最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第七章7.3对称问题 精品

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、线、面的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．(2)了解可以作为推理依据的公理和定理．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．知识点一平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．易误提醒三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面．[自测练习]1．下列命题中，真命题是()A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内解析：A是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共线；C不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；D正确，故选D.答案：D知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l独有关系, 图形语言符号语言a b 是异面直线a ⊂α易误提醒 (1)直线与平面的位置关系包括线在面内与线在面外．其中线在面外包括线与面相交和线与面平行，易出错．(2)两平面的位置关系不平行一定相交，一般指的是两不重合的平面．[自测练习]2．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 答案：b 与α相交或b ⊂α或b ∥α知识点三 异面直线所成角、平行公理及等角定理 1．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 易误提醒1．有关异面直线问题的易误点：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；(2)不能把异面直线误解为分别在是不同平面内的两条直线．(3)异面直线不具有传递性，即若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 不一定是异面直线．2．关于等角定理的易忽视点：(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．[自测练习]3．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．∴c ，b 不可能是平行直线． 答案：C4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线BD 1与CC 1所成的角为( )A.π4 B.π6 C.π3D.π2解析：长方体中BB 1∥CC 1，则∠D 1BB 1为异面直线BD 1与CC 1所成的角，在BB 1D 1中，B 1D 1＝BB 1＝2，所以∠D 1BB 1＝π4，故选A.答案：A考点一 平面的基本性质|1.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线． 答案：A2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．证明线共面或点共面的三种常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．考点二空间两直线的位置关系|1．(2016·绵阳模拟)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a ⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为() A．0B．1C．2 D．3解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立，故选B.答案：B2．下列四个命题中错误的是()A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面解析：过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确．答案：C判断空间两直线位置关系的三种策略(1)对于异面直线，可采用直接法或反证法进行判定．(2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(3)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．考点三 异面直线所成角|(2015·高考浙江卷)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．[解析] 如图所示，连接ND ， 取ND 的中点E ，连接ME ，CE ， 则ME ∥AN ，则异面直线AN ，CM 所成的角即为∠EMC . 由题可知CN ＝1，AN ＝22， ∴ME ＝ 2.又CM ＝22， DN ＝22，NE ＝2， ∴CE ＝3，则cos ∠CME ＝CM 2＋EM 2－CE 22CM ×EM ＝8＋2－32×22×2＝78.[答案] 78(1)作异面直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲为：“一作、二证、三求”．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，则BA1∥DE，AC1∥EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝2，DF＝6，由余弦定理得，∠DEF＝120°.答案：C22.构造模型法判断空间线面位置关系【典例】已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④[思维点拨]构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．[解析]借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β互相垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.[答案] A[方法点评](1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．[跟踪练习]下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：如图，正方体ABCD-A 1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．答案：CA组考点能力演练1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．答案：B2．(2016·广东佛山模拟)如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.55 B.255 C.12D．2解析：如图，取AC 中点G ，连FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.答案：B3．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )解析：在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ， 易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面；如图所示，在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面； D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D. 答案：D4.(2016·衡水中学模拟)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行解析：连接C 1D ，BD .∵N 是D 1C 的中点，∴N 是C 1D 的中点，∴MN ∥BD .又∵CC 1⊥BD ，∴CC 1⊥MN ，故A ，C 正确．∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN ⊥AC ，故B 正确．故选D.答案：D5．如图所示，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，且PQ ∥AC ，则下列命题中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析：由题意可知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；由PN ∥BD 知，异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，又四边形PQMN 为正方形，所以∠MPN ＝45°，故D 正确；而AC ＝BD 没有条件说明其相等，故选C.答案：C6．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①7．(2016·济南一模)在正四棱锥V -ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，因为四棱锥V -ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.答案：π28.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．解析：由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.答案：③④9．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线．证明：(1)如图所示，因为EF 是△D 1B 1C 1的中位线， 所以EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD . 所以EF ，BD 确定一个平面， 即D 、B 、F 、E 四点共面．(2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α，又设平面BDEF 为β. 因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α. 又Q ∈EF ，所以Q ∈β. 则Q 是α与β的公共点，同理，P 点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ . 又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C ，R ∈α且R ∈β. 则R ∈PQ ，故P 、Q 、R 三点共线．10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析：如图所示正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为CC 1，则l 1∥l 4，可知选项A 错误；取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为C 1D 1，则l 1⊥l 4，故B 错误，则C 也错误，故选D.答案：D2．(2015·高考广东卷)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：可用反证法．假设l 与l 1，l 2都不相交，因为l 与l 1都在平面α内，于是l ∥l 1，同理l ∥l 2，于是l 1∥l 2，与已知矛盾，故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．答案：D3．(2014·高考大纲卷)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33解析：设正四面体ABCD 的棱长为2.如图，取AD 的中点F ，连接EF ，CF .在△ABD 中，由AE ＝EB ，AF ＝FD ，得EF ∥BD ，且EF ＝12BD ＝1. 故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．在△ABC 中，CE ＝32AB ＝3； 在△ADC 中，CF ＝32AD ＝ 3. 在△CEF 中，cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 22CE ·EF＝(3)2＋12－(3)223×1＝36. 所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为36. 答案：B4．(2015·高考四川卷)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．解析：取BF 的中点N ，连接MN ，EN ，则EN ∥AF ，所以直线EN 与EM 所成的角就是异面直线EM 与AF 所成的角．在△EMN 中，当点M 与点P 重合时，EM ⊥AF ， 所以当点M 逐渐趋近于点Q 时，直线EN 与EM 的夹角越来越小，此时cos θ越来越大．故当点M 与点Q 重合时，cos θ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ ，NQ ，在△EQN 中，由余弦定理，得cos ∠QEN ＝EQ 2＋EN 2－QN 22EQ ·EN ＝20＋5－332×20×5＝－25，所以cos θ的最大值为25. 答案：25。

高考数学对称问题知识总结对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。

下面店铺给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。

高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a，b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。

(-)=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1光线从A(3，4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1，5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5，0)，B关于y轴对称点B′为(-1，5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C(0，)`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

1、曲线F(x，y)=0关于点(a，b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。

7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系[知识梳理]1．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系3．必记结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．[诊断自测]1．概念思辨(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( )(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( )(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ) 答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P52B组T1(2))如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.故选C.(2)(必修A2P63B组T1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．答案平行AD解析E，F分别为PC，PB中点，所以EF∥BC，又BC∥AD.所以EF∥AD，而AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD.所以EF∥平面PAD.由上述推证易得两面交线为AD.3．小题热身(1)(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.(2)(2017·广东五校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥α，又n ⊥β，由面面垂直的判定定理得到结论，可知②正确；对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确；对于④，由n ∥β得在平面β内必存在直线n 1平行于直线n ；由m ⊥α，α∥β得m ⊥β，m ⊥n 1；又n 1∥n ，因此有m ⊥n ，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.题型1 平面的基本性质典例 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)用直接法；(2)纳入平面法．解 (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点，知BE 綊GF ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．[结论探究] 若典例中条件不变，证明：FE ，AB ，DC 交于一点．证明 由例题可知，四边形EBGF 和四边形BCHG 都是平行四边形，故可得四边形ECHF 为平行四边形，∴EC ∥HF ，且EC ＝12DF ，∴四边形ECDF 为梯形．∴FE ，DC 交于一点，设FE ∩DC ＝M . ∵M ∈FE ，FE ⊂平面BAFE ， ∴M ∈平面BAFE .同理M ∈平面BADC . 又平面BAFE ∩平面BADC ＝BA ， ∴M ∈BA ，∴FE ，AB ，DC 交于一点． 方法技巧1．证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如典例(2)． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如本典例中的结论探究． 冲关针对训练如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 题型2 空间两直线的位置关系典例 (2018·金华模拟)如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有______(填上所有正确答案的序号)．可利用定义判断不同在任一平面内，从而说明两直线异面．答案 ②④解析 在图①中，直线GH ∥MN ；在图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面； 在图③中，连接GM ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 在图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．方法技巧异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．冲关针对训练1．(2017·武汉调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( )A．①④ B．②③ C．③④ D．①②答案 A解析对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题．故选A.2．(2017·上饶模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C 上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R，给出下列结论：①对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；②对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP.其中正确的结论是________．答案②④解析①只有D1Q⊥平面BCC1B1时才能满足对于任意给定的点P，存在点Q使D1Q⊥CP，而过D1只有D1C1⊥平面BCC1B1故①错误；②正确，当P与B1重合时，CP⊥平面ABD1.故此时Q具有任意性；③当R与A1重合时，在线段BB1上不存在点P，使CP⊥D1R，故③错误；④如图所示：对任意的点P，在AA1上存在P1使得DP1∥CP，过点D1作D1R1，使得D1R1⊥DP1且交A1D于点R1，作RR1∥CD交A1C于点R，则RR1⊥平面ADD1A1，所以RR1⊥DP1，又D1R1⊥DP1，则DP1⊥平面D 1R 1R ，即CP ⊥平面D 1R 1R ，故D 1R ⊥CP ，故④正确．题型3 异面直线所成的角典例1 (2014·全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110 B.25 C.3010 D.22异面直线所成角问题转化为共面直线所成角的问题，注意平移法．答案 C解析 取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角即为所求，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.故选C.典例2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，求直线DB 1与EF 所成的角．本题采用补形法，然后平移直线．解 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1右侧作正方体BB 2C 2C －B 1A 2D 2C 1.连接B1D2，DD2在△DB1D2中，DB1＝3a，B1D2＝2a.DD2＝5a.∵DD22＝DB21＋B1D22.∴DB1与B1D2的夹角为90°.又∵EF∥B1D2，∴直线DB1与EF所成的角为90°.方法技巧求异面直线所成角的步骤1．作：通过作平行线，得到相交直线．2．证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(或其补角)．3．求：解三角形，求作出的角．冲关针对训练(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13答案 A解析如图，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知m，n所成角为∠EAF1，因为△EAF1为正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝32，故选A.1.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212AB 1·AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.2．(2018·山西四校联考)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的端点M 在棱DD 1上运动，端点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是 ( )A ．4πB ．πC ．2π D.π2答案 D解析 当点M 不与D 1，D 重合时，连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，1为半径的球面上(经检验点M 与点D 1或D 重合时也满足该结论)，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.故选D.3．(2017·安徽安庆二模)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为________．答案 16解析 如图，取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理推论，得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，∴异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16. 4．(2017·湖北武汉武昌调研)在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ②解析 如图，若AC ⊥BD ，已知CF ⊥BD ，AC ∩CF ＝C ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD ⊥AF ，这与平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上时，AB ⊥CD ，所以存在某个位置使AB ⊥CD ，所以②成立；若AD ⊥BC ，已知BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AC ，那么AB >BC ，这与已知矛盾，所以③不正确．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析对于A，m与l可能平行或异面，故A错误；对于B，D，m与n可能平行、相交或异面，故B，D错误；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.2．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.3．(2016·雅安期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有( )A．1条B．2条C．4条D．无数条答案 C解析若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1也满足条件．则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选C.4．(2017·宁德期末)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为( )A．0° B．45°C．60° D．90°答案 D解析如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE－CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.故选D.5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.故选D.6．(2018·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线AD 折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．故选C.7．(2017·河北唐山模拟)已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是 ( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 A解析 取AC 的中点O ，连接OM ，ON ，则ON ∥AP, ON ＝12AP, OM ∥BC, OM ＝12BC ，所以异面直线PA 与MN 所成的角为∠ONM (或其补角)，在△ONM 中，OM ＝2，ON ＝23，MN ＝4，由勾股定理的逆定理得OM ⊥ON ，则∠ONM ＝30°.故选A.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 A解析 如图，CE ⊂平面ABPQ ，从而CE ∥平面A 1B 1P 1Q 1，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m ＝4；∵EF ∥平面BPP 1B 1，EF ∥平面AQQ 1A 1，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n ＝4，故m ＋n ＝8.故选A.9．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )答案 D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．故选D.10．(2018·广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD 的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错误；因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错误．故选B.二、填空题11．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ③④解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM 与ED 为异面直线，故命题①不成立；而CN 与BE 平行，故命题②不成立．∵BE ∥CN ，∴CN 与BM 所成角为∠MBE .∵∠MBE ＝60°，故③正确；∵BC ⊥面CDNM ， ∴BC ⊥DM ，又∵DM ⊥NC ，∴DM ⊥面BCN ， ∴DM ⊥BN ，故④正确，故填③④.12．(2017·仙桃期末)在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ＝BD ＝2，且AC 与BD 成60°，则四边形EFGH 的面积为________．答案32解析 如图所示，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EH ∥FG ∥BD, EH ＝FG ＝ 12BD ＝1. ∴四边形EFGH 是平行四边形， 同理可得EF ＝GH ＝12AC ＝1，∴四边形EFGH 是菱形．∵AC 与BD 成60°，∴∠FEH ＝60°或120°. ∴四边形EFGH 的面积＝2×12EF 2sin60°＝32.13．(2018·湖北武昌调研)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤解析 对于①，把四面体ABCD 放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；对于②，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；对于③，当四面体ABCD 为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；对于④，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；又命题⑤显然成立，故填②④⑤.14．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P －DEF ，则四面体中异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为________．答案 23解析折成的正四面体，如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK (或其补角)即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2， 在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32， PK ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝PG 2＋GK 2－PK 22·PG ·GK＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23， 即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23.三、解答题15．(2018·普宁市校级期末)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)在A 1C 上是否存在一点Q ，使BC 1∥DQ?(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求异面直线AB 1与CD 所成角的大小． 解 (1)连接AC 1交A 1C 于Q ，连接DQ ，∴DQ 为△ABC 1的中位线，DQ ∥BC 1，∴A 1C 上存在一点Q ，使BC 1∥DQ ，Q 为A 1C 的中点．(2)解法一：连接AB 1，取BB 1中点M ，连接DM 、CM ，则DM 是△ABB 1的中位线， ∴DM ∥AB 1，∴∠CDM 就是所求异面直线所成角(或补角)， ∵AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22， ∴CM ＝5，DM ＝3，CD ＝2，∴DM 2＋CD 2＝CM 2，满足勾股定理，∴∠CDM ＝90°， 故异面直线AB 1与CD 所成角为90°.解法二：易证CD ⊥平面ABB 1A 1，从而证明CD ⊥AB 1，故异面直线AB 1与CD 所成角为90°. 16．(2017·江西七校联考)如图，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠CDA ，AB ＝AD ＝DE ＝12CD ＝2，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成的较小部分与较大部分的体积比．解 (1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 理由如下：连接CE 交DF 于N ，连接MN ，因为四边形CDEF 是矩形，所以N 为CE 的中点，又M 为AE 的中点，所以MN ∥AC ，又MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)如图，将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B ′CF ，由题意知三棱柱ADE －B ′CF 是直三棱柱，其体积V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE －BCF 的体积V ADE －BCF ＝V 三棱柱ADE －B ′CF －V F －BB ′C ＝8－13×12×2×2×2＝203，又V 三棱锥F －DEM ＝V 三棱锥M －DEF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×1＝43， ∴平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成的较小部分与较大部分的体积比为43∶⎝ ⎛⎭⎪⎫203－43＝14.。

高三数学一轮复习 7.3 分类讨论思想学案【思想方法诠释】1．分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．3．分类讨论的一般流程：【核心要点突破】要点考向1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）例1：设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。

注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为a ＞0、a ＜0、a=0三种情况；直线的斜率分为：倾斜角，斜率k 存在，倾斜角，斜率不存在；指数、对数函数：与，可分为两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为y=kx ，不过原点时为等．要点考向2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例2：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0（n =1 , 2 , 3 ,…）. （1）求q 的取值范围； （2）设b n = a n +2 -23a n +1 ,记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小 . 思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

§7.3 基本(均值)不等式及应用考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点1 利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式a ＋b ≤a ＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立． 答案：(1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥________(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 答案：(1)2ab (2)23．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最________值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最________值是p 24.(简记：和定积最大)答案：(1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y ＝x ＋1x 在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2 －2解析：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，故y 的最小值为2. 当x <0时，－x >0， y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2(－x )×⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2， 当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时取等号，故y 的最大值为－2.(2)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的最小值为________． 答案：5解析：y ＝sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4，当sin x ＝4sin x时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋4t 在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． 答案：12解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立．(2)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 答案：5解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数． (1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案：92解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝52＋⎝⎛⎭⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立.故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.(2)已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________． 答案：－4解析：∵0<x <1，∴lg x <0，－lg x >0， ∴－y ＝－lg x ＋⎝⎛⎭⎫4－lg x≥2(－lg x )×⎝⎛⎭⎫4－lg x ＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x，即x ＝1100时，等号成立，故y max ＝－4.[考情聚焦] 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度： 角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值[典题1] (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13 B.12 C.34 D.23[答案] B[解析] 因为0<x <1， 所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．(2)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．[解] 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．[解] 因为x ＞0， 所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222.又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤ 2⎝⎛⎭⎫12×32＝324，即(x 1＋y 2)max ＝324.(4)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．[解] 令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4，当且仅当t ＝2时等号成立，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．[点石成金] 1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值[典题2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． [题点发散1] 本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 答案：9解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．[题点发散2] 本例的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．答案：1解析：由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1.∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．[题点发散3] 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？ 解：∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时等号成立． 故1a ＋1b 的最小值为1＋223. [题点发散4] 若将本例变为：设a ，b ，c 均为正数，满足a －2b ＋3c ＝0，则b 2ac 的最小值是________．答案：3解析：∵a －2b ＋3c ＝0，∴b ＝a ＋3c2，∴b 2ac ＝a 2＋9c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3， 当且仅当a ＝3c 时等号成立．[题点发散5] 若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．答案：95解析：设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2. a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15×(5＋24)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．[点石成金] 将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法． 角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值[典题3] [2017·江西南昌模拟]已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．[答案] 6[解析] 由已知，得x ＝9－3y 1＋y .解法一：∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3(y ＋1)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，等号成立，故(x ＋3y )min ＝6.解法二：∵x ＞0，y ＞0， 9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.[点石成金] 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解．考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题[典题4] (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) [答案] B[解析] 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ [解析] 由f (x )≥3恒成立，得 x 2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x ∈N *，∴x 2＋ax ＋11≥3(x ＋1)， ∴a －3≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x .令F (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ，x ∈N *， 则F (x )max ＝F (3)＝－173，即a －3≥－173，∴a ≥－83.[点石成金] 1.a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ，a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0) ，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p＝( )A ．2 B.94 C ．4 D.92答案：B解析：由题意，得x －1>0， f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1， 当且仅当x ＝p ＋1时等号成立． 因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2p ＋1＝4, 解得p ＝94.考点3 基本(均值)不等式的实际应用(1)[教材习题改编]现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( ) A ．1 m B ．1.5 m C ．0.75 m D ．0.5 m答案：A(2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.答案：4＋2 2解析：设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.(3)[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．答案：1 760解析：池底一边长为x 米，则另一底边为4x 米，则总造价y ＝4×120＋4⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×80≥1 760，当且仅当x ＝2时取得最小值．[典题5] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． [答案] (1)1 900 (2)100 [解析] (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时等号成立． ∴最大车流量F 为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时等号成立．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)． [点石成金] 解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案：B解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立.[方法技巧] 1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．[易错防范] 1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案：8解析：由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，得 sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 两边同时除以cos B cos C ，得 tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， 令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ， 因为△ABC 是锐角三角形， 所以2tan B tan C >2tan B tan C ， 则tan B tan C >1，m >2. 又在三角形中有tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－m 1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4≥2(m －2)·4m －2＋4＝8，当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立，故tan A tan B tan C 的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立， 所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．答案：－2 解析：∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2 b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1. 当且仅当b 4|a |＝|a |b 且a <0，即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18>64b n(n ＋9)b n ＋1(n >1)．[思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{b n }满足b n ＝2S n2n －1，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{b n }极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a 1，a 2，a 7成等比数列，所以a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋6d )．又a 1＝1，d ≠0，所以d ＝4.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n .(2)[证明] 因为b n ＝2S n2n －1＝2n (2n －1)2n －1＝2n ，所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列． 所以T n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n .所以2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18 ＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64b n(n ＋9)b n ＋1＝64×2n (n ＋9)×2(n ＋1)＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤646＋10 ＝4，当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时等号成立．②又①②中等号不可能同时取到， 所以2T n －9b n －1＋18>64b n(n ＋9)b n ＋1(n >1)．温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋1. (1)当a >0时，若对任意的x ≥0，恒有h (x )≥0，求实数a 的取值范围； (2)设x ∈N 且x >2，试证明：ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x .(1)[解] h (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋1， 则h (x )的定义域为(－1，＋∞)， h ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x )≥0恒成立， 则h (x )在[0，＋∞)上单调递增， h (x )≥h (0)＝0，所以满足题意．②当a >1时，h (x )在x ∈(0，a －1]上单调递减，h (x )在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增． 若对任意的x ≥0，恒有h (x )≥0，则h (x )的最小值h (a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立． 令m (a )＝ln a ＋1－a (a >1)， 则m ′(a )＝1－aa ，m ′(a )<0，m (a )在a ∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a ∈(1，＋∞)时，有m (a )<m (1)＝0， 与h (a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立矛盾． 所以实数a 的取值范围为(0,1]． (2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x )≥x1＋x ，所以ln x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21×32×43×…×xx －1＝ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln xx －1＝ln(1＋1)＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋13＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1 ≥12＋121＋12＋…＋1x －11＋1x －1＝12＋13＋14＋…＋1x . 所以ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x.课时跟踪检测(三十八) [高考基础题型得分练]1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案：C解析：当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案：C解析：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92. 3．[2017·江西南昌一模]若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B ．1a ＋1b ≤1C.ab ≥2 D ．1a 2＋b 2≤18答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 不恒成立；B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ，∴1a ＋1b ≥1，故B 不恒成立；C 项，∵ab ≤2，∴C 不恒成立；D 项，∵2＝a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥8， ∴1a 2＋b 2≤18，∴D 恒成立． 4.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B ．92C ．3D ．322答案：B解析：解法一：因为－6≤a ≤3， 所以3－a ≥0，a ＋6≥0， 则由基本(均值)不等式可知， (3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．解法二：(3－a )(a ＋6)＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814≤92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案：D解析：1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y ≥2xy＝1. 6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2答案：A解析：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .7．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案：C解析：∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22， ∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3答案：B解析：由已知，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 9．[2017·河南开封模拟]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析：∵圆关于直线对称， ∴直线过圆心(－1,2)，即a ＋b ＝1. ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．10．[2017·广东东莞模拟]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案：8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立． 11．[2017·山东潍坊模拟]已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a2b ＋1的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)解析：由题意知，(b,1)到x ＋y ＋a ＝0的距离为2，即b ＋1＋a2＝2，得a ＋b ＝1，a ＝1－b ，a 2b ＋1＝(1－b )2b ＋1＝(b ＋1)2－4(b ＋1)＋4b ＋1 ＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥2(b ＋1)·4b ＋1－4＝0，当且仅当b ＝1，a ＝0时等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以a 2b ＋1＞0.12．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 答案：2解析：依题意，得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )， 即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 即x ＋22xyx ＋y的最大值为2. 又λ≥x ＋22xy x ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.[冲刺名校能力提升练]1．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2 D ．2答案：D解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.2．[2017·重庆巴蜀中学模拟]若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1B ．94C ．9D ．16答案：B解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1⎣⎡⎦⎤(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时等号成立，故选B.3．[2017·河北唐山一模]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，求z ＝x 2＋4y 2的取值范围． 解：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4，当且仅当|x |＝2|y |时等号成立． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12，当且仅当x ＝－2y 时等号成立．综上可知，x 2＋4y 2的取值范围为[4,12]．4.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 5．[2017·江苏常州期末调研]某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)． (2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.。

学习资料7.3合情推理与演绎推理必备知识预案自诊知识梳理1。

合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，先经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

2。

演绎推理（1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.(2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.（3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”，错误的画“×"。

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确。

( ) （2）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( )(3）在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适。

（ ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数,则m 一定是9的倍数",这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n =n （n ∈N ＊）. ( ) （6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确。

( )2。

下列说法正确的是( ）A.类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理 B 。

合情推理得到的结论一定是正确的 C 。

合情推理得到的结论不一定正确 D 。

归纳推理得到的结论一定是正确的3。

如图，根据图中的数构成的规律,a表示的数是(）A。

12 B。

48C。

60 D。

1444.（2020山东潍坊二模，3）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小。

根据以上情况，下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生，丙是记者B。

甲是医生，乙是记者，丙是律师C。

甲是医生，乙是律师,丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师5.（2020山西大同一中月考,理6）在等差数列｛a n}中，若a n>0,公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n｝中，若b n>0，公比q≠0,则关于b5,b7，b4，b8的一个不等关系正确的是（）A。

2018版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等式及应用真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案：8解析：由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan B tan C >2tan B tan C ，则tan B tan C >1，m >2.又在三角形中有tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C＝－m 1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4 ≥2m －4m －2＋4＝8， 当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立， 故tan A tan B tan C 的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， 所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案：－2解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2 b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1. 当且仅当b 4|a |＝|a |b且a <0， 即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋b n ＋1(n >1)． [思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{b n }满足b n ＝2S n 2n －1，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{b n }极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a 1，a 2，a 7成等比数列，所以a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋6d )．又a 1＝1，d ≠0，所以d ＝4.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n .(2)[证明] 因为b n ＝2S n 2n －1＝2n n －2n －1＝2n ， 所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列．所以T n ＝n ＋2n 2＝n 2＋n . 所以2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64b n n ＋b n ＋1＝64×2n n ＋n ＋＝64n n 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤646＋10 ＝4，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立．② 又①②中等号不可能同时取到，所以2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n >1)． 温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋1. (1)当a >0时，若对任意的x ≥0，恒有h (x )≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x ∈N 且x >2，试证明：ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x. (1)[解] h (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋1， 则h (x )的定义域为(－1，＋∞)，h ′(x )＝11＋x －a ＋x 2＝x ＋1－a＋x 2. ①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x )≥0恒成立，则h (x )在[0，＋∞)上单调递增，h (x )≥h (0)＝0，所以满足题意．②当a >1时，h (x )在x ∈(0，a －1]上单调递减，h (x )在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增． 若对任意的x ≥0，恒有h (x )≥0，则h (x )的最小值h (a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立． 令m (a )＝ln a ＋1－a (a >1)，则m ′(a )＝1－a a ，m ′(a )<0，m (a )在a ∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a ∈(1，＋∞)时，有m (a )<m (1)＝0， 与h (a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立矛盾． 所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x )≥x1＋x ，所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×xx －1＝ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln xx －1＝ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1≥12＋121＋12＋…＋1x －11＋1x －1＝12＋13＋14＋…＋1x .所以ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x .。