函数（150）⑵一次函数（154）⑶一次函数的图象（159）⑷确定一次函数的表达式（163）⑸一次函数图象的应用（166）回顾与思考（175）复习题（175）第七章二元一次方程组⑴谁的包裹多（181）⑵解二元一次方程组（186）⑶鸡兔同笼（194）⑷增收节支（196）⑸里程碑上的数（199）⑹元一次方程组与一次函数（202）回顾与思考（208）复习题（208）第八章数据的代表⑴平均数（213）⑵中位数与众数（220）⑶利用计算器求平均数（224）回顾与思考（227）复习题（227）总复习（230）第一章一元一次不等式和一元一次不等式组⑴不等关系（2）⑵不等式的基本性质（7）⑶不等式的解集（10）⑷一元一次不等式（13）⑸一元一次不等式与一次函数（18）⑹一元一次不等式组（24）回顾与思考（33）复习题（33）第二章分解因式⑴分解因式（38）⑵提公因式法（42）⑶运用公式法（47）回顾与思考（54）复习题（54）第三章分式⑴分式（58）⑵分式的乘除法（66）⑶分式的加减法（70）⑷分式方程（77）回顾与思考（85）复习题（85）第四章相似图形⑴线段的比（90）⑵黄金分割（97）⑶形状相同的图形（102）⑷相似多边形（107）⑸相似三角形（113）⑹探索三角形相似的条件（117）⑺测量旗杆的高度（124）⑻相似多边形的性质（128）⑼图形的放大与缩小（135）回顾与思考（142）复习题（142）课题学习制作视力表（147）第五章数据的收集与处理⑴每周干家务活的时间（152）⑵数据的收集（155）⑶频数与频率（159）⑷数据的波动（168）回顾与思考（177）复习题（177）课题学习吸烟的危害（181）第六章证明（一）⑴你能肯定吗（184）⑵定义与命题（188）⑶为什么它们平行（198）⑷如果两条直线平行（202）⑸三角形内角和定理的证明（205）⑹关注三角形的外角（210）回顾与思考（214）复习题（214）总复习（218）附：标准对数视力表中的“E”形图（228）第一章证明（二）⑴你能证明它们吗（2）⑵直角三角形（15）⑶线段的垂直平分线（24）⑷角平分线（31）回顾与思考（38）复习题（38）第二章一元二次方程⑴花边有多宽（42）⑵配方法（48）⑶公式法（57）⑷分解因式法（60）⑸为什么是0.618（）回顾与思考（69）复习题（69）第三章证明（三）⑴平行四边形（74）⑵特殊的平行四边形（86）回顾与思考（94）复习题（94）第四章视图与投影⑴视图（98）⑵太阳光与影子（109）⑶灯光与影子（115）回顾与思考（125）复习题（125）第五章反比例函数⑴反比例函数（131）⑵反比例函数的图象与性质（134）⑶反比例函数的应用（143）回顾与思考（147）复习题（147）课题学习猜想、证明与拓广（150）第六章频率与概率⑴频率与概率（157）⑵投针试验（169）⑶生日相同的概率（172）⑷池塘里有多少条鱼（176）回顾与思考（180）复习题（180）总复习（183）第一章直角三角形的边角关系⑴从梯子的倾斜程度谈起（2）⑵30o、45o、60o角的三角函数值（10）⑶三角函数的有关计算（14）⑷船有触礁的危险吗（21）⑸测量物体的高度（25）回顾与思考（29）复习题（29）第二章二次函数⑴二次函数所描述的关系（34）⑵结识抛物线（38）⑶刹车距离与二次函数（42）⑷二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象（46）⑸用三种方法表示二次函数（56）⑹何时获得最大利润（59）⑺最大面积是多少（62）⑻二次函数与一元二次方程（64）回顾与思考（73）复习题（73）课题学习拱桥设计（79）第三章圆⑴车轮为什么做成圆形（83）⑵圆的对称性（88）⑶圆周角与圆心角的关系（100）⑷确定圆的条件（109）⑸直线和圆的位置关系（113）⑹圆和圆的位置关系（122）⑺弧长及扇形的面积（129）⑻圆锥的侧面积（133）回顾与思考（136）复习题（136）课题学习设计遮阳篷（144）第四章统计与概率⑴50年的变化（149）⑵哪种方式更合算（165）⑶游戏公平吗（170）回顾与思考（175）复习题（175）总复习（182）。