(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用)

2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。

(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。

(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。

精心整理，仅供学习参考。

第一节 函数的概念A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )＝sin xB.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12 3.(2014·山东，3)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)5.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－16.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或87.(2014·上海，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2] 8.(2016·江苏，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 9.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π8x ，x ≥0，f （x ＋5）＋2，x ＜0，则f (－2016)的值为( )A.810B.809C.808D.806 2.(2016·山东淄博12月摸底考试)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233.(2016·豫南豫北十校模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 6，0<x ≤8，log 2x ，x >8，则f (f (－16))＝( ) A.－12 B.－32 C.12D.324.(2015·山东滨州模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A.8B.9C.11D.105.(2015·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则f (f (e))(e 为自然对数的底数)＝( ) A.0B.1C.2D.ln(e 2＋1)6.(2015·北京东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(3,＋∞)B.(－1,3)C.(－1,0)∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，337.(2016·豫南九校联考)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是________.8.(2016·广东广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2（1－x ），x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________.9.(2015·山东聊城模拟)设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0，3)，求f (x )的解析式.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).] 4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]6.D [当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.]图1 图27.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [f (－2 016)＝f (－2 011)＋2＝f (－2 006)＋4＝…＝f (－1)＋403×2 ＝f (4)＋404×2＝808＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8×4＝809.]2.C [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故选C.]3.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝12，故选C.]4.C [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.]5.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]6.D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，故选D.]7. [0，1) [∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1.∴0≤x <1. 即函数g (x )的定义域是[0，1).]8. 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1，当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).]9.解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称. 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.。

【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 2.7函数模型及函数的综合应用A组2012—2014年高考·基础题组1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R, f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=02.(2013安徽,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A.3B.4C.5D.63.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.4.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)5.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)B组2012—2014年高考·提升题组1.(2012北京,8,5分)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为( )A.5B.7C.9D.112.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是( )A. B.C.∪D.3.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)4.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.5.(2013湖南,16,5分)设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(-∞,1), f(x)>0;②∃x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.A组2012—2014年高考·基础题组1.C 由三次函数值域为R知f(x)=0有解,所以A项正确;因为y=x3的图象为中心对称图形,而f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可以由y=x3的图象平移得到,故B项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1<x2), f '(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)·(x-x2),则f(x)在(-∞,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,故C项错误;D项正确.故选C.2.A f '(x)=3x2+2ax+b,则x1,x2为f '(x)=0的两不等实根.即3(f(x))2+2af(x)+b=0的解为f(x)=x1或 f(x)=x2.不妨设x1<x2,则f(x)=x1有两解, f(x)=x2只有一解.故原方程共有3个不同实根.3.答案(2,+∞)解析函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b>0.即解之得b>2.所以实数b的取值范围为(2,+∞).4.答案(1) (2)x解析(1)若M f(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a)),(,0),(b,-f(b))共线,∴=,∴=,∴可取f(x)=.(2)若M f(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a, f(a)),,(b,-f(b))共线,∴=,化简得=,∴可取f(x)=x.5.答案解析过点P作PN⊥BC于N,连结AN,则∠PAN=θ,如图.设PN=x m,由∠BCM=30°,得CN=x m.在直角△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40x+625,故tan2θ====.当=时,tan2θ取最大值,即当x=时,tan θ取最大值.B组2012—2014年高考·提升题组1.C 前m年的年平均产量为,由各选项知求,,,的最大值,问题可转化为求图中4个点A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图可知k OC=最大,即前9年的年平均产量最高.故选C.2.A 显然a=0时,A=⌀,不满足条件.a>0时,易知f(0)=0,x>0时, f(x)=x(1+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),而由已知⊆A可得0∈A,即f(0+a)<f(0),所以a>0也不满足条件,故a<0.易知f(x)=在坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示,由图可知满足不等式f(x+a)<f(x)的解集A=(x C,x B).由x(1-ax)=(x+a)[1-a(x+a)]可得x C=;由x(1+ax)=(x+a)[1+a(x+a)]可得x B=-.∴A=(a<0).由⊆A得解得<a<0.故选A.3.答案①③④解析依题意可直接判定①正确;令f(x)=2x(x∈(-∞,1]),显然存在正数2,使得f(x)的值域(0,2]⊆[-2,2],但f(x)无最小值,②错误;假设f(x)+g(x)∈B,则存在正数M,使得当x在其公共定义域内取值时,有f(x)+g(x)≤M,则f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数M1,使g(x)∈[-M1,M1],∴-g(x)≤M1,即M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1,与f(x)∈A矛盾,③正确;当a=0时, f(x)=∈,即f(x)∈B,当a≠0时,∵y=al n(x+2)的值域为(-∞,+∞),而∈,此时f(x)无最大值,故a=0,④正确.4.答案-1或解析设P,则|PA|2=(x-a)2+=-2a+2a2-2,令t=x+≥2(x>0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.(1)当a≤2时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).(2)当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍),综上知,a=-1或.5.答案(1){x|0<x≤1}(2)①②③解析(1)由已知条件(a,b,c)∈M,c>a>0,c>b>0,a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b得2a≤c,即≥2.a x+b x-c x=0时,有2a x=c x,=2,解得x=lo2,∴0<x≤1,即f(x)=a x+b x-c x的零点的取值集合为{x|0<x≤1}.(2)对于①,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1.此时函数y=+在(-∞,1)上为减函数,得+>+,又a,b,c是△A BC的三条边长,∴a+b>c,即+>1,得+>1,∴a x+b x>c x,∴∀x∈(-∞,1), f(x)=a x+b x-c x>0,故①正确;对于②,∵y=,y=在x∈R上为减函数,∴当x→+∞时,与无限接近于零,故∃x∈R,使+<1,即a x+b x<c x,所以a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长,故②正确;对于③,若△ABC为钝角三角形,c为最大边,则a+b>c,a2+b2<c2,构造函数g(x)=+-1.又g(1)=+-1=>0,g(2)=+-1=<0,∴y=g(x)在(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使+-1=0,即f(x)=a x+b x-c x=0,故③正确.综上所述,结论正确的是①②③.。

（江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式；()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v ()x 的表达式为v ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13()200－x ， 20<x ≤200.()2依题意并由()1可得f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x ()200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f ()x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时，f ()x ＝13x ()200－x ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋()200－x 22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f ()x 在区间(]20，200上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f ()x 在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/时． 2．(2023·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )到达最小？并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0；当5<x ≤10时．f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用到达最小值70万元．[A 级 双基稳固]一、填空题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ；③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2. 解析：由表中数据可知，当t 越大时，v 递增的速度越快，而v ＝log 2t 递增速度较慢，v ＝log 12t 递减，v ＝2t －2匀速，只有v ＝t 2－12符合这一特征．答案：③2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备假设干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，假设超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购置应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，那么a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购置x 套(x ≤50)应付a 元，那么a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39， ∴39＜x ≤50，∴xy ＝(y －30)(x ＋11)， ∴3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，∴a ＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2023年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(准确到1万 m 2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，那么500×1＋1%10×7－500×610≈87(万 m 2)．答案：874．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，那么总利润L (Q )的最大值是______万元．答案：2500 5．(2023·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，且经讨论知x ＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：9万件6．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝________吨．解析：每年购置次数为400x，∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 答案：20 7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值a ”是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…，a n ，推出的a ＝________.解析：设近似值为x ，那么f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取最小值时的x 即为a ，由f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )知当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n时，f (x )最小．答案：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购置________元的商品．解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．故最多能购置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品． 答案：8760 二、解答题 9．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t0≤t ≤30－6t ＋24030<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件产品A 的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 0≤t ≤20，6020＜t ≤40.设这家公司的日销售利润为F (t )，那么F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋6t ＋2t ，0≤t ≤2060－320t 2＋6t ＋2t ，20<t ≤3060－320t 2＋6t －6t ＋240，30<t ≤40＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤2060－320t 2＋8t ，20＜t ≤3060－320t 2＋240.30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0， 故F (t )在[0,20]上单调递增，此时F (t )的最大值是F (20)＝6000＜6300；当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6300，解得703＜t ＜30；当30<t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300.故第一批产品A 上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．10．某隧道长2150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据平安和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×55－1x ＝3780x，当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋16x 2＋13x×55－1x＝2700x＋9x ＋18，所以，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3780x 0＜x ≤102700x ＋9x ＋18 10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ·2700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4(s)．[B 级 能力提升]一、填空题1．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．假设该工程总时间为9天，那么完成工序C 需要的天数x 最大是________．解析：分析题意可知，B 、D 工序不能同时进展， ∴B 、D 工序共需5＋4＝9天， 而完成总工序的时间为9天，说明A 、B 同时开工，A 完成后C 开工且5≥2＋x ， ∴x ≤3，故x 最大值为3. 答案：3 2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如下图．根据图中提供的信息，答复以下问题：(1)从药物释放开场，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤110)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 0≤t ≤110116t －0.1t ＞110.(2)由(116)t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t0≤t ≤110116t －0.1t ＞110(2)0.63．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x，那么这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．解析：该函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为 a 、b 、c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3bab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大． 答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江苏卷)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，那么s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x .那么s ＝3－x 234－34x 2＝433·3－x21－x 2(0＜x ＜1)， s ′＝433·－6x 2＋20x －61－x 22＝－833·3x －1x －31－x22， 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．即x ＝13是s 的极小值点且是最小值点．∴s min ＝433·3－1321－19＝3233.答案：3233二、解答题5．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期的获利为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件可知，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12).x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘故x ＝12时，f (x )取极大值，因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．6．(2023·高考湖南卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习 第二章 第一节 函数的概念 文（全国通用）A 组 专项基础测试 三年模拟精选选择题1．(2015·湛江市高三调研)函数f (x )＝x 2－4x ＋3的定义域是( ) A ．RB ．(0，3)C ．(1，3)D.(]－∞，1∪[)3，＋∞解析 由x 2－4x ＋3≥0，解得x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)． 答案 D2．(2015·黄冈中学期中)函数f (x )＝2－x －lg(x －1)的定义域是( ) A ．(－∞，2]B ．(2，＋∞)C ．(1，2]D ．(1，＋∞)解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1＞0，解得x ∈(1，2]．答案 C3．(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 ∵3x＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞)．故选A. 答案 A4．(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．48解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10，f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C5．(2014·山东济南调研)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.答案 C6．(2013·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析 要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12（2－x ）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1⇒32≤x ＜2.故选B.答案 B一年创新演练7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋1，x ＜1，|x 2＋ax |，x ≥1，若f (f (0))＜4，则a 的取值范围( )A ．(－6，－4)B ．(－4，0)C ．(－4，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34解析 由题意f (0)＝2，原不等式即为f (2)＜4， 所以|2a ＋4|＜4，解得－4＜a ＜0.故选B. 答案 B8．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B .若x 0∈A, 且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 解析 x 0∈A ，即0≤x 0＜12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12＜1，即12≤f (x 0)＜1， 即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0， 因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0＜12，解得14＜x 0≤12.又因为0≤x 0＜12，所以14＜x 0＜12，故选C.答案 CB 组 专项提升测试 三年模拟精选一、填空题9．(2015·四川省统考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x πa ，x ≤4，log a （x ＋1），x ＞4，且f (8)＝2，则f (f (80))＝________．解析 ∵8＞4，∴f (8)＝log a (8＋1)＝log a 9＝2， 即a ＝3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤4，log 3（x ＋1），x ＞4，∵80＞4，∴f (80)＝log 381＝4， ∴f (f (80))＝f (4)＝2cos 4π3＝－1.答案 －110．(2015·绵阳市一诊)已知函数f (x )＝3x －22x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________．解析 因为f (x )＝3x －22x －1，所以f (1－x )＝3（1－x ）－22（1－x ）－1＝3x －12x －1，所以f (x )＋f (1－x )＝3，所以所求＝3×102＝15.答案 1511．(2014·河南南阳三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，0≤x ≤π2，3x ＋12，x ＜0，若f (x 0)＝－12，则x 0＝________．解析 当x 0＜0时，由3x 0＋12＝－12得x 0＝－13.当0≤x 0≤π2时，由－sin x 0＝－12得x 0＝π6.答案π6或－1312．(2014·东北六校大联考)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析 由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]， 故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]． 答案 [－4，6] 二、解答题13．(2014·北京平谷5月模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否有上界，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； (3)试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋34， ∵f (x )在(－∞，0)上递减， ∴f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M >0， 使|f (x )|≤M 成立，∴函数f (x )在(－∞，0)上没有上界．(2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，由|f (x )|≤3，得－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x， ∴－4·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min .令2x＝t ，则－4t －1t ≤a ≤2t －1t，设h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1， 设1≤t 1<t 2，则h (t 1)－h (t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p (t 1)－p (t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，∴h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]． (3)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对于任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≥M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的下界． 例如：f (x )＝3是以3为下界的有界函数． 证明：∵x ∈R ，|f (x )|＝3≥3，∴命题成立．一年创新演练14．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0＜x ＜1），0 （x ＝1），－1x （x ＞1）中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①解析 易知①满足条件，②不满足；对于③，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x （x ＞1），0 （x ＝1），－x （0＜x ＜1），满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，故③满足“倒负”变换，故选C.答案 C15．定义max{s 1，s 2，…，s n }表示实数s 1，s 2，…，s n 中的最大者．设A ＝(a 1，a 2，a 3)，B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1b 2b 3，记A ⊗B ＝max{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}．设A ＝{x －1，x ＋1，1}，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2|x －1|，若A ⊗B ＝x －1，则x 的取值范围为( )A ．[1－3，1]B ．[1，1＋2]C ．[1－2，1]D ．[1，1＋3]解析 由定义知：{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}＝{x －1，(x ＋1)(x －2)，|x －1|}，若A ⊗B ＝x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥（x ＋1）（x －2），x －1≥|x －1|，解得1≤x ≤1＋ 2. 答案 B。

第六节函数的图象A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f(x) (x∈R)满足f(x)= f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=( )A.0B. mC. 2mD. 4m3.(2016·浙江，3)函数y＝sin x2的图象是( )4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )5.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )7.(2014·辽宁，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·郑州质检)已知定义在R 上的函数f (x )＝log 2(a x－b ＋1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<1a <1b <1B.0<1b <a <1C.0<b <1a<1D.0<1a<b <12.(2016·山东淄博诊断)设函数f (x )＝a －x－ka x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )3.(2016·齐鲁名校联合测试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1），－x 2＋2x ，x ∈[1，2].则函数y ＝f (x )在[2，4]上的大致图象是( )4.(2015·江西省质检三)函数y ＝－(x －2)|x |的递增区间是( ) A.[0，1] B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.[0，1)和(2，＋∞)5.(2015·青岛八中模拟)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D2.解析 函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x )， 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称，函数y =|x 2-2x -3|的图象也关于直线x =1对称，故函数y =|x 2-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称，故x i =×2=m，故选B.答案 B3.解析 y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C. 又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tanx ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.故选B. 答案 B5.解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D6.解析 根据对数函数性质知，a ＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a ＜1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a ＞1，与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D7.解析 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.答案 AB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由题中图可知，a >1，f (0)＝log 2(1－b ＋1)， 故0<log 2(1－b ＋1)<1，即0<b <1. 又f (－1)＝log 2(a －1－b ＋1)，所以log 2(a －1－b ＋1)<0，故1a <b ，所以0<1a<b <1.故选D.答案 D2.解析 因为f (x )＝a －x－ka x为R 上的奇函数，所以f (0)＝1－k ＝0，k ＝1，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x－a x为减函数，所以a >1，g (x )＝log a (x ＋1)，由x >－1以及g (x )单调递增知C 项正确，故选C. 答案 C3.解析 当2≤x <3时，0≤x －2<1，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝2x －4； 当3≤x ≤4时，1≤x －2≤2，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝－2(x －2)2＋4(x －2)＝－2x 2＋12x －16.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，2≤x <3，－2x 2＋12x －16，3≤x ≤4，所以A 正确. 答案 A4.解析 y ＝－(x －2)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，x 2－2x ，x ≤0，作出该函数的图象，观察图象知，其递增区间为[0，1]. 答案 A5.解析 自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x＞0，当x ＞0时可得x ＞1；当x ＜0时可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1，0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A ，D.又函数y ＝x －1x单调递增，所以f (x )分别在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.答案 B。

§2.8函数与方程Ａ组基础题组1.(2015陕西二模)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,则有且只有一个实数c∈(a,b)使得f(c)=02.(2014湖北武汉4月调研,8)设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=++的两个零点分别位于区间( )A.(-∞,λ1)和(λ1,λ2)内B.(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内C.(λ2,λ3)和(λ3,+∞)内D.(-∞,λ1)和(λ3,+∞)内3.(2015浙江嘉兴一中一模,7)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)+a]有四个零点,则实数a的取值范围为( )A.[-2,2)B.[1,5)C.[1,2)D.[-2,5)4.(2015台州调考)若函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)有且只有一个零点,则实数a的值是( )A.-2B.-1C.0D.25.(2015浙江重点中学协作体适应性测试,8)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )A.a<-B.a<-C.a<-D.-<a<-6.(2015浙江五校联考,10)已知函数f(x)=g(x)=则函数f[g(x)]的所有零点之和是( )A.-+B.+C.-1+D.1+7.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.8.(2014福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是.9.(2015苏州调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是.10.(2015陕西二模)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个在(1,2)内,则的取值范围是.11.(2016超级中学原创预测卷八,20,15分)已知函数f(x)=|(ax-1)(x-1)|(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>1时,若函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,求a的取值范围;(3)当0≤a≤1时,若对任意的x∈[0,2],都有m≥f(x)恒成立,求m的取值范围.B组提升题组1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+12.(2015浙江冲刺卷六,4)若关于x的方程=kx+2只有一个实数根,则k的取值范围为( )A.k=0B.k=0或k>1C.k>1或k<-1D.k=0或k>1或k<-13.(2015浙江三校联考)已知函数f(x)=xe x-ax-1,则关于f(x)的零点叙述正确的是( )A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a>0时,函数f(x)只有一个零点4.(2015温州二模,6,5分)已知f(x)=则方程f[f(x)]=2的根有( )A.3个B.4个C.5个D.6个5.(2015山东临沂一模,6)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A. B.C. D.6.(2015浙江温州十校期中,10,5分)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<07.(2016超级中学原创预测卷十,8,5分)设f(x)是定义在R上的偶函数.对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,若在区间[-2,6]内,关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根,则实数a的取值范围是( )A.(,2)B.(1,2)C.(,)D.(1,)8.(2016超级中学原创预测卷九,7,5分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足以下两个条件:①对任意的x∈R,均有f(x)+f(-x)=0成立;②对任意的x1、x2∈R,若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2).若函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点,则实数k的取值范围为( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)9.(2015湖南,14,5分)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.10.若关于x的方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求实数a的取值范围.11.(2016慈溪中学高三期中文,20,15分)已知函数f(x)=|x-a|-+a,a∈R.(1)当x∈[1,4]时,求函数f(x)的最大值的表达式M(a);(2)是否存在实数a,使得f(x)=3有且仅有3个不等实根,且它们成等差数列?若存在,求出所有a的值;若不存在,说明理由.12.(2016超级中学原创预测卷十,20,15分)已知定义在R上的函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)设函数g(x)=f(x)+,若g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.Ａ组基础题组1.B 取f(x)=(x-1)2,则f(x)在[0,2]上的图象是连续的,且f(0)=1>0,f(2)=1>0,所以f(0)f(2)>0.而存在1∈(0,2)使得f(1)=0.故选B.2.B f(x)=,设g(x)=a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2),则g(λ1)=a1(λ1-λ2)(λ1-λ3)>0,g(λ2)=a2(λ2-λ1)·(λ2-λ3)<0,g(λ3)=a3(λ3-λ1)(λ3-λ2)>0,则函数f(x)的两个零点分别位于区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内.3.C y=f[f(x)+a]有四个零点,则方程f[f(x)+a]=0有四个根.易知f(x)+a=-1和f(x)+a=2都存在两个根,故-3<-a-1≤1且-3<-a+2≤1,解得1≤a<2.故选C.4.B将函数f(x)=a+|x|+log2(x2+2)的零点问题转化为函数f1(x)=-a-|x|的图象与f2(x)=log2(x2+2)的图象的交点问题.因为f2(x)=log2(x2+2)在[0,+∞)上单调递增,且为偶函数,因此其图象的最低点为(0,1),而函数f1(x)=-a-|x|也是偶函数,在[0,+∞)上单调递减,因此其图象的最高点为(0,-a),要满足题意,则-a=1,因此a=-1.5.C 函数f(x)在(0,+∞)上为单调函数,根据零点存在性定理知,函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点即f·f(1)=(-2a+2a+3)(4a+3)<0,解得a<-,故选C.6.B f(x)=的零点是2和-2.由f[g(x)]=0,得g(x)=±2.由g(x)=-2,解得x=-;由g(x)=2,解得x=1+或x=1-(舍去).所以函数f[g(x)]的所有零点之和为-+1+=+.7.答案-解析若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.8.答案 2解析当x≤0时,由x2-2=0得x=-;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为2.9.答案1<m≤2解析由题意可得g(x)=因为函数g(x)恰有三个不同的零点,所以由方程g(x)=0解得的实根2,-3和1都在相应范围上,故1<m≤2.10.答案解析令f(x)=x2+ax+2b,由题意可得即此不等式组确定的平面区域如图所示.的几何意义为可行域内的点与C(1,2)连线的斜率.易知点A的坐标为(-3,1),点B的坐标为(-1,0),则k AC=,k BC=1,所以的取值范围是.11.解析(1)当a=时,f(x)=|(x-3)(x-1)|,可知f(x)的单调递增区间为[1,2],[3,+∞);单调递减区间为(-∞,1),(2,3).(2)当a>1时,0<<1,函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,可以看成函数f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点(如图所示).由方程组得ax2-(a+2)x+a+1=0,则Δ=[-(a+2)]2-4a(a+1)≥0,解得-≤a≤,又a>1,∴1<a≤.根据图象可知,当a∈时,f(x)的图象与函数y=|x-a|的图象至少有三个交点,即函数g(x)=f(x)-|x-a|至少有三个零点,故实数a的取值范围是.(3)①当a=0时,f(x)=|x-1|在[0,2]上的最大值为1.②当0<a≤1时,f(x)图象的对称轴为x=>0,Δ=(a-1)2≥0,当≥2,即0<a≤时,f(x)max=max{f(0),f(2)}=max{1,|2a-1|},而|2a-1|<1,所以f(x)max=1.当<2,即<a≤1时,f(x)max=max=max1,,|2a-1|,由<a≤1⇒<1且|2a-1|≤1,∴f(x)max=1.综上,实数m的取值范围是m≥1.B组提升题组1.A y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.2.D 由=kx+2,得(1+k2)x2+4kx=0,解得x1=0,x2=-,显然x1=0符合方程,要使方程=kx+2只有一个实数根,则x2=x1=0,或kx2+2<0.由x2=x1=0,得k=0.由kx2+2<0,即-+2<0,得k>1或k<-1,故选D.3.B f(x)=0⇔e x=a+,在同一坐标系中作出函数y=e x与y=的大致图象,可观察出A、C、D选项错误,B选项正确.4.C 由f[f(x)]=2,设f(a)=2,则f(x)=a,|log2a|=2,则a=4或a=,作出f(x)与y=a的图象(图略),由图可知,当a=时两图象有3个交点,a=4时两图象有2个交点,所以f[f(x)]=2的根有5个.5.C 由题意,得解得<m<.6.A 易知函数f(x)=e x+x-2是R上的增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,故0<a<1,且x>a 时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.又易知g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=-2<0,g()=ln>0,故1<b<,且x>b时,g(x)>0;0<x<b时,g(x)<0.由0<a<1<b<,得f(b)>0,g(a)<0,故选A.7.A 由题意可知,f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,在同一平面直角坐标系内,y=f(x)在区间[-2,6]内的图象与函数y=log a(x+2)的图象如图所示,若要保证方程f(x)=log a(x+2)在区间[-2,6]内有3个不同的实根,只需log a4<3<log a8,即4<a3<8,<a<2.8.A 由条件①可知,f(x)是R上的奇函数,所以函数g(x)=f(9x)+f(2-k×3x)(x∈R)有两个不同的零点等价于关于x的方程f(9x)+f(2-k×3x)=0,即f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根.由条件②可知,f(x)为单调函数,则关于x的方程f(9x)=f(k×3x-2)有两个不相等的实根等价于9x-k×3x+2=0有两个不相等的实根,令t=3x,则t>0,则关于t的方程t2-kt+2=0有两个不相等的正实数根,所以解得k>2.9.答案(0,2)解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).10.解析原方程可化为(lga+lgx)·(lga+2lgx)=4,即2(lgx)2+3lga·lgx+(lga)2-4=0,令lgx=t,t>0,则有2t2+3lga·t+(lga)2-4=0的解都是正数,设f(t)=2t2+3lga·t+(lga)2-4,则解得lga<-2,∴0<a<,∴实数a的取值范围是.11.解析(1)当a≤1时,f(x)=x-,在[1,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当1<a≤2时,f(x)=在[1,a]上单调递增,在(a,4]上单调递增,∴f(x)max=f(4)=3.当2<a<4时,f(x)=在[1,2]上单调递增,在(2,a)上单调递减,在[a,4]上单调递增,∴f(x)max=max{f(2),f(4)}=当a≥4时,f(x)=2a-x-,在[1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=2a-4.综上所述,M(a)=(2)存在.函数f(x)=不妨设f(x)=3的3个根为x1,x2,x3,且x1<x2<x3.当x>a时,由f(x)=x-=3,解得x=-1或x=4.当a≤-1时,∵x2=-1,x3=4,∴x1=-6,由f(-6)=2a+6+=3,解得a=-,满足f(x)=3在(-∞,a)上有一解.当-1<a≤4时,x3=4,x1,x2是2a-x-=3在(-∞,a)上的两个解,即x1,x2是x2-(2a-3)x+4=0在(-∞,a)上的两个解,得到又f(x)=3的3个根x1,x2,x3成等差数列,且x1<x2<x3,所以2x2=x1+4, 解得或当a>4时,f(x)=3最多只有两个解,不满足题意.综上所述,a=-或a=1+.12.解析(1)设0<x 1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-===,由0<x1<x2<1易知(x2-x1)(x1x2-1)<0,所以f(x1)-f(x2)<0.故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.(2)令g(x)=0,即+=0,化简得x(mx2+x+m+1)=0,所以x=0或mx2+x+m+1=0.若0是方程mx2+x+m+1=0的根,则m=-1.此时mx2+x+m+1=-x2+x=0,其另一根为1,不满足g(x)在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点, 所以g(x)=f(x)+在(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,等价于方程mx2+x+m+1=0(*)在区间(-1,1)上有且仅有一个非零的实根.(i)当m=0时,方程(*)的根为x=-1,不符合题意.(ii)当m≠0时,①当Δ=12-4m(m+1)=0时,m=.若m=,则方程(*)的根为x=-=-=-1∈(-1,1),符合题意;若m=,则方程(*)的根为x=-=-=--1∉(-1,1),不符合题意.所以m=.②当Δ>0时,<m<,且m≠0.令φ(x)=mx2+x+m+1,则由φ(-1)·φ(1)<0,得-1<m<0.综上,实数m的取值范围是(-1,0)∪.。