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【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第43讲几何概型的方法破析考纲要求：1．了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型）．基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：（1)无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式:P(A)＝错误!应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析:如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为错误!＝错误!。
例2、在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．A ．22B ．32C ．21-D ．31-例3、在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为 ． 解析：若()222f x xmx =++有零点，则2280m∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型"的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度）．类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 。
解析:先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝错误!×错误!π×13＝错误!π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为错误!＝错误!,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝错误!.例5、如图2，长方体ABCD 。
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考郑甜（贵州省贵阳市第一中学）度中引入了古典概型和几何概型的概念，并从古典概型入手，要求学生能够对基本事件进行准确的计数和合理的描述。
学生要能够掌握几何概型中的具体情境分析，能够对基本事件的发生进行转换，将其转变为特定区域内的随机取点。
教材在几何概型这方面旨在对学生的建模能力和类比猜想能力进行培养和提高，并在其中渗透了丰富的数形结合思想和等价转换思想，是新课标人教A版高中数学教材中的一项难点内容。
在教学的过程中，几何概型的教学难点就在于如何让学生把握住几何概型的定义和特征，不要出现类似贝特朗概率悖论的问题。
二、贝特朗概率悖论问题贝特朗概率悖论问题是一个着名的问题，其内容为“有一个半径为1的圆，在圆内随机地将一条弦去除，那么弦的长度超过圆的内接等边三角形边长的概率有多大？”1.长度，y，2.60°角和，弦与该成样本空间Ω2。
两变量的变化率不一样，所以不能用弦与切线成60°角和120°角之间的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。
3.如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是π（r/2）2。
所以概率P=1/4，假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。
三、对贝特朗概率问题的分析每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
在几何概型中，对某一随机事件的概率可以用体积、面积和长度来进行计算，其中的基本原理就在于每个基本事件都与一个点相互对应，这些点均匀分布，构成了空间几何体、平面区域或者曲线段。
但仍然可问题，。
非质点的几何概型——解布丰投针试验
例：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a ，向此平面任投一长度为l （l ＜a ）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。
分析：如图4，题中的基本事件为线段，而每个线段对应一个
中点和线段与平行线的交角，即每个基本事件对应一个点及 一个角。
以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。
显然有πβ≤≤0，20a y ≤
≤，用边长为2
a 及π的长方形表示样本空间。
为使针与平行线相交，必须βsin 20l y ≤≤，满足这个关系的区域面积是从0到π的βsin 2
l 对β的积分。
解：设针的中点到最近的一条平行线的距离为y ，针与平行线的交角为β，依题有2
0a y ≤≤，
l O ∙ β 图4。
高中“几何概型”引入的课例分析与建议伍春兰【摘要】Based on two open lessons with heterogeneous with “Geometric Models of Probability”as a lead-in, the essay puts forward suggestions from the analysis of two teaching procedures: comparison of teaching situation creation and use of concept prototype. On the three key points in teaching design with“Geometric Models of Probability”as a lead-in, it is further proposed that:understand the initial capabili-ty is important, experiment whether the exploration is reasonable or not is necessary, and difficulties in teaching should be avoided.%以“几何概型”引入的两节同课异构的公开课为背景，从情境创设的对比和概念原型的利用两个环节剖析，提出教学设计的改进建议。
同时结合“几何概型”引入三个设计要点，即需了解学生的初始能力；要试验探究的合理性；应规避难点集中的问题。
【期刊名称】《北京教育学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】4页(P33-36)【关键词】高中数学;几何概型;情境创设;概念原型;课例分析【作者】伍春兰【作者单位】北京教育学院教师教育数理学院，北京 100044【正文语种】中文【中图分类】G633.63“几何概型”是高中数学必修3的内容，课程标准的要求是“初步体会几何概型的意义”，高考的要求则是“了解几何概型的意义”。
庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。
用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例时,这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1）进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2）对G 内任意子集，事件“点取自g"的概率与g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关。
如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应）,那么事件A 的概率规定为：P(A ）=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型,记事件“芝麻落在圆内"为A ，则P(A ）=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积）,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点(1）试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型。
辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个。
四、几何概型的计算公式几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:P(A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度"成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积).典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起,有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息。
一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
浅谈几何概型的解题策略作者：赵鼎锋来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第1期近几年几何概型类试题频频出现高考试题中，系统性的分析这一类型问题，就可以看出这个题型十分新颖，这种新型题材对学生的学习来讲是一种挑战，对老师的教学也是一种挑战。
几何概型类试题的解题方法大体分三种，首先要判断该试题是不是几何概型类试题，第二就是将题干中给出的可能发生事件所占区域和事件发生的全部可能性所占区域运用几何图形的形式表现出来，最后是用几何概型的公式解答出题目的答案。
一、几何概型的定义在几何概型中，一个事件发生的可能性可以用发生该事件的面积、体积、长度或者角度表达出来的话，我们称这种数学模式为几何概型。
在习题中，我们可以将几何概型问题转化为区域内取点的问题，在一个特地定的区域内，有无数个点，具体取到哪个点是随机的，取到这个点的概率就是答案。
我们假设的特定区域可以是一个平面的图像，也可以是一段线段，甚至是立体图形也有可能。
我们使用概率与几何结合解题的方式称为几何概型。
二、几何概型的基本特点几何概型是概率求解的一种新型方法，我们可以看成是在任意一个范围内任意取一个值，这个值正好落在这个范围的概率就是这个随机事件发生的概率。
无限性和可能性是几何概型问题两个主要特点。
在一个取值范围之内有无数个值，也可以转化成区域内取点问题，也就是在一个区域中有无数个点，所以几何概型具有无限性的特点，每一个不同的点被取到的概率是相同的，由于点是有无数个，所以每个都有可能被取到，这也就是几何概型的可能性特点。
三、几何概型的解题策略（一）测度为长度的几何概型我们可以将每个几何概型的试题都看作是在一个区域中取点的问题，在一个试题中，假设只有一个变量，我们就可以用数轴或者一条简单的直线来表示，这就是测量为长度的几何概型类问题。
测量为长度的几何概型的公式=构成答案的可能性长度比上事件所有可能性长度。
比如例一：在一根长为三米的绳子中，随机剪断绳子，问剪断后的两段绳子都大于或等于一米的概率是多少？这道题我们可以根据下图所示，将绳子平均分成三段，只有在中间一段剪断，得到的两端才会都大于等于一米，所以该问题答案的概率为三分之一。
探索几何概型几何概型同古典概型一样是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置。
在新课改的教材中引入了几何概型，这是区别老教材的最重要的知识点之一。
但是课本只是引入，没有任何习题的辅助，会导致学生不能深入了解几何概型。
下面我对几何概型加以总结和分析，以供大家参考。
一：几何概型的概念：向平面内有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G 的概率与的面积成正比，而与的形状，位置无关。
即：P（点M落在）= ■，则称这种模型为几何概型。
几何概型的概率计算公式中的“面积”，并不是实际意义的面积，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段的长度，平面图形的面积和立体图形的体积时，相应的“面积”分别是线段的长度，平面图形的面积和立体图形的体积。
公式中的分子和分母所涉及的几何度量一定要对等，即：若一个是长度，则另一个也是长度：若一个是面积，则另一个也必然是面积：同样，若一个是体积，另一个必然是体积。
常见的几何概型分四类：（1）与长度有关的几何概型问题（2）与面积有关的几何概型问题（3）与角度有关的几何概型问题（4）与体积有关的几何概型问题二：我们用例题加以分析例1 在等腰△ABC中，B=C=300 ，求下列事件的概率：（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB.[分析]：若同学们没有认真的审题，就会认为这两问是一样的，仔细审题后发现第一个问题是寻找点P的位置，而第二个问题是寻找射线AP的位置；这是两个完全不同的几何概型[解析]：（1）因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为总区域。
如图1以点B为圆心，以线段BA为半径画弧交线段BC于点M，则点P落在线段BM内才有BP＜BM=BA，于是P（BP＜AB）=P（BP＜BM）= ■=■=■（2）如图2射线AP在∠BAC 内是等可能分布的，在线段BC上取点M，使∠AMB=750，则BM=BA，当AP在∠BAM内时，BP＜AB.于是所求概率为：P= ■=■例2 在区间[0，1] 中随机地取出两个数，则两数之和小于■的概率是多少？[分析]：①当实际问题只涉及一个变量时，要利用数轴或一条线段来讨论；②当实际问题涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论；③当实际问题涉及三个变量时，要利用空间坐标系来讨论。
几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为 31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米， ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
新教师教学课例研究在蒲丰提出投针问题之前，传统随机概型的事件个数是有限的。
蒲丰投针问题将随机事件的个数由有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
传统蒲丰投针问题的结果可以由微积分等多种方法解得，由于该结果包含无理数π，数学家们也用蒲丰投针过程来模拟估计π的值。
通过对蒲丰投针及其推广问题的解答过程的研究，可以进一步理解几何概型的含义，同时，通过研究数学家们对投针问题结果的应用，可以更好地理解不同领域之间的相互交叉和共同发展。
一、蒲丰投针问题的突破性提出与概率论发展史（一）概率论的起源概率论起源于赌博问题。
18世纪，雅各布.伯努利的《猜度术》和亚伯拉罕•棣莫弗的《机遇论》的诞生使得概率论具有了数学基础，这两本书中也给出了一系列计算复杂概率问题的方法。
伯努利证明了一系列基础的大数定理，这些定理表明在大量的随机试验中，平均结果很可能趋近于均值。
在很长的一段时间里，概率论的研究对象都是有限个离散的随机事件，直到蒲丰投针问题提出，数学家们的研究对象才从古典概型扩展到了几何概型。
（二）蒲丰投针的突破性提出及其意义古典概型是指包含有限个等可能随机事件的概率模型，在很长一段时间内是数学家们的研究主题。
1777年法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将随机事件的个数从有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。
后来数学家们将投针问题扩展到投小圆片等，这一类问题都被称之为“蒲丰问题”。
这些问题都具有无限个等可能的随机事件。
因为蒲丰投针问题的结果恰好和π相关，而当时人们普遍关注π的近似计算，因此蒲丰投针问题获得了很大进展。
曾经有数学家自己进行数千次投针实验，利用频率近似等于概率的思想得到无理数π的近似值。
在蒲丰提出投针问题的时候，数学家们并没有预料到这个突破性地引出了几何概型的经典问题，在未来会被如此之多地应用到无理数π的近似求解中。
二、蒲丰投针问题及其推广（一）经典蒲丰投针问题及其解答经典的蒲丰投针问题是：在平面上有一组间距为a 的平行线，将一根长度为l 的针（l a ）随机地投掷到平面上，求针和平行线相交的概率。
几何概型的解析方法和类型例解 及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析几何 概型是高中数学新课程的新增加内容之一.部分师生在几何概型知识的理解上存在一些偏差，在有关内容的教学中有说理不清或解法错误的现象。
本文依据几何概型理论知识和课例，谈谈几何概型问题的解析方法和基本事件为线段、圆、球射线等非质点问题的转化，以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析。
1 问题引入题 1 如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？在第99页里和网上一些教师课件中有上述习题及如下答案。
解：：记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为130103⨯=米，所以101()303P E ==。
笔者认为：上述解答错误。
错误主要原因几何概型问题的解析方法不正确。
题2 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自 钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出铜钱面），油滴的直径是0.2cm 的球，则油滴整体落入孔中的概率是 。
关于此题的教学中，部分学生和教师出现分析无方，说理不清等现象，那么几何概型应怎样分析解决呢？题3 苏教版必修3提到的“贝特朗奇论”：在半径为1的圆内任作一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
贝特朗奇论的经典解法有如下三种。
解法一：如图1弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为41。
解法二：如图2由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于41点与43 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为21 。
图1图2MO C A QD解法三：如图3由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为31 。
贝特朗奇论怎样解析呢？2 解决几何概型的理论依据前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在著作《概率论基础》中提出了概率论公理化结构，得到世界公认。
它包含以下几个方面：（1）一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称为样本点，样本点的全体所成的集合称为样 本空间，记为Ω。
我们把事件A 定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干个样本点。
（2）如果Ω的某些子集组成的集合F 满足一定的条件（关于事件的一切运算封闭），则称F 为Ω的一个事件域，F 中的元素称为事件。
（3）定义在事件域F 上的一个实数集函数P （满足相应的条件）称为概率。
样本空间Ω，事件域F 和概率P 是概率论最基本的三个基本概念。
习惯上 把这三者写成（Ω，F,P ），并称为它是一个概率空间。
概率空间完整地描述了随机试验的基本方面。
由上可知：任何一个概率问题，都必须建立在某个给定的概率空间之上；不同的随机试验下，有不同的概率空间，即不同的概率问题。
苏教版必修3教参给了几何概型描述性定义：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关，我们把满足这样的概率模型称为几何概型,其中P(A)=的测度的测度D d 。
由上述定义可知解决几何概型的思路：把一个随机试验下的每个基本事件转化为几何区域D 内的一点，若事件A 发生对应的区域d ， 则P(A)=的测度的测度D d 。
3 几何概型的解析方法从随机试验的基本事件类型可分为基本事件是点（文题4）、基本事件是数或数对（文题5）、基本事件是非质点如线段、射线、直线、圆或球等（文题6、7、8、9、10）。
高中数学教材的几何概型习题的基本事件中多为点或数或数对，而教学中争议困惑的问题多为基本事件为非质点问题。
图1A O图3A B QP几何概型的解析步骤：（1）明晰随机试验下的基本事件；（2）把每个基本事件转化为一个点；（3）明确这些点形成的区域D ；（4）明确随机事件A 转化的点形成的区域d ；（5）根据区域D 的图形确定测度；（6）求概率P(A)= 的测度的测度D d 。
重要说明：（1）分析随机试验的基本事件比较困难时，可举例理解。
如本文题 5一次试验中需明确送报人到达的时间和父亲离开家的时间，即基本事件为两个时间。
（2）若基本事件为数，则对应数轴上的点；若基本事件为二元有序数对，则对应平面直角坐标系中的点；若基本事件为三元有序数对，则对应空间直角坐标系中的点。
（3）若基本事件是圆，则对应此圆的圆心；若基本事件是球，则对应此球的球心；若基本事件是线段，则根据一一对应性和等可能性等价转化为数或数对（转化方法后面详述），再由数或数对转化为点。
（4）若基本事件的对应点形成的区域是线段或曲线段，则测度为长度；若基本事件的对应点形成的区域是平面图形，则测度为面积；若基本事件的对应点形成的区域是空间几何体，则测度为体积。
几何概型的测度没有角度。
若基本事件为点或数（数对），则无需把基本事件转化为点，若基本事件为非质点，怎样把每个基本事件转化为一个点呢？我们知道：数对应数轴上的点，二元有序数对对应平面直角坐标系中的点，三元有序数对对应空间直角坐标系中的点。
故可以利用确定性和一一对应性把每个非质点表示为一个数或数对，一个数（或数对）对应一个点，这样每个基本事件转化为一个点。
题 1分析：一次试验中需确定线段AB 上C 、D 两个点，以A 为始点，需明确AC 、AD 距离，即基本事件为二元有序数对，又有序数对对应平面中的点，且对应点形成的区题1错因之一认识错误：认为题1样本空间的区域就是题干中的几何区域——线段。
其实样本空间的区域只与样本点形成的图形有关，与题干的几何区域图形无关。
题1错因之二方法错误：解几何概型的思路不清晰，方法不正确。
图5图7题2分析： 题中的基本事件为球（油滴）。
油滴下落要能落入铜钱面内和正方形孔中，只需考虑与铜钱面平行的球大圆即可，因此一次试验中的基本事件为铜钱面内的圆。
又每一个圆对应此圆的圆心，每个基本事件对应一个圆心，当随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出铜钱面），圆心在铜钱面内的虚线圆内出现的概率是相等的，这些圆心形成以铜钱中心为圆心，半径为1.9cm 的圆面，面积为361100π；若油滴整体落入孔中，基本事件对应的圆心形成边长为0.8cm 的虚线正方形内，面积为1625,所以油滴整体落入孔中的概率是64361π.。
3 几何概型题型归类解析3.1 基本事件是点题 5（人教版2007必修3第137页例2）假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00~8：00之间，问你父亲离开家前能得到报纸的概率是多少分析：此题一次试验是需明确送报人到达的时间和父亲离开家的时间，故一次试验中的基本事件为两个数，即二元有序数对，一个有序数对对应平面中的点，因此基本事件的数对转化为点。
设送报题 6 把半径为1的硬币随意投到半径为10的圆盘里，硬币不竖立，且整个硬币落在圆盘内，求硬币遮住圆盘圆心的概率。
分析：题中一次试验的基本事件是半径为1的圆，此题基本事件是非质点。
圆需圆心位置和半径确定，而半径为1，故圆只需用数对确定圆心位置。
即每个基本事件（小圆）转化为点（小圆的圆心），这些点形成半径为9的圆面，而硬币遮住圆盘圆心，这些点形成半径为1的圆面. 故测度为面积，所求概率为811。
解：以圆盘的圆心为原点建立平面直角坐标系，设硬币的圆心为),(y x ，所有事件构成的区域是{}810),(22≤+≤=Ωy x y x ，记硬币遮住圆盘圆心为事件A ， 事件A 构成的区域{}10),(22≤+≤=y x y x A ，π81=ΩS ，π=A S ，P(A) =811. 所以硬币遮住圆盘圆心的概率为811。
评注：解法是把每个基本事件（硬币）表示为数对，数对又对应着点，则基本事件转化为点。
其实基本事件（硬币）无需表示为数对，直接转化点（圆心）求解更为简单。
其原因是这些点形成图形的面积容易求得，这就是为什么许多几何概型问题的基本事件不表示为数或数对的原由。
3.32基本事件为球题7 半径为1的球在长、宽、高分别为10、8、6的封闭长方体盒内随意游动，则长方体的体对角线中点在球内的概率是 。
分析：题中的基本事件为球，而每个球对应一个球心，即每个基本事件对应一个球心，把非质点几何概型问题转化为质点几何概型问题。
这些球心形成长为8、宽为6、高为4的长方体1111EFGH E FG H -，球心移动的体积1111EFGH E FG H V -=468)26)(28)(210(⨯⨯=---，球需遮住长方体对角线中点时，基本事件对应的球心形成半径为1的球体，体积为34π=球V 。
所以球遮住长方体的体对角线中点的概率为14446834ππ=⨯⨯。
3.33基本事件为一个定长线段题 8 若甲同学每天晚上在家只连续学习2小时，甲学习时间为18时至23时，则22时甲在学习的概率。
分析：因为甲在18时至23时连续学习2小时，故一次试验中的基本事件是一定长线段，而每一线段对应此线段的左端点，即甲开始学习的时间（或每一线段也可对应此线段的右端点，即甲结束学习的时间），也就是由基本事件对应非质点问题转化为基本事件对应质点问题。
甲开始学习的时间只能是18时至21时中的某一时刻. 这些端点形成的区域是长度，又22时甲在学习，必有甲开始学习的时间只能是20时至21时中的某一时刻.所以22时甲在学习的概率是13。
3.34基本事件为两个定长线段题 9人教版必修3（2010年12出版）第142页）甲乙两艘船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
O图9分析：因为甲、乙停靠分别为6小时、6小时，所以一次试验中的基本事件对应两个线段，故此题是非质点几何概型问题。
每个时间线段对应该时间线段的起始时间点，所以基本事件对应二维平面中的一个点，把非质点几何概型问题转化为质点几何概型问题。
解略 3.35基本事件为射线题 10 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率。
