NO.684
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齿轮修形可以极大地提高传动精度，并增加齿轮强度。
广义上的齿轮修形有许多类别（齿端修形、齿顶修形、齿根修形、变位、修改压力角），本文将分享答主在精密传动设计中，关于齿轮修形的心得。
（以下将『输出扭矩波动率小』作为『传动精度高』的唯一指标）
1. 齿『端』修形（齿向修形）
齿『端』修形是最常见（最容易加工）的修形方式，通常是为了帮助装配，和机械设计中多数倒角的作用是一样的，但其实对传动精度和齿轮强度都有影响。
2. 齿『顶』修形（齿顶高系数）
齿『顶』修形是所有修形方式中，对传动精度影响（提高）最大的。
我们希望齿轮啮合线是这的形状：
红色是啮合线（理想的）
但其实是这样的：
红色是啮合线（实际的），啮合线只有一部分是“正确”的
因为标准齿形中，齿顶被“削”去了一部分，所以渐开线是不完整的，导致主齿轮的齿顶和副齿轮的齿面（从截面上看）是先由点-线接触，再过渡到线-线接触：
上图的放大版
如果齿顶少“削”一点（齿顶高系数从1 提高至1.3，相应地，齿根高系数从1.25 提高至1.4），渐开线会变得更完整，啮合线也变得从1.25 提高至1.4、），渐开线会变得更完整，啮合线也变得更接近理想的形状：
啮合线“正确部分”变长了、“不正确部分”变短了
但并不是“削”得越少，传动精度越高，因为齿顶的材料厚度小、应变大，因此在啮合的过程中，渐开线越靠近齿根的部分，啮合精度越高；渐开线越靠近齿顶的部分，啮合精度越低。
不同场景中（主要影响因素是额定扭矩、齿轮模数、齿数、压力
齿轮副参数：基于ISO 53:1998轮廓A 齿形、1 模24 齿、20 度压力角、厚度7 mm、10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、齿根高系数1.4、无变位、无其他修形、中心矩公差为0、齿厚公差/背隙/齿距误差为0、无摩擦。
此时扭矩波动仅受材料模量和齿形影响。
若齿顶高系数为1，输出扭矩曲线：
若齿顶高系数为1.2：
旋转角度（齿轮A）[°]
扭矩波动范围为（+0.02，-0.12），波峰在C 点左侧、波谷在C 点右侧
若齿顶高系数为1.4：
旋转角度（齿轮A）[°]
输出扭矩波动范围为（+0.01，-0.1），波谷在C 点左侧、波峰在C 点右侧
这个例子是（容许范围内）齿顶高系数越大、传动精度越高。
另一个相反的例子是
齿轮设计中如何选择模数？
中提到的0.5 模48 齿，（例子中的设定下）传动精度最高的齿顶高系数是1。
齿顶高系数是非常『难搞』的一个参数，调节它时应当如履薄冰、慎小谨微，多一丝则因齿顶应变而导致精度下降、少一丝则因啮合线“正确”部分过短而导致精度下降。
通过增减齿顶高系数，还可以改变输出扭矩曲线波峰和波谷的位置，上例中，齿顶高系数小于大约1.3 时，波峰在C 点左、波谷在C 点右；大于大约1.3 时，波谷在C 点左、波峰在C 点右（C 点为零滑动点）。
这个特性可以被用来进一步提高传动精度。
上文中输出扭矩曲线没有计算摩擦力。
摩擦系数0.1，齿顶高系数为1.3 时，摩擦力导致的扭矩损耗曲线：
C 旋转角度（齿轮A ）[°]
这个曲线的形状受很多因素（模数、压力角、齿顶高度...）影响，上图是一个比较典型的形状（W 形曲线，此外还有V 形曲线比较常见，W 形的传动精度远高于V
形）。
关于摩擦力的影响
需要了解如何计算齿轮的摩擦损耗，和滑动系数/滑动率/滑动比/比滑等的知识。
可以通过对齿顶高系数非常细微地调整，使得无摩擦时的扭矩输出曲线的波峰在C 点处，让材料模量和齿形导致的扭矩波动，与摩擦力导致的扭矩波动，部分地相互抵消，更进一步提高传动精度（但这个方法并不总是管用）。
齿数偏少时（例如1模24 齿）不容易调到理想的结果，这也是精密传动偏爱小模数、高齿数的原因之一。
3. 齿『顶』修形（齿顶倒角/倒圆）
因为机加工误差（毛刺、崩边...），以及齿轮啮合时是先“点-线接触”，齿顶角很容易损坏，因此需要设计倒角/倒圆。
倒角是最简单（最容易加工）的方式，但对传动精度只有负面作用（会减少啮合线“正确”部分的长度）：
0.15 mm、45 度倒角
倒圆是最优的方式，甚至能极大地提高传动精度：
0.2 mm 倒圆
倒圆更接近渐开线的形状，并使得啮合时（从截面上看）一开始就是线-线接触。
倒圆会减少啮合线“正确部分”的长度，因此在倒圆的同时，要增加齿顶高度。
齿轮副参数：基于ISO 53:1998轮廓A 齿形、0.5 模48 齿（1 模24 齿不容易调参）、19.8 度压力角（微调了一下，便于其他参数的调参）、厚度7 mm、10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、齿根高系数1.4、无变位、无其他修形、中心矩公差为0、齿厚公差/背隙/齿距误差为0、无摩擦。
（下列选取的都是该倒圆半径下传动精度最高的齿根高系数）此时，齿顶倒圆最大为0.2157 mm（齿顶切圆），齿根高系数为1.2402：
旋转角度（齿轮A）[°]
扭矩波动范围为（+0.035，-0.035）
齿顶倒圆0.18 mm，齿根高系数1.23：
齿形
扭矩波动范围为（+0.0050，-0.0075）旋转角度（齿轮A
）[°]
齿顶倒圆0.16 mm，齿根高系数1.21：
齿形
旋转角度（齿轮A）[°]
扭矩波动范围为（+0.005，-0.005）
齿顶倒圆0.14 mm，齿根高系数1.19：
齿形
旋转角度（齿轮A）[°]
扭矩波动范围为（+0.005，-0.005）
由上可见，齿顶倒圆能将（无加工误差、无摩擦的理想条件下的）输出扭矩波动从（+0.035，-0.035）降低至（+0.005，-
0.005），即波动率从0.7% 降低至0.1%，甚至低于摩擦力导致的扭矩波动（0.2% 左右），传动精度提高了7 倍。
观察不同倒圆半径下，输出扭矩曲线的变化规律（倒圆半径越小，则曲线越趋近于波峰在C 点左侧、波谷在C 点右侧；倒圆半径越大，则曲线越趋近于波谷在C 点左侧、波峰在C 点右侧），可以发现，倒圆半径为0.15 mm 左右时，解的结果是最稳定的，即0.15 mm 是最优倒圆半径。
4. 齿『根』修形（齿根『圆角』半径）
（容许范围内）齿根『圆角』半径越大则齿根强度越高，并且对传动精度几乎没（非常非常小）影响，可以直接取最大容许（不发生干涉）的齿根『圆角』半径，“胆小”的朋友也可以使用保守值『根圆角半径系数0.45（DIN 867:1986 以及一些论文推荐参考的数值）』。
齿轮副参数：20 度压力角、厚度5 mm（此处应该取7 mm，图表时采用了 ，因此下文中齿根安全系数偏低、使用寿命偏低，但不影响结论的正确性）、无修形、无变位，10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、中心矩公差为0、齿厚公差/背隙/齿距误差为0、无摩擦』，齿根圆角半径系数为0.38（ISO 53:1998轮廓A 齿形规定的）。
未调整齿根圆半径（齿根圆角半径系数0.380）：
齿形（齿根圆角半径系数0.380）
齿根区域应力（齿根圆角半径系数0.380）齿根安全系数（齿根圆角半径系数0.380）
输出扭矩曲线（齿根圆角半径系数0.380）旋转角度（齿轮
A ）[°]
将齿根圆半径系数增至0.471（本应设定为0.45）：
齿形（齿根圆角半径0.471）
齿根区域应力（齿根圆角半径系数0.471）
齿根安全系数（齿根圆角半径系数0.471）
旋转角度（齿轮A）[°]
输出扭矩曲线（齿根圆角半径系数0.471）
5. 齿『根』修形（齿根『圆』半径）
减小齿根『圆』半径，会增大齿根应力，同时略微提高传动精度，对于20CrMnTi（精密齿轮钢，屈服极限850 MPa，通常认为
齿根应力不超过500 MPa 时，齿根拥有无限强度），只有齿根应力高于600 MPa 左右时，才能达到提高传动精度的效果，『减小齿根『圆』半径』和『减小齿厚』提高传动精度的机理都是如此，因此不应使用这种方式提高传动精度，否则齿轮寿命（按照齿根安全系数预测）将不超过100 小时。
6. 变位
精密传动齿轮不会考虑变位，变位有三大作用：
●实现任意中心距。
如1 模齿轮实现77.77 mm 这样的中心距。
●提高重合度。
直齿轮的重合度接近2 或3 时，噪音会有极大降低。
部分教材提及重合度有助于提高传动平稳性，但对于高精度齿轮（背缝小于10 arcmin，即齿厚误差0.01 mm 左右）而言，重合度对传动平稳性基本没有促进作用。
●减小滑动率（滑动比/比滑）。
主要作用是控制能量损耗（齿面发热）。
精密传动并不需要以上三个特性中的任何一个，变位齿轮还会对齿轮设计调参带来极大的不便（两个齿轮分开调参，工作量大了很多），因此精密传动普遍不使用变位齿轮。
7. 『至高』传动精度
（无加工误差、无摩擦下）0.1% 扭矩波动率，仍然还不是能达到的最高传动精度，更进一步地提高传动精度，需要考虑降低摩擦力对扭矩波动的影响。
