济南市高三质量调研理科数学考试分析

山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.123.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.2554.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24- B.3- C.3D.85.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.497.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z= D.2320240z z z z ++++= 10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为411.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积263PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，12AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e x g x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.山东省实验中学2024届高三调研考试数学试题2024.2说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}{}21,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（）A.0B.0或2C.0或2- D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】根据B A ⊆，可得24x =或22x x =，结合集合元素性质分别求解即可.【详解】由B A ⊆得24x =或22x x =，即0x =或2x =或2x =-，当0x =时，{}{}1,4,0,1,0A B ==，符合题意；当2x =时，{}{}1,4,4,1,4A B ==，不符合元素的互异性，舍去；当2x =-时，{}{}1,4,4,1,4A B =-=，符合题意；综上，0x =或2x =-.故选：C .2.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可.【详解】因为22nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即10n =.故选：B3.已知向量()()1,3,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.1717C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】因为()()1,3,2,2a b ==，所以()()3,5,1,1a b a b +=-=-，所以()()·cos ,17a b a b a b a b a b a b+-+-==+-.故选：B.4.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A.24-B.3- C.3D.8【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，由236,,a a a 成等比数列求出d ，代入6S 可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差()0d d ≠，∵等差数列{}n a 的首项为1，236,,a a a 成等比数列，∴2326a a a =⋅，∴()()()211125+=++a d a d a d ，且11a =，0d ≠，解得2d =-，∴{}n a 前6项的和为61656566122422（）⨯⨯=+=⨯+-=-S a d .故选：A.5.要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位 D.向右平移12π个单位【答案】A 【解析】【分析】先用诱导公式把正弦型函数化为余弦型函数，然后根据图象的平移变换的解析式的特征变化，得到答案.【详解】sin 2sin 2cos 2cos[2(326612y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此该函数图象向左平移12π个单位，得到函数cos 2y x =的图象，故本题选A.【点睛】本题考查了已知变化前后的函数解析式，求变换过程的问题，考查了余弦函数图象变换特点.6.在三棱锥-P ABC 中，点M,N 分别在棱PC,PB 上，且13PM PC =，23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（）A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.先证NN '⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ''，再证//MM CC ''.由三角形相似得到13MM CC ''=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V ----=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.因为BB '⊥平面PAC ，BB '⊂平面PBB '，所以平面PBB '⊥平面PAC .又因为平面PBB ' 平面PAC PB '=，NN PB ''⊥，NN '⊂平面PBB '，所以NN '⊥平面PAC ，且//BB NN ''.在PCC '△中，因为,MM PA CC PA ''⊥⊥，所以//MM CC ''，所以13PM MM PC CC '=='，在PBB '△中，因为//BB NN ''，所以23PN NN PB BB '=='，所以11123231119332PAM P AMN N PAMP ABC B PACPAC PA MM NN S NN V V V V S BB PA CC BB ----⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.故选：B7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a=+，则c =（）x3467z22.54.57A.-2B.-1C.2e -D.1e -【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，求得5,4x z ==，进而代入回归方程可求得ˆ2a=-，从而得出ˆ 1.22zx =-，联立ln z y =，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，346754x +++==，2 2.5 4.5744z +++==，所以，有ˆ4 1.25a =⨯+，解得ˆ2a =-，所以，ˆ 1.22zx =-，由ln z y =，得ln 1.22y x =-，所以， 1.222 1.2e e e x x y --==⋅，则2e c -=.故选：C .8.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9mn mn+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3B.4C.D.2【答案】D【解析】【分析】由题意9mn mn+利用均值定理可得3mn =，再利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】设(,0),(,0),(,),(,)A a B a C x y D x y --，则ACy m k x a ==+，BD y n k x a -==-，所以222y mn x a-=-，将曲线方程22222x a y a b -=代入得22b mn a=-，又由均值定理得996mn mn mn mn +=+≥，当且仅当9mn mn =，即223bmn a==时等号成立，所以离心率2e ==，故选：D.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）A.1i 22z =-+ B.1z =C.2z z = D.2320240z z z z ++++= 【答案】BC【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，代入题干方程求解判断A ，求复数的模判断B ，根据复数乘方运算及共轭复数的定义判断C ，利用复数的周期性求和判断D.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，由210z z ++=得()()2i i 10a b a b ++++=，即()()2212i 0a b a ab b -++++=，所以221020a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1i 22z =-+或122z =--，故选项A 错误；由13i 22z =-+，所以1z ==，由122z =--，所以1z ==，故选项B 正确；当13i 22z =-+时，所以2211i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =--，所以2z z =，当122z =--时，所以221313i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，13i 22z =-+，所以2z z =，故选项C 正确；因为321(1)(1)0z z z z -=-++=，所以31z =，所以()()()2320242345620202021202220232024z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+++++++++++ ()()()232201722111z z z z z z z z z z =+++++++++++ ()00011=++++-=- ，故选项D 错误.故选：BC10.过线段()404x y x +=≤≤上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B.四边形PAOB 面积的最小值为4C.AB 的最小值为D.OM ON +的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】设(),4P a a -，则可求AB 的方程为(4)40ax a y +--=.结合,,,O A P B 四点共圆可判断A 的正误，求出OP 的最小值后可判断B 的正误，求出AB 所过的定点后可判断C 的正误，结合AB 的方程可求OM ON +，利用二次函数的性质可求其最小值，故可判断D 的正误.【详解】设(),4P a a -，因为AB 与,x y 轴均相交，故04a <<，连接,OA OB ，设线段:4(04)l x y x +=<<，则,,,O A P B 四点共圆，且此圆以OP 为直径，而以OP 为直径的圆的方程为：()()40x x a y y a -+-+=，整理得到：22(4)0x y ax a y +---=，故AB 的方程为：4(4)0ax a y ---=，整理得到：(4)40ax a y +--=.对于A ，若O 在以线段AB 为直径的圆上，则90AOB ∠=︒，由,,,O A P B 四点共圆可得90APB ∠=︒，而90∠=∠=︒PAO PBO ，2AO BO ==，故四边形OAPB 为正方形，故OP =，但P 为动点且OP 长度变化，故O 不恒在以线段AB 为直径的圆上，故A 错误.对于B ，四边形PAOB 面积为122S OA AP =⨯⨯⨯=而PO ≥=，当且仅当OP ⊥l 即()2,2P 时等号成立，故S 的最小值为4，故B 成立.对于C ，因为AB 的方程为：(4)40ax a y +--=，整理得到：()440a x y y -+-=，令0440x y y -=⎧⎨-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，故AB 过定点()1,1Q ，设O 到AB 的距离为d ，则d OQ ≤=故AB =≥，当且仅当d =OQ AB ⊥时等号成立，故AB 的最小值为，故C 成立.对于D ，由AB 的方程为(4)40ax a y +--=可得44,0,0,4M N a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故()24416,04424OM ON a a a a +=+=<<---+，而20(2)44a <--+≤，故4OM ON +≥，当且仅当2a =等号成立，故OM ON +的最小值为4，故D 成立.故选：BCD .11.已知函数())ln1f x x =+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数B.()y f x =的图象关于()0,1对称C.()f x 的值域是()0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，先求原函数的导函数，再判断其导函数的符号即可；选项B ，取譬如“点(1,(1))f --和点(1,(1))f ”的特殊值判断即可；选项C ，||x x >=≥，11x +>，进而判断即可；选线D ，先构造函数()()()F x f x f x mx =---，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值，即可判断.【详解】已知函数())ln 1f x x =+，||x x >=≥0x ->，故函数()f x 的定义域为R ，对于选项A ，函数()f x 的导函数为：()f x '=，0x ->，得()0f x '<，所以()f x 在其定义域上是单调递减函数，选项A 正确；对于选项B ，取特值：(1)ln f =(1)2)f -=+，且(1)(1)ln 2ln(22)ln(222)1222f f +-++==≠，即函数图象上存在点(1,(1))f --和点(1,(1))f 不关于()0,1对称，选项B 错误；对于选项C 0x ->11x -+>，得())ln1ln10f x x =-+>=，当x →+∞111x -+=+→，当x →-∞1x -+→+∞，同时()f x 在其定义域上是单调递减函数，故()f x 的值域是()0,∞+选项C 正确；对于选项D ，定义()()()F x f x f x mx =---，0x >，则))()ln1ln1F x x x mx =-+-++-，)()ln 1ln1F x x mx ⎛⎫=-++-⎪⎭，)()ln ln1F x x mx ⎛⎫=-+-，故)()lnF x x mx =-+-，其导函数()F x m m'==-，若,()0x ∈+∞，()()f x f x mx --≥恒成立，即函数()0F x ≥恒成立，由于(0)0F =，则(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即(0)10F m '=--≥，得1m ≤-，当1m =-时，)()lnG x x x =-++，,()0x ∈+∞()1G x '=+，由于,()0x ∈+∞，则1>1<，()10G x '=+>，所以函数()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，且(0)ln100G =-+=，则,()0x ∈+∞时，()0G x >恒成立，同时,()0x ∈+∞，由于1m ≤-，mx x -≥则))()lnln()0F x x mx x x G x =--≥-++=>，显然()0F x >恒成立，,()0x ∈+∞时，()()f x f x mx --≥恒成立，则m 的最大值为1-正确；选项D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是转化为(0)0F '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，从而得到1m ≤-，最后验证得到1m =-时符合题意即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X 服从二项分布B～（n，p），若E （X）=30，D （X）=20，则P=__________．【答案】13【解析】【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22143x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，写出直线l 的方程，求出||4AB =，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立抛物线的方程，由12||8AB x x p =+=+，求出k ，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出PAB 的面积．【详解】由22143x y +=的右焦点为()1,0，所以抛物线的焦点为(1,0)F ，故12p=，则2p =，因此抛物线24y x =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，代入抛物线的方程，得2y =±，所以(1,2)A ，(1,2)B -，所以||4AB =，不合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=，所以221212222444||2822p p k k AB x x x x p k k ++=+++=++=+==，所以1k =±，由对称性不妨设1k =，则45AFx ∠=︒，因为ABN ∠和BAM ∠的平分线相交于点P ，//AM BN ，所以PA PB ⊥，45ABN ∠=︒，22.5ABP ∠=︒，所以在Rt ABP 中，sin 22.58sin 22.5AP AB =︒=︒，cos 22.58cos 22.5BP AB =︒=︒，所以18sin 22.58cos 22.52ABP S =⋅︒⋅︒ 32sin 22.58cos 22.516sin 45=︒︒=︒=，故答案为：14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积3PMN S =△，则点P 的轨迹长度为___________.【答案】263π【解析】【分析】由题意求出P 到MN 的距离，又易证1BD ⊥面1AB C ，进而得到P 点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，因为1AB C V 3<，所以该圆一部分位于三角形外，作出图形即可求解．【详解】因为正方体的棱长为16BD =，所以123BD MN ==，设P 到MN 的距离为d ，由1||2PMN S d MN ==263d =，11A D ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴111A D AB ⊥，又11AB A B ⊥，1111A D A B A = ，∴1AB ⊥平面11A D B ，11BD AB ∴⊥，同理可证1BD AC ⊥，又1AB AC A = ，1BD ∴⊥面1AB C ，P ∴点在1AB C V 所在平面的轨迹是以263为半径的圆，1AB C V内切圆的半径为123=，∴该圆一部分位于三角形外，如图有22226(2)()3x +=，解得63x =，∴6HOB π∠=，∴圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，∴1262622l π=⋅⋅，故答案为：263π.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP θθ∠=∈.（1）当2π3θ=时，求APM △的面积；（2）试确定θ的值，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.【答案】（1）6（2）π2θ=【解析】【分析】（1）过点P 作PQ AM ⊥，利用圆的性质求得PQ ，代入面积公式直接求解即可；（2）设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角公式化简求解即可.【小问1详解】过点P 作PQ AM ⊥交AM 于点Q ，如图：因为圆O 的半径为2，由题意π2π22sin 22cos 22cos 323PQ θθ⎛⎫=+-=-=-= ⎪⎝⎭，又4AM =，所以APM △的面积为14362⨯⨯=.【小问2详解】连接AP ，设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，又1122sin 2sin 2S θθ=⨯⨯⨯=，()()211421cos 41cos 22S AM PQ θθ=⋅=⨯⨯⨯-=-，由题意212S S =，所以()41cos 4sin θθ-=，即sin cos 1θθ+=，所以π2sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πθ∈，所以ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3π44θ+=，所以π2θ=，所以当π2θ=时，使得APM △的面积等于AOP 的面积的2倍.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）63【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得1//DF BC ，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）由122AA AC CB AB ===，可设：AB=2a ，可得AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，分别以直线1,,CA CB CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，利用向量垂直数量积为零列方程分别求出平面1A CD 的法向量、平面1A CE 的一个法向量，再由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（Ⅰ）如图，连结1AC ，交1AC 于点F ，连结DF ，因为D 是AB 的中点，所以在1ABC 中，DF 是中位线，所以1DF / / BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ；（Ⅱ）因为2AC CB AB ==，所以90ACB ︒∠=，即ACBC ⊥，则以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA =AC=CB=2，则1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)C D E A ，则1(1,1,0),(0,2,1),(2,0,2)CD CE CA ===，设()111,,m x y z =r是平面1DA C 的一个法向量，则，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111,1=-=-y z ,则(1,1,1)n =--同理可得平面1EA C 的一个法向量，则(2,1,2)n =-，所以，3cos ,3m n 〈〉=，所以sin ,3m n 〈〉=，即二面角D AC E --的正弦值为.63【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）815（2）分布列见解析，169【解析】【分析】（1）根据超几何分布概率公式求解即可；（2）根据超几何分布概率公式求得分布列，进而求得数学期望即可.【小问1详解】由题意可知当比赛使用1个新球，1个旧球时，盒中恰有3个新球，使用一局比赛后盒中恰有3个新球的概率112642C C 8C 15P ==.【小问2详解】由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,4，()22422266C C 60C C 225P X ==⋅=，()22111134424222226666C C C C C C 721+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()1122112233444224222222666666C C C C C C C C 1142++C C C C C C 225P X ==⋅⋅⋅=，()22111132424222226666C C C C C C 323+C C C C 225P X ==⋅⋅=，()22222266C C 14C C 225P X ==⋅=，所以X 的分布列为X01234P622572225114225322251225()67211432116012342252252252252259E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知函数()()21ln ,,2f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e xg x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.【答案】（1）答案见解析（2）①(){},0e -∞ ；②证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()2x a f x x='-，根据导数与函数单调性间的关系，对a 分类讨论，即可得出结果；（2）①法一：直接对a 进行分类讨论，利用（1）的结果，即可得出结果；法二：分离常量得到21ln 2x a x=，构造函数()2ln xx x ϕ=，将问题转化成函数图象交点个数来解决问题；②构造函数()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，从而将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，即可证明结果.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2a x af x x x x='-=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，令()0f x '>得x >()0f x '<得0x <<；此时()f x 单调递减区间为(；单调递增区间为)∞+，综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间，当0a >时，()f x 单调递减区间为(，单调递增区间为)∞+.【小问2详解】①法一；当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；当a<0时，由（1）知函数()f x 在()0,∞+单调递增，因为()()2211ln 122f x x a x x a x =-<--，取0m a =>，则()21((1)(3)02f m a a a a a <+-+-=++<，又()1102f =>，故存在唯一()0,1x m ∈，使得()00f x =，符合题意；当0a >时，由（1）可知，()f x 有唯一零点只需0f =，即ln 022a aa -=，解得e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.法二：当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；由()0f x =，得到21ln 2x a x =，令()2ln x x x ϕ=，则()312ln xx x ϕ-'=，当(x ∈时，()0x ϕ'>，则()x ϕ在区间(单调递增，当)x ∞∈+时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在区间)∞+单调递减，又lim ()0x x ϕ→+∞=，()0lim x x ϕ∞+→=-，所以102a <或1122ea ϕ==，即a<0或e a =，综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.②由①得出e a =，令()1e 2e (0)2xh x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()()1e 2e xh x x '=+-，令()()1e 2e xg x x =+-，则()()2e 0xg x x =+>'恒成立，所以()h x '单调递增，又()10h '=，故当()0,1x ∈时，()0h x '<，则()h x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0h x '>，则()h x 在区间()1,∞+上单调递增；故()()10h x h ≥=，所以()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，要证()()4g x f x >'+，只需证明()1e2e 442x f x x x⎛⎫->+=-⎪'+ ⎝⎭，即证()()22e 1e 4e 0x x --++>，由22229595Δ12e 167e 12e e 16e e 12e 16e 2222⎛⎫=+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭95e 12 2.7167.2022⎛⎫<-⨯+-⨯< ⎪⎝⎭，所以()()22e 1e 4e 0x x --++>成立，故不等式得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②，构造函数()1e 2e (0)2x h x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，通过求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到()h x 的最小值，从而得出()1e 2e 2xg x x x ⎛⎫=≥-⎪⎝⎭，通过放缩，将问题转化成证明()()22e 1e 4e 0x x --++>，从而解决问题.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

济南市高三质量调研理科数学试卷分析一、试卷的整体情况本次数学调研试卷，相比往年难度有所下降，试题一改前几年的情况，小题基本没有设卡，难度较小，大题前三个题都比较常规化，难度也不大，区分度也较小。

19题考查了古典概型和几何概型，把向量的数量积、夹角，线性规划有机融合在一起，是试卷的创新之处和点睛之笔；20题（2）难度较大，用综合法比较困难，把难题放在中间可以有效地考验学生的心理素质，21题较容易。

22（2）难度很大，只有及少数考生能动笔。

从试卷结构、考点的设置到试题的编制很好地体现了在知识网络的交汇点处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内命题的原则。

多视点、多角度、多层次地考查了考生的数学素养和潜能。

试题容入了新课程理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新、又朴实无华，2011年高考备考指明了方向。

本次数学试题,意在检测学生一轮复习效果,检测学生对基础知识、基本技能、基本方法和数学思想掌握的情况，检测学生灵活运用数学知识的能力和识别数学符号、阅读理解数学语言的能力，检查学生的运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、分析问题解决问题的能力。

在这一思想的指导下，试题的命题特点注重基础，重通性、通法，重视对数学思想和方法的考查，重视考查学生的数学基本功和数学素质。

试卷在整体上的难度比较平缓，前面19道注重基础，第20、22道有一定的难度，特别是19题很有新意，考查学生对信息的分析处理能力；解答题的设计既重基础又注重考查学生的各种能力，区分度明显。

二．答卷情况分析1、选择题1、客观题（选择题）答对率=（答对人数÷抽样人数）×100%2、填空。

最高16分，最低零分。

平均8分左右。

13题正答率最高，少数写成（0，1/8）,14题正答率也较高，16题错的较多，需要较高的运算能力。

3、解答题17题平均得分为9分，本题主要考察三角函数基本关系式，tanθ=sinθ/cosθ的灵活应用，但cosθ的正负号有误，不能灵活运用tanθ的变式。

2024年1月济南市高三期末学习质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}15M x x =≤<，{}22N x x x =-<，则M N ⋂=（）A.{}12x x -<< B.{}15x x -<< C.{}12x x ≤< D.{}15x x ≤<2.若1i2iz +=+，则其共轭复数z =（）A.11i 33+ B.11i 33- C.31i 55+ D.31i 55-3.已知曲线ln y x =与曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在交点()1,0处有相同的切线，则=a （）A.1B.12C.12-D.1-4.已知直线l 经过点()2,4，则“直线l 的斜率为1-”是“直线l 与圆C ：()()22132x y -+-=相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.平行四边形ABCD 中，3AB =，4=AD ，π3BAD ∠=，若BE EC = ，2CF FD = ，则⋅= AE AF （）A.4B.6C.18D.226.已知π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.725B.1225C.725-D.1225-7.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，且点O 到直线AB，则OAB 的面积为（）A.B. C. D.8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，且2ππ2cos sin 22n n n n a a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则2024S =（）A.202431011- B.202431011+ C.101231011- D.101231011+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数a 、b 满足a b <，则（）A.22a b <B.33a b <C.11b a< D.sin sin a a b b-<-10.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x y f x f y +=++，()10f =，则（）A.()01f =-B.()f x 有最小值C.()20242023f = D.()1f x +是奇函数11.在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A.甲组中位数为3，极差为4B.乙组平均数为2，众数为2C.丙组平均数为3，方差为2D.丁组平均数为3，第65百分位数为612.如图，ABC 中，4AB BC ==，AB BC ⊥，M 是AB 中点，N 是AC 边上靠近A 的四等分点，将AMN 沿着MN 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P BCNM -，则（）A.记平面PBC 与平面PMN 的交线为l ，则//l 平面BCNMB.记直线PM 和BC 与平面PNC 所成的角分别为α，β，则αβ=C.存在某个点P ，满足平面PBC⊥平面PNMD.四棱锥P BCNM -外接球表面积的最小值为20π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，则该棱锥的体积为____________．14.已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期不小于π，且()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为____________．15.2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有____________种．（用数字作答）16.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥ ，1F AB 的内切圆半径212r F B =，则C 的离心率为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a =，2239b c c =++．（1）求B ，（2）ABC ∠的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，求b ．18.如图，四棱锥P -ABCD 中，AD BC ∥，BC CD ⊥，22BC CD AD ===，平面ABCD ⊥平面PAC ．（1）证明：PC AB ⊥；（2）若2PA PC AC ==，M 是PA 的中点，求平面MBC 与平面PAC 夹角的余弦值．19.将数列{}n a 中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a ……记表中的第一列数1a ，2a ，4a ，8a ，…构成的数列为{}n b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足21n n S =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k （3k ≥）行所有项的和k T ．20.以“智联世界，生成未来”主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：年龄（岁）[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70频数2416152520持支持态度2013121510（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关；年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度不持支持态度总计（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上（含50岁）的人中随机抽取3人，记为3人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()1,0F 的距离与到直线4x =的距离之比为12．（1）求动点M 轨迹W 的方程；（2）过点F 的两条直线分别交W 于A ，B 两点和C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ．设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，且12111k k +=，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22.已知函数()31ln 222f ax x x xx =--+．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围；（3）对于任意*n ∈N ，证明：()11111ln 2421224n n n n n ⎛⎫<-+++<⎪+++⎝⎭．2024年1月济南市高三期末学习质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}15M x x =≤<，{}22N x x x =-<，则M N ⋂=（）A.{}12x x -<< B.{}15x x -<< C.{}12x x ≤< D.{}15x x ≤<【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由22x x -<，得()()210x x -+<，解得12x -<<，所以{}12N x x =-<<.所以{}{}{}151212M N x x x x x x ⋂=≤<⋂-<<=≤<.故选：C.2.若1i2iz +=+，则其共轭复数z =（）A.11i 33+ B.11i 33- C.31i 55+ D.31i 55-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到31i 55z =+，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-，所以31i 55z =-.故选：D.3.已知曲线ln y x =与曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在交点()1,0处有相同的切线，则=a （）A.1B.12C.12-D.1-【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解.【详解】由题知曲线ln y x =和曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在交点()1,0处有相同的切线，即斜率k 相等，所以对于曲线ln y x =，求导得1y x'=，所以在点处的切线斜率为1k =，对于曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求导得211y a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，所以21111a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12a =，故B 正确.故选：B.4.已知直线l 经过点()2,4，则“直线l 的斜率为1-”是“直线l 与圆C ：()()22132x y -+-=相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题求得过()2,4且与圆C 相切的直线方程，即可判断命题关系【详解】由题，圆C 是圆心为()1,3的圆，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合；当直线l 的斜率存在时，设直线为()42y k x -=-，化为一般式即240kx y k --+=，则圆心到直线距离为d ==1k =-,所以“直线l 的斜率为1-”是“直线l 与圆C 相切”的充要条件,故选：C.5.平行四边形ABCD 中，3AB =，4=AD ，π3BAD ∠=，若BE EC = ，2CF FD = ，则⋅= AE AF （）A.4B.6C.18D.22【答案】C【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意可知，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示因为33,4,πBAD AB AD ∠===，所以()()((0,0,3,0,5,,2,A B C D .设(),E x y，则()()3,,5BE x y EC x y =-=-，由BE EC =，得()()3,5x y x y -=-，即35x x y y -=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以(E .设()11,F x y，则(()11115,,2CF x y FD x y =--=-，由2CF FD =，得(()()1111115,22422x y x y x y --=-=-，即11115422x x y y -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以(F .所以((3,,AE AF ==，((3,4318AE AF ⋅=⨯==⋅.故选：C.6.已知π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.725B.1225C.725-D.1225-【答案】A 【解析】【分析】根据222πsin cos αα⎛⎫=-+⎪⎝⎭，结合二倍角公式和诱导公式即可求解.【详解】因为π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22ππ47cos 212sin 1224525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π7sin 2cos 2225αα⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，故选：A.7.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，且点O 到直线AB，则OAB 的面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设直线AB 的方程为2x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，根据点O 到直线AB 的距离求出m ，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再根据弦长公式求出AB ，进而可得出答案.【详解】由题意()2,0F ，可设直线AB 的方程为2x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，=21m =，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，消x 得28160y my --=，264640m ∆=+>，则12128,16y y m y y +==-，所以AB =16===，所以OAB的面积为1162⨯=.故选：B .8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，且2ππ2cossin 22n nn n a a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则2024S =（）A.202431011-B.202431011+C.101231011- D.101231011+【答案】D 【解析】【分析】对于数列递推式，分别令2,N n k k *=∈，推出数列{}n a 的所有偶数项构成等比数列，令21,N n k k *=-∈，推出奇数项均为1，再结合分组求和，即可求得答案.【详解】令2,N n k k *=∈，则2222π2π2cossin 22k kk k a a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2223k k a a +=，即数列{}n a 的所有偶数项构成首项为22a =，公比为3的等比数列，令21,N n k k *=-∈，则2121(21)π(21)π2cossin 22k k k k a a -+⎛-⎫-=+- ⎪⎝⎭，即221121k k a a -+=-，由于11a =，则235111,11,2,21k a a a --=-==== ，故1220242421202024322403()()a a a a a a a a a S =+++=+++++++ 101210122(13)10123101113-=+=+-，故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据数列递推式，依次令2,N n k k *=∈和令21,N n k k *=-∈，推出数列的奇偶项的规律，从而结合分组求和法以及等比数列前n 项和公式，求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数a 、b 满足a b <，则（）A.22a b <B.33a b <C.11b a< D.sin sin a a b b-<-【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC 选项；利用函数()3f x x =的单调性可判断B 选项；利用函数()sin g x x x =-的单调性可判断D 选项.【详解】因为实数a 、b 满足a b <，对于A 选项，取1a =-，0b =，则22a b >，A 错；对于B 选项，对于函数()3f x x =，该函数的定义域为R ，()230f x x '=≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()3f x x =在R 上为增函数，因为a b <，则()()f a f b <，则33a b <，B 对；对于C 选项，取1a =-，1b =，则11a b<，C 错；对于D 选项，对于函数()sin g x x x =-，该函数的定义域为R ，()1cos 0g x x '=-≥，当且仅当()2πx k k =∈Z 时，等号成立，所以，函数()sin g x x x =-在R 上为增函数，因为a b <，则()()g a g b <，即sin sin a a b b -<-，D 对.故选：BD.10.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x y f x f y +=++，()10f =，则（）A.()01f =- B.()f x 有最小值C.()20242023f = D.()1f x +是奇函数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，利用抽象函数的的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()01f =-，所以A 正确；对于B 中，令121,x x y x x ==-，且22x x <，则()()()1211211f x x x f x f x x +-=+-+，可得()()()21211f x f x f x x -=-+，若0x >时，()1f x >-时，()()210f x f x ->，此时函数()f x 为单调递增函数；若0x >时，()1f x <-时，()()210f x f x -<，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定由最小值，所以B 错误；对于C 中，令1y =，可得()()()()1111f x f x f f x +=++=+，即()()11f x f x +-=，所以()()211f f -=，()()321f f -=，L ，()()202420231f f -=，各式相加得()()202412023f f -=，所以()()2024120232023f f =+=，所以C 正确；令1,1x y =-=，可得()()()0111f f f =-++，可得()12f -=-，所以B 正确；对于D 中，令y x =-，可得()()()01f f x f x =+-+，可得()()110f x f x -+--=，即()()11f x f x --=-+，所以函数()1f x +是奇函数，所以D 正确；故选：ACD.11.在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A.甲组中位数为3，极差为4B.乙组平均数为2，众数为2C.丙组平均数为3，方差为2D.丁组平均数为3，第65百分位数为6【答案】AC【解析】【分析】A 选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾，A 正确；C 选项，根据方差得到()()()222121033320x x x -+-++-= ，若有选手失8分，则有()2832520-=>，矛盾，故C 正确；BD 选项，可举出反例.【详解】A 选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为4，得到最低失分为4分，此时中位数不可能为3，故假设不成立，则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，A 正确；B 选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B 错误；C 选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为1210,,,x x x ，丙组平均数为3，方差为2，即()()()222121033320x x x -+-++-= ，若108x =，则()21032520x -=>，不合要求，故107x ≤，所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，C 正确；D 选项，006510 6.5⨯=，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数，即从小到大第7个数为6，假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,6,6,6,12，满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，D 错误.故选：AC12.如图，ABC 中，4AB BC ==，AB BC ⊥，M 是AB 中点，N 是AC 边上靠近A 的四等分点，将AMN 沿着MN 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P BCNM -，则（）A.记平面PBC 与平面PMN 的交线为l ，则//l 平面BCNMB.记直线PM 和BC 与平面PNC 所成的角分别为α，β，则αβ=C.存在某个点P ，满足平面PBC ⊥平面PNMD.四棱锥P BCNM -外接球表面积的最小值为20π【答案】BCD【解析】【分析】对A ：找到过点P 且与平面BCNM 平行的线，由l 过点P 且不为该支线，即可得l 不平行于平面BCNM ；对B ：结合线面角定义，找到PM 与BC 在平面PNC 上的投影即可得；对C ：当PC PN ^时，可得结论，即证存在点P ，能使PC PN ^，结合折叠时的角度范围即可得；对D ：找出底面BCNM 的外接圆圆心，易得该点为四棱锥P BCNM -外接球球心时有最小半径，即可得最小的外接球表面积.【详解】对A ：连接点B 与AC 中点D ，连接PD ，由题意可得N 为AD 中点，M 是AB 中点，故//MN BD ，又MN ⊂平面PMN 、BD ⊄平面PMN ，故//BD 平面PMN ，设直线l '=平面PMN 平面PBD ，由BD ⊂平面PBD ，则//D l B '，又l '⊄平面BCNM 、BD ⊂平面BCNM ，故//l '平面BCNM ，又l l P '= ，故l 不平行于平面BCNM ，故A 错误；对B ：连接AP ，由AB BC =，D 为AC 中点，故BD AC ⊥，又//MN BD ，故MN AC ⊥，故MN PN ⊥，又AC PN N = ，AC 、PN ⊂平面PNC ，故MN ⊥平面PNC ，又//MN BD ，故BD ⊥平面PNC ，故PM 在平面PNC 上的投影为PN ，BC 在平面PNC 上的投影为BD ，即MPN α=Ð，BCD β=Ð，由AB BC ⊥，AB BC =，故ABC 为等腰直角三角形，有45BCD β=∠=︒，45MPN MAN α=Ð=Ð=°，故αβ=，故B 正确；对C ：由MN ⊥平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，故MN PC ⊥，则当PC PN ^时，又PN 、MN ⊂平面PNM ，PN MN N = ，故有PC ⊥平面PNM ，又PC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PNM ，即需PC PN ^，由题意可得AC ==1144PN NA AC ===⨯，NC ==即当1cos3PNC ∠==时，有PC PN ^，由0180PNC ︒<∠<︒，故存在点P ，使PC PN ^，故C 正确；对D ：由AB BC ⊥，故90ABC ∠=︒，由MN AC ⊥，故90MNC ∠=︒，即四边形BCNM 四点共圆，连接MC ，MC 为该圆直径，故四棱锥P BCNM -外接球球心必在过MC 中点，且垂直平面BCNM 的直线上，则当球心在MC 中点时，四棱锥P BCNM -外接球半径最小，此时MC 中点到点P 的距离等于MC 一半，故PC PM ⊥，由1cos3PNC ∠==，有PC ⊥平面PNM ，又PM ⊂平面PNM ，故PC PM ⊥，故球心可在MC 中点，由M 是AB 中点，故122BM AB ==，则MC ==，则半径为2MC r ==224420r πππ=⨯=，即四棱锥P BCNM -外接球表面积的最小值为20π，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题D 选项关键在于如何找到球心，找棱锥外接球球心时，可先找底面外接圆圆心，则外接球球心必在过该点且垂直底面的直线上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，则该棱锥的体积为____________．【答案】423【解析】2，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积．【详解】P 在平面ABCD 上的投影是H ，因为是正四棱锥，所以H 是正方形ABCD 对角线的交点，连结PH ，2212222AH =+=22422PH PA AH =-=-=，所以=4ABCD S 正方形，于是142=42=33P ABCD V -⋅四棱锥.故答案为：423.14.已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期不小于π，且()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为____________．【答案】1【解析】【分析】根据()f x 的最小正周期不小于π，得到02ω<≤，再根据x ∀∈R ，()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，得到()f x 的最大值为π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求出ω的值.【详解】因为函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期不小于π，所以πT ≥，即2ππω≥，解得：02ω<≤，因为()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，故()f x 的最大值为π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以πππ2π,Z 442k k ω+=+∈，所以18,Z k k ω=+∈，因为02ω<≤，当0k =时，1ω=.故答案为：1.15.2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有____________种．（用数字作答）【答案】6【解析】【分析】设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,,A B C ,可得其组合形式为,,AB AC BC ,把它分配给三人即可得结果.【详解】根据题意，设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,,A B C ,则可得其组合形式为,,AB AC BC ,故第一个好友具有3种，第二个好友具有2种，第三个好友只有1种，即每个好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案为：3216⨯⨯=种.故答案为：616.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥ ，1F AB 的内切圆半径212r F B =，则C 的离心率为____________．【答案】3【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数型结合，分别设2AF m =，2BF n =利用双曲线的定义并结合相关的几何关系求出223b a =，从而求解.【详解】由题意作出图形，设2AF m =，则12AF m a =+，2BF n =，则12BF n a =+，由三角形1F AB 的内切圆半径为2122n r F B ==，又因为1AF AB ⊥ ，所以12π2F AF ∠=，所以()()()1112222m a m n AF ABn r AF AB BF m n a ++⨯===++++，化简得222m am n +=①在12Rt F AF 中，()()()2221212AF AF F F +=，即()()22222244m a m c a b ++==+，化简得2222m ma b +=②，由①②可得n =，在1Rt F AB 中，()()()22211AF AB BF +=，即()()()22222m a m n n a +++=+，化简得222m ma mn na ++=③，由②③可得2m a =，所以()()()2222424a a a b -+-=+，化简得()40a a -=，解得223b a =，所以离心率173c e a ====.【点睛】方法点睛：根据双曲线定义及几何条件，设2AF m =，2BF n =，分别利用在12Rt F AF 和1Rt F AB 建立关于,m n 的关系，再结合1F AB ∆的内切圆半径2122n r F B ==，从而求出,a b 的关系式，从而求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a =，2239b c c =++．（1）求B ，（2）ABC ∠的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，求b ．【答案】（1）2π3B =（2）37b =【解析】【分析】（1）根据已知条件和余弦定理可得结果，（2）根据等面积求出6c =，由余弦定理可得结果.【小问1详解】因为3a =，2239b c c =++，所以2221cos 22a c b B ac +-==-，又0πB <<，所以2π3B =．【小问2详解】因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即()11sin sin 22ac ABC BD ABD a c ∠=⋅∠⋅+，又3a =，2BD =，解得6c =，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 936236632b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则b =18.如图，四棱锥P -ABCD 中，AD BC ∥，BC CD ⊥，22BC CD AD ===，平面ABCD ⊥平面PAC ．（1）证明：PC AB ⊥；（2）若2PA PC AC ==，M 是PA 的中点，求平面MBC 与平面PAC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21717【解析】【分析】（1）通过证明AB ⊥平面PAC 来证得PC AB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面MBC 与平面PAC 夹角的余弦值.【小问1详解】取BC 中点N ，连接AN ，则CN AD CD ===，又//AD CN ，BC CD ⊥，所以四边形ANCD 为正方形，则90ANB ANC ∠=∠=︒，45NAC ∠=︒，又在ANB 中，AN BN ==则π4BAN ∠=，所以，π2BAC ∠=，即AB AC ⊥．又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ⋂平面PAC AC =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂面PAC ，所以PC AB ⊥．【小问2详解】连接DN ，交AC 于O ，连OP ，由于//,AD BN AD BN =，所以四边形ABND 是平行四边形，所以ON AB ．因为AB ⊥平面PAC ，所以ON ⊥平面PAC ，,OP OC ⊂平面PAC ，所以,ON OP ON OC ⊥⊥，因为PA PC =，所以OP AC ⊥，所以,,ON OC OP 两两垂直，以O 为原点，ON ，OC ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则平面PAC 的一个法向量是()1,0,0m = ，又()0,1,0C ，()2,1,0B -，10,,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，()2,2,0CB =- ，30,,12CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设(),,n x y z =是平面MBC 的法向量，则22003002x y n CB y z n CM ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩，令2x =，可得()2,2,3n = ，所以217cos ,17m n <>==，所以，平面MBC 与平面PAC 夹角的余弦值为21717.19.将数列{}n a 中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a ……记表中的第一列数1a ，2a ，4a ，8a ，…构成的数列为{}n b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足21n n S =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k （3k ≥）行所有项的和k T ．【答案】（1）12n n b -=（2）21122k k k T --=-【解析】【分析】（1）由当2n ≥时，1n n n b S S -=-，求出n b ，再验证1S 是否满足n b ；（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k （3k ≥）行有12k -项，表示出k T ，求解即可.【小问1详解】当2n ≥时，()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=．1n =时，1111S b a ===，也适合上式，因此12n n b -=．【小问2详解】设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k （3k ≥）行有12k -项，()()()111122224222k k k k k k T ----=+++++++- ()111112222122k k k k ----=⋅+⋅⋅-⋅（或者()111222222k k k k ---⎡⎤++-⋅⎣⎦=）1121124222k k k k ----=⋅-=-．20.以“智联世界，生成未来”主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：年龄（岁）[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70频数2416152520持支持态度2013121510（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关；年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度不持支持态度总计（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上（含50岁）的人中随机抽取3人，记为3人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为53．【解析】【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算2K ，并和参考数据，比较后即可判断；（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.【小问1详解】年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度254570不持支持态度201030总计4555100()221002510204570305545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.129≈因为8.129＞6.635，所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关．【小问2详解】依题意可知50岁以上（含50岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为255459=．由题意可得5~3,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭．X 的所有可能取值为0，1，2，3．又()346409729P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21354240801C 99729243P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223543001002C 99729243P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33351253C 9729P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以的分布列如下：X 0123P6472980243100243125729所以X 的期望是()55393E X =⨯=．21.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点()1,0F 的距离与到直线4x =的距离之比为12．（1）求动点M 轨迹W 的方程；（2）过点F 的两条直线分别交W 于A ，B 两点和C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ．设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，且12111k k +=，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）直线PQ 过定点()0,1-．【解析】【分析】（1）设M (),x y 12=，进行化简即可.（2）设直线,AB CD 的方程为()11y k x =-、()21y k x =-，分别与W 的方程联立得P 的坐标为211221143,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭及Q 的坐标为222222243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再求出直线PQ 的方程，利用12111k k +=，即可求出直线PQ 过定点()0,1-.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由题意可知，12=，化简整理得，W 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意知，设直线AB 的方程为()11y k x =-，与W 的方程22143x y+=联立可得，()22221114384120kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得，211221843k x x k +=+，则()1121121216243k y y k x x k k -+=+-=+，所以，点P 的坐标为211221143,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．同理可得，Q 的坐标为222222243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以，直线PQ 的斜率为()1212434PQ k k k k k -=+，所以，直线PQ 的方程为()21211221111434344343k k k k y x k k k k ⎛⎫-=-- ⎪+++⎝⎭，即()12121212434k k k ky x k k k k -=-++，又12111k k +=，则1212k k k k +=，所以直线PQ 的方程即为12124314k k y x k k -=-，所以，直线PQ 过定点()0,1-．22.已知函数()31ln 222f ax x x xx =--+．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围；（3）对于任意*n ∈N ，证明：()11111ln 2421224n n n n n ⎛⎫<-+++<⎪+++⎝⎭ ．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；（2）[)1,+∞；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将1a =代入函数，对函数二次求导，即可求出函数的单调区间；（2）分情况讨论，结合（1）中结论，判断1a ≥符合题意，对函数二次求导，分别判断0a ≤和01a <<不符合题意，最终确定a 的取值范围；（3）根据（2）中结论先得到2312ln 22x x x+-≥()1x ≥，取取11x k =+()*k ∈N ，得到11111ln 11212k k k k ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，令k n =，1n +，…，21n -，累加可得()1111ln 212242n n n n ⎛⎫-+++> ⎪+++⎝⎭；又构造函数()1ln 22x F x x x =-+，()1x ≥求导判断函数单调性可得：1ln 22x x x≤-，()1x ≥，取11x k =+（*k ∈N ），得11111ln 1121k k k k ⎛⎫⎛⎫+-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，令k n =，1n +，…，21n -，累加得1111ln 21224n n n n ⎛⎫-+++<⎪++⎝⎭，结论得证.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+；当1a =时，()31ln 222f x x x x x =--+，则()211'ln 22f x x x =+-；令()211ln 22g x x x =+-，则()231'x g x x-=；故当()0,1x ∈时，()'0g x <，所以()g x 单调递减；当()1,x ∞∈+时，()'0g x >，所以()g x 单调递增．于是()()10g x g ≥=，即()'0f x ≥，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间.【小问2详解】由题意知()213'ln 22f x a x a x =++-，令()213ln 22h x a x a x =++-，则()23311'a ax h x x x x-=-=；由（1）可知若1a =，则当1x ≥时，()()31ln 21022f x x x x f x=--+≥=，若1a ≥，则当1x ≥时，有()3131ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，符合题意；若0a ≤，则当1x >时，()'0h x <，于是()()()'110f x h x h a =<=-<，()f x 单调递减，则()()10f x f <=，与题意矛盾；若01a <<，则当1x <<()'0h x <，于是()()()'110f x h x h a =<=-<，()f x 单调递减，此时()()10f x f <=，与题意矛盾；综上所述：a 的取值范围是[)1,+∞．【小问3详解】当1a =时，上（2）可知()31ln 2022f x x x x x=--+≥()1x ≥，即2312ln 22x x x+-≥()1x ≥，取11x k =+()*k ∈N ，可得()()()()22221112311ln 11212121k k k k k k k +++⎛⎫+>==+ ⎪+⎝⎭+++()()11111112121212k k k k k k ⎛⎫>+=+ ⎪++++++⎝⎭，即11111ln 11212k k k k ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．令k n =，1n +，…，21n -，累加可得()()111111ln 212221212121nn n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++>-= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭ ()()111122442223n n n n =≥=++⎛⎫++ ⎪⎝⎭．另一方面，考虑函数()1ln 22x F x x x=-+，()1x ≥，则()()221'02x F x x-=-≤，()F x 在[)1,+∞上单调递减，则()()10F x F ≤=，于是1ln 22x x x≤-，()1x ≥．取11x k =+（*k ∈N ），可得()()()1121111ln 1212121k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+<==+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，整理得11111ln 1121k k k k ⎛⎫⎛⎫+-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．令k n =，1n +，…，21n -，累加可得1111111ln 2122224n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++<-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．综上所述，对于任意*n ∈N ，()11111ln 2421224n n n n n ⎛⎫<-+++<⎪+++⎝⎭ 成立．【点睛】二次求导探究函数得单调性；分类讨论确定a 的取值；构造函数，利用函数的单调性证明不等式；累加法的运用.。

高三教学质量调研考试数学(理科)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。

满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 留意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第II 卷必需用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：假如大事A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；假如大事A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.1.若()12z i i +=+（i 是虚数单位），则z = A.322i+ B.322i -C. 322i -- D. 322i -+ 2.设集合{}{}1,0,1,2A x x x R B =+<3,∈=，则A B ⋂= A. {}02x x << B. {}42x x -<< C. {},1,2xD. {}0,13.在ABC ∆中，“60A ∠=”是“3sin 2A =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 A.向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.6πB.3π C.2πD. π6.已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为A.6B.8C.10D.127.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.58.已知向量 的夹角为60，且2,=1a b a xb =-，当取得最小值时，实数x 的值为 A.2B. 2-C.1D. 1-9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为 A.1006B.1007C.1008D.100910.已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2132ln f x xx -<-+()312x -的解集是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()1,+∞D. (),e +∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.某高校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校为[)[)35,40,40,45，不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间[)[)[)45,5050555560，，，，，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的老师有________人.12. 执行右图的程序框图，则输出的S=_________.13. 二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的开放式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰_________.14.已知M,N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为___________.15.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()f x m m =<0有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=. 则其中全部正确结论的序号是_________.（请写出全部正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知向量()()3sin ,cos ,cos ,cos ,m x n x x x R ==∈，设()f x m n =（I ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角A,B,C 的对边，且()1,2,1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，其中AB//CD ，112AB BC CD BC AB ⊥===，，点M 在线段EC 上. （I ）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（II ）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小.18. （本小题满分12分）某卫视的大型消遣节目现场，全部参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票打算是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必需且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”。

7 8 99 4 4 6 4 73 高三教学质量调研(.02)数学（理工类）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共8页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.满分150分，考试时间1. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ); 如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率:).,,2,1,0()1()(n L k p p C k •P k n kk n n =-=- 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数21i=+ A. 1i -B. 1i +C. i -D. i2. 若集合{}R x x x A ∈≤-=,32，{}2|1,B y y x y R ==-∈，则A ∩B = A. [0,1] B. [0,+∞）C. [-1,1]D. ∅3. 下列命题中是假命题的是A . ⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x sin > B ．∈∃0x R ,2cos sin 00=+x x C ．∈∀x R ,03>xD ．∈∃0x R ,0lg 0=x4. 右图是在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均数和方差分别为A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,45. 已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S = A. 24 B. 27 C. 15D. 546. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. (80+162) cm 2B. 84 cm2C. (96+162) cm 2D. 96 cm 27. 由直线2+=x y 上的点向圆(x -4)2+(y +2)2=1引切线， 则切线长的最小值为 A ．30 B ．31 C ．24D ．338. 若22cos 4sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απα，则ααcos sin +的值为A ．27-B ．－12C ．12 D ．279. 位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为31，向右移动的概率为32，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是 A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．8024310. 已知点F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 A ．)3,1(B ．)22,3(C ．),21(+∞+D ．)21,1(+11. 函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意∈x R ， 都有)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是 A. 奇函数但非偶函数 B. 偶函数但非奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数12. 若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x t 22+=的取值范围是A ．20≤<tB ．40≤<tC ．42≤<tD ．4≥t绝密★启用前第6题图高三教学质量调研(.02) 数学（理工类）试题第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中.2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13. 二项式3521()x x -的展开式中的常数项为_______. 14. 给出下面的程序框图，则输出的结果为_________.15. 已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为_________. 16. 如图，在△ABC 中， =31NC ,P 是BN 上的一点， 若AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________. 三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知()1f x a b =⋅-，其中向量)cos ,3(),cos 2,2(sin x x x ==,(∈x R ). （1） 求()f x 的最小正周期和最小值；（2） 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若34=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，a=213，8b =，求边长c 的值.第15题图第14题图18. （本小题满分12分）三棱锥ABC P -中，90=∠BAC ，22=====AB BC PC PB PA , （1） 求证：面⊥PBC 面ABC（2） 求二面角C AP B --的余弦值．第18题图19. （本小题满分12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入1＜140人数之内）.（1） 求此次拦查中醉酒驾车的人数； （2） 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x 的分布列和期望.第19题图（本小题满分12分）已知}{n a 为等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1） 求}{n a 和}{n b 的通项公式； （2） 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，离心率22=e ，椭圆C 上的点到F的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点A 、B . （1） 求椭圆C 的方程； （2） 若223||=AB ，求直线l 的方程.22. （本小题满分14分）已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈ (1) 当1a =时，求函数()f x 的最值； (2) 求函数()f x 的单调区间；(3) 试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点.高三数学（理工类）参考答案(.02)一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 11. B 12. C 二、填空题： 13. 10- 14. 54 15. 2 16. 113三、解答题：17. 解：(1) f (x )=a ·b -1=(sin2x ,2cos x )·x )-1x +2cos2 xsin2x +cos2x =2sin （2x ＋6π）……………………………4分∴f (x )的最小正周期为π，最小值为-2.……………………………………………………6分 (2) f (4A )=2sin （2A ＋6π）∴sin （2A ＋6π）＝2………………………………………………………………………8分∴2A ＋6π＝3π∴ A ＝3π或π=A （舍去）………………………………………………10分 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A52＝64＋c 2-8c 即c 2-8c +12=0从而c =2或c =6……………………………………………………………………………12分 18. （1） 证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，由已知△BAC 为直角三角形， 所以可得OA =OB =OC ，又知P A =PB =PC ，则△POA ≌△POB ≌△POC ………………………………2分∴∠POA =∠POB =∠POC =90°，∴PO ⊥OB ,PO ⊥OA ,OB ∩OA =O所以PO ⊥面BCD ，…………………………………………………………………… 4分 ⊂PO 面ABC ，∴面PBC ⊥面ABC ………………………5分 （2） 解：过O 作OD 与BC 垂直，交AC 于D 点， 如图建立坐标系O —xyz 则)0,21,23(-A ，)0,1,0(-B ，)0,1,0(C ，)3,0,0(P ， )3,1,0(),0,21,23(==…………………7分 设面P AB 的法向量为n 1=(x,y,z )，由n 1· =0，n 1·BP =0,可知n 1=(1,-3,1)同理可求得面P AC 的法向量为n 1=(3,3,1)………………………………………………10分第18题答案图cos(n 1, n 2)=2121··n n n n =6565……………………………………………………………………12分19. 解：（1） (0.032+0.043+0.050)×.25,0.25×60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．……………………………………………………4分 （2） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x 的所有可能取值为0,1,2；P(x =0)=3836C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=382216C C C =283…………………………………………………………………………………………………10分432832281511450)(=⨯+⨯+⨯=X E .……………………………………………………12分 解：（1） 设{a n }的公比为q ，由a 5=a 1q 4得q =4所以a n =4n-1.……………………………………………………………………………………4分 设{ b n }的公差为d ，由5S 5=2 S 8得5(5 b 1+10d )=2(8 b 1+28d )，3223231=⨯==a d ,所以b n =b 1+(n -1)d =3n -1.…………………………………………………………………………8分（2） T n =1·2+4·5+42·8+…+4n -1(3n -1),①4T n =4.2+42.5+43.8+ (4)(3n -1),②②-①得：3T n =-2-3(4+42+…+4n )+4n(3n -1)…………………………………………………10分 = -2+4(1-4n -1)+4n (3n -1) =2+(3n -2)·4n ……………………………………………………………………………………12分 ∴T n =（n -32）4n +3221. （1） 由题意知，1222+=+=c a a c ，,所以1,2==c a ，从而1=b ， 故椭圆C 的方程为1222=+y x ………………………………………………………………5分 （2） 容易验证直线l 的斜率不为0,故可设直线l 的方程为1+=my x ,代入1222=+y x 中， 得.012)2(22=-++my y m …………………………………………………………………7分设),(),,(2211y x B y x A 则由根与系数的关系，得22221+-=+m m y y .21221+-=m y y ………………………………………………………………9分 2121221224)(11y y y y m y y m AB -++=-+=2232)1(2224)2(412222222=++=++++=m m m m m m , 解得m =±2 …………………………………………………………………11分 所以，直线l 的方程为12+±=y x ，即012=-+y x 或012=--y x ………12分22. 解：（1） 函数f (x )=x 2-ax -a ln (x -1)(a ∈R )的定义域是(1,+∞)……………………1分当a =1时，'32()12()2111x x f x x x x -=--=--，所以f (x )在3(1,)2为减函数 ………………3分 在3(,)2+∞为增函数，所以函数f (x )的最小值为3()2f =3ln 24+.………………………5分 (2) '22()2()2,11a x x a f x x a x x +-=--=--………………………………………………6分 若a ≤0时，则21,2a +≤f (x )22()21a x x x +-=-0>在(1,+∞)恒成立，所以f (x )的增区间为(1,+∞).…………………………………………………………………………8分若a ＞0，则21,2a +>故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，'()f x 22()21a x x x +-=-0≤，……………… 9分 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，f (x ) 22()21a x x x +-=-0≥, 所以a ＞0时f (x )的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，f (x )的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………………10分(3) a ≥1时，由（1）知f (x )在(1,+∞)的最小值为22()1ln 242a a a f a +=-+-，……………………………………………………………………………………………………………………………11分 令2()()2a g a f +=21ln 42a a a =-+-在 [1,+∞)上单调递减， 所以max 3()(1)ln 2,4g a g ==+则max 51()(ln 2)88g a -+=>0，…………………………12分 因此存在实数a (a ≥1)使f (x )的最小值大于5ln 28+， 故存在实数a (a ≥1)使y =f (x )的图象与5ln 28y =+无公共点.……………………………14分。

最新年1月高三教学质量调研考试理科数学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页考试时间120分钟。

满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项：1答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上3 第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤【答案】D【解析】2{|230}{31}M x x x x x =+-≤=-≤≤,所以{11}MN x x =-≤≤，选D2复数12ii+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i ii i i ++++===+--+,对应点的坐标为13()55，，所以位于第一象限，选A3设0.30.33,log 3,log a b c e π===则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】B 【解析】0.30.331,0log 31,log 0a c e π=><<=<,所以c b a <<，选B4 将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移个单位后，所得的图象对应的解析式为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移个单位得到()sin[2()]sin(2)666f x x x πππ=-+=-，选D5已知函数1()()2x x f x e e -=-，则()f x 的图象A 关于原点对称B ．关于轴对称C ．关于轴对称D 关于直线y x =对称【答案】A【解析】因为，所以函数为奇函数，所以关于原点对称，选A6一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 【答案】C【解析】若俯视图为C ，则俯视图的宽和左视图的宽长度不同，所以俯视图不可能是C7已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为【答案】C【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中1,2a c ==，所以双曲线的离心率为221c e a ===，选C 6πsin 2x cos2x 2sin(2)3x π+sin(2)6x π-6π11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-8设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A13 B19 C24 D29 【答案】A【解析】由2z x y =+，得2y x z =-+。

高三第一次调研考试数考试卷分析一、试卷综述本次调研试卷在命题上严格遵守《考试大纲（课程标准实验版）》和《山东卷考试说明》，遵循“调研一轮复习情况、指导二轮复习方向、触摸高考命题脉搏”的命题原则．命题根据济南市高三数学教学的实际情况，重点考查高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，加强了对数学的应用的考查，体现了新课程改革的理念。

试卷在考查基础知识、基本能力和基本思想方法的基础上，突出了对学生数学思维能力和数学应用意识的考查。

试卷的知识覆盖面广，题目数量、难度安排比较适宜，题设立意新颖，文、理科试卷区别恰当，两份试卷难、中、易的比例分配恰当。

试卷具有合理的难度和很好的区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。

二试卷特点1 试卷的整体结构和知识框架试卷的长度、题目类型比例配置与《考试说明》和“近几年山东省高学数考试卷”一致，全卷共22题，其中选择题12个，每题5分，共60分，占总分的40%；填空题4个，每题4分，共16分，约占总分的10.7%；解答题6个，前5个题目每题12分，最后一题14分，共74分，约占总分的49.3%，全卷合计150分.试题在每个题型中均基本按照由简单到复杂的顺序排列，难度呈梯度增加.全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于对中学数学学科的基础知识和基本能力的考查；侧重于知识交汇点的考查，加强了对学生的数学应用意识的考查.试卷在全面考查的前提下，突出考查了高中数学的主干知识三角函数、数列、立体几何、圆锥曲线、概率统计、函数、导数、不等式等主要内容，试卷兼顾了新课改新增加的内容如茎叶图，方差等，尤其是两份试卷的解答题，涉及内容均是高中数学的主干知识，试卷还加强了对数学应用意识的考查，结合高中的主干知识，考查了和概率统计相关的应用题，突出体现了新课程改革的理念，贴近教学，贴近高考，反映出的问题又指导了高三二轮复习的教和学的方向.2文理试题分别命制，考查内容大致相同考虑到文理科的学生在数学学习上的差异，在文理试题的命制上采用了两个小组分别命题的方式，两套试卷对文理科的学生提出不同的考查要求，增强试题的适用性和考查效能。

济南市2019届高三年级学习质量评估理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1},{1,0,1}A x x B ==-≥，则A B = （ ） A ．{1} B ．{1,1}-C ．{1,0,1}-D ．{|1}x x ≥1．答案：B解析：2{|1}(,1][1,),{1,0,1}A x x B ==-∞-+∞=- ≥，所以{1,1}A B =- ． 2．已知复数z 满足i 2z z +⋅=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2．答案：A解析：由i 2z z +⋅=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以1i z =+． 3．已知命题p ：关于m 的不等式2log 1m <的解集为{|2}m m <；命题q ：函数32()1f x x x =+-有极值．下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．答案：C解析：由2log 1m <，得02m <<，故命题p 为假命题；2()32f x x x '=+，令()0f x '=得23x =-或 0x =，所以()f x 在2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(0,)+∞上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 有极值，所以命题q 为真命题．所以()p q ⌝∧为真命题．4．如图，在ABC △中，90,2,3C BC AC ∠=︒==，三角形内的空白部分是由三个半径均为1的扇形构成，向ABC △内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．6πB ．16π-C ．4πD ．14π-4．答案：B解析：三个空白部分的面积之和为一个半径为1的圆的面积的一半，即2π，ABC △的面积为3，故所求概率为21136ππ-=-．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．163C ．6D ．85．答案：C解析：该几何体是以左视图为底面的五棱柱，高为2，底面积为1212132⨯+⨯⨯=，故其体积为326⨯=． 6．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为4πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()g x 图象的一条对称轴为12x π= D ．()g x 图象的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭6．答案：D解析：()cos 2cos 2,()8123g x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的最小正周期为π，选项A 错误； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误； cos 0122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 错误；73cos 0122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项D 正确． 7．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）7．答案：D解析：令2()ln 8x f x y x ==-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ，当x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C ，故选D ．8．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α（α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD ），用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥的面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A B CD ．28．答案：A解析：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y x =，即b a =所以离心率c e a ===9．已知()1202a b a b c a b d c ==⋅==+-=，，，，则d 的取值范围是（ ）A ．[0,B ．[0,2]C ．D ．[0,1]9．答案：A解析：不妨令(2,0),(0,2)a b == ，则(1,1)c = ．设(,)d x y = ，则222(1)(1)2d c x y -=-+-= ，所以点(,)x y 在以(1,1)为半径的圆上，d 表示点(,)x y 到坐标原点的距离，故d的取值范围为[0,．10．执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为sin cos sin (sin ),(sin ),(cos )αααααα，其中,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则输出的x 为（ ）A ．cos (cos )ααB ．sin (sin )ααC ．cos (sin )ααD ．sin (cos )αα10．答案：C解析：该程序框图的功能是输出,,a b c 中的最大者．当,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0cos sin 1αα<<<，由指数函数()(cos )x f x α=单调递减可得(sin )(cos )f f αα<，即sin cos (cos )(cos )αααα<； 由幂函数cos ()g x x α=单调递增可得(cos )(sin )g g αα<，即cos cos (cos )(sin )αααα<． 由指数函数()(sin )x h x α=单调递减可得(sin )(cos )h h αα<，即sin cos (sin )(sin )αααα<． 所以,,a b c 中的最大者为cos (sin )αα，故输出的x 为cos (sin )αα．11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于点,M N ，交抛物线的准线于点P ，若2PM PN =，则直线l 的斜率为（ ） A． B ．2±C．±D ．4±11．答案：C解析：如图，设点M 在第一象限，分别过,M N 作抛物线准线的垂线，垂足为,M N ''，由2PM PN =，得N 为MP 的中点．设NN t '=，则2MM t '=，根据抛物线的定义，3MN MF NF MM NN t ''=+=+=，所以6MP t =，在Rt PMM '△中，PM '=，所以tan PMM '∠=，即直线l的斜率为．当点N 在第一象限时可得直线l 的斜率为-．综上，直线l的斜率为±．12．已知函数21,0(),0x x x f x e x -⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤，若对任意[1,1]x ∈-，不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥ 恒成立，其中0a > ，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．答案：B解析：20x ≥，当20x =时，2()1f x =，当20x >时，22()x f x e -=，所以22()x f x e-=，因为0a >，所以222[()]()ax f x ef ax -==，所以对任意[1,1]x ∈-，不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立， 即对任意[1,1]x ∈-，2[(12)42]()f a x a f ax --+≥恒成立．易知()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以对任意[1,1]x ∈-，2(12)42a x a ax --+≤恒成立， 令2()(12)42(12)(2),()g x a x a a x h x ax =--+=-+=，则函数()g x 的图象是过点(2,0)-的直线，()h x 的图象是顶点在坐标原点，开口向上的抛物线，若2(12)42a x a ax --+≤在[1,1]-上恒成立，则420a -+≤，即12a ≥，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）13．答案：15解析：621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为442261()15C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14．若实数,x y 满足约束条件03430x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则43z x y =+的最大值为 ．14．答案：4解析：作可行域为如图所示的OAB △，其中3(1,0),0,4A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则max 94,,44A B A z z z z ==∴==15．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m ，依据规定，该小区内住宅楼楼间距不小于52 m ．若该小区内某居民在距离楼底27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼xAB楼顶的仰角和楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为 m ． 15．答案：54解析：如图，设两住宅楼楼间距实际为m x ．根据题意可得27452718tan ,tan DCA DCB x x x-∠=∠==， 又45DCA DCB ∠+∠=︒，所以2718tan()127181x x DCA DCB x x+∠+∠==-⋅，整理得24527180x x --⨯=，解得54x =或9x =-（舍去）．所以该小区的住宅楼楼间距实际为54m ．16．已知球O 的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为1V ，内接正四棱锥的体积最大值为2V ，则12V V 的值为 ． 16解析：设内接正三棱锥底面外接圆的半径为1r ，高为1h ，则2211(3)9h r -+=，即221116r h h =-，正三棱锥的体积)22321111111111()6)33V h S h h r h h h ====-+，2111()312)V h h h '=-+，令1()0V h '=，得14h =，易得1max (4)V V V ===． 设内接正四棱锥底面外接圆的半径为2r ，高为2h ，则2222(3)9h r -+=，即222226r h h =-，正四棱锥的体积)223202222222122()(6)333V h h r h h h ===-+，202222()(312)3V h h h '=-+， 令02()0V h '=，得24h =，易得2064(4)3V V ==，所以123V V ==三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，满足23415a a a ++=，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17．解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由23415a a a ++=，得35a =，由2a 是1a 和5a 的等比中项，得2215a a a =⋅，所以2(5)(52)(52)d d d -=-+，解得0d =或2d =． 因为数列{}n a 为递增数列，所以2d =．所以21n a n =-．…………………………………………6分 （2）1111(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121n n n n n b a a n n n n n n ++--⎛⎫===⋅=- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以11111111112335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．………………12分 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，AC 交BE 于点F ，G 为PCD △的重心． （1）求证：//FG 平面PAD ；（2）若PA PD =，点H 在线段PD 上，且2PH HD =，求二面角H FG C --的余弦值．BD18．解析：（1）因为//AE BC ，所以AEF CBF △∽△，因为E 为AD 的中点，所以2AE AD BC ==， 所以2CF AF =．如图，延长CG ，交PD 于M ，连接AM ，因为G 为PCD △的重心，所以M 为PD 的中点，且2CG GM =，所以//FG AM ，因为AM ⊂平面PAD ，FG ⊄平面PAD ，所以//FG 平面PAD ．……………………………………6分 （2）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设3PA AD ==，则(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(1,1,0)C D P F ．因为2PH HD =，所以(0,2,1)H ．因为G 为PCD △的重心，所以(1,2,1)G ．(2,2,0),(0,1,1),(1,1,1)FC FG FH ===-，设平面FGC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111220n FC x y n FG y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，则111,1y z =-=，所以1(1,1,1)n =- ． 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220n FH x y z n FG y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21y =，则220,1x z ==-，所以2(0,1,1)n =- ．所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅所以二面角H FG C --的余弦值为．…………………………………………………………12分B19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>，右焦点为F ，且该椭圆过点1,⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x =B 时，求证：FAB △为直角三角形．19．解析：（1）由题意得221314c a a b=+=，又222a b c =+，所以221,4b a ==，即椭圆C 的方程为2214x y +=．………………………………………………………………………………………………4分（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，联立得2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得222(41)8440k x kmx m +++-=，判别式22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+．………………………………6分设11(,)A x y ，则21112288441,2(41)2km km k k x y kx m m k m m m m -=-==-=+=-+=+，即41,k A m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．易得,B m F ⎫+⎪⎪⎝⎭，则41,k FA FB m m m ⎫⎛⎫=--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11分 12分（1）求a ，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值．（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布2(,10)N μ，计算该产品该项指标值落在(180,220]上的概率；②国家有关部门固定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价（单位：元）如表，求该公司每万盒的平均利润．等级 合格 优良 优秀 售价102030附：若2(,)N ξμσ～，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=． 20．解析：（1）由10(20.0020.0080.0090.0220.024)1a ⨯⨯+++++=，解得0.033a =，………2分 则平均值0.021700.091800.221900.332000.242100.082000.02230200x =⨯+++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即这200盒产品的该项指标值的平均值为200．……………………………………………………………5分 （2）①由题意可得200,10μσx ===，则(22)(180220)0.9545P P μσξμσξ-<+=<≈≤≤．…………………………………………8分 ②设每盒该产品的售价为X 元，由①可得X 的分布列为X 10 20 30 P0.022750.95450.02275则每盒该产品的平均售价为()100.02275200.9545300.0227520E X =⨯+⨯+⨯=元，故每万盒的平均利润为20155-=（万元）．…………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数21()(1)2xx f x e a e ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．21．（1）2()(1)(1)()x x x x f x e a e a e e a '=-++=--， （i ）若0a ≤，当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． （ii ）当0a >时，令()0f x '=，则120,ln x x a ==，若1a =，则12,()0x x f x '=≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． 若01a <<，则12x x >，当(,ln )x a ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；当(ln ,0)x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 若1a >，则12x x <，当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；当(0,ln )x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增．……5分（2）（i ）当0a =时，211()122x x x x f x e e e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得ln 2x =，此时只有一个零点，不合题意．（ii ）当0a <时，由（1）可知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，若()f x 有两个零点，则1(0)02f a =--<，即12a >-．注意到 22111(1)(1)(1)(1)0222f e a a e e e a e e a e ⎛⎫=+-+=-+-=--> ⎪⎝⎭， 所以当(0,1)x ∈时，()f x 有一个零点． 当0x <时，1()1()(1)2x x x f x ax e e a ax a x e ax a ⎛⎫=+-->-+>-+ ⎪⎝⎭， 取0110x a<+<，则0()0f x >，所以当0(,0)x x ∈时，()f x 有一个零点． 所以当102a -<<时，()f x 有两个零点，符合题意． （iii ）当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不可能有两个零点，不合题意．（iv ）当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．2ln ln 22111(ln )(1)ln ln ln 1222a a f a e a e a a a a a a a a a a ⎛⎫=-++=--+=-- ⎪⎝⎭， 因为1ln 102a a --<，所以(ln )0f a <，此时()f x 最多有一个零点，不合题意． （v ）当1a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为1(0)02f a =--<，所以此时()f x 最多有一个零点，不合题意． 综上所述，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=，直线l的参数方程为12x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），其中0a >，直线l 与曲线C 相交于,M N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点(0,)P a 满足114PM PN+=，求a 的值． 22．解析：（1）由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线C 的直角坐标方程为2y x =．…………………………………………………………………………………4分（2）将直线l的参数方程12x y a t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入2y x =，得23110,30424t t a a --=∆=+>．设,M N 对应的参数分别为12,t t ，则121224,33at t t t +==-，所以1212114PM PN t t PM PN PM PN t t +-+=====⋅．化简得：2641210a a --=，解得14a =或116a =-（舍去），所以14a =．……………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()33f x x x a =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若()34f x x >+对任意的(1,)x ∈-+∞恒成立，求a 的取值范围．23．解析：（1）当2a =时，()332f x x x =++-，即41,1()25,1241,2x x f x x x x x ---⎧⎪=+-<<⎨⎪+⎩≤≥，当1x -≤时，不等式()4f x >即414x -->，解得54x <-，所以54x <-； 当12x -<<时，不等式()4f x >即254x +>，解得12x >-，所以122x -<<；当2x ≥时，不等式()4f x >即414x +>，解得34x >，所以2x ≥．所以不等式()4f x >的解集为51,,42⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………………5分。

山东省济南市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．62．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 3．复数5i12i+的虚部是 ( )A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =7．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35C ．25 D．158．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．2 B ．1C ．2D ．511．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．162．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )ABC D ．3．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．494．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9915．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )AB C ．2D ．36．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月7．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③8．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--9．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37B ．13C 13D 3710．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V11． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．18512．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

济南市2023届高三统一检测数学数学作为一门理科学科，对于高中学生来说是必修课程之一，也是高考的重点科目之一。

而济南市2023届高三统一检测数学，作为高中学生们的一次集中测试，对于他们的学习成绩和高考成绩都有着重要的影响。

本文将从数学学科的重要性、考试内容和备考建议三个方面来探讨济南市2023届高三统一检测数学。

首先，数学学科的重要性不言而喻。

数学作为一门学科，不仅仅是高考的一门考试科目，更是培养学生逻辑思维、分析问题和解决问题的重要手段。

数学的学习能够帮助学生培养科学的思维方式和逻辑思维能力，提高学生的综合素质和学习能力。

而济南市2023届高三统一检测数学，作为一次集中测试，可以帮助学生检验自己的数学学习水平和解题能力，为高考做好充分的准备。

其次，济南市2023届高三统一检测数学的考试内容。

根据往年的统一检测题型，数学考试通常包括选择题、填空题和解答题。

选择题是考察学生对知识点的理解和记忆能力，填空题是考察学生对知识点的应用能力，解答题则是考察学生的解题思路和解题能力。

在备考过程中，学生需要重点复习高考大纲中的知识点，掌握解题方法和技巧。

同时，通过多做一些经典的模拟试题和历年真题，可以提高解题能力和应试技巧，对于提高成绩有着积极的作用。

最后，针对济南市2023届高三统一检测数学的备考建议。

首先，学生需要制定一个合理的备考计划，合理安排学习时间，做到有序有计划地备考。

其次，要注重基础知识的复习和理解，对于容易忽略或者薄弱的知识点，要进行有针对性的复习。

此外，要注重解题方法和技巧的学习，掌握一些常用的解题思路和技巧，提高解题效率。

最后，要进行针对性的练习和模拟考试，通过对错题的分析和总结，找出自己的不足之处，有针对性地进行弥补和提高。

综上所述，济南市2023届高三统一检测数学对于学生的学习和高考都有着重要的影响。

数学的学习对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

在备考过程中，学生需要注重基础知识的复习和理解，掌握解题方法和技巧，进行针对性的练习和模拟考试。

2025届山东省济南市第一中学高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A ．5101900-米 B ．510990-米 C ．4109900-米 D ．410190-米 2．下列说法正确的是（ ） A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立3．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 4．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b 5．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =--B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+ D ．(1)2n i i -=+ 6．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=dA ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥8．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ）A ．{x|x ＞﹣2}B ．{x|1＜x ＜2}C ．{x|1≤x≤2}D ．∅9．设复数z 满足z i i z i -=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1 C ．1i - D ．1i +10．正方体1111ABCD A BC D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11AC B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．611．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ） A ．523B ．523C ．2133D ．213312．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届山东省济南市历城区济南一中高考数学三模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立2．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线3．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D 234．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．256．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．67．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．3 B ．0C ．0或32-D ．32-8．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．69．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．910．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8412．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市高三年级（上）期末考试数学理科逐题解析数学试题本试卷共6页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =U （ ）A. （-∞，3]B. (,2]-∞C. (,1)-∞D. [2,1)- 解：2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤{10}{1|}|B x x x x =-<=<{}|3A B x x U ∴=≤,答案为：(,3]-∞故选：A2.若复数z 满足(1)2z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1i --D. 1i -+解：(1)2z i i Q +=- 222(1)2(1)2(1)1(1)(1)(1)12i i i i i i i z i i i i i -------∴====--++-- 1z i ∴=-+故选：D3.设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解：设命题:24x p >,即2:22x p >,整理得:2p x >；设命题:lg(||1)0q x ->,即:lg(||1)lg1q x ->,整理得:22q x x <->或；所以p q ⇒,q p ¿.故“24x >”是“lg(||1)0x ->”充分不必要条件.故选：A4.已知函数ln ,0(),0e x x x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ） A. B.C. D.解：①当0x =时,()()1011ln10y f f =-==⨯=；②当1x =时,()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD;③ 当0x <时,11x ->,所以()()()1l 11n y f x x x -==--()()()()'''1ln 11ln 1x x y x x --+--=()()()'1ln 1111x x x x =--+--- ()ln 110x =---<所以()1y f x =-在0x <时单调递减,故排除A.④当01x <<时,011x <-<,()()()1l 11n y f x x x -==--()011x <-<Q ,()ln 10x -<,()()()1n 101l x x y f x -∴=--<=,故B 符合,⑤当1x >时,10x -<()11e 1xx x y f --=-=, 110,0e x x --<>Q ,()110e 1xy f x x --∴==<-,故B 符合. 故选：B 5.若抛物线22y px =(0)p >的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且8AB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6解：因为抛物线22y px =(0)p >的焦点到准线的距离为2, 所以222p p +=,故2p =,抛物线为24y x =. 过焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,设()11,A x y ,()22,B x y 又由抛物线的性质：焦点弦12AB x x p =++,所以1282x x =++,则126x x +=,所以AB 的中点到y 轴的距离为126322x x d +===故选：B6.已知函数1())2f x x=+，则1(ln5)ln5f f⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A. 0B. 12C. 1D. 2解：1 ())2 f x xQ=+1())2f x x∴-=+所以11()()))22f x f x x x+-=+++)1x x=+22lg1x⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦lg11011=+=+=()1(ln5)ln(ln5)ln515f f f f⎛⎫∴+=+-=⎪⎝⎭故选：C7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714⨯=，1428573428571⨯=，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：142857999+=，571428999+=，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999x-的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）A.45B.35C.25D.310解：根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，共有36654120A=创=种。