安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题(含答案)

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集{},,,,U a b c d e =，{}{},,,,,M a b c N b d e ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ． {},,a b dB ．{},a eC ．{},d eD ．{},,c d e 2.函数()f x =的定义域为（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．[)1,+∞3.已知向量()sin ,cos ,1,033a b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，则,a b r r 的夹角为（ ）A ． 6π-B ．6π C ． 3πD ． 23π4.已知{}n a 是等比数列，201220244,16a a ==，则2018a =（ ） A ．．± C ．8 D ．8±5.已知ABC ∆的面积为4，090A ∠=，则2AB AC +的最小值为（ ） A ． 8 B ．4C.．6.若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ． 22a b > B ．a b a b +<+ C. a b +> D ．()20a b c -≥7.已知函数12log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,1，则b a -的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.函数()2sinsin cos 1222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．2πB ．π C. 2π D ．4π 9.已知ABC ∆中，02,3,120AB AC BAC ==∠=，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则AP =u u u r（ ）A ．1B ．33 D ．310.已知实数,x y 满足111x x y x ≤⎧⎨-≤≤+⎩，()1,1a ∈-，则z ax y =+的最大值与最小值之差为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．与a 的取值有关 11.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知数列{}n a 中，5n n a a ++恒为定值，若16n ≤≤时，2n a n =，则2018a =（ ）A ．1B ．9 C. 28 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图像经过点4⎭，则它的单调递减区间是 ． 14.已知非零向量(),a m n =r ，(),b p q =r ，若32a b =r r 且0a b a b ⋅+⋅=r r r r ，则m np q+=+ ． 15.若()cos 35cos 60αα=-+，则()0tan 30α+= ． 16. 已知()()32,,,f x ax bx cx d b c d Z b c =+++∈≠，若()3f b b a =，()3f c c a=，则d = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==． （1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值．18. 设函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2,,21212⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图像向左平移()0θθ>个单位长度后关于点()1,0-对称，求θ的最小值． 19. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20. 如图，等腰直角ABC ∆中，2BC =，,M N 分别在直角边,AB AC 上，过点,M N 作边BC 的垂线，垂足分别为,Q P ，设2MN x =，矩形MNPQ 的面积与周长之比为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值．21. 已知数列n a 的前n 项和2nn S q q =-（其中q 为常数），且24a =（1）求n a ；（2）若{}n a 是递增数列，求数列n n q qa ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 22.已知()()()()222212f x ax x a x a R ⎡⎤=++--∈⎣⎦中．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）已知0x >时，恒有()0f x ≤，求实数a 的取值集合．2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC二、填空题13. (,0)-∞和(0,)+∞ 14. 23-15. -16 三、解答题17.解：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得{121a d =-=，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==．（2）法一：21(1)522n n n n nS na d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值． 法二：1(1)3n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<L ，故当2n =或3时，n S 取得最小值．18.解：（1）由题，2A =，周期712()11212T =-=，∴22Tπωπ==， 再由11()2sin(2)21212f πϕ=⋅+=，即sin()16πϕ+=， 得：2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，又||ϕπ<，∴3πϕ=，()2sin(2)3f x x ππ=+，由3222232k x k ππππππ+≤+≤+，得()f x 的单减区间为17[,]()1212k k k ++∈Z ． （注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得()2sin[2()]3g x x ππθ=++，由题，(1)2sin[2(1)]03g ππθ-=-+=，∴2(1)()3k k ππθπ-+=∈Z ，5()26k k θ=+∈Z ， 当1k =-时，θ的最小值为13． 19. 解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =o．法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==，解得1cos 2C =，所以3C π=．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，22224()3c a b ab a b ab ==+-=+-222()()3()24a b a b a b ++≥+-=，得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立， 故ABC △周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，sin sin sin 3a b c A B C ===，故周长(sin sin )23a b c A B ++=++sin(60)]23A A =+++o3(sin )22A A =+4sin(30)2A =++o ∵(0,120)A ∈o，∴当60A =o时，周长a b c ++的最大值为6．法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030=∠=∠ADC CAD ， 于是，在ABD △中，由正弦定理：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， 即24sin(30)sin 30a b A +==+o o， 故周长4sin(30)2a b c A ++==++o，∵(0,120)A ∈o，∴当60A =o时，周长a b c ++的最大值为6．20.解：（1）由题，2MN x =，则1MQ x =-，∴2(1)(1)()42(1)1x x x x f x x x x --==+-+，又MN BC <，∴()f x 的定义域为(0,1)． （6分）（2）22(1)3(1)2()11x x x x f x x x -+-++=-=-++2[(1)3]1x x =-++-+， ∵1(1,2)x +∈，∴2(1)3331x x ++-≥=+，于是()3f x ≤-1x =时，()f x的最大值为3-21.解：（1）由2221224a S S q q =-=-=得：1q =-或2q =，1q =-时，2(1)1nn S =-+，111,1,1,24(1),2n nn n n S n a S S n n --==⎧⎧==⎨⎨-≥⋅-≥⎩⎩， 2q =时，122n n S +=-，112,1,1,22,2n nn n n S n a S S n n -==⎧⎧==⎨⎨-≥≥⎩⎩*2()n n =∈N ． （2）法一：由题，2q =，122n n n q n qa +++=， 231342222n n n T ++=+++L ，34121341222222n n n n n T ++++=++++L ， 相减得：2341212213111231124()()122222244222n n n n n n n n n T ++++++++=++++-=+--=-L ，∴1422n n n T ++=-．法二：由题，2q =，122n n n q n qa +++=13422n n n n +++=-， 所以122311455634422222222n n n n n n n T +++++=-+-++-=-L ． 22. 解：（1）当2a =时，不等式()0f x ≥即为2(22)(232)0x x x ++->，等价于(1)(2)(21)0x x x ++->，由数轴标根法知不等式的解集为1(2,1)(,)2x ∈--+∞U ．（2）法一：由题，(2)(22)(44)0f a a =++≤，于是只能1a =-，而1a =-时，22()(2)(232)(2)(21)f x x x x x x =-+--=--+，当0x >时，2(2)0x -≥，210x +>，恒有()0f x ≤，故实数{1}a ∈-．法二：当0x >时，()0f x ≤恒成立，即211()()02a a x x x +-+-≤恒成立， 不妨设2()(0)g x x x =->，11()(0)2h x x x x =-+>，则问题转化为0x >时，[()][()]0a g x a h x --≤恒成立，即当0x >时，恒有()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤，不难知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且函数()g x 与()h x 的图象相交于点(2,1)-，结合图象可知，当且仅当1a =-时，()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤恒成立，故实数{1}a ∈-．。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合.详解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 4.已知是等比数列，，则（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数列，且，则是的等比中项，且是同号的，所以，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题. 5.已知的面积为，，则的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；对于B中，取时，不成立，所以是错误的；对于C中，取时，不成立，所以是错误的，对于D中，由，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，，当时，，所以，故选D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论.详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9.已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10.已知实数满足，，则的最大值与最小值之差为（）A. B. C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，分别代入目标可得，，所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12.已知数列中，恒为定值，若时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知恒为定值，且时，，得，又由，得，所以数列是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知恒为定值，且时，，所以当时，，所以，于是，数列是周期为10的周期数列，所以，故选C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是__________．【答案】和【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为和.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.14.已知非零向量，，若且，则_______________．【答案】【解析】分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.若，则________________．【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.已知，若，，则____________．【答案】【解析】分析：由题意得，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论.详解：由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值．【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或时，取得最小值．法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，，解得，∴．法二：由题，，∴，于是．（2）法一：，当或时，取得最小值．法二：，∴，故当或时，取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，，周期，∴，再由，即，得：，又，∴，，由，得的单减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，，当时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19.设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.如图，等腰直角中，，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为．（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解：（1）由题，，则，∴，又，∴的定义域为．（2），∵，∴，于是，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21.已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数的取值集合．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；法二：当时，恒成立，即恒成立，设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数．法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数．点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）B. C. D.【答案】C结果．，故选C．能力．）B. C.【答案】A，点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】BB．点睛：本题主要考查了必要不充分条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）【答案】D【解析】分析：求出阴影部分的面积，根据几何概型，即可求解满足条件的概率．D．点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中解答中正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了数形结合思想和考生的推理与运算能力．5. 已知命题下列命题为真命题的是（）C. D.【答案】B：，a大于0，b 小于0时，表达式就成立；命题A，错误；B正确的；CD均错误。

故答案为：B。

6. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：6月份生产甲胶囊产量为（）B.【答案】C，解得，即万盒，故选C．点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7.值为（）【答案】B轴对称，所以 B点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.. 函数是奇函数8. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（）D.【答案】B详解：如图所示，在棱长为2，故选B．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可作出选择．的定义域为A、C；时，，时，，排除B，故选A．点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．10. ，，的取值范围为（）【答案】D的取值范围．D．点睛：本题主要考查了分段函数的应用，同时涉及到函数的单调性和不等式的恒成立问题的求解和运用，着重考查了不等式恒成立的分离参数思想和最值的转化思想的应用，试题属于中档试题．11. ）D.【答案】B的图象关于故选B．点睛：本题主要考查了函数的反函数的概念以及对数式的运算等知识的运用，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想，属于基础题．12. 已知函数）B. C. D.【答案】D不是函数等价于时，，(1)(2)有一个零点，故(3)点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，分段函数的图象，复合函数的图象以及零点问题等知识点；主要考查了学生的抽象概括能力，运算求解的能力以及应用意识；考查数行结合思想，分类与整合，函数与方程思想；考查数学抽象，数学运算和数据分析等。

安徽省示范高中培优联盟2018年春季联赛(高一）语文第I卷阅读题一、现代文阅读(35分）(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1〜3题。

诺贝尔文学奖获奖演说(苏联)米哈伊尔•肖洛霍夫在这隆重的大会上，我认为应当有幸再一次向授予我诺贝尔奖金的瑞典皇家学院表示感谢。

我感到高兴的是，这种奖赏又是对长篇小说体裁的一种间接的肯定。

近来常常可以听到一些实在使我吃惊的言论，这些言论说长篇小说的形式已经过时了，不符合时代的要求了。

其实，只有通过长篇小说，才能最全面地概括现实世界，并将自己对现实、对现实中的迫切问题的态度以及同道者的态度表现出来。

可以说，长篇小说最能够使人深刻地认识我们周围广大的现实，而不是叫人把自己的小“我”想象成世界的中心。

这种体裁实质上是现实主义艺术家最广阔的活动场地。

许多新的艺术流派都不赞成现实主义，说现实主义似乎已经不适用了。

我不怕有人指责我保守，现在声明，我坚持相反的观点，我是坚决拥护现实主义艺术的。

现在常常谈到所谓文学的先锋派，认为这主要是在形式方面的最时髦的尝试。

依我看，真正的先锋乃是那些在自己的作品中揭示出代表当代生活特征的新内容的艺术家们。

整个现实主义和现实主义的小说，扎根于过去艺术大师们的艺术经验，但是在发展中却获得了在实质上很新的、深刻的当代特点。

我说的现实主义，包含革新现实、改造现实以造福人类的思想在内。

当然，我说的现实主义特点是，所反映的世界观，不是消极的，不是脱离现实的，而是号召人们为人类进步而奋斗，指出千百万人向往的目标是可能达到的，并为千百万人照亮奋斗的道路。

人类不像飞出地球引力以外的宇航员那样，成为一个个在失重状态下飘浮着的个人和个体。

我们生活在地球上，服从地球的支配，正如福音书上说的，我们天天有关心的事，天天有操心事和要求，还有对美好的明天的希望。

地球上广大的居民阶层都有一致的愿望和共同的利益，共同的利益使人联合的可能性，远远超过分裂的可能性。

示范(shìfàn)高中培优联盟2021春季联赛高一语文参考答案及评分HY一、现代文阅读〔35分〕1. A(无中生有)〔3分〕2. C(强加因果)〔3分〕3. B(以偏概全)〔3分〕4. D 〔马勒之死对马勒太太来说并不是悲剧，而是一种解脱。

〕〔3分〕5. ①听到丈夫死讯，悲伤痛苦。

②单独一人上楼，解脱欣喜。

③看见丈夫出现，绝望而死。

〔一共5分，答一点得2分，两点得4分，三点得5分，意思对即可得分〕6. 不同意，马勒夫人确实死于心脏病，但不是因极度兴奋而致。

①结合主人公在楼上房间内所见、所思的内容来看，丈夫之死给马勒夫人带来的不是悲伤，更多的是摆脱婚姻束缚之后身心的自由、愉悦；所以马勒夫人并非“极度快乐致死〞，而是极度绝望和对将来生活极度恐惧引发心脏病复发而死。

②结者凯特•肖班“HY女权主义文学创作的先驱之一〞的身份特点来看，她重在表现对传统社会的婚姻不平等观念的无情批判和受压迫女性的同情。

③结合人物性格来看，马勒夫人是一个追求精神解放、寻求自由、寻找自我的女性，当她所追求的一切随着丈夫的“复活〞而烟消云散时，等待她的只有死亡。

〔一共6分，每点2分，意思对即可得分〕7. A〔不是“朋友跟他打HY〞，而是曹乃谦与他朋友打HY。

〕〔3分〕8. A、 E 〔B“在小说创作时达不到真正的高度〞无中生有；C说法过于绝对；D“告诉后来的人〞以偏概全。

〕〔5分,答对一点得2分，答对两点得5分〕9.〔1〕小说创作使用雁北方言，具有(jùyǒu)地方特色。

〔2〕小说创作使用“组合柜〞式构造，构造独特。

〔3〕关注小人物，具有平民特色。

〔4〕风格朴实，有类似沈从文、汪曾祺等HY的特色。

〔4分，每点1分，答对四点得满分是，意思对即可。

〕二、古代诗文阅读〔35分〕10．C 〔3分〕11．D〔“谥〞不仅只是表表扬和赞颂意义，还有表批评或者同情意义〕〔3分〕12．D〔“在他的指导下，这二人最后相继考中状元〞理解错误，他只是预言这两个人能为天下人才之魁，并没有指导他们考试。

2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|280}A x x x =--<，集合1{|1}x B x e +=>，则A B =（ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|21}x x -<<-C ．{|2}x x >-D ．{|14}x x -<<【答案】D【解析】分别解出集合A ，B 的元素，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】2{|280}{|(2)(4)0}A x x x x x x =--<=+-<{|24}x x =-<<，{|1}B x x =>-，{|14}A B x x ⋂=-<<.故选：D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2．实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（ ） A ．1y x< B ．22x y --< C ．lg lg x y > D ．22x y >【答案】B【解析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果. 【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1yx>，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2x y =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确； 故选B. 【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 3．已知关于x 的方程22cos cos 2cos 202Cx x A B --+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】B【解析】根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A ＝B ，即可确定出三角形形状． 【详解】设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：12x x cosAcosB +＝，2212=1co 2cos 22s 22C x x s Ci C n -+==- ∵x 1+x 212=x 1x 2， ∴2cos A cos B ＝1﹣cos C ， ∵A +B +C ＝π，∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝﹣cos A cos B +sin A sin B ， ∴cos A cos B +sin A sin B ＝1，即cos （A ﹣B ）＝1， ∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ． 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知(cos ,sin )a θθ=，3b =r ，且2()3a ab ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π【答案】B【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解． 【详解】23a a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭∴203a a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即：2203a a b +⋅=又1a =，∴32a b ⋅=-∴向量a 与向量b的夹角的余弦为32cos ,13a b a b a b -⋅===⨯ ∴向量a 与向量b 的夹角为：56π故选：B 【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力． 5．函数()(f x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先得到函数的定义域为：2x ≥或2x -≤，解方程()02 2.f x x =⇒=-或 【详解】要使函数有意义，则240x -≥，即2x ≥或2x -≤，由()02f x x =⇒=或2x =-函数的零点个数为2个. 故选：B. 【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化. 6．2|2|()log cos x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ， f （π）＝ln π﹣cosπ＝ln π+1＞0，排除C ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（ ）A ．53B ．52C ．52-D ．53-【答案】B【解析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-.故选B. 【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则AP 的最小值是（ ） A．B ．39C ．3D【答案】C【解析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P 所在的轨迹，进而得到结果. 【详解】依题意1510cos 25cos 2AB AC A A ⋅=⨯=⇒=3A π⇒=.由余弦定理得BC =故ABC ∆为直角三角形.设35AD AB =，过D 作'//DP AC ，交BC 于P'，过P'作'//EP AB ，交AC 于E.由于32()55AP AB AC R λλ=-∈，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段'DP 上，由图可知AP 最短时为AD ，所以3AD =uuu r.故选C. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.9．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（ ） A．7+B．7+C．3+D．3+【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论． 【详解】变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，当直线z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）过直线y ＝1和2x ﹣y ﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1； ∴2a +b ＝1，11a b +=（2a +b ）（11a b +）＝32a b b a ++≥=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：12019a a π+=，120192b b ⋅=，函数()sin f x x =，则10091011100910111a a f b b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭（ ）A． B ．12CD ．12-【答案】C【解析】根据等差和等比数列的性质得到100910111009101113a a f f b b π⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭进而得到结果.【详解】根据等差数列的性质得到1201910091011a a a a π+=+=，根据等比数列的性质有100910111201910091011100910112;1a a b b b b f b b ⎛⎫+⋅=⋅= ⎪+⎝⎭3f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故本题选C.本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为，则12...n PA PA PA +++=（ ）A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【解析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,PA PA PA PA +++==，进而得到结果. 【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,PA PA PA PA +++==，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选：D. 【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 12．对于数列{}n a ，若任意*,()m n N m n ∈>，都有()m n a a t m n -≥-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 满足t 级收敛，若数列{}n a 的通项公式为2log n a n =，且满足t 级收敛，则t 的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题干中对收敛数列的定义得到2{log }n tn -是递增数列或常数列，相邻两项相减得到121log 0n n n b b t n++-=-≥，进而得到结果. 【详解】 由题意：m n a a t m n-≤-对任意的*,()m n N m n ∈>恒成立，2log n a n =，且t 级收敛，则22log log m n t m n -≤-恒成立，即()()22log log 0m tm n tn m n---≥-恒成立，据此可知数列2{log }n tn -是递增数列或常数列，令2log n b n tn =-，根据数列是单调递增的得到()12121log (1)1,log 0n n n n b n t n b b t n+++=+-+-=-≥ 据此可得：221log log 10n t n+≤<=恒成立，故0t ≤，t 的最大值为0. 故选D. 【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．二、填空题13．已知函数1()(21)m f x m x +=-为幂函数，则(4)f =__________． 【答案】16【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，写出()f x 的解析式，即可计算()f 4的值． 【详解】由题意，函数()()m 1f x 2m 1x+=-为幂函数，2m 11∴-=，解得m 1=，()2f x x ∴=，()2f 4416∴==，故答案为：16． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14．已知函数()2sin 3f x x π=，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+=__________．【答案】【解析】根据函数表达式得到函数的周期，得到(1)(2)...(6)0f f f +++=，进而得到结果. 【详解】依题意可得()2sin3f x x π=，其最小正周期6T =，且(1)(2)...(6)0f f f +++=，故(1)(2)...(2019)(1)(2)(3)f f f f f f +++=++=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.15．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记(,)cos sin f a b a b θθ=-，若1e ，2e 均为单位向量，且123e e ⋅=，则向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为__________． 【答案】2π 【解析】根据题意得到1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，21(,)f e e -12sin cos e e θθ=-，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可. 【详解】由题设知，若向量1e ，2e 的夹角为θ，则2e ，1e -的夹角为πθ-.由题意可得1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，2121(,)cos()sin()f e e e e πθπθ-=-+-12sin cos e e θθ=-， 12211212(,)(,)(cos sin )(sin cos )f e e f e e e e e e θθθθ⋅-=-⋅-2222112122cos sin cos sin cos sin e e e e e e θθθθθθ=-⋅-⋅+2sin cos θθ=.∵123e e ⋅=，cos θ=，1sin 2θ=，12sin cos 202θθ-=⨯=，向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．三、解答题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知12n n T a a a =，且2()m n T m Z ≤∈，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）42nn a -=；（Ⅱ）6.【解析】（I ）根据题干条件得到1326a a a +=+，进而求得公比，得到通项；（II ）结合第一问得到(7)22n n n T -=，根据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64，进而得到结果. 【详解】（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意322(3)S a =+得：1326a a a +=+，根据等比数列通项公式得到：12q =，所以42n n a -=. （II ）(7)212..2.n n n nT a a a -==，()72,2tn n y t -==，当3n =或4时，nT取得最大值64.所以2646m m ≥⇒≥，故m 的最小值为6. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.18．已知函数()4sinsin 1(06)223xx f x ωωπω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为6x π=.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）,,2,63k k k Z πππππ⎡⎤++⎢⎥⎦∈⎣；（Ⅱ）0,2-.【解析】（I ）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（II ）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值. 【详解】 （I ）()4sinsin 12sin 2236xx f x x ωωππω⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=是对称轴，662k ωππππ+=+，k Z ∈，且06ω<<，0k =，2ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π；单调递增区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（II ）由（I ）可知，()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，0, 1.123ff ππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知当12x π=-时得最大值为0；当6x π=时得最小值-2.故()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为-2.【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；③若ω<0，利用诱导公式二把y ＝A sin(ωx ＋φ)中x 的系数化为大于0的数．19．如图，ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，角B 为钝角，⊥BD AB ，7cos 225B =-，2c =，b =（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求BCD ∆的面积.【答案】(1) sin A =(2)35【解析】（1）根据余弦的二倍角公式求出3cos 5B =-，利用余弦定理求出2a =，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得sin A（2）由（1）可求出cos A =Rt ABD ∆中，求得AD =，CD =由1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯，即可求出面积. 【详解】解：(1)由7cos225B =-得：272cos 125B -=-，且角B 为钝角， 解得：3cos 5B =-由余弦定理2222cos c a c ac B =+-得：26434455a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解得2a =可知ABC ∆为等腰三角形，即A C = 所以()23cos cos212sin 5B A A =-=--=-，解得sin A =(2)由sin A =cos A =在Rt ABD ∆中，cos c A AD =，得AD =，CD b AD =-==三角形面积113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯＝ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20．2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为1,0489,4102xx y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.【答案】（1）7天；(2)169. 【解析】(1) 空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩, 04x <≤时，41+)48x ≥（, 410x <≤时，3642x ≥+,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++，由不等式得到最值. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩ 当04x <≤时，41+)48x≥（，解得0x ≥，04x ∴<≤， 当410x <≤时，3642x ≥+，解得7x ≤，47x ∴<≤，综上得07x <≤， 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天. (2)设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天， 浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++≥==4≥，即169a ≥，[]1,4a ∈,1649a ∴≤≤当169a =时，()()2222182929x x x +=⇒+=+，29,=7x x +=∴满足题意， 所以a 的最小值为169. 【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a距”增函数.（Ⅰ）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若2()3x k xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a >；（Ⅱ）2k >-.【解析】（I ）根据题干条件得到22313304ax a x a a ++->恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II ）原题等价于22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，22(2)|2|||x k x x k x +++>+恒成立，分0x ≥和10x -<<两种情况得结果即可. 【详解】（I ）2231()()334f x a f x ax a x a a +-=++-. 因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立，由0a >， 所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭.（II ）因为2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，即1x >-时，22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，所以22(2)|2|||x k x x k x +++>+，当0x ≥时，即4420222x k k x k ++>⇒>--⇒>-，当10x -<<时，22(2)(2)x k x x kx +++>-，所以(1)(2)02x k k ++>⇒>-.综上所述，得2k >-. 【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22．已知数列{}n a 满足()*121111111n nn N a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数p ，q 的值； （Ⅲ）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1n a n =+.（2）5p =，9q =.（3）3k =或14. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由12111111111n n a a a a 已知得--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ ()111112n n n n n a a a n a a ---=-=≥ ⇒列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列⇒1n a n =+. （2）建立方程组26061854p q p p q q a S a a S S +==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，或546p qa S =⎧⎨=⎩.当()166354542p q p a q q S +=⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩⇒59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩⇒无正整数解，综上5p =，9q=. （3）假设存在正整数k，使得(*1m a m N m =∈=+，⇒()()22522163m k m k ++--=⇒15m =，14k =，或5m =，3k =，3m 或=，1k =-（舍去）⇒3k =或14.试题解析： （1）因为121111111n na a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，11111a a -=，12a =， 当2n ≥时， 由121111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111nn a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和12111111111n n a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相除可得，111n n na a a --=，即()112n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎨=⎩，于是654p q a S =⎧⎨=⎩，或546p q a S =⎧⎨=⎩. 当654p q a S =⎧⎨=⎩时，()163542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩时，()154362p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k()*m a m N =∈，1m =+，平方并化简得，()()22222363m k +-+=， 则()()22522163m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =，或5m =，3k =，或3m =，1k =-（舍去）， 综上所述，3k =或14.。

绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2019～2020学年高一年级下学期春季联赛数学(理)试题 (解析版)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}210A xx =->∣，{}2log B x y x ==∣，则A B =（ ） A. [1,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-【答案】B 【解析】 【分析】分别化简集合,A B ，再求A B .【详解】{}210{1A xx x x =->=<-∣∣或 1}(,1)(1,)x >=-∞-+∞，(0,)B =+∞， 则(1,)A B =+∞． 故选：B.【点睛】本题考查了对集合描述法的理解与化简，函数定义域的求法，集合的交集运算，属于基础题.2.已知0x >，0y >，且141x y+=，则x y +的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 12D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由411y x +=，则41()x y x y y x ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得411y x+=，则414()559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，6y =时等号成立，故x y +的最小值为9. 故选：B.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1”的变形，属于基础题.3.定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x R ∈都有(1)()f x f x +=；②当x (1,2]∈时，()2f x x =-.若函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的最大值是（ ）. A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先根据(1,2]x ∈时，()2f x x =-，画出图象，再由函数周期1T =，画出函数()f x 在[0,4]的图象，由函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则()y f x =与log (1)a y x a =>有3个交点，数形结合，列出式子，求得a 的最大值.【详解】画出函数()y f x =，log (1)a y x a =>的图象，如下图所示.由题意，要使两函数的图象有三个交点，则需满足log 21log 31a a <⎧⎨≥⎩，解得23a <≤，所以实数a 最大值为3. 故选：C.【点睛】本题考查了函数周期性的应用，已知函数零点的个数求参数值，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.4.已知向量(2,1)a =--，),2(b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）. A. (1,4)(4,)-⋃+∞B. (2,)+∞C. (1,)-+∞D.(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，0a b ⋅<且,a b 不共线，列式即可解出．【详解】依题可得，0a b ⋅<且,a b 不共线，即()2202210λλ--<⎧⎨-⨯--⨯≠⎩，解得1λ>-且4λ≠．故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前3项和为7，且53134a a a =+，则3a =（ ）. A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由条件列式求首项和公比，再求3a .【详解】设{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+得4234q q =+，得24q =，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以2q，又()2123111(124)7a a a a q q a ++=++=++=，所以11a =，所以2314a a q ==.故选：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，重点考查计算能力，属于基础题型.6.若2cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则11cos 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）. A. 79-B.79C. 19-D. 19【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可得11cos 2cos 2cos 2336πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式即可求出．【详解】11cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2412cos 121699πα⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．7.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（ ）C.4D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由条件2sin a C =结合正弦定理可得sin A =，从而可得出3A π=，由正弦定理可得ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，则可得出答案.【详解】∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =，由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin A = .∵ABC 为锐角三角形，∴3A π=.由正弦定理，得sin sin sin b c a B C A ===b B =，c C =， ∴ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，∴当3B π=，即ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为211sin 6024S =⨯⨯︒=， 故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，求三角形的周长的最值，属于中档题.8.已知E 为ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =，AC b =，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =，AQ nb =，则11m n+=（ ） A. 3 B. 4 C. 5D. 13【答案】A 【解析】 【分析】由E 为ABC 的重心可得,()13AE AB AC =+,结合已知可用,AP AQ 表示AE ,然后由,,P E Q 共线可求.【详解】解：由E 为ABC 的重心可得,()13AE AB AC =+, ∵AP ma =,AQ nb =,()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭, ∵,,P E Q 共线,11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭, 则113m n+=, 故选：A.【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用,属于中等试题. 9.函数213x y x+=的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】采用排除法,先判断函数21x y +=,然后判断其单调性,再带特殊点求函数值得出结果. 【详解】因为函数213x y x+=,所以其图象关于原点对称,当0x >时, 2221111133x y x x +==+所以函数213x y x+=(0,)+∞上单调递减, 所以排除选项B,D ； 又当1x =时,21y =<, 所以排除选项A. 故选：C.【点睛】本题考查函数的图象判断问题,难度一般.一般地,解决根据函数的解析式判断函数图象问题时,要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等,采用排除法选出答案.10.若数列{}n a 的首项121a =-,且满足21(23)(21)483n n n a n a n n +-=-+-+,则24a 的值为（ ） A. 1980 B. 2000 C. 2020 D. 2021【答案】A 【解析】 【分析】由条件21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+可得112123n n a an n +-=--,从而数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21,公差为1的等差数列,由121a =,可得12121a =-,得出{}n a 的通项公式,进一步得出答案.【详解】∵21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+,∴()()()1232123n n n a n a n +-=-+-()21n -, ∴112123n n a a n n +∴-=--,所以数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21,公差为1的等差数列, ∴21(1)12023na n n n =+-⨯=+-, ∴*(20)(23),n a n n n =+-∈N . 241980a =,故选：A.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式,注意构造数列的方法,属于中档题.11.已知(12)P ，是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像的一个最高点,B ,C 是与P 相邻的两个最低点.设BPC θ∠=,若3tan 24θ=,则()f x 的图像对称中心可以是（ ） A. ()0,0B. ()1,0C. 13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 17,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据P 点坐标及3tan24θ=,求得,B C 的坐标,由BP ,CP 的中点都是()f x 的对称中心,且周期为6,得到答案. 【详解】如图所示:取BC 的中点D ,连接PD ,则4PD =,2BPD θ∠=,在Rt PBD 中,由3tan24θ=, 得3BD =.所以(2,2)B --,(4,2)C -,BP ,CP 的中点都是()f x 的对称中心,且周期T 6=,即对称中心为1(3,0)2k -,k Z ∈,当3k =时,对称中心为17,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质,属于中档题.12.已知函数(31)y f x =-为奇函数,()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称,若120x x +=,则()()12g x g x +=（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的对称关系结合图象可知()f x 的对称性,进而得到()g x 图象的对称性,再由120x x +=可知点的对称,由此得出结论. 【详解】解法一：函数(31)y f x =-为奇函数, 故(31)y f x =-的图象关于原点对称,而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移13个单位,再保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍, 故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称,()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称,故函数()y g x =图象关于(0,1)对称,所以()()2g x g x +-=, 而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=.解法二：（特例法）设(31)f x x -=,令31t x =-,∴1(1)3x t =+,1(t)(t 1)3f ∴=+,∴1()(1)3f x x =+.∵()y g x =与()y f x =关于y x =-对称 ,1(1)3x y ∴-=-+,∴()31g x x =+,∵120x x +=,所以()()122g x g x +=. 故选：A【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）13.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边交单位圆O 于点(),P x y ,且75x y +=,则3cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________.【答案】2425【解析】【分析】 根据三角函数定义可求出7cos sin 5αα+=,由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.【详解】由三角函数定义知,cos x α=,sin y α=. ∴7cos sin 5αα+=, ∴249(cos sin )1sin 225ααα+=+=, ∴4924sin 212525α=-=, ∴324cos 2sin 2225παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 故答案为：2425【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,二倍角公式,属于中档题.14.平行四边形ABCD 中,2AB =,1AD =,1AB AD ⋅=-,点M 在边CD 上,则MA MB ⋅的最小值为________. 【答案】14- 【解析】【分析】由2AB =,1AD =,1AB AD ⋅=-,可求得120BAD ︒∠=,然后如图建立平面直角坐标系,设点,2M x ⎛ ⎝⎭,再利用坐标把MA MB ⋅表示出来,231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--,求此二次函数在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值即可. 【详解】解：如图,∵1AB AD ⋅=-,2AB =,1AD =,∴||||cos 1AB AD BAD ⋅∠=-,∴2cos 1BAD ∠=-,1cos 2BAD ∠=-,∴120BAD ︒∠=. 以点A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0),(2,0)A B ,设3,2M x ⎛ ⎝⎭,13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--.令21()(1)4f x x =--,13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 则()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()14min f x =-. 故答案为：14-, 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算,建立坐标系利用了坐标求解,考查了二次函数的性质,考查数形结合的思想和计算能力,属于中档题.15.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且1tan 3B =,则tan tan tan tan AC A C +的值是____________. 10【解析】【分析】由条件得2b ac =,利用正弦定理边化角,将11tan tan A C +化弦,再由1tan 3B =求出sin B 可得.【详解】∵a ,b ,c 成等比数列,∴2b ac =,由正弦定理得2sin sin sin B A C =,∴sin sintan tan sin sincos cos sinsin cos cos sintan tan sincos cosA CA C A CA C BA C A CA C BA C⋅===++,∵1tan3B=,∴sin10B=,∴tan tan10tan tan10A CA C=+.故答案为：1010【点睛】该题考查正弦定理,同角三角函数的基本关系,等比中项,三角式的恒等变形,属于中档题目.16.已知函数22log,02()log(4),24x xf xx x⎧<≤=⎨-<<⎩,若1()3f a f a⎛⎫≥+⎪⎝⎭,则a的取值范围是____________.【答案】13711110,,663a⎛⎤-+⎡⎫∈ ⎥⎪⎢⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】画出()f x的图象,对a进行讨论：1013a a<<+≤,1123a a≤<+≤,10123a a<<<+<,11243a a<<<+<,1243a a≤<+<,结合单调性解不等式,即可得到所求范围.【详解】函数22log,02()log(4),24x xf xx x⎧<≤=⎨-<<⎩的图象如图所示：由于13a a <+, 当1013a a <<+≤,即203a <≤时,函数()f x 单调递减,显然合乎题意； 当1123a a ≤<+≤,即513a ≤≤时,函数()f x 递增,显然不合乎题意； 当10123a a <<<+<,即2533a <<,可得221log log 3a a ⎛⎫ ⎪⎝≥+⎭-,解得2136a -+<≤, 当11243a a <<<+<,即有523a <<, 由题意可得221log log 43a a ≥--⎛⎫ ⎪⎝⎭,解得1126a ≤<, 当1243a a ≤<+<,即1123a ≤<时,函数()f x 单调递减,显然合乎题意；综上可得a 的范围是111110,,663⎛-⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦,故答案为：111110,,663⎛-⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式,考查了分类讨论思想以及学生的计算能力,有一定难度.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集为R .函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ,集合{}220B x x x =--≥. （1）求A B ；（2）若{}1C x m x m =-<≤,()R C B ⊆,求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}2A B x x ⋂=≥；（2）(),2-∞.【解析】【分析】（1）先求解集合A ,B ,再求交集；（2）先计算B R ,再对C 分C =∅和C ≠∅讨论,最后综合即可.【详解】（1）由10x ->得,函数()f x 的定义域{}1A x x =>,又220x x --≥, 得{2B x x =≥或}1x ≤- , ∴ {}2A B x x ⋂=≥.（2）∵{}12C x x ⊆-<<,①当C =∅时,满足要求, 此时1m m -≥, 得12m ≤； ②当C ≠∅时,要{}12C x x ⊆-<<,则1112m m m m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩,解得122m <<； 由①② 得,2m <,∴ 实数m 的取值范围(),2-∞.【点睛】本题考查集合的关系及运算,考查运算能力,是基础题.18.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin cos cos b C a C c A =+,23B π=,c =（1）求角C ；（2）若点D 满足2AD DC =,求ABD △的外接圆半径.【答案】（1）6C π=；（2）1.【解析】【分析】（1）由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin sin sin B C B =,可求1sin 2C =,结合C 的范围可求结果； （2）先由正弦定理得3b =,即2AD =,在ABD △中,由余弦定理可得1BD =,最后由正弦定理即可得结果.【详解】（1）由2sin cos cos b C a C c A =+,由正弦定理可得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+,又∵()sin cos sin cos sin sin A C C A A C B +=+=,∴2sin sin sin B C B =,∵sin 0B >,∴1sin 2C =. 又03C π<<,所以6C π=.（2）由正弦定理易知sin sin b c B C==解得3b =. 又2AD DC =,所以2233AD AC b ==,即2AD =. 在ABC 中,因为2π3ABC ∠=,6C π=,所以6A π=, 所以在ABD △中,6A π=,AB =2AD =由余弦定理得2222cos 342212BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯=, 即1BD =,由22sin BD R A ==可知ABE △的外接圆半径为1. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,通过三角恒等变换化简求值,属于中档题.19.已知公差不为零的等差数列{}n a ,若4822a a +=,且5a ,8a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2111nn n n a b a a ++=-,数列{}n b 的前n 项和n S ,证明13n S ≥. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0,由已知列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列的通项公式得答案；（2）由（1）可得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,再利用裂项相消法求和即可证明； 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ,依题意,()()()12111210227412a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩, 解得11a =,2d =,∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）()22114111111(21)(21)(21)(21)22121n n n n a n b a a n n n n n n ++⎛⎫=-=-==- ⎪-+-+-+⎝⎭, ∴1111111112322121221n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为1n ≥,所以110321n ≥>+,所以2111321n ≤-<+, 所以13n S ≥ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质,考查裂项相消法求数列的前n 项和,属于中档题．20.已知ABC的面积为且内角B 是A ,C 的等差中项.（1）若cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求边AC 的长； （2）当AC 边上中线BD 取最小值时,试判断ABC 的形状.【答案】（1）（2）ABC 为等边三角形.【解析】【分析】（1）由条件可得60B =︒,由1sin 2S ac B ==,得到12ac =,由cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭结合正弦定理,得3c a =,可求出a c ，,再由余弦定理可求出答案.（2）由1()2BD BC BA =+,平方可得()22211(2)944BD a c ac ac ac ∴=++≥+=,根据取等条件可得出答案.【详解】∵ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列,∴60B =︒,设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由ABC 的面积1sin 2S ac B ==,可得12ac =.（1）∵sin 3sin C A =,由正弦定理知3c a =,∴2a =,6c =.在ABC 中,由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b =AC 的长为.（2）∵BD 是AC 边上的中线，1()2BD BC BA =+， ()()()2222222111122cos (2)94444BD BC BA BC BA a c ac B a c ac ac ac ∴=++⋅=++=++≥+=当且仅当a c ==3BD ∴≥，即BD 长的最小值为3，此时ABC 为等边三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，中点公式的向量式的应用，三角形面积公式的应用，以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．21.已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-+. 【解析】【分析】 （1）令()0f x =可得出()14x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出2n n b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）1()2020sin 0()()444f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫=-=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭， 这就是函数()f x 的全部零点，已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ， 则其首项等于14，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*34n a n n N =-∈. （2）3224n n n n b a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---，所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+. 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题.22.已知x ∈R ，定义函数()f x 表示不超过x的最大整数，例如：1f =，()3f π=，(0.5)1f -=-.（1）若()2020f x =，写出实数x 的取值范围；（2）若0x >，且1(2())71x f x f x f e ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，求实数x 的取值范围； （3）设()()f x g x x k x =+⋅，721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩，若对于任意的[)123,,7,9x x x ∈，都有()()()123g x h x h x >-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20202021x ≤<；（2）532x ≤<；（3）6k >-. 【解析】【分析】（1）由()f x 表示不超过x 的最大整数，可得x 的取值范围为20202021x ≤<；（2）由指数函数的单调性，可得110212x <<+，则1(7)721x f +=+，即有72()8x f x ≤+<，考虑23x <<，解不等式即可得到所求范围；（3）化简得()h x 在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增，求得()h x 的最值，可得所以()11g x >在[)7,9恒成立，讨论当7,8x 时，当8,9x 时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求k 的范围.【详解】（1）若()2020f x =，则x 表示不超过20201的最大整数，所以202020201x ，故x 的取值范围为20202021x ≤<； （2）若0x >，可得11012x e <<+，(2())7f x f x +=， 则72()8x f x ≤+<，72()82x f x x -≤<-， 当1x =时，()5f x = ，不符合； 当2x =时，()3f x =，不符合； 则3x =时，()1f x =，不符合； 当23x <<时，()2f x =，所以72282x x -≤<-，解得532x ≤<； 所以实数x 的取值范围为532x ≤<. （3）∵721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩， ∴()h x [)7,8单调递减，在[)8,9单调递增.- 21 - 可得max ()(7)1h x h ==，min ()(8)0h x h ==，则()()()()23781max h x h x h h -=-=，所以()11g x >在[)7,9恒成立，即()1f x x k x+⋅>， 整理得2()k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立，当[7,8)x ∈时，27k x x >-在[7,8)恒成立，即6k >-，当[8,9)x ∈时，28k x x >-在[8,9)恒成立，即7k >-，综上可得： 实数k 的取值范围为6k >-.【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数 学（理）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集{},,,,U a b c d e =，{}{},,,,,M a b c N b d e ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ． {},,a b dB ．{},a eC ．{},d eD ．{},,c d e 2.函数()f x =的定义域为（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．[)1,+∞3.已知向量()sin ,cos ,1,033a b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,a b 的夹角为（ ）A ． 6π-B ．6π C ． 3π D ． 23π4.已知{}n a 是等比数列，201220244,16a a ==，则2018a =（ ）A ． ．± C ．8 D ．8±5.已知ABC ∆的面积为4，090A ∠=，则2AB AC +的最小值为（ ）A ． 8B ．4 C. ．6.若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ． 22a b >B ．a b a b +<+ C. a b +> D ．()20a b c -≥ 7.已知函数12log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,1，则b a -的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.函数()2sin sin cos 1222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．π C. 2π D ．4π 9.已知ABC ∆中，02,3,120AB AC BAC ==∠=，0PA PB PC ++=，则AP =（ ）A ．1B ．33 D ．310.已知实数,x y 满足111x x y x ≤⎧⎨-≤≤+⎩，()1,1a ∈-，则z ax y =+的最大值与最小值之差为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．与a 的取值有关 11.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知数列{}n a 中，5n n a a ++恒为定值，若16n ≤≤时，2n a n =，则2018a =（ ） A ．1 B ．9 C. 28 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图像经过点4⎫⎪⎪⎭，则它的单调递减区间是 ．14.已知非零向量(),a m n =，(),b p q =，若32a b =且0a b a b ⋅+⋅=，则m np q+=+ ． 15.若()cos 35cos 60αα=-+，则()0tan 30α+= ． 16. 已知()()32,,,f x ax bx cx d b c d Z b c =+++∈≠，若()3f b b a =，()3f c c a=，则d = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==． （1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值．18. 设函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2,,21212⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图像向左平移()0θθ>个单位长度后关于点()1,0-对称，求θ的最小值．19. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20. 如图，等腰直角ABC ∆中，2BC =，,M N 分别在直角边,AB AC 上，过点,M N 作边BC 的垂线，垂足分别为,Q P ，设2MN x =，矩形MNPQ 的面积与周长之比为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值．21. 已知数列n a 的前n 项和2n n S q q =-（其中q 为常数），且24a = （1）求n a ；（2）若{}n a 是递增数列，求数列n n q qa ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．22.已知()()()()222212f x ax x a x a R ⎡⎤=++--∈⎣⎦中．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）已知0x >时，恒有()0f x ≤，求实数a 的取值集合．试卷答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC二、填空题13. (,0)-∞和(0,)+∞ 14. 23-15. - 16. 16三、解答题17.解：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得{121a d =-=，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==．（2）法一：21(1)522n n n n nS na d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值． 法二：1(1)3n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<，故当2n =或3时，n S 取得最小值．18.解：（1）由题，2A =，周期712()11212T =-=，∴22Tπωπ==， 再由11()2sin(2)21212f πϕ=⋅+=，即sin()16πϕ+=， 得：2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，又||ϕπ<，∴3πϕ=，()2sin(2)3f x x ππ=+，由3222232k x k ππππππ+≤+≤+，得()f x 的单减区间为17[,]()1212k k k ++∈Z ． （注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得()2sin[2()]3g x x ππθ=++，由题，(1)2sin[2(1)]03g ππθ-=-+=，∴2(1)()3k k ππθπ-+=∈Z ，5()26k k θ=+∈Z ， 当1k =-时，θ的最小值为13．19. 解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =．法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==， 解得1cos 2C =，所以3C π=．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，22224()3c a b ab a b ab ==+-=+-222()()3()24a b a b a b ++≥+-=， 得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立， 故ABC △周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ===，故周长sin )2a b c A B ++=++sin(60)]2A A =+++3(sin )2322A A =++4sin(30)2A =++ ∵(0,120)A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6．法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030=∠=∠ADC CAD ，于是，在ABD △中，由正弦定理：sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，即24sin(30)sin 30a b A +==+， 故周长4sin(30)2a b c A ++==++，∵(0,120)A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6． 20.解：（1）由题，2MN x =，则1MQ x =-，∴2(1)(1)()42(1)1x x x x f x x x x --==+-+，又MN BC <，∴()f x 的定义域为(0,1)． （6分）（2）22(1)3(1)2()11x x x x f x x x -+-++=-=-++2[(1)3]1x x =-++-+， ∵1(1,2)x +∈，∴2(1)3331x x ++-≥=+，于是()3f x ≤-1x =时，()f x的最大值为3-．21.解：（1）由2221224a S S q q =-=-=得：1q =-或2q =，1q =-时，2(1)1n n S =-+，111,1,1,24(1),2n n n n n S n a S S n n --==⎧⎧==⎨⎨-≥⋅-≥⎩⎩，2q =时，122n n S +=-，112,1,1,22,2n nn n n S n a S S n n -==⎧⎧==⎨⎨-≥≥⎩⎩*2()n n =∈N ． （2）法一：由题，2q =，122n n n q n qa +++=， 231342222n n n T ++=+++，34121341222222n n n n n T ++++=++++， 相减得：2341212213111231124()()122222244222n n n n n n n n n T ++++++++=++++-=+--=-，∴1422n n n T ++=-．法二：由题，2q =，122n n n q n qa +++=13422n n n n +++=-，所以122311455634422222222n n n n n n n T +++++=-+-++-=-． 22. 解：（1）当2a =时，不等式()0f x ≥即为2(22)(232)0x x x ++->，等价于(1)(2)(21)0x x x ++->，由数轴标根法知不等式的解集为1(2,1)(,)2x ∈--+∞． （2）法一：由题，(2)(22)(44)0f a a =++≤，于是只能1a =-，而1a =-时，22()(2)(232)(2)(21)f x x x x x x =-+--=--+，当0x >时，2(2)0x -≥，210x +>，恒有()0f x ≤，故实数{1}a ∈-．法二：当0x >时，()0f x ≤恒成立，即211()()02a a x x x +-+-≤恒成立， 不妨设2()(0)g x x x =->，11()(0)2h x x x x =-+>，则问题转化为0x >时，[()][()]0a g x a h x --≤恒成立，即当0x >时，恒有()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤，不难知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且函数()g x 与()h x 的图象相交于点(2,1)-，结合图象可知，当且仅当1a =-时，()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤恒成立，故实数{1}a ∈-．安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数 学（理）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）D.【答案】C.C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2. ）B.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.的定义域为 A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. ）C. D.【答案】B.详解：由题意，向量，所以 B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.4. ）B.【答案】C.详解：由题意，数列C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.5. 的面积为）【答案】A的最小值.的最小值为 A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6. ）【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A对于B对于C对于D中，由是正确的，故选D.7. ）B.【答案】D【解析】分析：由题函数时，时，即可求解.时，时，时，，D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8. ）B. C. D.【答案】B.详解：由题意，函数结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9. ）【答案】C，可得点即可求解详解：由题意，，可得点，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10. ）D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为值时的最优解分别为.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为分别代入目标可得所以目标函数的最大值与最小值之差为 B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11. ）A. B.C. D.【答案】D是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由可排除 ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. ）C. 【答案】C，所以数列10.恒为定值，且10的周期数列，C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ______________．【答案】【解析】分析：设幂函数其单调递减区间.且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.14. ．【答案】【解析】分析：由题意.，所以向量，即，所以点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. ．【答案】.，整理得点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16. ．【答案】，根据多项式对应相等，求解.，则，所以，，则析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一的公差为，由题意列出方程组，求得法二（2）法一：由等差数列的法二.详解：（1）法一法二（2）法一法二点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.个单位长度后关于点【答案】【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式函数的单调递减区间；（2，再根据图象关于点出方程，即可求解.详解：（1）由题，，即，，又，∴，的单减区间为（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2，时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数思想方法，以及推理与运算能力.19.（Ⅰ）求角（Ⅱ）设【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即可求解角（2，进而得周长的最大值.详解：（1）法一，法二（2）法一：由余弦定理及基本不等式，时等号成立，法二∵，∴当法三于是，在故周长，∴当时，周长学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...20. 中，，的垂线，垂足分别为，的面积与周长之比为【答案】(1)答案见解析；【解析】分析：（1，则义域）；（2）由（1即可求解函数的最大值. 详解：（1，则，，∴的定义域为（2，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21.（1（2【答案】.【解析】分析：（1）由题意，求得公比，分类讨论，即可得到数列（2）法一：由（1法二：由（1.详解：（1得：或（2）法一：由题，，，相减得：法二：由题，点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有【答案】【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式即可求解不等式的解集；（2，于是只能法二：时，，时，恒成立，即当时，恒有，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1时，不等式（2）法一：由题，，于是只能法二，则问题转化为或，不难知，与结合图象可知，当且仅当点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数 学（文）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,xA x y xB y y x A ==-==∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,2 2. 若2cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ． 7.2万盒 B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ． 2B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83C. 823 D ．2239.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．φ B ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数32log y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ． 14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是223，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ． 18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min 22,,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小． 19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6 15. 35516.233三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n . （Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-3112sin cos cos 322x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()33sin 231cos 3x x =++-6sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min 6,3f x f x ∴==；（2）ADC ∆中，,sin sin 2AD AC BDC C ADC =∆∠中，sin sin2BD BCC BDC =∠， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =，2AD BD ∴=，BCD ∆中，217122cos68482cos 22C CBD =-=-， ACD ∆中，244242cos 68482cos 22C CAD =-=-，2cos22C ∴=，∴2C π∴=． 19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=， 竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=，故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=， 解得86x =，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12， 利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人， 设分数在[)86,90的2人分别为12,A A ，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，所求的概率为310P =． 20.解：（Ⅰ）取AD 中点F ，连,PF BF ，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴== ∴3BC =（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角． 由题意得3PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==， 090123ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，3sin 4BHG ∴∠=． 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，121222,2222MA MB y y k k x x --==--， ()()()()()()()22121212122242228242428022222222MA MB x x t x x t t t t t k k x x x x +-+----+-++===----．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，10a e∴<< ．（Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点， 设()ln 12h x x ax =+-，则()12h x a x'=-， 0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；0a ∴>，由()0h x '=得：12x a=， ()h x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 120222h a a a a ⎛⎫∴=+-⨯> ⎪⎝⎭，即102a << ．又212112120,2ln 121110a h h e e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+-<-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()h x ∴在21111,,,22e a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，102a ∴<<． （Ⅲ）由（Ⅱ），结合()1120h a =->，知()111111,ln 120x h x x ax e<<=+-=， ()21111111ln ln 2x x x f x x x ax -=-=，设()()ln ,ln 0k x x x x k x x '=-=<，()k x ∴在()0,1上单减，()()11k x k ∴>=-()112f x ∴>- ．方法二：分离参数法 （Ⅰ）ln xa x=，两图象有两交点， 令()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'==，当()()()0,,0,x e g x g x '∈>单增， 当()()(),,0,x e g x g x '∈+∞<单减，()1g e e= 结合图像，10a e<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点，等价于ln 12x a x +=对应的两函数的图像有两交点． 令()()2ln 1ln ,2x xx x x xϕϕ+-'==，当()()()0,1,0,x x x ϕϕ'∈>单增， 当()()()1,,0,x x x ϕϕ'∈+∞<单减，()112ϕ=，结合图象，102a <<． （Ⅲ）由（Ⅱ）101x <<，下同方法一()112f x ∴>-．。

2017-2018学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数 学（文）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{{},2,xA x yB y y x A ====∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,22. 若cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ． 7.2万盒 B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ． 2B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83C. 3 D．39.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．φ B ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数2log y =+y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ． 14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16.如果一个正四面体与正方体的体积比是3，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ． 18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min ,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小． 19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点(M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n . （Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-112cos cos 32x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭()231cos 3x x =++-6sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min 6,3f x f x ∴==；（2）ADC ∆中，,sin sin 2AD AC BDC C ADC =∆∠中，sin sin2BD BCC BDC =∠， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =，2AD BD ∴=，BCD ∆中，2176822C C BD =-=-， ACD ∆中，2446822C CAD =-=-，cos22C ∴=，∴2C π∴=． 19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=， 竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=， 故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=， 解得86x =，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12， 利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人， 设分数在[)86,90的2人分别为12,A A ，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，所求的概率为310P =． 20.解：（Ⅰ）取AD 中点F ，连,PF BF ，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴== ∴BC（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角．由题意得PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==，0901ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，sin 4BHG ∴∠=．21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+ 联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，MA MB k k ==，()12120MA MB x x t x x t k k +-+-+===．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数 学（文）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,xA x y xB y y x A ==-==∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,2 2. 若2cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）A ． 7.2万盒B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A ． 2 B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83C. 823 D ．2239.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．φ B ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数32log y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ． 14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是223，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ． 18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min 22,,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小．19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6 15. 35516.233三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n . （Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-3112sin cos cos 322x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()33sin 231cos 3x x =++-6sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min 6,3f x f x ∴==；（2）ADC ∆中，,sin sin 2AD AC BDC C ADC =∆∠中，sin sin2BD BCC BDC =∠， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =，2AD BD ∴=，BCD ∆中，217122cos68482cos 22C CBD =-=-， ACD ∆中，244242cos 68482cos 22C CAD =-=-，2cos22C ∴=，∴2C π∴=． 19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=，竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=， 故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=， 解得86x =，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12， 利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人， 设分数在[)86,90的2人分别为12,A A ，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，所求的概率为310P =． 20.解：（Ⅰ）取AD 中点F ，连,PF BF ，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴== ∴3BC =（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角． 由题意得3PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==， 090123ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，3sin 4BHG ∴∠=． 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，121222,2222MA MB y y k k x x --==--， ()()()()()()()22121212122242228242428022222222MA MB x x t x x t t t t t k k x x x x +-+----+-++===----．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，10a e∴<< ．（Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点， 设()ln 12h x x ax =+-，则()12h x a x'=-， 0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；0a ∴>，由()0h x '=得：12x a=， ()h x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 120222h a a a a ⎛⎫∴=+-⨯> ⎪⎝⎭，即102a << ．又212112120,2ln 121110a h h e e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+-<-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()h x ∴在21111,,,22e a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，102a ∴<<． （Ⅲ）由（Ⅱ），结合()1120h a =->，知()111111,ln 120x h x x ax e<<=+-=， ()21111111ln ln 2x x x f x x x ax -=-=，设()()ln ,ln 0k x x x x k x x '=-=<，()k x ∴在()0,1上单减，()()11k x k ∴>=-()112f x ∴>- ．方法二：分离参数法 （Ⅰ）ln xa x=，两图象有两交点， 令()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'==，当()()()0,,0,x e g x g x '∈>单增， 当()()(),,0,x e g x g x '∈+∞<单减，()1g e e= 结合图像，10a e<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点，等价于ln 12x a x +=对应的两函数的图像有两交点． 令()()2ln 1ln ,2x xx x x xϕϕ+-'==，当()()()0,1,0,x x x ϕϕ'∈>单增，当()()()1,,0,x x x ϕϕ'∈+∞<单减，()112ϕ=， 结合图象，102a <<． （Ⅲ）由（Ⅱ）101x <<，下同方法一()112f x ∴>-．。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数 学（文）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,xA x y xB y y x A ==-==∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,2 2. 若2cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）A ． 7.2万盒B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A ． 2 B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83C. 823 D ．2239.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．φB ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数32log y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ． 14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是223，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ． 18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min 22,,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小．19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6 15.355 16. 233三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n .（Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-3112sin cos cos 322x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()33sin 231cos 3x x =++-6sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min 6,3f x f x ∴==；（2）ADC ∆中，,sin sin 2AD AC BDC C ADC =∆∠中，sin sin2BD BCC BDC =∠， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =，2AD BD ∴=，BCD ∆中，217122cos68482cos 22C CBD =-=-， ACD ∆中，244242cos 68482cos 22C CAD =-=-，2cos22C ∴=，∴2C π∴=． 19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=， 竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=， 故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=， 解得86x =，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人， 设分数在[)86,90的2人分别为12,A A ，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，所求的概率为310P =． 20.解：（Ⅰ）取AD 中点F ，连,PF BF ，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴== ∴3BC =（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角． 由题意得3PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==， 090123ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，3sin 4BHG ∴∠=． 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+ 联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，121222,2222MA MB y y k k x x --==--， ()()()()()()()22121212122242228242428022222222MA MB x x t x x t t t t t k k x x x x +-+----+-++===----．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，10a e∴<< ．（Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点， 设()ln 12h x x ax =+-，则()12h x a x'=-， 0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意； 0a ∴>，由()0h x '=得：12x a=， ()h x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 120222h a a a a ⎛⎫∴=+-⨯> ⎪⎝⎭，即102a << ．又212112120,2ln 121110a h h e e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+-<-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()h x ∴在21111,,,22e a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，102a ∴<<． （Ⅲ）由（Ⅱ），结合()1120h a =->，知()111111,ln 120x h x x ax e<<=+-=， ()21111111ln ln 2x x x f x x x ax -=-=，设()()ln ,ln 0k x x x x k x x '=-=<，()k x ∴在()0,1上单减，()()11k x k ∴>=-()112f x ∴>- ．方法二：分离参数法 （Ⅰ）ln xa x=，两图象有两交点， 令()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'==，当()()()0,,0,x e g x g x '∈>单增， 当()()(),,0,x e g x g x '∈+∞<单减，()1g e e= 结合图像，10a e<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点，等价于ln 12x a x +=对应的两函数的图像有两交点． 令()()2ln 1ln ,2x xx x x xϕϕ+-'==，当()()()0,1,0,x x x ϕϕ'∈>单增，当()()()1,,0,x x x ϕϕ'∈+∞<单减，()112ϕ=，结合图象，102a << ．（Ⅲ）由（Ⅱ）101x <<，下同方法一()112f x ∴>-．。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高二下学期春季联赛数 学（文）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,xA x y xB y y x A ==-==∈，则AB =（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,2 2. 若2cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2125-B ．2125C ．225-D ．2253.“x y ≠”是“x y ≠”的（ ）A ． 充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．18 D ．145.已知命题:,,p a b R a b ∃∈>且11a b >，命题3:,sin cos 2q x R x x ∀∈+<．下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ⌝∧B ．p q ∧ C. p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若,x y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ． 7.2万盒 B ．7.6万盒 C. 7.8万盒 D ．8.6万盒 7.将函数()2sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右移23π个单位后，所得图像关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A ． 2 B ．1 C.12 D ．148.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．83C. 823 D ．2239.函数ln xy x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设函数()()[)1,0,121,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()ln g x x =，若对任意实数()0,x ∈+∞，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．φ B ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.若函数()2y f x =-的图像与函数32log y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．223x - B ．23x C. 213x - D ．223x +12.已知函数()222,0,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(),e +∞ C. ()()0,1,e +∞ D ．()()20,1,e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量()2,1a =，()2,b x =，且()()2//23a b a b -+，则实数x = ． 14.执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n = ．15.已知点M 的坐标为()2,1，点(),N x y 满足1122x y y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则MN 的最小值为 ．16. 如果一个正四面体与正方体的体积比是223，则其表面积（各面面积之和）之比=S S 正四面体正方体．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()24*n n S a n n N -=-∈． （1）证明{}2n S n -+为等比数列； （2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T ． 18. 已知函数()12sin cos 3,0,64f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求函数()f x 的最大值()max f x 和最小值()min f x ；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min 22,,CD AC f x BC f x ===，求角C 的大小． 19. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，090ABC ∠=，//AB CD ，APD ∆是等边三角形，3BP =，2,AB AP AD BP ==⊥．（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值．21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ．直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：MEF ∆为等腰三角形． 22.已知()2ln f x x x ax =-，（Ⅰ）若()f x 有两个零点，求实数a 的范围； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，求证：()112f x >-．试卷答案一、选择题1-5:CABDB 6-10:CBBDD 11、12：BD二、填空题13. 1 14. 6 15. 35516.233三、解答题17.解:（Ⅰ）当1=n 时，2;4211≥=+-n S 时原式转化为：4)(21-=---n S S S n n n ， 即421+-=-n S S n n ，所以]2)1([221+--=+--n S n S n n ，所以{}2+-n S n 为首项为4，公比为2的等比数列.122+=+-n n n S ， 所以221-+=+n S n n . （Ⅱ）由（1）知：n n T n n 2)21()222(132-+++++++=+nn n n 22)1(21)214-++--=（ =4232222--++n n n ． 18.解：()12sin()cos 36f x x x π=+-3112sin cos cos 322x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()33sin 231cos 3x x =++-6sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在)6,0[π上单增，]4,6(ππ上单减，()()max min 6,3f x f x ∴==；（2）ADC ∆中，,sin sin 2AD AC BDC C ADC =∆∠中，sin sin2BD BCC BDC =∠， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =，2AD BD ∴=，BCD ∆中，217122cos68482cos 22C CBD =-=-， ACD ∆中，244242cos 68482cos 22C CAD =-=-，2cos22C ∴=，∴2C π∴=． 19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=， 竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=，故受奖励分数线在[)80,90之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=， 解得86x =，故受奖励分数线为86．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在[)86,90的人数为8，分数在[]90,100的人数为12， 利用分层抽样，可知分数在[)86,90的抽取2人，分数在[]90,100的抽取3人， 设分数在[)86,90的2人分别为12,A A ，分数在[]90,100的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，所求的概率为310P =． 20.解：（Ⅰ）取AD 中点F ，连,PF BF ，ADP ∆是等边三角形，PF AD ∴⊥,又AD BP ⊥ AD ⊥平面PFB ，BF ⊂平面PFB ，AD BF ∴⊥,2BD AB ∴== ∴3BC =（Ⅱ）AD ⊥平面PFB ，AD ∴⊂平面APD∴平面PFB ⊥平面APD ． 作BG PF ⊥交PF 于G ，则BG ⊥平面APD ，,AD BC 交于H ，BHG ∠直线BC 与平面ADP 所成的角． 由题意得3PF BF ==, 又3BP =0360,2GFB BG ∴∠==， 090123ABC BCD CD BH ∠=∠=∴=∴=，， ，3sin 4BHG ∴∠=． 21.解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）设直线m 为：()()11221,,,,2y x t A x y B x y =+联立: 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222280x tx t ++-=，于是82,222121-=-=+t x x t x x ．设直线,MA MB 的斜率为,MA MB k k ，要证MEF ∆为等腰三角形，只需证0MA MB k k +=，121222,2222MA MB y y k k x x --==--， ()()()()()()()22121212122242228242428022222222MA MB x x t x x t t t t t k k x x x x +-+----+-++===----．所以MEF ∆为等腰三角形 ．22．解：方法一：（Ⅰ）()()ln ,0f x x x ax x =->，()f x 有两个零点，()ln g x x ax ∴=-有两个零点，()1g x a x'=-， 0a ∴≤时()()0,g x g x '>在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；()0,a g x ∴>在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 10,0g a a a e ⎛⎫∴=->∴<< ⎪⎝⎭，又10a e<<时，()232221111133110,3ln 310a a g a g a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫=-<=-<--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴必有两个零点，10a e∴<< ．（Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点， 设()ln 12h x x ax =+-，则()12h x a x'=-， 0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在()0,+∞上单调，最多有一个零点，不合题意；0a ∴>，由()0h x '=得：12x a=， ()h x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，111ln 120222h a a a a ⎛⎫∴=+-⨯> ⎪⎝⎭，即102a << ．又212112120,2ln 121110a h h e e a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<=+-<-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()h x ∴在21111,,,22e a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，102a ∴<<． （Ⅲ）由（Ⅱ），结合()1120h a =->，知()111111,ln 120x h x x ax e<<=+-=， ()21111111ln ln 2x x x f x x x ax -=-=，设()()ln ,ln 0k x x x x k x x '=-=<，()k x ∴在()0,1上单减，()()11k x k ∴>=-()112f x ∴>- ．方法二：分离参数法 （Ⅰ）ln xa x=，两图象有两交点， 令()()2ln 1ln ,x xg x g x x x -'==，当()()()0,,0,x e g x g x '∈>单增， 当()()(),,0,x e g x g x '∈+∞<单减，()1g e e= 结合图像，10a e<<． （Ⅱ）()ln 12f x x ax '=+-有两个改变()f x '符号的零点，等价于ln 12x a x +=对应的两函数的图像有两交点． 令()()2ln 1ln ,2x xx x x xϕϕ+-'==，当()()()0,1,0,x x x ϕϕ'∈>单增， 当()()()1,,0,x x x ϕϕ'∈+∞<单减，()112ϕ=，结合图象，102a <<． （Ⅲ）由（Ⅱ）101x <<，下同方法一()112f x ∴>-．。

安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛（高一）数学（理科）参考答案及评分标准选择题答案：1-5 BBCAC 6-10 CCACA 11-12 DA1答案：B 解析：A ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x <－1或x >1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(1，＋∞)．2答案：B 解析：由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 14＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y x＝9，当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.选B. 3答案：C 解析：画出函数y又由题意可得，若函数y ＝log a x 的图象与函数y ＝f (x )的图象有交点，则需满足a >1.结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 2<1log a 3≥1，解得2<a ≤3，所以实数a最大值为3，故选C.4答案：A 解析：因为当λ＝0时，a 与b 的夹角为钝角，排除B ，D ；当λ＝4时，夹角为π，排除C ，选A.5答案：C 解析：设{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，由数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(1＋2＋4)＝7，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.6答案：C 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2311＝2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛-απ6－1＝2×49－1＝－19. 7答案：C 解析：∵2a sin C ＝3c ，∴2sin A sin C ＝3sin C ，∴sin A ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，∴△ABC 的周长为1＋23sin B ＋23sin C ＝1＋2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πB ，∴当B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为43，选C. 8答案：A 解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝21AB →，AQ →＝21AC →，此时m ＝n ＝21，故1m ＋1n ＝4，故选A.9答案：C 解析：因为函数y ＝xx 312+为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y＝31x 2＋1x 2＝311＋1x2，所以函数y ＝xx 312+在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝32<1，所以排除选项A ，故选C. 10答案：A 解析：∵(2n －3)a n ＋1＝(2n －1)a n ＋4n 2－7n ＋3，∴(2n －3)a n ＋1＝(2n －1)a n ＋(2n －3)(2n －1)， ∴132121=---+n a n a n n .∵a 1＝21，∴21121=-a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a n 是首项为21，公差为1的等差数列， ∴201)1(2132+=⨯-+=-n n n a n，∴a n ＝(n +20)(2n －3)，n ∈N *. 198024=a ，选A.11答案：D 解析：取BC 的中点D ，连接PD ，则PD =4,2θ=∠BPD ,在PBD Rt ∆中，由432tan=θ， 得BD =3.所以B (-2,-2),C(4,-2)，BP ,CP 的中点都是)(x f 的对称中心，且周期T=6，故选D12答案：A 解析：方法一：因为(31)y f x =-为奇函数，故(31)y f x =-的图像关于原点（0,0）对称，故)(x f y =的图像关于)0,1(-对称，从而)(x g y =的图像关于（0,1）对称，因为021=+x x ，所以12()()g x g x +=2.方法二：特例法,设(31)f x x -=,令t 31x =-，∴()1t +13x =，∴()1(t)t +13f =∴()1()+13f x x = ∵()yg x =与()y f x =关于()y x =-对称 ，∴()1+13x y -=-，()g x =31x +，∵21=+x x ，所以12()()g x g x +=2.13答案：2425解析：由三角函数定义知，cos α＝x ，sin α＝y .∴cos α＋sin α＝75∴(cos α＋sin α)2＝1＋sin2α＝4925，∴sin2α＝4925－1＝2425，∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πα＝sin2α＝2425. 14答案：41-解析：如图，∵AB →·AD →＝－1，AB ＝2，AD ＝1，∴|AB →|·|AD →|cos ∠BAD ＝－1，∴2cos ∠BAD ＝－1，cos ∠BAD ＝－12，∴∠BAD ＝120°.建立如图所示的平面直角坐标系，则MA ·MB ＝x (x －2)＋34＝(x －1)2－14. 令f (x )＝(x －1)2－14，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21，则f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1上单调递增，所以f (x )min ＝41-.15答案：1010解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2＝ac ，由正弦定理得sin2B ＝sinAsinC ， ∴B C A C A sin tan tan tan tan =+，∵tan B ＝t +13，∴sin B ＝101，∴1010tan tan tan tan =+C A C A 16.答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈311,611∪6371,0a 解析： 设)(x f y =与)31(+=x f y 的图像交于点A ，B ，且横坐标分别为)(,2121x x x x <，由图像可得满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥31)(a f a f 的实数a 的取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡311,∪021x x .对于1x ，由637131log log 11212+-=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x （负值舍去） 对于2x ，由611314log log 22222=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x ，综上可得，⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈311,611∪6371,0a 17．【解析】（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{/1}A x x =>,又220x x --≥， 得{}/21B x x x =≥≤-或，{}/2A B x x ∴⋂=≥.……………………………………………………4分（2）{/12}C x x ⊆-<<Q , ①当C =∅时，满足要求，此时1m m-≥， 得12m ≤；……………………………………………6分 ②当C ≠∅时，要{/12}C x x ⊆-<<，则1{1 1m 2m mm -<-≥-<，解得122m <<，…………………………8分 由①② 得， 2m <，∴实数m的取值范围(),2-∞.…………………………………………………10分18解：(1)由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6.…………………………………………………5分 (2)由正弦定理易知b sin B ＝csin C＝23，解得b ＝3.…………………………………………………7分又DC AD 2=，所以AD ＝23AC ＝23b ，即AD ＝2.在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，所以在△ABD 中，A ＝π6，AB ＝3，AD ＝2，由余弦定理得BD ＝1……………………………10分由R ABD22sin ==可知ABE∆的外接圆半径为1.………………………………………………12分19解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，解得a 1＝1，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n＝2n－1.……………………………………………………………………5分(2)b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1－1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ， …………………8分∴S n ＝12×⎪⎭⎫ ⎝⎛-311＋…＋12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n ＝3112≥+n n .…………………………12分 20解：∵△ABC三个内角A 、B 、C依次成等差数列，∴B ＝60°.………………………………………2分设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12.(1)∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.……………………………………………4分在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27. ……6分(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)，∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c=32时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3， 此时△ABC为等边三角形………………………………………………………………………………12分（其他解法请酌情赋分） 21.【解析】（1）)(41)(404sin 2020)(Z k k x Z k k x x x f ∈+=⇒∈=-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-=πππππ，这就是函数)(x f 的全部零点.已知函数)(x f 的全部正数的零点构成等差数列{a n }，则其首项等于41， 公差等于1，{a n }的通项公式就是*)(43N n n a n ∈-=…………………………………………………5分（2）nn nn n a b 2432⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=……………………………………………………………………………7分 利用错位相减法得22)1(1+-=+n n n T ………………………………………………………………12分22解:（1）若()2020f x =,则x 表示不超过20201+的最大整数, 所以120202020+<≤x ,故x的取值范围为20202021x ≤<；…………………………………………3分（2）若0x >,可得21110<+<x e ，()2()7f x f x +=, 则72()8x f x ≤+<,72()82x f x x -≤<-,…………………………………………………………5分当1x =时,()5f x =,不符合. 当2x =时,()3f x =,不符合. 则3x =时,()1f x =,不符合. 当23x <<时()2f x =,所以72282x x -≤<-,解得532x ≤<. 所以实数x 的取值范围为532x ≤<；……………………………………………………………………8分 方法二：画出两直线与函数y=f(x)的图像，由图象观察得：实数x 的取值范围为532x ≤<.（3）Θ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=-98),7(log 87,21)(27x x x x h x )(x h ∴在[)8,7单调递减,在[)9,8单调递增. 可得()()max 71h x h ==,()()min 80h x h ==,则()()()()23781h x h x h h -=-=, 所以()11g x >在[)7,9恒成立,即()1f x x k x+⋅>,整理得()2k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立,………10分当[)8,7∈x 时, 27x x k ->在[)8,7恒成立,即6->k ,当[)9,8∈x 时, 28x x k ->在[)9,8恒成立,即7->k ,综上可得: 实数k 的取值范围为6k >-.…………………………………………………………………12分。