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5.2 求解二元一次方程组（1）一、学生起点分析学生的知识技能基础：在学习本节课之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，也会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组。
学生活动经验基础：有同学间相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验。
二、教学任务分析《求解二元一次方程组》是北师大版八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节，要求学生能利用代入消元法解二元一次方程组。
基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法---代入消元法。
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值回代已变形的那个方程，求出另一个未知数的值。
在求出方程组的解之后，可以通过对求出的解回带方程检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误。
二元一次方程组的解法，其本质思路是消元，体会“化二元一次方程为一元一次方程”的化归思想.教学目标：1、了解解方程组的基本思路是"消元"，掌握代入消元法的基本步骤；2、会用代入法求二元一次方程的解；3、培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,通过自主概括解题步骤，初步体验数学研究中"化未知为已知"的化归思想。
教学重点：消元的实质以及用代入法解二元一次方程组。
教学难点：在解题过程中体会“消元”思路和“化二元为一元”的化归思想。
三、教学过程设计：本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
适用学科 初中数学适用年级初二适用区域 北师版区域课时时长（分钟）知识点 二元一次方程组二元一次方程组的解2 课时解二元一次方程组教学目标 1、了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义. 2、了解代入法的概念,掌握代入法的基本步骤. 3、了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤. 4、掌握用代入法、加减法解二元一次方程组.教学重点 加减法解二元一次方程组.教学难点 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 【教学建议】二元一次方程组是一个全新的概念，注意从已有知识引导并理解 掌握，对于求解二元一次方程组，重点在划二元为一元，要注重理解 过程从而更好的掌握求解．【知识导图】教学过程一、导入在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地 行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，第1页/共13页这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背 上拿来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说： “真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？二、知识讲解上面的问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小马驮 y 个包裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍， 得方程：x+1=2(y-1)师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是 1）师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次练习：下列方程有哪些是二元一次方程1 +2y=1xxy+x=13x- y =52x2 2 3xxy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1x+y=0议一议、师：上面的方程中 x-y=2，x+1=2(y-1)的 x 含义相同吗？y 呢？（两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y第2页/共13页的含义分别相同。
２、解二元一次方程（代人消元法）教学内容：北师大版八年级数学上册第七章第二节“解二元一次方程组”第一课时：代入消元法。
教学目标：1、知识与技能了解二元一次方程组的“消元”思想，掌握其运用方法.2、过程与方法经历探索解二元一次方程组的过程，体会消元法之一——代入法解二元一次方程组的方法，明确其本质.3、情感态度培养合作、交流意识以及数学的“化归”意识.学情分析：在第1节建立二元一次方程组的基础上，本节顺理成章地研究二元一次方程组的解法.《标准》要求学生掌握二元一次方程组的代入消元法、加减消元法和图象解法.为了加强二元一次方程（组）与一次函数的联系，教科书将二元一次方程组的图象解法放到本章最后.而本节侧重研究二元一次方程组的两种基本解法——代入消元法、加减消元法.代入消元法、加减消元法的本质是消元——化二元一次方程组为已经学过的一元一次方程，加减与代入只是消元的一些具体技能，教学中应注意加以体会.当然，通过一定量的训练促进学生有关技能的获得还是十分必要的，但研究表明，形势化的技能训练难以激发学生的学习兴趣，为此教科书中仅设计了2课时学习代入消元法、加减消元法，而力图在后续的各节中将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，无形地提高学生的解题技能.第1课时，研究代入消元法。
教科书首先承接上节场景“谁的包裹多”，并让学生思考会解什么方程，如何将二元一次方程组化为已经学过的一元一次方程，从而在具体问题的解决中初步感受代入消元法，其后再通过例题，进一步进行代入消元法解二元一次方程组的巩固训练，最后对所应用的方法进行整理与训练.教学重点、难点：教学重点：熟练运用代入消元法解二元一次方程组.教学难点：了解数字研究中“化未知为已知”的化归思想.教学方法：引探法、练习法、讨论法、演示法。
教具：多媒体.教学课时：2课时教学过程:第一课时一、讲例：上一节课老牛和小马驮包裹的问题中，设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，得到一个二元一次方程组:（板书）解方程组：x=y+2,①x+1=2（y-1）.②一元一次方程大家会解，那么这个二元一次方程组大家会解吗？这就是我们这节课所要学习的内容(板书课题：2、解二元一次方程组).提问:上面这个方程组中x表示的数量相同吗?方程①中x=y+2，那么方程②中的x也会等于y+2吗？能不能把方程②中的x用y+2代替？引导学生板书解题过程：解：①代入②，得y+2+1=2（y-1）.③(问：这是一个什么式子？该如何求出y的值？如何进一步求出x的值？) 解方程③，得y=5.把y=5代入1，得x=7.所以原方程组的解是y=5.即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.二、练习（出示多媒体）：先用含y的代数式表示x，再用含x的代数式表示y:（1）x-2y+4=0；(2)2x+5y=-21；(3)-0.5x+y=4.(请一位同学上台板演，其他同学发表不同意见，然后教师校正，归纳.)三、讲例：2x+3y=16, ①例2、解方程组x+4y=13. ②请一位同学上台板演，其他同学也各自练习，然后请其他同学发表意见，教师再作总结、归纳.问:由其中一道方程(如②)变形后，应把它代入哪一道？为什么不能代入原来这一道（如②）？解出一个未知数（如y）后，一般代入哪一道方程比较容易求出另一个未知数（如x）的值?把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对.如果把求出来的解代入变形后的方程，能确保结果正确吗？四、议一议：上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些？引导学生归纳：上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（板书名称：代入消元法）五、随堂练习（多媒体）：用代入法解下列方程组：３x＋２y＝１４，３x－２y＝９，（1）（２）x＝y＋３．２x＋y＝６．六、小结：这节课大家学习了哪些内容？七、作业：３x＋５y＝２１，1、用代入法解方程组２x－５y＝－１１．２、已知4-y3x2＋|x＋３y－７|＝0，则x＝，y＝ .３、课本Ｐ２２３习题７.２１,２题.八、板书设计：２、解二元一次方程组（代入消元法）例1、解方程组例２、解方程组x＝y＋２，①２x＋３y＝１６，①学生板演：x＋１＝２(y－１). ②x＋４y＝１３．②．．．解：…学生板演：．．．九、教学反思：化未知为已知这一思想的形成需要以后不断的训练。
教学设计反思
1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.
2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅.
3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想，以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实.
4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能力.。
构造法巧解二元一次方程组
根据二元一次方程组和方程组解的特点，构造出新的方程组，从而把问题破解是二元一次方程组的一个经典型问题．下面就和同学们谈谈这个话题．
一．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｙ构造新方程组，探求待定字母的值
例１ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+3
)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，求ｋ的值．
分析： 方程组的解一定是方程４ｘ＋３ｙ＝７的解，同时也一定是方程ｘ＝ｙ的解，这
样我么就可以构造出新的方程组⎩
⎨⎧==+y x y 73x 4，这个方程组是可以直接求解的，这样我们就把不能求解问题转化成了可以求解的问题，问题自然就解决了．
解： 设方程组的解为⎩⎨⎧==n y m x ，因为二元一次方程组⎩
⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解ｘ，ｙ的值相等，所以ｘ＝ｙ，所以得到方程组⎩⎨
⎧==+y x y 73x 4，解这个方程组得：⎩⎨⎧==11y x ，所以方程
组⎩⎨⎧=-+=+3)1(73x 4y k kx y 的解是⎩⎨⎧==1
1y x ，所以ｋ＋ｋ－１＝３，解得：ｋ＝２．
点评： 顺利构造出符合题意得新方程组是解题的关键．
二．由原来方程组中的一个方程与ｘ＝ｋｙ构造新方程组，探求待定字母的值
例２ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8
232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，求ｋ的值．
分析： 有解的特点可以构造出一个新的二元一次方程ｘ＝５ｙ，这样就可以与ｘ－２ｙ＝３构成一个新的可解的二元一次方程组．
解： 因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8
232-x ky x y 的解满足ｘ是ｙ的５倍，所以ｘ＝５ｙ，
所以构造方程组得⎩⎨⎧==y x y 532-x ，解这个方程组得⎩
⎨⎧==15y x ，所以二元一次方程组⎩⎨⎧=+=8232-x ky x y 的解是⎩⎨⎧==1
5y x ，所以１０＋ｋ＝８，解得ｋ＝－２． 点评：将原来方程组的解转化成可解新方程组的解是数学转化思想的重要体现．
三．根据两个方程组的解相同，构造新方程组，探求待定字母的值
例３ 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+6
542by ax y x 的解相同，求ａ，ｂ的值．
分析： 设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩
⎨⎧==n y m x 一定是二元一次方程２ｘ＋３ｙ＝４，４ｘ＋５ｙ＝６的解，即⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+4
3265y 4x y x 的解，解可求也．
解：因为二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-4324by ax y x 和⎩
⎨⎧=+=+6542by ax y x 的解相同，设方程组相同的解为⎩⎨⎧==n y m x ，则⎩⎨⎧==n y m x 一定是方程组⎩⎨⎧=+=+43265y 4x y x 的解，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=2
1y x ， 所以得方程组⎩⎨⎧=+-=--2242b a b a ，解这个方程组得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=213b a ，所以ａ的值为－３，ｂ的值为－2
1． 点评：以方程组相同的解为媒介，把方程组重新组合成已知系数的方程组和待定系数的方程组，是解题的关键．
四．消去待定字母得到新方程与同解的已知方程，构造新方程组，探求待定字母的值 例４ 如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a
y x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝
０的一个解，则ａ的值为 ．
分析： 由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ中就会得到一个新二元一次方程，它与二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的解是相同的，这样就可以构造出方程组了． 解： 由ｘ＋ｙ＝ａ得ａ＝ｘ＋ｙ，将其代入ｘ－ｙ＝４ａ，整理得：３ｘ＋５ｙ＝０， 因为二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+a
y x a 4y x 的解是二元一次方程３ｘ－５ｙ－３０＝０的一个解，
所以３ｘ＋５ｙ＝０与３ｘ－５ｙ－３０＝０有相同的解，所以得方程组⎩
⎨⎧=-=+30530y 53x y x ， 解这个方程组得⎩⎨⎧-==3
5x y ，所以ａ＝ｘ＋ｙ＝５＋（－３）＝２.
点评： 消去待定字母准确得出二元一次方程是构造方程组的关键．
五．消去待定字母得到新方程与有解的特点生成的二元一次方程，构造新方程组，探求待定字母的值
例５ 二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数，求ｍ的值． 分析： 由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１中就会得到一个新二元一次方程，它与ｘ＝－ｙ就可以构造出方程组了．
解： 由３ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３得ｍ＝３ｘ＋２ｙ－３，将其代入２ｘ－ｙ＝２ｍ－１，
整理得：４ｘ＋５ｙ－７＝０，因为二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223y 23x m y x m 的解互为相反数， 所以ｘ＝－ｙ，所以⎩⎨⎧-==+y x 07-y 54x ，解这个方程组得⎩⎨⎧=-=7
7x y ，所以ｍ＝３×（－７）
＋２×７－３－１０.
点评： 理解解互为相反数的意义是解题的关键．。
