异面直线距离与夹角巩固（共22题）一、选择题（共8题）1.（2020·同步练习）已知二面角α−l−β的大小为60∘，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成的角的大小为( )A．120∘B．90∘C．60∘D．30∘2.（2017·云南昆明市·模拟）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于( )A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘3.（2021·专项）如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为( )A．15B．25C．35D．454.（2021·单元测试）如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥AB B．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45∘D．OC⊥平面VAC5.（2021·单元测试）四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为( )A．25B．35C．45D．126.（2021·专项）已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为( )A．√34B．34C．√54D．5167.（2021·同步练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点，有以下三个命题．①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；②三棱锥B−A1EF的体积是定值；③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值．其中真命题的个数是( )．A．3B．2C．1D．08.（2017·浙江嘉兴市·期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成的角的取值范围为( )A．[π4,π3]B．[π4,π2]C．[π6,π2]D．[π6,π3]二、多选题（共4题）9.（2021·单元测试）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在线段B1C上运动，则( )A．直线BD1⊥平面A1B1CDB．三棱锥M−A1C1D的体积为定值C．异面直线AM与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]D．直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为√6310.（2021·同步练习）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，下列四个结论中正确的是( )A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形C．直线AB与平面BCD所成的角是60∘D．AB与CD所成的角为60∘11.（2021·单元测试）如图，在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是( )A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．异面直线PD与MN所成角的大小为90∘D．ON⊥PB12.（2021·北京·期末）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=23AB=2，AB⊥AC，点D，E分别是线段BC，B1C上的动点（不含端点），且ECB1C =DCBC．则下列说法正确的是( )A．ED∥平面ACC1B．该三棱柱的外接球的表面积为68πC．异面直线B1C与AA1所成角的正切值为32D．二面角A−EC−D的余弦值为413三、填空题（共4题）13.（2020·天津·同步练习）思考辨析，判断正误．异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．14.（2021·同步练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是．15.（2021·同步练习）直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90∘，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为．16.（2019·温州市瓯海区·单元测试）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=√5，∠ADC=90∘．沿直线AC将△ACD翻折成△ACDʹ，直线AC与BDʹ所成角的余弦的最大值是．四、解答题（共6题）17.（2020·上海闵行区·模拟）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，E是棱BB1的中点．(1) 求异面直线A1D与C1E所成角的大小（用反三角函数值表示）；(2) 求四面体A1−C1DE的体积．18.（2021·青岛市崂山区·期中）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面C1BD；（2）若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为2√13，求四棱锥B−AA1C1D的体积．1319.（2020·上海闵行区·期末）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2√3，底面半径为2.(1) 求该圆锥的侧面积；(2) 设OA，OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角．20.（2020·上海闵行区·单元测试）如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=4，M为棱CC1上一点．(1) 若C1M=1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；(2) 若C1M=2，求证BM⊥平面A1B1M．21.（2018·上海静安区·期中）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π，斜边AB=4，Rt△AOC可以通6过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角，D是AB的中点，求异面直线AO与CD所成角的大小．22.（2018·上海黄浦区·期中）如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，以A为原点，建4立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：(1) 证明：直线MN∥平面OCD；(2) 求异面直线AB与MD所成角的大小；(3) 求点B到平面OCD的距离．答案一、选择题（共8题） 1. 【答案】C【解析】设直线 b ，c 的方向向量 b ⃗ ，c ，b ⊥α，c ⊥β，所以 b ⃗ ，c 分别是平面 α，β 的法向量， 二面角 α−l −β 的大小为 60∘，b ⃗ ，c 的夹角为 60∘ 或 120∘， 因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以 b 与 c 所成的角为 60∘． 故选：C ．【知识点】异面直线所成的角2. 【答案】C【解析】长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，AB =2，BC =1，BB 1=1，取 CD 的中点 Q ，连接 BQ ，C 1Q ，因为 P 是 AB 的中点， 所以 BQ ∥PD ，所以 ∠C 1BQ 是异面直线 BC 1 与 PD 所成角， 如图所示；△C 1BQ 中，C 1B =BQ =C 1Q =√2，所以 ∠C 1BQ =60∘，即异面直线 BC 1 与 PD 所成角等于 60∘．【知识点】异面直线所成的角3. 【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AB =1，则 M (0,y,1)，0≤y ≤1，易知 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,y,1)，θ∈(0,π2]， 所以cosθ=∣∣cos⟨AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣−12+12y ∣∣√1+14⋅√14+y 2+1=√5⋅√4y 2+5[√4y 2+5]2=1−8y+14y 2+5，令 8y +1=t ，1≤t ≤9，则 8y+14y 2+5=16t+81t−2≥15，当且仅当 t =1 时取等号，所以√4y 2+5=√1−8y+14y 2+5≤√1−15=√5，所以 cosθ=√5⋅√4y 2+5≤√5×√5=25，当且仅当 y =0 时取最大值， 故选B ．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题4. 【答案】B【解析】因为 M ，N 分别是 VA ，VC 的中点， 所以 MN 与 AC 平行， 又因为 AC 与 AB 相交于点 A ， 所以 MN 与 AB 不平行，故A 错误；因为 VA 垂直半圆 O 所在的平面，BC ⊂半圆O 所在的平面，所以 VA ⊥BC ，因为 AB 是半圆 O 的直径， 所以 AC ⊥BC ，又 AC ∩VA =A ，AC,VA ⊂平面VAC ， 所以 BC ⊥平面VAC ， 又 BC ⊂平面VBC ，所以 平面VAC ⊥平面VBC ，故B 正确； 因为 BC 与平面 VAC 垂直，MN ⊂平面VAC ， 所以 BC 与 MN 垂直，故C 错误； 因为 AC ⊥BC ，A ，B ，C ，O 共面， 所以 OC 与 AC 不垂直，所以 OC ⊥平面VAC 不成立，故D 错误． 故选B ．【知识点】异面直线所成的角5. 【答案】A【解析】以 A 为坐标原点，AB ，AD ，AQ 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为 2，则 A (0,0,0)，E (1,0,0)，F (2,1,0)，设 M (0,m,2)(0≤m ≤2)，所以 EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m,2)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)， 所以 cosθ=∣cos⟨EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩∣=∣∣∣√5+m 2×√5∣∣∣，将异面直线 EM 与 AF 夹角的余弦值转化为关于 m 的函数．令 t =2−m ，t ∈[0,2]，则当 t =0 时，cosθ=0， 当 t ∈[0,2] 时，cosθ=√5+(2−t )2×√5=√9t2−4t+1×√5=√9(1t −29)2+59×√5通过换元，进一步转化为求关于 t 的函数的最值问题． 因为 1t ≥12>29，所以当 1t =12，即 m =0 时，cosθ 取得最大值 25，因此 cosθ 的最大值为 25．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题6. 【答案】B【解析】设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，BC 的中点为 D ， 则 A 1D ⊥平面ABC ，所以 A 1D ⊥AB ，设三棱柱的各棱长均为 1，则 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=∣c ∣=1，且 ⟨a ,b ⃗ ⟩=60∘， 所以 A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b ⃗ )−c ， 所以 A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12a +12b ⃗ −c )⋅a =0解得 a ⋅c =34， 所以 cos⟨a ,c ⟩=a⃗ ⋅c ∣a⃗ ∣∣c ∣=341×1=34所以异面直线 AB 与 CC 1 所成角的余弦值为 34． 【知识点】异面直线所成的角、空间向量的数量积运算7. 【答案】B【解析】以点 A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为 1，则 C (1,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(1,1,1)，D 1(0,1,1)，根据题意设 F (t,1,1−t )(0≤t ≤1)，则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −1,1,−t )，所以 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以异面直线 AC 1 与 B 1F 所成的角是 90∘，为定值， 所以①正确；对于②，因为三棱锥 B −A 1EF 的底面 A 1BE 面积为定值， 且 CD 1∥BA 1，而点 F 是线段 CD 1 上的一个动点，所以点 F 到平面 A 1BE 的距离为定值，所以三棱锥 B −A 1EF 的体积是定值， 故②正确；对于③，因为 A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1,−t )，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 可得平面 B 1CD 1 的一个法向量为 n ⃗ =(1,1,1)，所以 cos⟨A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩ 不是定值， 故③错误． 故选B ．【知识点】线面角、异面直线所成的角8. 【答案】D【解析】在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，AD 1 与 BC 1 平行， 故 ∠C 1BP 即为 BP 与 AD 1 所成的角， 取 CD 1 中点 E ，连接 BE 交 A 1C 于 F ， 易得 C 1E ⊥平面A 1BCD 1，则有 cos∠C 1BP =cos∠C 1BF ⋅cos∠FBP ． 当 ∠FBP 越大，∠C 1BP 越大， 当 ∠FBP 越小，∠C 1BP 越小，显然当 P 与 A 1 重合时，∠C 1BP 最大， 此时 △A 1BC 1 是等边三角形，∠C 1BP =π3， 当 P 与 F 重合时，∠C 1BP 最小，此时 ∠C 1BP =∠C 1BF =∠C 1BE ， 由 sin∠C 1BE =12得 ∠C 1BP =π6．【知识点】异面直线所成的角二、多选题（共4题） 9. 【答案】B ；D【解析】以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD 1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则 D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，所以 BD 1⊥DA 1，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1≠0， 所以 BD 1 不垂直于 DC ，故 BD 1 不垂直于平面 A 1B 1CD ，故A 不正确．因为 B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊄平面A 1DC 1，A 1D ⊂平面A 1DC 1， 所以 B 1C ∥平面A 1DC 1，又因为点 M 在线段 B 1C 上运动，所以点 M 到平面 A 1DC 1 的距离等于 B 1 到平面 A 1DC 1 的距离，易知点 B 1 到平面 A 1DC 1 的距离为定值，故 V M−A 1C 1D 为定值．故B 正确．易知 A 1D ∥B 1C ，当点 M 与线段 B 1C 的端点重合时，异面直线 AM 与 A 1D 所成角为 π3， 设 B 1C 的中点为 M 0，当点 M 由 B 1C 的端点向中点 M 0 运动时，∠AMM 0 为异面直线 AM 与 A 1D 所成的角，在 △ACB 1 中，AC =AB 1， 所以 AM 0⊥B 1C ，在 △AMM 0 中，AM 0 不变，MM 0 逐渐变小，所以 tan∠AMM 0=AM 0MM 0逐渐增大，当点 M 与 M 0 重合时，异面直线 AM 与 A 1D 所成角为 π2，所以异面直线 AM 与 A 1D 所成角的取值范围是 [π3,π2]，故C 不正确．设 M (a,1,a )，易知 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,a −1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，因为 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，DA 1∩DC 1=D ， 所以 BD 1⊥平面A 1C 1D ， 所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1) 为平面 A 1C 1D 的一个法向量， 设直线 C 1M 与平面 A 1C 1D 所成的角为 θ，则sinθ=∣∣cos⟨C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3×√a 2+(a−1)2=√3×√2(a−12)2+12当 a =12时，sinθ 取得最大值，为√63， 所以直线 C 1M 与平面 A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为 √63，故D 正确．故选BD ．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题10. 【答案】A ；B ；D【解析】设正方形的边长为 1，取 BD 的中点 ，连接 OA ，CO ， 可得 OC ⊥BD ，OA ⊥BD ，OC ∩OA =O ， 所以 BD ⊥平面AOC ． 因为 AC ⊂平面AOC ， 所以 BD ⊥AC ，A 正确．正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A −BD −C ，即 平面ABD ⊥平面BCD ． 因为 OC ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ， 所以 OC ⊥平面ABD ，同理 OA ⊥平面BCD ， 所以 OC ⊥OA ．在 Rt △OAC 中，OC =OA =√22， 所以 AC =√OA 2+OC 2=1，故 △ACD 为等边三角形，故B 正确．因为OA⊥平面BCD，所以∠ABO为直线AB与平面BCD所成的角，而∠ABO=45∘，故C错误．过点D作DE∥AB且DE=AB，连接CE，OE，则∠CDE或其补角为AB与CD所成的角．在△ODE中，DE=1，OD=√22，∠EDO=3π4，由余弦定理得OE2=OD2+DE3+2OD⋅DE⋅cos3π4=52．易知CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，所以CO⊥OE．在Rt△COE中．CE2=OE2+OC2=3．又DE=CD=1，由余弦定理得cos∠CDE=CD 2+DE2−CE22CD⋅DE=−12，所以∠CDE=120∘，即AB与CD所成的角为60∘，故D正确．【知识点】余弦定理、异面直线所成的角、二面角11. 【答案】A；B；D【解析】选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN，A正确；选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得MN∥AB，又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，由选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN，B正确；选项C，因为MN∥CD，所以∠PDC（或其补角）为异面直线PD与MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=60∘，故异面直线PD与MN所成角的大小为60∘，C错误；选项D，因为底面为正方形，所以AB2+AD2=BD2，又所有棱长都相等，所以PB2+PD2= BD2，故PD⊥PB，又PD∥ON，所以ON⊥PB，D正确．【知识点】平面与平面平行关系的判定、异面直线所成的角12. 【答案】A；D【解析】在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，因为ECB1C =DCBC，所以ED∥BB1∥CC1，所以ED∥平面ACC1，所以A项正确；因为AA1=AC=23AB=2，所以 AB =3， 因为 AB ⊥AC ，所以 BC =√22+32=√13， 所以 B 1C =√13+4=√17，易知 B 1C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为 π×(√17)2=17π，所以B 项错误； 因为 AA 1∥BB 1 且 ∠BB 1C 为锐角，所以异面直线 B 1C 与 AA 1 所成角为 ∠BB 1C ， 在 Rt △B 1BC 中，BB 1=2，BC =√13， 所以 tan∠BB 1C =BCBB 1=√132，所以C 项错误；二面角 A −EC −D 即为二面角 A −B 1C −B ，以 A 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 A (0,0,0)，B (3,0,0)，C (0,2,0)，B 1(3,0,2)， 设平面 AB 1C 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {2y =0,3x +2z =0,令 x =2，则 z =−3， 所以 n ⃗ =(2,0,−3)，同理求得平面 BB 1C 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(2,3,0)， 由图易知二面角 A −EC −D 为锐角，故二面角 A −EC −D 的余弦值为 ∣cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣=∣m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=√13×√13=413，所以D 项正确．故选AD ．【知识点】异面直线所成的角、二面角、球的表面积与体积、利用向量的坐标运算解决立体几何问题三、填空题（共4题） 13. 【答案】 √【知识点】异面直线所成的角14. 【答案】60∘【解析】连接AD1，CD1（图略），则AD1∥BC1，所以∠CAD1（或其补角）就是AC与BC1所成的角，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC= AD1=CD1，所以∠CAD1=60∘，即AC与BC1所成角的大小为60∘．【知识点】异面直线所成的角15. 【答案】60∘【解析】如图，可将原三棱柱补成一个正方体，连接A1D1，BD1，所以AC1∥BD1，所以∠A1BD1（或其补角）即为BA1与AC1所成的角．又易知△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD1=60∘，即异面直线BA1与AC1所成角的大小为60∘．【知识点】异面直线所成的角16. 【答案】√66【解析】取AC的中点O，连接AB，过Dʹ作DʹE⊥AC交AC与点E，过B作BF∥OE，过E作EF∥OB交BF与点F，因为AB=BC，O为AC的中点，所以BO⊥AC，又四边形OEFB为矩形，所以直线AC与BDʹ所成的角为∠FBDʹ，∠DʹEF为面ACDʹ与面ABC所成的二面角，设∠DʹEF=θ，因为CD⊥AD，所以DʹE=√306，EF=√302，又CE=√66，所以OE=BF=√62−√66=√63，在△EFDʹ中，由余弦定理得DʹF2=(DʹE)2+EF2−2DʹE⋅EFcosθ，所以DʹF2=253−5cosθ≥103，当θ=90∘时，DʹF2有最小值为103，则BDʹ=√103+(√63)2=2，所以直线AC与BDʹ所成角的余弦的最大值是cos∠DʹBF=BFBDʹ=√66．【知识点】异面直线所成的角四、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 如图，以 D 为原点，以 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由已知 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−32)，设两向量夹角为 θ，则 ∣cosθ∣=√1365， 所以异面直线 A 1D 与 C 1E 所成角为 arccos√1365． (2) 利用割补法：正四棱柱体积 V =12．连接 DB ． V E−A 1B 1C 1=1，V D−A 1C 1D 1=2，V D−ABEA 1=V D−CBEC 1=3，所以 V A 1−C 1DE =V −V E−A 1B 1C 1−V D−A 1C 1D 1−V D−ABEA 1−V D−CBEC 1=3． 【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18. 【答案】（1）取 A 1C 1 的中点 E ，连接 B 1E ，AE ，DE ，在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， 四边形 AA 1C 1C 为平行四边形， 又 D 是 AC 的中点， 所以 AD ∥EC 1，AD =EC 1， 所以四边形 AEC 1D 是平行四边形，所以 AE ∥DC 1，又 AE ⊄平面C 1BD ，DC 1⊂平面C 1BD ， 所以 AE ∥平面C 1BD ，因为 DE =CC 1=BB 1，DE ∥CC 1∥BB 1， 所以四边形 DEB 1B 是平行四边形，所以 B 1E ∥BD ，又 B 1E ⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ， 所以 B 1E ∥平面C 1BD ，又 AE ∩B 1E =E ，B 1E ⊂平面AB 1E ， 所以 平面AB 1E ∥平面C 1BD ，又 AB 1⊂平面AB 1E ， 所以 AB 1∥平面C 1BD ；（2）过 B 作 BH ⊥AC 于 H ， 因为 AA 1⊥平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，所以 BH ⊥AA 1，又 AA 1∩AC =A ，AA 1,AC ⊂平面AA 1C 1D ， 所以 BH ⊥平面AA 1C 1D ，因为 AB ∥A 1B 1，∠CAB 为锐角， 所以 ∠CAB 为异面直线 AC 和 A 1B 1 所成的角， 所以由条件知 cos∠CAB =2√1313， 在 Rt △ABC 中，∠ABC =90∘，AB =2，AC =ABcos∠CAB =√13，BC =√AC 2−AB 2=3，BH =AB⋅BC AC=√13，又 A 1C 1=AC =√13，AD =12AC =√132，AA 1=2，所以V B−AA 1C 1D =13S △A 1C 1D ⋅BH=13[12(AD +A 1C 1)⋅AA 1]⋅BH = 3.【知识点】异面直线所成的角19. 【答案】(1) OP ⊥底面OAB ，由题意得：高 ℎ=2√3，底面半径 r =2， 所以 母线 l =4，圆锥的侧面积 S =12lr =12×2π×2×4=8π． (2) 取 OA 的中点为 N ， 因为 M 为 AB 的中点，所以 MN ∥OB ，∠PMN 就是直线 PM 与直线 OB 所成的角， 因为 OB ⊥OA ，OB ⊥OP ，所以 OB ⊥平面POA ，MN ⊥平面POA ，MN ⊥PN ，在 Rt △PNM 中，PN =√ℎ2+(r 2)2=√13，MN =12OB =1， 所以 tan∠PMN =PN MN=√13，即直线 PM 与直线 OB 所成的角为 arctan √13． 【知识点】圆锥的表面积与体积、异面直线所成的角20. 【答案】(1) 依据题意，有 C 1M =1，B 1C 1=BC =2，B 1C 1⊥C 1M ， 得 B 1M =√5． 因为 A 1B 1∥C 1D 1，所以异面直线 A 1M 和 C 1D 1 所成角即为 A 1M 和 A 1B 1 所成角．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥面B1BCC1，所以A1B1⊥B1M，故可得∠B1A1M为锐角且tan∠B1A1M=B1MB1A1=√52．(2) 由题意，BC=B1C1=2，C1M=2，CC1=4，所以CM=2．因为BB12=BM2+B1M2，所以∠BMB1=90∘，即BM⊥B1M．又由A1B1⊥面B1BCC1可得A1B1⊥BM，故BM⊥平面A1B1M．【知识点】异面直线所成的角21. 【答案】arctan√153．【解析】由题意得，BO⊥AO，CO⊥AO，所以∠BOC即为二面角B−AO−C的平面角，且AO⊥平面BOC，又因为二面角B−AO−C是直二面角，所以BO⊥CO，取BO中点M，连接DM，MC，如图所示：所以DM∥AO，所以DM⊥平面BOC，且∠CDM即异面直线AO，CD所成角或其补角，因为在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4，所以DM=12AO=12×4×√32=√3，CM=√CO2+OM2=√22+12=√5，所以在Rt△DMC中，tan∠CDM=CMDM =√5√3=√153，所以∠CDM=arctan√153，所以异面直线AO，CD所成角大小为arctan√153．【知识点】异面直线所成的角22. 【答案】(1) 作 AP ⊥CD 于点 P ，如图，分别以 AB ，AP ，AO 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则 A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0,√22,0)，D (−√22,√22,0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1−√24,√24,0)， MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√24,√24,−1)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−2)，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,−2)． 设平面 OCD 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 n ⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {√22y −2z =0,−√22x +√22y −2z =0.取 z =√2，解得 n ⃗ =(0,4,√2)．∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(1−√24,√24,−1)⋅(0,4,√2)=0，∴MN ∥平面OCD ．(2) 设 AB 与 MD 所成角为 θ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,−1)， ∴cosθ=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12， ∴θ=π3，AB 与 MD 所成角的大小为 π3．(3) 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ，则 d 为 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 n ⃗ =(0,4,√2) 上的投影的绝对值，由 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，得 d =∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=23，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 23． 【知识点】异面直线所成的角、空间的平行关系、空间向量的应用、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）。
