合工大概率论2014-2015第一学期概率论B卷

A 卷北京科技大学2014—2015学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共15分）1. 从一副扑克牌四个花色的52张牌中随机抽取两张牌，则取到的两张恰是不同花色且最大点数为7的概率是 。

2. 设随机变量X 的概率密度函数是()2,4X af x x x =-∞<<+∞+，则a = 。

3. 若()2~1,X N σ，且()020.9544P X <<=，则()0P X <= 。

4. 设随机变量X 满足 2.5DX =，由切比雪夫不等式可以知道()7.5P X EX -≥≤ 。

5. 设随机变量,X Y 独立同分布，概率密度函数是(),0tf t e t -=>。

那么随机变量Z X Y =+概率分布密度函数()Z f z = ．填空题答案：1.117 2.2π 3.0.0228 4.2455.22,0te t ->二．选择题（每小题3分，共15分）1．对随机事件A 和B ，下述关系中正确的是 。

（A ）()A B B A ⋃-= （B ）()A B B A B ⋃-=- （C ）()A B B A -⋃=（D ）()A B B AB -⋃=2．一种零件的加工需要先后完成两道工序，第一道工序的废品率是p 次，第二道工序的废品率是q ，两道工序相互独立，则该零件加工的成品率是 。

（A ）1p q -- （B ）1pq -（C ）1p q pq --+ （D ）()()11p q -+-3. 设()1F x 和()2F x 分别是两个随机变量的分布函数，令()()()12F x aF x bF x =+，则下列各组,a b 的值中能使得()F x 是某个随机变量的分布函数的是 。

（A ）22,33a b == （B ）32,55a b == （C ）31,22a b ==-（D ）23,34a b ==4. 设随机变量()2~,X N μσ，则4E X μ-= 。

2014-2015一、（8”）设0x14，x n1(n1,2,)，证明数列x n存在极限，并求这个极限。

二、(10’’)试确定常数A, B,C的值，使得e x 1 B x C x2 1 A x (x3 ) ，其中o(x3)是当x→0 时比x3 高阶的无穷小。

三、求下列函数的极限：(18”,每题6”)1 1 、li mx 0 s i n 3 x12、li m c o s x x 2x 03、li mx 1 x ln x四、(8”)设f (x)在(−∞，+∞) 可导且F(x) =f (x)(1+| sin x|) ，证明F(x)在x= 0 处可导的充要条件为f (0) = 0.xt a n x六、(10”)就k的不同取值情况，确定方程x s i n x k在区间内根的个2 2数，并证明你的结论。

七、（7”）设函数y= y(x) 由方程所确定，求dy。

2y ty e5dx八、求下列函数的导数：（21 分，每题7 分）1 、y= sin(sin(sin x)) ，求y。

2 、y f( e x) e f ( x ) ，其中f具有二阶导数，求y。

3 、y ( x a1 ) k1 ( x a2) k2 ( x an) k n，求y。

x x 1五、(8’’)求函数f(x)(1x)4在区间(0,2π)内的间断点，并判断其类型。

九、（10”）设函数f(x)在闭区间[−1,1]上二次可导，且f(−1)=0,又g( x ) [ s i n (x1) ] f( x ) ，证明在( −1,1) 上至少存在一点ξ，使得g ( ) 0 。

XXXX 大学试卷标准答案及评分标准专用纸2014 ~ _2015__学年第 1 学期 概率论与数理统计 课程试卷A标准答案及评分标准 A 卷专业___ 级__ ______ 班级一、（每小题2分，共计16分）二、（每小题3分，共计24分）三、(6分) 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球. 试求：1. 求取出的球是白球的概率；2. 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解：1. 以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (H i )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===,由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053 ········································ 3分2. 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==. ························ 3分四、(每题4分，共8分) 计算下列各题：1. 设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其它x x x f ，Y 表示对X 的5次独立观察中事件}21{≤X 出现的次数，求D Y .XXXX 大学试卷标准答案及评分标准专用纸解：,81d 3}21{2132102===≤⎰x z x X P ························································· 2分 Y ~B (5,1/8).，则D Y =np (1-p )=5×1/8×7/8=35/64 ············································· 2分2. 设X 与Y 相互独立，都服从[0，2]区间上的均匀分布，求概率P (X ≤Y ).解：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,0,20,20,41),(y x y x f …………………………………………..2分则23d 41d d d 41)2(-2020===≤+⎰⎰⎰⎰x Dy x y x Y X P ……………………………………….2分 五、(10分) 设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,20,2)(其它x xx f ，试求：1. X 的分布函数F (x )；2. P {|X |<1}；3. Y = e X 的密度函数)(y f Y解：1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=<=⎰2,1,20,4d 2,0,0)(20x x x x xx x F x................................................................... 4分 2. 41d 2}1{10==<⎰x x X P ............................................................................................... 3分 3 y = e x 单调升，且yx y x 1,ln ='=,, 则⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅=其它,0,e 1,2ln 1)(ln )(2y y y y y f y f Y ....................................................... 3分六、(12分) 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧><<=-其它。

2013～ 2014年概率论与数理统计A 卷答案一、选择填空题（共18分）1.箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为（ D ） A.15/28 B.13/28 C.5/28 D.3/282.设2~(,)X N μσ，则随σ增加，概率(||)P X μσ-<（ C ） A.单调增加B.单调减少 C.保持不变D.与μ有关3.设总体2123(,),,,XN u X X X σ是总体X 的样本，则以下μ的无偏估计中， 最有效的估计量是（ C ）.A.12X X -B.123121236X X X +-C. XD.123241555X X X +-4.设()0.5,()0.8P A P A B ==，且A 与B 互斥，则()P B =0.35.设随机变量X 在（1,6）服从均匀分布，则(24)P X <<=0.46.若总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知，则对总体均值μ进行区间估计时选择的枢轴量为X t =二、计算题（共30分）1.某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。

一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30。

（1）求一年中投保人出事故的概率；（2）现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.解：设i A :投保人是“谨慎的、一般的、冒险的”(i=1,2,3)，B:投保人出事故 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.20.050.50.150.30.30.175=⋅+⋅+⋅= （2）111()(|)(|)()P A P B A P A B P B =0.20.0520.0570.17535⋅==≈2.设随机变量X（1）求()E X ； （2）求()D X .解：（1）11111()(2)01264342E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=（2）222221111()(2)01226434E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=2217()()()244D XE X E X ∴=-=-=3.设随机变量X 的概率密度为3,0()0,x ce x f x -⎧>=⎨⎩其他（1）求常数c ；（2）求(1)P X <. 解：（1）3301()33x x c cf x dx ce dx e +∞+∞+∞---∞===-=⎰⎰，故3c =（2）1133300(1)31x x P X e dx e e ---<==-=-⎰三、计算题（共40分）1.设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律求（1）X 的边缘分布律； （2）)1(22≤+Y X P . 解：5115(0)2481212P X ==++=， 7517(1)24241212P X ==++=X 的边缘分布律为（2）2251755(1)24824246P X Y +≤=+++= 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为38,01,01(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，（1）求X 与Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否独立?(说明理由) 解：（1）01x <<时，130()(,)82X f x f x y dy xy dy x +∞-∞===⎰⎰，01y <<时，1330()(,)84Y f y f x y dx xy dx y +∞-∞===⎰⎰.2,01()0,X x x f x <<⎧∴=⎨⎩其他,34,01()0,Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其他 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，所以X 与Y 相互独立.3.设总体X 的概率密度为1,01,0(,)0,x x f x θθθθ-⎧<<>=⎨⎩其他,12,,,n X X X 是总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量. 解：似然函数为11111()(,)nnnni ii i i i L f x x x θθθθθθ--======∏∏∏，1ln ()ln (1)ln ni i L n x θθθ==+-∑，似然方程为1ln ()ln 0ni i d L n x d θθθ==+=∑ 解得1ln nii nXθ==-∑是θ的最大似然估计量。

14-15学年第2学期概率统计B 卷参考答案及评分标准一、选择题〔每题3分，共计21分〕1~8 BDCD CAA二、填空题〔每题3分，共计21分〕8. 0.5；9. 0.4；10. 0.5；11. 0.42；12. 1/9；13. 8/15；14. 23。

三．计算题〔每题6分，共12分〕21.设A ，B 为随机事件，且P 〔A 〕=0.7,P (A -B )=0.3，求P 〔AB 〕.【解】 P 〔AB 〕=1-P 〔AB 〕…..2分=1-[P (A )-P (A -B )] …..2分=1-[0.7-0.3]=0.6…..2分22.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：〔1〕 X 的分布律；〔2〕 X 的分布函数；【解】〔1〕X0 1 2 P 2235 1235 135〔2〕 当x <0时，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=0当0≤x <1时，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)= 2235当1≤x <2时，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=1故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩…..4分四．综合题〔每题8分，共16分〕23.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表：1 2 3 1 0 131113C 2228⨯⨯= 23111C 3/8222⨯⨯= 0 X Y24.设随机变量X 的分布律为求E 〔X 〕，【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=…..3分 (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= …..3分 D 〔X 〕=1…..2分五．综合题〔此题12分〕25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：〔1〕考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？〔2〕考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，那么A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P 〔A 〕=0.8，P 〔A 〕=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P 〔B |A 〕=0.9，P 〔B |A 〕=0.9，…..2分 故由贝叶斯公式知 〔1〕()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+…..2分 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯…..2分 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+…..2分 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯…..2分 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.…..2分。

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在 试 题2014 年 ~ 2015 年第 一 学期课程名称： 复变函数 专业年级：考生学号： 考生姓名：试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 □ 闭卷 √……………………………………………………………………………………………………一、单项选择题。

（每小题3分，共15分）1、132i +的辐角主值为 （ ）A ．3pB ．3p -C ．23pD ．23p - 2、设(1)(2)(1)(2)i i z i i +-=-+，则z = （ ） A ．2 B ．1 C ．4 D ．53、函数()f z 在区域D 内可导是函数()f z 在区域D 内解析的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4、0z =是1()zf z e =的 ( )A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点 5、函数1()ze f z z-=在0=z 点的留数为 （ ） A ．0 B ．i C ．1- D ．2二、填空题。

（每小题3分，共15分）6、(1)Ln -= _____．7、方程410z -=的四个根为___________．8、241lim(122)z z z ®++=___________．注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在。

2014 —2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）
2
20,X 是来自__________.
则θ的费______________.
n X ,, 为来自该总体的样本，
,,
X是来自
n
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,,n x 是来
2014—2015学年第 1学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A 卷）答案及评分标准
,
,n X 是来自答案、评分标准：11
)n x θ-
ln )n x +
+ln )(n x θ++解得最大似然估计为
13,
,x 与17,,y y . 已 知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布
2014—2015学年第 1 学期数理统计课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准
x是来
,,
n
答案、评分标准：
,,;)
xθ=
n
θ
,)()
h X。

一、填空题１．6e ；２. 42212)arctan(x x x ++ ；３.2222x x x e e C ----+；４. ex y =； ５.1)e π-． 二、选择题１. C ；２. B ；３. B ；４. B ；５. D ． 三、解：１．利用夹逼准则,2222222111ππ2πππn n n n n n n n n n ⎛⎫<+++<⎪+++++⎝⎭ 再由22π1lim lim 11πn n n n n n →∞→∞==++，222π1lim lim 11πn n n n n →∞→∞==++ 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++ ２．原式23-0)(-3211cos x -3sinx lim 2120x =+=-=→x x ；３．两边取对数 , 化为隐式ln sin ln y x x =⋅，两边对 x 求导，1sin cos ln x y x x y x'=⋅+ sin sin (cos ln )x xy x x x x'∴=⋅+； ４．2223d 1d 1, d 2d 4y y t x t x t+==-； ５．解：22arctan 1111arctan ()arctan 1x dx xd x dx x x xx x =-=-+⋅+⎰⎰⎰ 221111arctan ()arctan ln ln(1)12x x dx x x x C x x x x =-+-=-+-+++⎰６．210121101(1)()(1)1f x dx f x dx dx ln x dx x ---==+++⎰⎰⎰⎰ 2ln 214π=+-．四、解 ()()221cos lim lim 1x x x f x x --→→-==()22000cos d cos lim limlim 11xx x x t t x f x x+++→→→===⎰ 故()()()0lim lim 0x x f x f x f -+→→==.因此()f x 在 0x =处连续. 又()()()()2300021cos 0limlim 00x x f x f x x f x x ---→→---'===- ()()()20200cos d 00lim lim00xx x t t x f x f f x x +++→→--'===-⎰故()f x 在 0x =处可导，且()00f '=.五、解 定积分应用：旋转体体积。