合肥工业大学数理统计期末试题

数理统计期末复习题答案一、选择题1. 以下哪项不是描述统计学的特点？A. 描述性B. 推断性C. 数量化D. 客观性答案：B2. 正态分布的均值和方差之间的关系是：A. 均值是方差的两倍B. 均值是方差的平方根C. 均值和方差无关D. 均值是方差的平方答案：C3. 以下哪个选项不是参数估计的目的？A. 估计总体参数B. 估计样本参数C. 估计总体分布D. 估计总体特征答案：B4. 点估计与区间估计的区别在于：A. 点估计给出一个值，区间估计给出一个范围B. 点估计给出一个范围，区间估计给出一个值C. 点估计和区间估计都给出一个值D. 点估计和区间估计都给出一个范围答案：A5. 以下哪个不是假设检验的基本步骤？A. 建立假设B. 选择检验统计量C. 确定显著性水平D. 计算样本均值答案：D二、填空题1. 样本均值的期望等于总体均值，这是_______的性质。

答案：无偏性2. 总体方差的估计量是样本方差乘以_______。

答案：n/(n-1)3. 假设检验中的两类错误是_______和_______。

答案：第一类错误；第二类错误4. 置信度为95%的置信区间意味着，如果重复抽样，大约有95%的置信区间会包含总体参数。

5. 相关系数的取值范围是[-1, 1]，其中1表示_______，-1表示_______。

答案：完全正相关；完全负相关三、简答题1. 请简述中心极限定理的内容。

答案：中心极限定理指出，无论总体分布如何，只要样本量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。

2. 什么是独立同分布的随机变量序列？答案：独立同分布的随机变量序列指的是一系列随机变量，它们相互独立，且每个随机变量都服从相同的分布。

3. 请解释什么是总体和样本，并给出它们在统计分析中的作用。

答案：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。

在统计分析中，由于直接研究总体往往不现实或成本过高，我们通过研究样本来推断总体的特征。

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +. 9.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）10. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(177x x x x ⎰+-求12. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x13. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

安徽大学2011 — 2012学年第一学期 《数理统计》考试试卷（B 卷）（闭卷时间120分钟）院/系 ______________ 年级 __________ 专业 _______________ 姓名 ________________ 学号 ________题号-一--二二三四五总分得分得分一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设总体X 〜N （1,9），（X 1, X 2,, X 9）是X 的样本，贝U （3、若总体X 〜N （~；「2），其中匚2已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1-：减 小，则"■的置信区间（）（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.4、 在假设检验中，分别用〉，［表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容 量n—定时，下列说法中正确的是（ ）.（A ）：减小时-也减小；（B ）:增大时-也增大； （C ） 其中一个减小，另一个会增大； （D ） （A ）和（B ）同时成立.5、 在多元线性回归分析中，设 {?是卩的最小二乘估计， ―Y- XJ ?是残差向量，则 （ ）.（A ） ； ? =0 n ；（ B ） Cov （?）x 2［l n — X （XX ），X ］；（C ） -------- 是▽2的无偏估计；（D ） （A ）、（B ）、（C ）都对.n — p TX -1 (A) ------------ N(0, 1);1X -1(C) ------------ N(0, 1);9(B ) (D ) X -13 则服从自由度为 n -1的t 分布的统计量为（)0（A ）虫」） CT (a 、J n -1 (X - 卩)(B)S n(C ) ■■■ n—1(x 」)N(0, 1)； N(0, 1) • •. n (X - ■')s X -1 1 n _2、设X 1,X 2,…,X n 为取自总体X 〜N （~；「2）的样本，X 为样本均值，S ；=-v （X i-X ）2， n ◎6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0, 32），而（X,X 2 HX 9 和（丫1飞川,绻）是分别来自X 和Y 的样本，则U = X 1+川 ％ 服从的分布是 _____________ .W 刁“丫f7、设0?与区都是总体未知参数日的估计，且0?比区有效，则9?与髭的期望与方差满足8设总体X ~ N （〜；「2），-2已知，n 为样本容量，总体均值」的置信水平为1 -：的置 信区间为（X-+肋，则k 的值为 _________________ .9、 设X 1,X 2,...,X n 为取自总体X~N （.L ,；「2）的一个样本，对于给定的显著性水平 ：•，已知关于2检验的拒绝域为2鼻（n —1）,则相应的备择假设H 1为 ________ ;10、 多元线性回归模型Y= X B 乜中，B 的最小二乘估计是0二 ___________________ .三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50 分） （X 1,X 2,||（,X n ）为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计12、设X 1,X 2，…，X n 是来自总体X 〜P （'）的样本，■・0未知，求’的最大似然估计量得分、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 得分11已知总体X 的概率密度函数为f （X ）二0,x 0其它 其中未知参数n 0,13、已知两个总体X与丫独立，Xf,；、2） , 丫~（七,/） , r,b,打，；打未知，_2（人公2,|||必口）和MY/IYJ分别是来自X和丫的样本，求冷的置信度为1-:的置信区间•14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤•在一批苹果中随机取9个苹果称重，得其样本修正标准差为S =0.007公斤,试问：（1）在显著性水平〉=0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求？（2）如果调整显著性水平〉=0.025，结果会怎样？（盂.025 （9） =19.023, 翁05（9）=16.919, 監略（8） =17.535,尤0.°5 （8） =15.507 ）15、设总体X〜N（a,1），a为未知参数，a，R，，…，X.为来自于X的简单随机样本，现考虑假设：H。

1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足：{}P X a α<=的常数a =（ ）A. u αB. 1u α-C. 1(1)2u α- D. 112uα-2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）A. 1H 为真时，接受1H .B. 1H 不真时，接受1H .C. 1H 为真时，拒绝1H .D. 1H 不真时，拒绝1H .3. 设15,,X X L 为总体X σ2～N(0,)的样本，则统计量2212323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及常数应该为（ ）A. a=-1, b=3, ~(2)t θB. a=5, b=11 2~(2)θχ C. a=215σ, b=2111σ 2~(2)θχ D. a=215σ, b=2111σ ~(1,2)F θ 4. 设ˆθ是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22ˆθθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：*()n F x =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估计值为_______________.3. 设*()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X L 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数bx ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为________________________.5. 设12,,,n X X X L 是X 的样本，当方差2σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。

1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足：{}P X a α<=的常数a =（ ）A. u αB. 1u α-C. 1(1)2u α- D. 112uα-2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）A. 1H 为真时，接受1H .B. 1H 不真时，接受1H .C. 1H 为真时，拒绝1H .D. 1H 不真时，拒绝1H .3. 设15,,X X 为总体X σ2～N(0,)的样本，则统计量2212323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及常数应该为（ ）A. a=-1, b=3, ~(2)t θB. a=5, b=11 2~(2)θχ C. a=215σ, b=2111σ 2~(2)θχ D. a=215σ, b=2111σ ~(1,2)F θ 4. 设ˆθ是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22ˆθθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：*()n F x =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估计值为_______________.3. 设*()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数bx ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为________________________. 5. 设12,,,n X X X 是X 的样本，当方差2σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。

（一）01年1.设X 1，X 2，…,X n 是总体X 的样本，通常指x 1,x 2,…,x n ——X 的样本值是 。

A.来自总体X 的一组具体的实验数据B.与总体X 同分布，但不一定相互独立的随机变量C.与总体X 同分布，且又相互独立的随机变量D.与总体X 不一定同分布，但相互独立的一组随机变量 2.设X i ~N (μ，σ2)(i =1,2,…,n),且相互独立，则统计量221()ni i X μσ=-∑服从 分布。

3.设总体X 的均值E (X )=μ未知，方差已知D (X )=σ2,对样本平均值11ni i X X n ==∑，样本修正方差*2211()1n i i SX X n ==--∑，下列是统计量的是： 。

A.1X μ- B.**1()n X X σ-X 4.设*()n F x 是样本X 的经验分布函数，()F x 是总体X 的分布函数，则格列文科(W. Glivenko)定理指出：对∀ɛ>0，有*lim {sup |()()|}1n n x P F x F x ε→∞-∞<<+∞-<=。

5.假设检验的小概率原则指出： 小概率事件在一次独立实验中几乎不可能发生 。

6.设来自几何分布1211,,{}(1)(1,2,)k pEX DX P X k p p k p p--====-=，则参数p 的矩估计为 。

7.设总体X~N(μ,σ2), X 1，X 2，…,X n 是总体X 的一组样本，σ2未知时，作μ的区间估计时，使用的统计量是： 。

A. X T =B. X T =C. X τ=D.222(1)n S χσ-=8.假设检验中，原假设为H 0，犯第二类错误的概率为ɑ，则 =ɑ。

A.P{接受H0/H0不真}B.P{拒绝H0/H0不真}C.P{拒绝H0/H0为真}D.P{接受H0/H0为真} *此类题目只要记住犯第一类错误是“弃真”、犯第二类错误是“取伪”即可！若考查第一类，则答案应为？。

合肥⼯业⼤学试卷概率论与数理统计01合肥⼯业⼤学2001-2002学年2000级《概率统计》期末考试卷⼀、填空题（每⼩题３分）1、若事件A,B相互独⽴，且P(A)=0.5, P(B)=0.6, 则P(A B)=_____。

2、⼀射⼿对同⼀⽬标独⽴地进⾏四次射击。

若⾄少命中⼀次的概率为80/81，则该射⼿的命中率为_____。

3、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(x=k)=2k e-2/k!?k=0,1,2,…..,则随机变量Y=3X-2的数学期望为E（Y）=____。

4、设随机变量X的数学期望为E（X）=,⽅差D（X）=，则对任意正数，有切⽐雪夫不等式_____。

5、设总体X～N(),已知，为来⾃总体X的⼀个样本，则的置信度为1-的置信区间为___________。

⼆、选择题（每⼩题３分）1、对任意两个事件A和B，有P(A-B)=( )。

(A) P(A)-P(B) (B) P(A)-P(B)+P(AB) (C) P(A)-P(AB) (D) P(A)+P(B)-P(AB)2、设两个相互独⽴的随机变量X和Y的⽅差分别为4和2，则3X-2Y的⽅差为（ )。

(A) 44 (B) 28 (C) 16 (D) 83、设随机变量X的概率密度为 f(x)=则k=( )。

（A) (B) 3 (C) - (D) -34、设是来⾃总体N()的简单随机样本，为样本均值，为样本⽅差，则服从⾃由度为n-1的t分布的随机变量是（）。

（A） (B) (C) (D)5、关于两随机变量的独⽴性与相关系数的关系，下列说法正确的是（）。

(A) 若X,Y独⽴，则X与Y的相关系数为0 (B) X,Y的相关系数为0，则X,Y 独⽴(C) X,Y独⽴与X,Y的相关系数为0等价 (D)以上结论都不对。

三、（６分）设15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取⼀只，作不放回抽样。

⽤X 表⽰取出次品的只数，求X的分布律。

统计学期末考试内容（附参考答案）一.选择题1.一个统计总体( D )。

A.只能有一个标志B.只能有一个指标C.可以有多个标志D.可以有多个指标2.数理统计学的奠基人是( C )A.威廉·配第B.阿享瓦尔C.凯特勒D.恩格尔3.( A )是统计的根本准则，是统计的生命线A.真实性B.及时性C.总体性D.连续性4.对某城市工业企业的设备进行普查，填报单位是( C )。

A.全部设备B.每台设备C.每个工业企业D.全部工业企业5.统计调查项目是( )。

A.调查过程中应进行的工作总和B.统计调查计划C.在进行调查过程中必须得到回答的问题目录D.用统计调查的结果来得到答案的项目6.下面哪一条不是统计分组的作用( D )A.划分类型B.反映总体内部结构C.研究现象间的依存关系D.反映现象的变动趋势7.加权调和平均数有时可作为加权算术平均数的( A )A.变形B.倒数C.平均数D.开平方8.标准差系数抽象为( )A.总体指标数值大小的影响B.总体单位数多少的影响C.各组单位数占总体单位总数比重的影响D.平均水平高低的影响9.现有一数列：3，9，27，81，243，729，2 187，反映其平均水平最好用( D )A.算术平均数B.调和平均数C.几何平均数D.中位数10.某企业2005年职工平均工资为5200元，标准差为110元，2008年职工平均工资增长了40%，标准差增大到150元。

职工平均工资的相对变异( )A.增大B.减小C.不变D.不能比较11.动态数列的构成要素( B )A.变量和次数B.时间和指标数值C.时间和次数D.主词和宾词12.以1949年a0为最初水平，1997年a n为最末水平，计算钢产量的年平均发展速度时，须开( C )A.41次方B.47次方C.48次方D.49次方13.编制综合指数数量指标指数时，其同度量因素最好固定在( B )A.报告期B.基期C.计划期D.任意时期14.狭义指数是反映( C )数量综合变动的方法A.有限总体B.无限总体C.复杂总体D.简单总体15.抽样极限误差是指抽样指标与总体指标之间( D )A.抽样误差的平均数B.抽样误差的标准差C.抽样误差的可靠程度D.抽样误差的最大可能范围16.双边检验的原假设通常是( A )A.H0:X＝X0B. H0:X≥X0C. H0:X≠X0D. H0:X≤X017.合理施肥量与农作物亩产量之间的关系是( B )A.函数关系B.单向因果关系C.互为因果关系D.严格的依存关系18.如果变量x和变量y之间的相关系数为-1，这说明两个变量之间是( B )A.低度相关关系B.完全相关关系C. 高度相关关系D.完全不相关19.国民经济核算是对( C )实行现代化管理，加强总体控制和调节的重要手段。

题目内容统计认识对象是（）统计认识过程是（）某班5名同学的某门课的成绩分别为60、70、75、80、85，这5个数是（）调查某市职工家庭的生活状况时，统计总体是（）调查某班50名学生的学习情况，则总体单位是（）构成统计总体的基础和前提是（）统计学研究对象的最基本特征是（）某企业职工张三的月工资额为500元，则―工资‖是（）象―性别‖、―年龄‖这样的概念，可能用来（）调查某校学生的学习、生活情况，学生―一天中用于学习的时间‖是（）一个统计总体（）统计对总体数量的认识是（）变量是可变的（）研究某企业职工文化程度时，职工总人数是（）某银行的某年末的储蓄存款余额（）年龄是（）社会经济统计的研究对象是（）。

构成统计总体的个别事物称为（）。

对某城市工业企业未安装设备进行普查，总体单位是（）。

标志是说明总体单位特征的名称（）。

总体的变异性是指（）。

工业企业的设备台数、产品产值是（）。

几位学生的某门课成绩分别是67分、78分、88分、89分、96分，―学生成绩‖是（）。

在全国人口普查中（）。

下列指标中属于质量指标的是（）。

指标是说明总体特征的，标志是说明总体单位特征的，（）。

统计指标按所反映的数量特点不同可以分为数量指标和质量指标两种。

其中数量指标的表现）离散变量可以（）统计所研究的是（）统计学是一门关于研究客观事物数量方面和数量关系的（）统计学的研究方法有很多，其特有的方法是（）―统计‖一词的基本涵义是（）统计最基本的职能是（）统计学作为统计实践活动的理论总结和概括的一门独立的科学，始于（）历史上最先提出统计学一词的统计学家是（）历史上―有统计学之名，无统计学之实‖的统计学派是（）。

历史上―有统计学之实，无统计学之名‖的统计学派是（）―统计‖一词的三种涵义是（）。

统计活动过程一般由四个环节构成，即（）。

研究某市工业企业生产设备使用情况时，总体是该市( )统计指标按其作用功能不同分为通过有限的种子发芽实验结果来估计整批种子的发芽率，这种方法属于（）统计学研究的基本特点是（）一名统计学专业的学生为了完成其统计作业，在《统计年鉴》中找到的2009年城镇家庭的人均收入数据属于（）男婴女婴出生的性别比例看似无规律可循，但是经统计，没出生100个女孩，相应的就有107个男孩出生，这反映了统计的（下列哪个测定，只能进行计数运算（）统计学的两大类基本内容是（）以下岗职工为总体，观察下岗职工的性别构成，此时的标志是（）总体的两大特点是（）下面属于品质标志的是（）标志是（）下面属于连续变量的是（）指出下列的变量那个属于顺序变量某研究部门准备在合工大经济学院抽取200位学生，推断该学校学生的平均成绩，这项研究的总体是（）某研究部门准备在合工大经济学院抽取200位学生，推断该学校学生的平均成绩，这项研究的样本是（）A B C D社会经济现象的数量方面社会经济现象的质量方面社会经济现象的数量方面和社会经济现象的所有方面从质到量从量到质从质到量，再到质和量的结从总体到个体指标标志变量变量值该市全部职工家庭该市每个职工家庭该市全部职工该市职工家庭户数该班50名学生该班每一名学生该班50名学生的学习情况该班每一名学生的学习情况综合性同质性大量性变异性总体性数量性具体性社会性品质标志数量标志数量指标质量指标表示总体特征表示个体特征作为标志使用作为指标使用标志指标变异变量只能有一个标志只能有一个指标可以有多个标志可以有多个指标从总体到单位从单位到总体从定量到定性以上都对品质标志数量标志数量标志和指标质量指标数量标志数量指标变量质量指标一定是统计指标一定是数量标志可能是统计指标，也可能是既不是统计指标，也不是数变量值离散型变量连续型变量连续型变量，但在应用中常抽象的数量特征和数量关系社会经济现象的规律性社会经济现象的数量特征和社会经济统计认识过程的规调查单位标志值品质标志总体单位工业企业全部未安装设备工业企业每一台未安装设备每个工业企业的未安装设备每一个工业企业它有品质标志值和数量标志品质标志具有标志值数量标志具有标志值品质标志和数量标志都具有总体之间有差异总体单位之间在某一标志表总体随时间变化而变化总体单位之间有差异连续变量离散变量前者是连续变量，后者是离前者是离散变量，后者是连品质标志数量标志标志值数量指标男性是品质标志人的年龄是变量人口的平均寿命是数量标志全国人口是统计指标社会总产值产品合格率产品总成本人口总数标志和指标之间的关系是固标志和指标之间的关系是可标志和指标都是可以用数值只有指标才可以用数值表示绝对数相对数平均数百分数被无限分割，无法一一列举按一定次序一一列举，通常连续取值，取非整数用间断取值，无法一一列举社会经济的总体现象社会经济的个体现象社会经济的总体现象或个体非社会经济的总体现象社会科学自然科学方法论科学实质性科学统计推断法统计分组法大量观察法综合指标法统计调查、统计整理、统计统计设计、统计分组、统计统计方法、统计分析、统计统计学、统计工作、统计资信息职能咨询职能反映职能监督职能15世纪末叶16世纪末叶17世纪末叶18世纪末叶威廉·配弟阿亨瓦尔康令约翰·格朗特政治算术学派国势学派数理统计学派社会统计学派政治算术学派国势学派数理统计学派社会统计学派统计活动、统计资料和统计统计调查、统计整理和统计统计设计、统计分析和统计统计方法、统计分析和统计统计调查、统计整理、统计统计调查、统计整理、统汁统计设计、统计调查、统计统计设计、统计调查、统计每一家工业企业所有工业企业工业企业每一单位生产设备工业企业所有生产设备时期指标和时点指标实物指标和评价指标数量指标和质量指标描述指标、评价指标、监测推断统计学描述统计学数学逻辑学从数量上认识总体单位的特从数量上认识总体的特征和从性质上认识总体单位的特从性质上认识总体的特征和分类数据顺序数据截面数据时间序列数据从数量方面入手认识现象的总体性的特点国家进行宏观调控工具的作宣传教育作用定类测定序列测定定比测定统计资料的收集和分析理论统计和运用统计描述统计和推断统计统计预测和决策男性职工人数女性职工人数下岗职工的性别性别构成大量性和数量性同质性和数量性同质性和变异性同质性和大量性学生年龄学生性别学生身高学生成绩说明总体特征的名称说明总体单位特征的名称都能用数值表示不能用数值表示工厂数职工人数工资总额产品数年龄工资汽车产量员工对企业某项改革态度（合工大经济学院200位学生合工大经济学院所有学生合工大经济学院所有学生的合工大经济学院200位学生的成绩合工大经济学院200位学生合工大经济学院所有学生合工大经济学院所有学生的合工大经济学院200位学生的成绩E正确答案ACDABBBBCADBCBCBCDBCBDBBBBABACCDADDCBADDBABCBACADBBCDCD研究者想要了解的总体的某种特征值称为（）用来描述样本特征的概括性数字度量称为（）在不同时间点上收集的数据称为（）通过调查或观测而收集到的数据称为（）在相同或近似相同的时点上收集的不同区域的数据称为（）统计调查按调查单位在时间上进行登记的连续性不同，可分为（）统计调查是统计工作的一项( )确定统计调查方案的首要问题是（）对某地工业企业职工进行调查，调查对象是（）要了解合肥市居民家庭的收支情况，最适合的调查方式是：（）在统计调查中，报告单位是（）普查工作可以（）所选择单位的标志总量占全部总体标志总量的绝大比例，这些单位就是( )抽样调查所抽出的调查单位是( )要调查某工厂的全部机器设备的情况，该工厂的每台机器设备是( )只对全国几个大型钢铁企业进行调查就可以了解全国钢铁生产的基本情况，这种方式是（）。

数理统计期末试题及答案注意事项：本文为数理统计期末试题及答案，按照试题的要求，将试题和答案进行整理和排版，以便学生们参考和复习。

以下为试题及答案的详细内容。

一、选择题1. 下列哪个统计图可以用于表示定性变量的分布情况？A. 饼图B. 直方图C. 线图D. 散点图答案：A2. 假设某地区的年降雨量服从正态分布，平均降雨量为50mm，标准差为10mm。

设有一天的降雨量为X，X~N(50,10^2)，则P(X≥60)等于多少？A. 0.1587B. 0.3413C. 0.5000D. 0.8413答案：D3. 在一场篮球赛中，甲队的命中率为75%，乙队的命中率为80%。

已知甲队共投篮20次，乙队共投篮30次。

问：甲队在这场比赛中命中球的次数比乙队多多少次？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 某投资公司第一天投资100万美元，以后每天投资额为前一天的1/4。

设投资额构成一个等比数列，求该公司的总投资额。

A. 200万美元B. 240万美元C. 250万美元D. 300万美元答案：C5. 一个城市中共有A、B、C三个医院，过去一年中A医院门诊病人数占总病人数的1/3，B医院门诊病人数占总病人数的1/4，C医院门诊病人数占总病人数的1/6。

如果某天随机选择一位门诊病人，那么他就诊于C医院的概率是多少？A. 1/6B. 1/5C. 1/4D. 1/3答案：A二、计算题1. 设X为正态分布随机变量，已知X~N(50,16)，求P(45≤X≤55)。

答案：要求P(45≤X≤55)，可以使用标准正态分布表计算。

先求得标准化后的值：(45-50)/4=-1.25，(55-50)/4=1.25。

查表可得P(-1.25≤Z≤1.25)=0.7881-0.1056=0.6825。

故P(45≤X≤55)≈0.6825。

2. 甲、乙两人独立地各自以相同的速率生产零件，甲人生产的零件平均每小时有2个次品，乙人生产的零件平均每小时有3个次品。

概率论与数理统计 课程( A 卷)（11gb 机制5，6，7，8）答案及评分标准一、 填空题：1. A B C2. 0.23. 24. 125. 2(1)χ 二、选择题：6.B7.C8.B9.A 10.C 三、计算题：11.记事件:i A 任取一件元件，来自第i 车间(1,2,3)i =； 事件:B 任取一件元件为次品. 由题意有1()0.35P A =，2()0.50P A =，3()0.15P A =；及1()0.03P B A =，2()0.04P B A =，3()0.05P B A =，……4分 (1) 由全概率公式得所求概率 31()()()0.038i i i P B P B A P A ===∑. …………..8分 (2) 由贝叶斯公式得 11131()()21()0.276376()()iii P B A P A P A B P B A P A ====∑ …………..11分12. (1) {2}(2)ln 2P X F <==； ………….3分{03}(3)(0)1P X F F <≤=-=； …………..6分(2) 1,1()()0,x ef x F x x ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 …..……11分 13. ()(2)0.400.320.30.2E X =-⨯+⨯+⨯=-； ………..3分2222()(2)0.400.320.3 2.8E X =-⨯+⨯+⨯=；………..6分[]22()()() 2.76D X E X E X =-=； ………..8分22(35)3()513.4E X E X +=+=； ………..11分 14.(1) 由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 211214121x c dx cx ydy -==⎰⎰，故214c =；………..5分 (2) 2621(),11()(,)80,X x x x f x f x y dy +∞-∞⎧--<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他；…..8分527,01()(,)20,Y y y f y f x y dx +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他； …..11分15.由题意有 ()1E X =,()4D X =;2)(=Y E ,9)(=Y D , 则 ()()()()123E Z E X Y E X E Y =+=+=+= …………3分()()()2(,)D Z D X D Y Cov X Y =++()()29D X D Y ρ=++= ……7分(,)(,)(,)(,)Cov X Z Cov X X Y Cov X X Cov X Y =+=+()2XY D X ρ=+= ……10分31)()(),(==Z D X D Z X Cov XZ ρ ………………….13分16. (1)令11μ=A ,其中X A =1,1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==+=+⎰, 代入得 12X θθ+=+ …………4分 得θ的矩估计为112ˆ+--=X X θ. …………6分 (2)设n x x x ,,,21 为一组样本观察值，则 似然函数为11()(,)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏ …………9分取对数 1()(1)ln ni i LnL nLn x θθθ==++⋅∑令 1()ln 01ni i dLnL n x d θθθ==+=+∑ …………12分得θ的极大似然估计为1ˆ1ln nii nxθ==--∑ …………13分。

高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答案第一部分：选择题（共60分）请在每道题目后面括号内选择正确答案并填写在答题卡上。

1. 下列哪个统计指标可以用于描述数据的集中趋势？A. 标准差B. 方差C. 中位数D. 偏度（）2. 某班级的人数的平均值为65，标准差为4。

如果一个同学的分数在80分的位置上，其标准化分数为多少？A. -3.75B. -3C. 3D. 3.75（）3. 对于一个正态分布，大约有多少个观测值在平均值的两个标准差范围内？A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 100%（）4. 下列哪个检验方法可以用于比较两个样本均值是否有显著性差异？A. 卡方检验B. 方差分析C. T检验D. 相关分析（）5. 对于一组数据，如果众数、中位数和平均数三者相同，则数据呈现什么类型的分布？A. 正态分布B. 偏态分布C. 均匀分布D. 无法确定（）第二部分：填空题（共40分）请在下列每道题目的空格内填写正确答案。

1. 离散型随机变量的概率质量函数是由______给出的。

2. 两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。

3. 在正态分布中，标准差为1，均值为0的分布称为______。

4. 在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则拒绝______假设。

5. 相关系数的取值范围为______。

6. 在回归分析中，自变量对因变量的解释程度可以通过______来衡量。

7. 当两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。

8. 当置信区间越窄时，对于参数估计的精确度越______。

第三部分：简答题（共100分）请简要回答下列问题。

1. 请解释什么是统计学，并简要介绍统计学在实际生活中的应用场景。

2. 请解释什么是正态分布，并说明其性质和应用。

3. 请解释什么是假设检验，并简述其步骤。

4. 请解释什么是回归分析，并说明其与相关分析的区别。

5. 请解释什么是抽样误差，并介绍减小抽样误差的方法。

第一章 概率论的基本概念习题1—1 随机事件1.设C B A ,,表示三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： （1）C A ,都发生，B 不发生； 【 ,ABC AC B - 】 （2）三个事件中至少有一个发生; 【 A B C 】（3）三个事件中至少有两个. 【 ,AB ACBC ABC ABC ABC ABC +++ 】2．设某人对一目标接连进行三次射击，设{i A =第i 次命中}123i =（，，）；{j B =射击恰好命中j 次}0123j =（，，，）；{}0123k C k k ==三次射击至少命中次（，，，）. （1）通过321,,A A A 表示2B ; 【 2123123123B A A A A A A A A A = 】（2）通过123,,B B B 表示2C . 【 223C B B = 】3. 设,,A B C 为三个事件，指出下列各等式成立的条件. （1）A C B A =； 【 A BC ⊂ 】 （2）A B C A =； 【 B C A ⊂ 】（3）A B AB =； 【 A B = 】（4）()A B A B -=。

【 AB φ= 】习题1—2 概 率1．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======求下列事件的概率： （1）()P A B C ； （2）．)(C B A P 解 （1）3317()()()()()()()()481616P AB C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=-+= (2）()9()1()16P ABC P A B C P A B C ==-=.2．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，求至少有2只配成一双的概率.解 12112542254101321C C C C C p C +==， 或 411115222241013121C C C C C p C =-= ．3．从[0,1]中随机地取两个数，求下列事件的概率：（1）两数之和小于54；（2）两数之积大于14； （3）以上两个条件均满足.解 （1）设A ：两数之和小于54， 则有133123244()132P A -⨯⨯==． （2）设B ：两数之积大于14，则有1141(1)314()ln 2142dxxP B -==-⎰．（3）11451()3113315144()ln 2ln 2142244322x dxxP AB --==--⨯⨯=-⎰．4．旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和 日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，在其中任意挑选一人，求此人会讲英语和日语， 但不会讲法语的概率．解 设A ：会讲英语，B ：会讲日语，C ：会讲法语．则有：()P ABC =329()()0.23100100P AB P ABC -=-=．习题1-3 条件概率1．根据对电路停电情况的研究，得到电路停电原因的一下经验数据：5%是由于变电器损坏；80%是由于电路线损坏；1%是由于两者同时损坏. 试求下列各种停电事件发生的概率。

完整版试卷分享2014年合肥工业大学概率论与数理统计试卷A一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 设()0.7,P(A-B)=0.3,P A =则______()______.P AB = 2. 已知随机变量X 的分布律为()(23),1,2,,kP X k a k ===则______.a =3. 设随机变量X 与Y 相互独立,(0,2),XU Y 的分布律为011323⎛⎫⎪⎝⎭, 则(34)___.D X Y -+=4. 设1234,,,X X X X 为取自总体(0,4)XN 的样本，已知212(2)Y a X X =-+234(34)b X X -服从2χ分布，则2_____,_____,a b χ==的自由度为_____.5. 设总体22(,),,XN μσμσ均未知，12,,,n X X X 为其样本，μ的置信度为0.95的置信区间为(X X -+，其中2,X S 为样本均值和方差，则________.a =二. 选择题（每小题3分，共15分）1. 设,A B 是两个随机事件，且0()1,()0,()(),P A P B P B A P B A <<>=则必有（ ）()()();()()();A P A B P A B B P A B P A B =≠()()()();()()()().C P AB P A P B D P AB P A P B =≠2. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则下列函数必为概率密度函数的是（ ）()()(A f a x a -为常数) (B f ()()(C af ax a 为常数）；2()2().D xf x3. 设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则（ ）()a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1()a=0.3,b=0.2()a=0.1,b=0.4.A C D ；；；. 4. 设随机变量,X Y 不相关，则下述选项不正确．．．的是（ ） ()();()();A E X Y EX EY B D X Y DX DY +=++=+()();()().C E XY EX EY D D XY DX DY =⋅=⋅5. 设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2211()1ni i S X X n ==--∑为样本方差，则（ ） 22()(0,1);()();A nXN B nS n χ2122(1)(1)()(1);()(1,).nii n X n X C t n D F n SX=---∑三.（本题满分12分）设10件产品中有2件次品，8件正品，现从中任取两件，每次一件，取后不放回，试求下列事件的概率：(1) 两次均取得正品；(2) 第二次取得次品；(3) 两次中恰有一次取得正品.四. (本题满分12分） 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他 令2,(,)Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数，求：（1）Y 的概率密度()Y f y ；（2）1(,4)2F ；（3）(,)Cov X Y .五.（本题满分14分）设随机变量(,)X Y 的概率密度为,01,0(,)0,cx x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他求：（1）常数c ；（2）,X Y 边缘密度函数(),()X Y f x f y ；（3）(1)P X Y +≤;(4) Z X Y =-的概率密度函数.六.（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度为,0()0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,定义随机变量12,Y Y 为2,,3,,k X k Y X k ≤⎧=⎨>⎩(1,2)k =，求：（1）12,Y Y 的联合分布律，（2）判断12,Y Y 的相关性.七.（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为21,(;)0,x F x x x αααα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩， 其中参数0,α>设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，求未知参数α的矩估计量和极大似然估计量.八.（本题满分8分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分标准差为15分，在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.0.0250.050.025( 1.96, 1.645,(35) 2.0301,u u t ===0.0250.05(36) 2.0281,(35) 1.6896)t t ==.。

合工大数电期末试卷一、选择：（每题3分，共计30分）1、表示任意两位无符号十进制数需要二进制数。

A ．6B ．7C ．8D ．9 2、标准或-与式是由构成的逻辑表达式。

A ．与项相或 B. 最小项相或 C. 最大项相与 D.或项相与 3、从JK 触发器是。

A. 在CP 的上升沿触发B. 在CP 的下降沿触发C. 在CP = 1的稳态下触发D. 与CP 无关4、R 、S 是RS 触发器的输入端，则约束条件为。

A. RS = 0B. R + S = 0C. RS = 1D. R + S = 15、触发器的现态为0，在CP 作用后仍然保持0状态，那么激励函数的值应该是。

A. J = 1, K = 1 B. J = 0, K = 0 C. J = 0, K = dD. J = 1, K = d6、同步计数器是指的计数器。

A. 由同类型触发器B. 各触发器的时钟端连接在一起，统一由时钟控制C. 可以用前一级触发器的输出作为后一级触发器的时钟D. 可以用后一级触发器的输出作为前一级触发器的时钟7、下列触发器中，不能实现1n Q = nQ 的是。

A. JK 触发器B. D 触发器C. T 触发器D. RS 触发器8、4位二进制加法计数器正常工作时，从0000开始计数，经过1000个输入计数脉冲之后，计数器的状态应该是。

A. 1000B. 0100C. 0010D. 00019、可以用来实现并/串和串/并转换的器件是。

A. 计数器 B. 移位寄存器 C. 存储器 D. 序列信号检测器10、设计一个四位二进制码的奇偶位发生器（假定采用偶检验码），需要个异或门。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空：（每题2分，共10分）1、（48）10 =（_________）16 =（______________）2 。

2、集成触发器三种结构：、的和。

3. 函数的反函数 = 。

4、时序逻辑电路的功能表示方法有：、、和。

北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期数理统计学期末考试试卷（A 卷）（闭卷部分）答案一．（本题满分10分）设总体X 存在二阶矩，()μ=X E ，()2v a r σ=X ，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，X 是样本均值，2S 是样本方差．⑴ 计算()X var ；⑵ 如果()2,~σμN X ，计算()2var S ．解：⑴ ()()n n n n X nX n X ni ni in i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===． ⑵ 因为总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21 是取自总体X 中的一个样本，所以()()1~1222--n S n χσ．所以，()()()()()()121211v a r 111v a r v a r 42422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n n S n n S σσσσσσ．二．（本题满分10分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X 是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-． 又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．三．（本题满分10分） 设总体()θθ2,~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个充分统计量． 证明：总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它021θθθx x p ．所以，样本()n X X X ,,,21 的联合密度函数为()nni i x p θθ11=∏=；，()()n i x i ,,2,1,2 =<<θθ()()θθθ211<≤<=n x x nI ．令()θθθθ221211,,<≤<=t t nI t t g ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()n ni i x x x h t t g x p ,,,,,21211θθ=∏=；．因此由因子分解定理，知统计量()()()n X X T ,1=是未知参数θ的充分统计量．四．（本题满分6分） 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0022θθθx x x p其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个矩估计量．解：()()()3623122232032202θθθθθθθθθ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰+∞∞-x x dx x x dx x xp X E ．得方程 ()3θ=X E ，解方程，得()X E 3=θ．将()X E 替换成X ，得未知参数θ的矩估计量X 3ˆ=θ． 五．（本题满分14分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（10分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（4分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =． 所以似然函数为 (){}n ni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 六．（本题满分14分） 设总体()2,~σμN X ，其中μ与2σ都是未知参数，+∞<<∞-μ，0>σ．()n X X ,,1 是取自该总体中的一个样本．试求：⑴ μ与2σ的最大似然估计量（10分）；⑵ ()5>=X P p 的最大似然估计量（4分）． 解：⑴ X 的密度函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-2221222exp 2,σμπσσμx x p ；，()+∞<<∞-x ． 所以，似然函数为 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==∑∏=-=ni i nni ix x p L 1222212221exp 2,,μσπσσμσμ；． 取对数，得 ()()()∑=---=ni i x n L 12222212ln 2,ln μσπσσμ． 分别对μ与2σ求偏导数，并令其为0，得似然方程组()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=-=∂∂∑∑==0212,ln 01,ln 124222122ni i n i i x n L x L μσσσμσμσσμμ ． 解方程组，得x x n n i i ==∑=11μ，()∑=-=n i i x x n 1221σ，因此得μ与2σ的最大似然估计量为X X n n i i ==∑=11ˆμ，()∑=-=n i i X X n 1221ˆσ． ⑵ 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N X 2,~σμ，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>=n n n X P X P X P p σμσμσμ5151515， 所以()5>=X P p 的极大似然估计量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=n SXp 51ˆ． 七．（本题满分6分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本，样本量2≥n ．试求待估函数()2p p g =一个无偏估计量． 解：令21X X T =，由于()()()()22121p X E X E X X E T E ===， 所以21X X T =就是()2p p g =的一个无偏估计量．八．（本题满分12分）设总体X 服从指数分布，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x p 1，并指出该分布是什么分布（4分）？⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）；⑶ X 为样本均值，指出X 与T 哪一个更有效（4分）． 解：⑴ 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t p x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnx x n x n e n e e n x p x F n x p -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．⑵ 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤na X aE X E i ni 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．⑶ 由于()θ=T E 以及()θ=X E ，因此i ni X n T ≤≤=1min 与X 都是未知参数θ的无偏估计量．又由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，因此()221min var n X i n i θ=≤≤，所以()()()2222121m i n v a r m i n v a r v a rθθ=⋅===≤≤≤≤n n X n X n T i ni i ni ，又 ()()nn X X 2v a r v a r θ==， 由于 ()()T nX v a r v a r 22=≤=θθ，所以X 比T 更有效．九．（本题满分8分）设总体()θ,0~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试验证()n X T =是参数θ的一个完备统计量． 解：()n X T =的密度函数为 ()nn n nx x p θ1-=，()θ<<x 0．设()n X T =的函数()()n X ϕ满足()()()0=n X E ϕ，即有 ()()()()()()001===⎰⎰-+∞∞-θϕθϕϕdx x x ndx x p x X E n nn n ，()0>θ． 则有 ()001=⎰-θϕdx x x n ．对θ求导，得()01=⋅-n θθϕ，()0>θ． 因此得 ()0≡θϕ，()0>θ．这表明，()()10==X P ϕ，因此()n X T =是参数θ的一个完备统计量．十．（本题满分10分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 一致最小方差无偏估计量． 解：X 的分布列为 ()()xx p p x X P --==11，()1,0=x ．所以样本()n X X X ,,,21 的联合分布列为()()∑-∑====-=∏ni i n i ix n x ni i i p px X P 1111()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅-=∑=p p x p n i i n1ln exp 11令()()np p -=1α，()∑==ni i n x x x x T 121,,, ，()ppp -=1lnϕ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()(){}()n n ni i i x x x h p x x x T p x X P ,,,,,,exp 21211ϕα⋅==∏=并且p 的定义域为()1,0，()ppp -=1lnϕ的值域为()∞+∞-,，都是一维开集， 所以()∑==ni i n X X X X T 121,,,是参数p 的充分完备统计量．又∑==ni i X n X 11是参数p 的无偏估计量，而且是()∑==ni i n X X X X T 121,,,的函数，因此∑==ni i X n X 11是参数p 的一致最小方差无偏估计量．。