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立体几何复习2

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立体几何复习2

二、立体几何考查的常见几类问题：

1．判断题：

2．证明问题：

例1 （2008江苏卷16）在四面体ABCD中，BDADCDCB,，且E、F分别是AB、BD的中点，

求证：（1）直线EF//面ACD；

（2）面EFC⊥面BCD.

B

C A F

D E 例2 （2009江苏卷16）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E,F分别是11AB,AC的中点，点D在11BC上，11ADBC.

求证：（1）EF∥ABC平面；

（2）111AFDBBCC平面平面.

3．求值问题： （作—证—求—答）

求角问题：

例3（2010四川理数）（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是 .

解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D

连结AD，则可证AD⊥l，

故∠ADC为二面角l的平面角，为60°

又由已知，∠ABD＝30°

连结CB，则∠ABC为AB与平面所成的角

设AD＝2，则AC＝3，CD＝1

AB＝0sin30AD＝4

∴sin∠ABC＝34ACAB

求面积问题

S直棱柱侧=ch S圆柱侧=cl =2rl

S正棱锥侧=12ch S圆锥侧=12cl =rl

S正棱台侧=1()2cch S圆台侧=1()()2cclrrl

S球面=24R

例4 一三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为8，一条侧棱与底面两边成45角，求这个三棱柱的侧面积.

变式：斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，AA1与AB成45角.

（1）求证：AA1平面A1BC；

（2）求此棱柱的侧面积.

例5 （2010新课标全国数学文7）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

（A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2

求体积问题

VSh柱体13VSh椎体 13VhS+SSS台体（）

343VR球

例6 （2010天津文数12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

例8 （2010新课标全国数学文18）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高.

（Ⅰ）证明：平面PAC 平面PBD;

（Ⅱ）若6AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积.

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高.

（Ⅰ）证明：平面PAC 平面PBD;

（Ⅱ）若6AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积.

解：

(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高

所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.

所以AC平面PBD. ACPAC平面

故平面PAC平面PBD. ……..6分

(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=6.

所以HA=HB=3.

因为APB=ADB=600

所以PA=PB=6,HD=HC=1.

可得PH=3.

等腰梯形ABCD的面积为S=12AC x BD = 2+3. ……..9分

所以四棱锥的体积为V=13x（2+3）x3=3233 ……..12分

体积问题的割补法

例9 长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么以它的互不相邻的四个顶点为顶点的四面体的体积为 .

例10 三棱锥S-ABC中，一条棱长为a，其余棱长均为1，求a为何值时，三棱锥的体积最大，求出最大值.

例11 已知三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1的面积是20cm2，侧棱CC1到这个侧面的距离是5cm，求这个棱柱的体积.

三棱锥体积的应用——求点到平面距离

例12 如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的正三角形，ABCD为矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30角.

（1）求证：EA⊥CD；

（2）求四棱锥E-AFCD的体积；

（3）求二面角E-FC-D的大小；

（4）求点D到平面EFC的距离.

例13 （2010江苏卷16）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

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立体几何复习2

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二、立体几何考查的常见几类问题：

1．判断题：

2．证明问题：

例1 （2008江苏卷16）在四面体ABCD中，BDADCDCB,，且E、F分别是AB、BD的中点，

求证：（1）直线EF//面ACD；

（2）面EFC⊥面BCD.

B

C A F

D E 例2 （2009江苏卷16）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E,F分别是11AB,AC的中点，点D在11BC上，11ADBC.

求证：（1）EF∥ABC平面；

（2）111AFDBBCC平面平面.

3．求值问题： （作—证—求—答）

求角问题：

例3（2010四川理数）（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是 .

解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D

连结AD，则可证AD⊥l，

故∠ADC为二面角l的平面角，为60°

又由已知，∠ABD＝30°

连结CB，则∠ABC为AB与平面所成的角

设AD＝2，则AC＝3，CD＝1

AB＝0sin30AD＝4

∴sin∠ABC＝34ACAB

求面积问题

S直棱柱侧=ch S圆柱侧=cl =2rl

S正棱锥侧=12ch S圆锥侧=12cl =rl

S正棱台侧=1()2cch S圆台侧=1()()2cclrrl

S球面=24R

例4 一三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为8，一条侧棱与底面两边成45角，求这个三棱柱的侧面积.

变式：斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，AA1与AB成45角.

（1）求证：AA1平面A1BC；

（2）求此棱柱的侧面积.

高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)

高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】

题型1：直线、平面平行的判断及性质

【典型例题】

[例1]►(1)如图,在四面体PABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP.

►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,

AB＝6,DC＝3,若M为PA的中点,求证：DM∥平面PBC.

►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF.

[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：

①B,C,H,G四点共面；

②平面EFA1∥平面BCHG.

►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：

①EG∥平面BB1D1D；

②平面BDF∥平面B1D1H.

【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.

2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH.

3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.

4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.

(1)求证：E,B,F,D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.

题型2：直线、平面垂直的判断及性质

【典型例题】

[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,

【通用版】高考数学复习专题模拟_立体几何(2)

【通用版】高考数学复习专题模拟_立体几何(2)

1 立体几何（2）

（2011届·嵊州一中高三期中（文））8.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题

①若mnm,//，则n ②若//,,则mm

③若则,,//,nnmm ④若nmnm//,,,//则

其中正确命题的个数是 ( D )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（2011届•嵊州一中高三期中（文））19．（本题14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，

四边形ABCD是矩形. E、F分别是AB、PD的

中点.若PA=AD=3，CD=6.

（I）求证：AF//平面PCE；

（II）求点F到平面PCE的距离；

（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小.

[来源:学科网ZXXK]

答案：解法一：

（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，

则 FG//CD21.

又由已知有.//,21//AEFGCDAE

∴四边形AEGF是平行四边形.

.//EGAF

AF又 平面PCE，EG.PCE平面

PCEAF平面// …………5分

（II）,ABCDPA平面[来源:]

=

= =

2 ,//.,.,,3...AFEGPCDAFDCDPDPDAFPDFADPACDAFPADCDADCDABCDABCDPAD由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面[来源:学科网]

.,,,.的距离到平面的长就是点则平面由于平面于作过内平面平面PCEFFHPCPCEPCDHPCFHFPCDPCDEG

…………8分

.24321.30,.62,223,23PFFHCPDPADCDPCPFDP平面由于由已知可得[来源:学.科.网]

【精品复习】立体几何篇-第2讲 空间几何体的表面积与体积

【精品复习】立体几何篇-第2讲 空间几何体的表面积与体积

第2讲 空间几何体的表面积与体积

【2014年高考会这样考】

考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．

【复习指导】

本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．

基础梳理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面 积 体 积

圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h

圆锥 S侧＝πrl V＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2

圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h

直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh

正棱锥 S侧＝12Ch′ V＝13Sh

正棱台 S侧＝12(C＋C′)h′ V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球 S球面＝4πR2 V＝43πR3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

两种方法

(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．

(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．