计算物理基础课件

=1.5×105Pa；
（2）因为车作匀速直线运动， 所以F 牵 = F 阻 = 30N， 小军骑自行车上学一程至少做功： W = F 牵 s = 30N×2400m = 7.2×104J。
答:（1）车对地面的压强是1.5×105Pa； （2）小军骑自行车上学一程至少做功 7.2×104J。
9、一辆载重卡车连同货物一起的总质量 m=4.5×103kg，在F=4.0×103N的牵引力作用 下在平直公路上做匀速直线运动，1min内行 驶了900m取g=10 N/kg，求： (1)卡车连同货物受到重力的大小； (2)卡车受到阻力的大小； (3)牵引力做功的功率。
8、小军体重500N，他的家距离学校2400 m， 他骑自行车在水平路面上以4m/s 的速度匀速 直线行驶回校。有关数据在下表中列出：
求：（1）行驶过程中，车对地面的压强是多大？ （2）小军骑自行车上学一程至少要做多少功？
解：（1）车对地面的压力F=G 人 + G 车 = 500N+250N =750N， 车对地面的压强P = =
4、在水中放入质量为3kg的物块，物块静止 时有2/5的体积露出水． 求： (1)物块静止时所受的浮力； （2） 物体的密度； （3）物块的体积。（g=10N/kg）
解： (1)因为漂浮，所以F浮=G=30N
（2）由F浮=G得：ρ水gV排=ρ物gV物 所以，物块的密度ρ物=ρ水gV排/gV物 =ρ水（V物-2/5V物）/V物 =1.0 x 103kg/ m3 x3/5 =0.6 x 10³kg/m³
(3)货箱被拉上来后放在岸上，已知箱与水平 地面间的接触面为0.2m2，求货箱对地面的压 强为多少？ 解：（1）由F=ρ液gV排 得： 货箱未露出水面时，受到水的浮力：
F浮=ρ水gV排 =1.0×103Kg/m3×10N/Kg×0.2m3=2000N

第i行j列元素 第j列所有元素 第i行所有元素 第2到4行的第j列元素 第2到4列的第i行元素 第j列的最后一个元素 第j列的倒数第二个元素 第i行的最后一个元素 第i行的倒数第二个元素 按列向量排列后矩阵的第k个元素
§1.2.2 矩阵
22
§1.2.2.2 矩阵的运算
每个元素作运算：如sin(A)
§1.1.2 指令窗中的功能
4. 符号计算实例
例1
14
§1.1.2 指令窗中的功能
5. 简单作图实例
>> x=[1, 2.3, 3, 1]; >> y=[1, 1.5, 1, 1]; >> plot(x,y)
15
>> plot(x,y,'r:+')
>> x=0:0.01:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y)
显示
显示单个
域名内容
>> s.type ans = big
ans = little
§1.2.6 结构数组
§1.3 编程——复杂计算的逻辑控制
27
程序编辑器： 编写 存取 路径 调试 两类程序文件（m-file）： 脚本文件，函数文件 流程控制： for 循环结构 while循环结构 if 分支结构 switch分支结构
§1.3.2 调试程序
30
1.格式正确可读性强，如for语句，if语句，函数文 件要遵照固定格式。
编 程 注 意 事 项
2.注解文字要用“％”开头。语句分行用“„”。
3.完整的语句后面加分号，除非要显示其结果。
4.文件的命名遵循规则，不用中文名和数字名。

ii
第一章 基本数学运算
本章将介绍数值计算中一些基本的运算，例如插值、拟合、数值微分、数值积分和求根等．
第一节 插 值 (Interpolation)
当我们要从一组不完全的或离散的数据中获取某些局部的信息时， 需要使用函数的插值． 也就是说， 对于函数 y = f ( x ) （通常是一个未知的或是一个较复杂的函数）， x ∈[ a , b] ，若已知 [ a , b] 上一系列点
x − x1 x − x0 ， l1 ( x ) = ， 被称为线性插值的基函数． 误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ 1 ( x ) = O h 2 ， x 0 − x1 x1 − x 0
( )
其中 h = x1 − x0 为步长． (2) 二次插值 已知函数表
x y
x0 y0
x1 y1
n 次插值多项式为
ϕ n ( x ) = ∑ y i li ( x )
n
( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − x n ) ， i = 0,1,2,L , n ，被称为 n 次插值的基 ( xi − x 0 )( xi − x1 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L( xi − x n ) 函数．误差为 R( x ) = f ( x ) − ϕ n ( x ) = O(h n +1 ) ，其中 h 为步长．
目
录
目
录
第一章 基本数学运算 .................................................................... 1 第一节 插值 ........................................................................ 1 第二节 拟合 ........................................................................ 3 第三节 数值微分 .................................................................... 7 第四节 数值积分 .................................................................... 9 第五节 求根 ....................................................................... 15 第二章 常微分方程的初始问题 ........................................................... 23 第一节 几种简单的数值解法 ......................................................... 23 第二节 Runge-Kutta 方法 ............................................................ 28 第三节 多步法 ..................................................................... 36 第四节 稳定性 ..................................................................... 40 第五节 动力学中的有序和混沌 ....................................................... 44 第三章 边值问题和本征值问题 ........................................................... 51 第一节 物理学中出现的边值问题和本征值问题举例 ..................................... 51 第二节 Numerov 算法 ............................................................... 52 第三节 边值问题的 Green 函数法 ..................................................... 57 第四节 打靶法 ............................ ........................................ 64 第五节 一维 Schrödinger 方程的定态解 ................................................ 69 第四章 特殊函数和 Gauss 求积法 ......................................................... 74 第一节 特殊函数 ................................................................... 74 第二节 Gauss 求积法 ............................................................... 81 第三节 量子散射的 Born 近似和程函近似 .............................................. 86 第五章 矩阵中的数值计算方法 ........................................................... 96 第一节 物理学中的矩阵 ............................................................. 96 第二节 矩阵的基本运算 ............................................................. 98 第三节 一般矩阵的本征值问题 ...................................................... 104 第四节 对称矩阵的本征值问题 ...................................................... 108 第六章 椭圆型微分方程 ................................................................ 117 第一节 离散化和变分原理 .......................................................... 117 第二节 求解边值问题的一种迭代方法 ................................................ 119 第三节 关于离散化的进一步讨论 .................................................... 127 第四节 二维定态流体力学 .......................................................... 132 第七章 抛物型微分方程 ................................................................ 139 第一节 简单的离散化和条件稳定性 .................................................. 139 第二节 隐式格式和回代法 .......................................................... 143 第三节 高维扩散 .................................................................. 151 第四节 本征值问题的迭代方法 ...................................................... 155 第五节 含时间的 Schrödinger 方程 ................................................... 162

计算物理
有限差分方法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限差分方法

物理问题和数学方程 有限差分原理 矩形区域中的泊松方程 迭代解法 非矩形区域中的泊松方程 一维扩散方程 二维扩散方程 一维波动方程
√
物理问题和数学方程(1/5)

求解一维扩散方程。取 a1=b1=a2=-b2=1, c1=c2=0, l=1, tmax=10, D=0.1, h=0.1, t=10-4。并与解析解 u=e x0.1t 比较
√
迭代解法(3/6)

矩形区域的第二和三类边界条件

当 a 和 b 是 x, y 的函数时，应 a=a(xi, yj) 和 b=b(xi, yj) 对第二边界条件，令 a=0
√
迭代解法(4/6)

不规则区域

第一类边界(不对称网格方法)

第二类边界 结点在边界上 结点不在边界上：过结点 P 向边界作垂线， 交于 P' 点，以 P 代替 P' 第三类边界 前两类边界条件的组合

二维扩散方程
2u 2u u , 0 < x < l x , 0 < y < l y , 0 < t < t max D( 2 2 ) = y t x u ( x, y,0) = u0 ( x, y ) u a1u b1 n = c1 ( y, t ), x = 0 u a u b = c2 ( y, t ), x = l x 2 2 n a3u b3 u = c3 ( x, t ), y = 0 n u a4u b4 = c4 ( x, t ), y = l y n

实验数据的统计处理
统计直方图：y=hist(x,10), hist(x,10)画直方图 平均值 方差 标准偏差：标准差:std( ), 方差:var( ), 最大 值:max( )，最小值:min( ), 平均值:mean( ), 求和:sum( ),求积: prod( ) 错误值的剔除：拉依达方法，肖维勒方法，一阶差分法
...... a0+a1 xn+a2 xn2+· · · +an xnn =
yn
系数行列式
, 则(a0, a1 ,…, an)的解唯一
计算物理 (Computational Physics)
目录 实验数据的插值
n 次拉格朗日插值
n 次拉格朗日插值的关键是要构造出n + 1 个节点上的 n 次插值 基函数。 如何确定基函数 Aj (x) ( j = 0, 1, · · · , n) ？？
插值法
函数可以未知， 只需已知若干点 上的值。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应 用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的 若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数
(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。
有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值 和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常 用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。
计算物理 (Computational Physics)
目录 实验数据的插值
例1：已知 解：由题意，两个插值节点
代入拉格朗日线性插值公式，得 线性插值基函数
线性插值方程 故 ≈ y(115) = 225/21 = 10.7 14285· · ·

1[ 2
f
(x0 )
f
(x1)]x
1[ 2
f
(x1)
f
(x2 )]x
1[ 2
f
(xN 1)
f
(xN )]x
(3.3)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
积分近似计算公式为
I
b
a
f
(x)dx
N
Ci
f
( xi
)x
i0
其中，系数C0=CN=
1 2
，C1=C2=…=CN-1=1。
(3.4)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
以下给出三种基本数值方法计算
I
b
a
f
( x)dx
的程序。
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
open(1,file=′int.dat′) write(*,*)′input a,b,N=?′ read(*,*)a,b,N ！ method 1： y1=0.0 do 10 j=0,N-1 x1=a x1=x1+float(j)*(b-a)/float(N) 10 y1=y1+f(x1)*(b-a)/float(N) write(1,*)N,y1
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
【例3.2】 设有一长直导线均匀带电，线电荷密度为λ， 长度为2l。求空间任意一点P
解 建立如图3.6所示坐标系，在导线上取一小段dx，视 为点电荷，其电量为λdx，它在P(x0，y0)点产生的电势为
du
1 4πε0
dx
r
1 4πε0
[x0
dx
x2
y02
]1/2
第3章 物理学中定积分的数值计算方法

《计算物理第一章》PPT 课件
计算物理是研究物理问题的数值计算方法和技术应用的学科。它广泛应用于 天文学、材料科学、等离子体物理学等领域，为解决复杂问题提供了强大的 工具。
计算物理的定义
计算物理是一门跨学科的学科，结合物理学和计算机科学，通过数值模拟和 计算来研究物理问题。它使用数值方法和计算机程序对物理过程进行模拟和 分析。
有限差分法
将连续物理问题转化为差分形 式，通过差分近似求解。
迭代法
通过反复迭代更新解，逐步逼 近精确解。
优化算法
寻找问题的最优解，如遗传算 法、模拟退火算法。
计算物理的编程语言和工具
Python
开源语言，简洁易学，拥有丰富 的科学计算库。
MATLAB
Julia
广泛应用于科学工程计算和数据 可视化，有强大的数值计算能力。
计算物理的应用领域
天文学
模拟星系演化、宇宙学，探索宇宙的奥秘。
等离子体物理学
研究等离子体的行为和相互作用，推动核聚变 等能源研究。
材料科学
研究材料的性质、结构和相变，加速新材料的 开发。
量子力学
研究微观领域的粒子行为和量子系统的演化。
计算物理的基本原理
1 数值计算
应用数值方法将连续物理问题离散化，通过数值计算求解。
2 数学建模
将物理问题抽象为数学模型，用数学语言描述。
3 计算机编程
使用编程语言实现数值计算和模拟物理过程。
计算物理的数值模拟方法
1
有限元法
将物体划分为有限数量的元素，建立方程组求解。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
蒙特卡罗方法
通过随机抽样，统计物理问题的平均性质。
3
分子动力学模拟

1、欧拉（Euler)方法
数值方法的第一步就是将微分方程中的导数项y’进行离散
化。设在区间[xn,xn+1]的左端点xn,则：
y’(xn)=f(xn,y(xn)) 并用差商 y ( xn 1 ) y ( xn ) 替代导数项y’(xn),则有
h
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
x=dsolve('D2x+w^2*x=0','Dx(0)=0,x(0)=0.1','t') v=diff(x,'t'); a=diff(x,'t',2); k=400; m=2; w=sqrt(k/m); t=0:0.01:0.9; x1=eval(x); v1=eval(v); a1=eval(a); subplot(3,1,1) plot(t,x1) subplot(3,1,2) plot(t,v1) subplot(3,1,3) plot(t,a1)
或写成
yn1 yn hf ( xn , yn ), n 0,1,2,
这就是著名的Euler格式，若初值y0已知，在取定步长h后，就 可以逐步叠代算出数值解y1，y2 ….。 实际应用中Euler格式
存在较大的误差，为此人们又提出了各种改进的Euler格式。 其中有一种改进的Euler格式是：
[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
x= exp(3*t)*sin(4*t)
y=
exp(3*t)*cos(4*t)
下面讨论受阻力作用时振动系统的运动特征。比较下面三 种情况下振子的轨迹： 1、欠阻尼状态； 2、过阻尼状态； 3、临界阻尼状态。

u(x,0) 4x(1 x) ui,0 4ih(1 ih) i 1,2,,10
u(0,t) u(1,t) 0 u0,k uN ,k 0, k 0,1,2,,36
t
4. 用差分格式计算ui,k1
ui,k 1
1 6
ui
1,k
2 3
ui,k
1 6
u• i 1, k
k
i-1 i i+1
x
u1,1
sin
ih
i 1,2,3,5
yi
,1
sin
ih
ih
(1
ih)
i 1,2,3,4
y0,k y1,k 0 k 1,2,
k 1,2,
流程图
开始
输入N,M,V,H
•
初始边界 条件赋值
K=1,2,…,M I=1,2,…,N
yi,k 1 yi1,k yi1,k yi,k 1
重新赋边值
输出 yi, j
计算结果：
•
求解本征值问题
物理问题 1 ：两端固定的均匀弦自由振动
•
u
uutt
a2uxx x0 0
0 u
xl
0
(0 x l)
x
u t0 (x) ut t0 (x)
x=0
x=l
设 u(x,t) (x)T (t) 代入上述波动方程和边界条件得
T"a2"T 0 (0)T (t) 0 (l)T (t) 0
1 6
u2,0
2 3
u1,0
1 6
u0,0
121 u2,1 6 u3,0 3 u2,0 6 u1,0
u3,1
1 6
u4,0
2 3
u3,0