2018年秋人教版七年级数学上册习题课件43角433余角和补角

三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
为
.
70°
关闭
答案
知识梳理 预习自测
5.若一个角是86°39',则它的余角是
是
.
,补角
12345
3°21' 93°21'
关闭
答案
1

1.余角和补角的计算 【例1】 一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的大小. 分析可以设这个角为x°,然后用x表示出它的补角和余角,并列出 方程求解即可. 解：设这个角为x°,则它的补角是(180°-x°),它的余角是(90°-x°). 根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),解得x°=60°. 答:这个角是60°.
2.同角(等角)的余角 相等 ;同角(等角)的补角 相等 .
3.用角度表示方向,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转
的角度表示方向,如图所示,OA表示的方向
是东北方向或北偏东45,°OC表示的方向是 北偏西60° ,OB表示
的方向是 南偏西30° ,西南方向表示 南偏西45°
.
知识梳理 预习自测
1.若α与β互为余角,则( ) A.α+β=180° B.α-β=180° C.α-β=90° D.α+β=90°
D
12345
关闭
答案
知识梳理 预习自测
2.若∠α的补角是120°,则∠α的余角是( ) A.60° B.120° C.30° D.45°

3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
考考你:
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
85°
175°
58° 19°21 ′
148° 109°21 ′
无 无 90°-X°
80° 44.5° 180°- X°
结论:锐角的补角比它的余角大90°
1、互余的两个角一定都是锐角吗？ 2、若∠1+ ∠2+∠3= 90°，则∠1、 ∠2和 ∠3互余吗？ 3、一个角的补角是否一定是钝角？
义务教育教科书《数学》七年级上册
问题1、如图两堵墙围一个 ∠AOB ，但人不能进入围 墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
A
B O
(1)分别过直角∠AOB和平角∠DEF两个角的顶点画 射线OC,EG
A
C G
O
B
D
E
F
问题2：射线将直角和平角分成几部分？
它们的度数关系如何？
问题3：将两个角拉开，它们的度数关系 有变化吗？
∠4 =90°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 90°－∠1 = 90°－∠3 即：∠2 =∠4
1 与 2 互 补 ， 3 与 4 互 补 ， 如 果 1 = 3 ， 那 么 2 与 4 相 等 吗 ？ 为 什 么 ？

余角、补角的性质(重难点) 例题：如图 1，A、O、E 三点在同一条直线上，且∠AOC ＝∠BOD＝90°.
图1 (1)指出图中∠BOC 的所有余角； (2)∠DOC 与∠AOB 有什么关系？为什么？
思路导引：关键看∠BOC 与哪些角的和为 90°. 解：(1)∠BOC 的余角有∠AOB 和∠COD. (2)∠DOC＝∠AOB. 因为∠DOC 和∠AOB 都是∠BOC 的余角， 所以它们相等．
解析：同角的余角相等．
4．如果∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，那么∠1 与∠3 的关系是_∠__1_＝__∠__3，根据是___同__角__的__补__角__相__等____________．
5．甲看乙的方向是北偏西 25°，那么乙看甲的方向是
__南__偏__东___2_5_°_．
6．按逆时针方向从西北转到西南所转过的度数是( B )
1．如果∠β＝20°，那么∠β的余角等于( B )
A．20°
B．70°
C．110° D．160°
2．一个角的补角是( D )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．以上三种情况都有可能
3．如果∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互余，那么∠1 与∠3
的关系是( B )
A．∠1>∠3
B．∠1＝∠3
C．∠1<∠3
D．不能确定
第3课时 余角和补角
1．余角、补角的概念 1．如果两个角的和为 90°，那么就说这两个角互为余角， 即其中一个角是另一个角的余角． 2．如果两个角的和为 180°，那么就说这两个角互为补角， 即其中一个角是另一个角的补角．
2．余角、补角的性质 等角的余角___相__等___，等角的补角___相__等___． 3．方位角 方位角是表示方向的角，以正南、正北方向为基准，表示 成南(北)偏东(西)××度的形式． 特别地，西北方向指北偏西 45°，东北方向指北偏东 45°， 西南方向指南偏西 45°，东南方向指南偏东 45°.

1 2
O
3
(∠1+∠2=90°, ∠2+∠3=90°)
（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
AOC与BOD B
(∠1=∠3)
D
（3）你能用一句话概括以上规律吗?
同角的余角相等
14
3、如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那 么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？
∠2 又∵ ∠1＝ ∠2
等角的补角相等。
∴ 1800－ ∠1＝ 1800－∠2
4.3.3余角和补角
1
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总体概述
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2
∠1＋∠2有什么关系？
∠1＋∠2＝900
❖如果两个角的和等于900（直角）， 我们就说这两个角互为余角。把其 中一个角称为另一个角的余角
3
❖ 如果 1＝300，2＝250， 3＝350，那么 它们互为余角。 （错）
又∵ ∠1＝∠３（已知）
∴ ∠2=∠４（等量代换）
2
1
4 3
补角性质：同角或等角的补角相等 12
动手画图，探索性质
1.请你借助直角三角板，在原图上画出∠COB 所有的余角。
A C
O
B
D
13
四．动手画图，探索性质
2.画完图后请回答下列问题：
A
（1）图中有哪几对互余的角?
C BOC与AOC， BOC与BOD
18
∠1与∠ADC互余 ∠2与∠BDC互余 E （∠1＋∠ADC＝900）（∠2＋∠BDC＝900 ）

2
2
= 1 (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和
∠BOE也互为余角.
C D
E
A
O
B
变式训练 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． 〔1〕∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_，∠COD的余角是 ___∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_; 〔2 〕OE是∠BOC的平分线吗？请阐明理由．
第四章 图形初步认识 4.3 角
4.3.3 余角和补角以及方位角
学习目的
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、 2. 补角的知识处理相关问题.(重点、难点) 3. 2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识处理一些简单的实践问
题.(难点)
将一张长方形纸片，沿一个角
2
折叠后，折痕与长方形的边构成了4 1
方位角的一边是表示正北或正南的射线， 另一边是表示偏西或偏东的射线。
如图，说出以下方位 (1) 射线 OA 表示的方向
为 北偏东 40. ° (2) 射线 OB 表示的方向
为 _北__偏西 6_5°. (3) 射线 OC 表示的方向
为 南偏西 45°(西南.) (4) 射线 OD 表示的方向
为 南偏东 20. °
分析：相对方位，度数不变，方 向相反
1 290 ( 190 2)
1 2180 ( 1180 2)
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
方位角
定义 书写
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称 为方位角，普通以正北、正南为基准，用向东或 向西旋转的角度表示方向

理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m

知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准， 沿什么方向旋转30°. 提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°. 2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋 转45°. 提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.
3.点C与以上两个方向线有什么关系？ 提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为基准，描述物体运动方向的角.

所以∠COD
+∠COE
＝
1 2
(∠AOC+∠BOC)
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE， ∠AOD 和∠COE ，
∠COD 和∠BOE与 ∠BOC互补外，还有哪些角互为补角？
∠AOD和∠DOB ∠AOE和∠EOB
灯塔A在货轮O的南偏东60°方向上，反过 来，货轮O在灯塔A的什么方向上? 北偏西60°
强化练习
如图，射线OA表示的方向 是 北偏西30°，射线OB表示 的方向是 南偏西45° 或 西南方向 ，射线OC表示的 方向是 南偏东70° .
随堂演练
1.下列说法不正确的是（B） A.任意两直角互补 B.任意两锐角互余 C.同角或等角的补角相等 D.同角或等角的余角相等
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
4. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度?
【课本P139 练习 第4题】
5.一个角是钝角，它的一半是什么角？
课堂小结
90°
如果两个角的和等于90° （直角），就说这两个角 互为余角，即其中每一个 角是另一个角的余角.
180°
如果两个角的和等于180° （平角），就说这两个角 互为补角，即其中一个角 是另一个角的补角.
知识点2 余角和补角的运用
例 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD 和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中 哪些角互为余角？
分析：要找图中互余的角，就 是要找和为 90度°的两个角.
解：因为A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和
∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC、∠BOC，

【总结提升】应用方位角注意的几点 1.画方位角时，一般以正北或正南方向作角的始边. 2.一定要分清东、南、西、北. 3.书写方位角时，先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东” 不要写成“东偏北”. 4.“东北”方向指正北与正东方向的角平分线，“西北”“东 南”“西南”依此类推.
题组一：余角和补角 1.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的 是( )
【总结提升】正确理解互余、互补 1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位 置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补. 2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°； 互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也 不可能都大于90°.
知识点 2 方位角 【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使 C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地 的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为基准，描述物体运动方向的角.
(打“√”或“×”) (1)互余的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
【解析】选D.因为互补的两角之和是180°，所以70°角的补角 应大于90°，故选D.
2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
【解析】选D.选项A中的中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.

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回味 无穷
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角的 补角相等。
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判断题：
(1)互余的两个角必定都是锐角．
( )
(2) ＝30°，那么它是余角． (3) 一个角的补角必定是钝角．
( )
( )
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，
另一个是钝角．
( )
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作业： 作业本（2）P33
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∠ β的余角＝（ 90 °）－ ∠ β ． ∠ а 的补角＝180 °－ （ ∠ а ）；
∠ β的补角＝（ 180º ）－ ∠ β ．
当∠ а ＝∠ β时，∠ а的余角与∠ β 的余角有什 么关系？ ∠ а的余角与∠ β 的余角相等．
余角和补角的性质:
等角的余角相等．
同样可以得到：等角的补角相等．
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2.已知1=37°24’，则1的余角=__5_2_º_3_6_’ __;
1的补角=__1_4_2__º3__6_’ _.
已知2=m°(m小于90)，则2的余角=_9_0_º_-_m_º___; 2的补角=_1_8_0_º_-_m_º___.
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探索发现
∠ а 的余角＝９０ °－ （ ∠ а ）；
C
1
2
A
O
D 解: 相等的角有: ∠AOD= ∠BOC 互补的角有: ∠1与∠BOC， ∠1与∠AOD，