高三数学棱柱的应用

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题39棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题型一 棱柱的表面积【例1】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483+B ．(483+C ．24D ．144【答案】A【解析】由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯⨯=所以表面积(483S =.【变式1-1】长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =，210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.【变式1-2】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A ．B ．C ．135D ．135【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15=则这个直棱柱的侧面积为.45=【变式1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm 【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．【变式1-4】（多选题）长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ） A ．长方体的表面积为20 B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【解析】长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2BC =，11BB =. 求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示， 将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B 时的最短距离是如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==， 即经过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是 如图（4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==即经过侧面11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.题型二 棱锥的表面积【例2】已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A ．3B ．12C ．8D ．43 【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥-S ABCD 中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以22512SE SB BE =-=-=，所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.【变式2-1】棱长为1的正四面体的表面积为（ ） A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 【答案】A【解析】如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024=⋅⋅=ABCSAB AC ， 所以可知：正四面体的表面积为43=ABCS.【变式2-2】正三棱锥底面边长为a ，高为6，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234aB ．232aC ．24aD ．22a【答案】A【解析】因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233⨯=a a ，， 22632632a a a ， 2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.【变式2-3】如图，已知正三棱锥SABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积． 【答案】27 3.【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.题型三 棱台的表面积【例3】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640 【答案】B【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴221641082-⎛⎫-= ⎪⎝⎭等腰梯形的面积为：()14168802'=⨯+⨯=S ∴棱台的侧面积为：3380240'==⨯=S S .【变式3-1】已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为. 【答案】23【解析】设正四棱台的高、斜高分别为h 、h'.由题意得，4×12×(1+2)×h'=12+22，解得h'=56.根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h 2+(1−12)2=(56)2，解得h=23.【变式3-2】若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a 33，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292a D ．232a【答案】C【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，13323OD a ==，1113O D a ==，116∴=-=DE OD O D a .在1Rt DED 中，16=D E a ，则1=D D ==a . 2193(2)22∴=⨯+=侧S a a a a .【变式3-3】已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________cm 2. 【答案】50 6【解析】侧面等腰梯形的高为52－1＝26(cm)，所以侧面积S ＝5×(4＋6)×262＝506(cm 2)．题型四 棱柱的体积【例4】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1 C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是23(2)134⨯⨯=.【变式4-1】已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 【答案】 6【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.【变式4-2】如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1-AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18 【答案】A【解析】设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1-AEF ＝V F -A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16·S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD -A 1B 1C 1D 1， 所以V ABCD -A 1B 1C 1D 1＝6V A 1-AEF ＝6×2＝12. 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【变式4-3】正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm 【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618=a ，解得=a 所以该正方体的体积为3==V a 3cm .题型五 棱锥的体积【例5】如图，已知高为3的棱柱111-ABC A B C 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1-B ABC 的体积为（ ）A ．14 B ．12C D【答案】C【解析】三棱锥1-B ABC 的体积为：111113332⋅⋅=⨯⨯⨯=ABCSh .【变式5-1】正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B ．3C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333==⨯⨯=V Sh .【变式5-2】已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.322【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，因为四棱锥的棱长均为4，所以⊥SO 平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高， 所以4,22==SA OA ，所以2222-SO SA OA ，所以113224422333=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯V AB AD SO .【变式5-3】如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）623；（223. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt △PBD 中，可得2222=-=PD PB BD ∴1222=⋅=△PBC S BC PD . ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥-P ABC 的侧面积是362=△PBC S .∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032=⨯⨯⨯︒=△ABC S 则正三棱锥-P ABC 的表面积为623；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则⊥PO 底面ABC .且1333==OD AD . 在Rt POD 中，2269=-=PO PD OD .∴正三棱锥-P ABC 的体积为13⋅=△ABC S PO题型六 棱台的体积【例6】正三棱台ABC-A 1B 1C 1中，O 1，O 分别是上底面A 1B 1C 1、下底面ABC 的中心，已知A 1B 1=O 1O=√3，AB=2√3.求正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积; 【答案】214【解析】由题意得，正三棱台ABC-A 1B 1C 1的上底面面积为√34×(√3)2=3√34， 下底面面积为√34×(2√3)2=3√3， 所以正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为13×(3√34+√3√34×3√3+3√3)×√3=214.【变式6-1】我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺) ( )A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7784立方尺D.11 676立方尺【答案】B【解析】如图所示，正四棱锥S-ABCD 的底面边长为2丈，即AB=20尺，高3丈，即SO=30尺. 截去一段后，得正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1， 且上底面边长A 1B 1=6尺，∴30−OO 130=12×612×20，解得OO 1=21，∴该正四棱台的体积是13×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺).【变式6-2】如图所示，已知三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，AB=2A 1B 1，截去三棱锥A 1-ABC 后，剩余部分的体积为 ( )A.14V B.23V C.37V D.35V 【答案】C【解析】设三棱台的高为h ，上底面A 1B 1C 1的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.因为AB=2A 1B 1，所以S 下=4S 上，所以三棱台的体积V=13(S 上+S 下+√S 上S 下)h=13(5S 上+√4S 上2)h=73S 上h.三棱锥A 1-ABC 的体积为13S 下h=43S 上h ， 所以剩余部分的体积为37V .【变式6-3】（多选题）已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台体积为【答案】AD【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于=AB11=A B △11SA B 与∆SAB 相似比为1:2；则124==SA AA ，2=AO ，则=SO 1OO ， ，A 对；因为4===SA SC AC ，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为844122=++=++⨯=+侧上底下底S S S S C 错； 11(S )(822)33'==++=V h S D 对.。