广东省广州市2020届高三二模文科数学试题(原卷版)

2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|x2+3x<0}，则A∪B=()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−3,1)D. (−∞,1)2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则x，y满足的关系是()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.若sin(π+α)=23，则cos2α的值为()A. 19B. 29C. 13D. −134.若等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，则公比为()A. 1B. 1或−2C. −1或2D. −1或−25.某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16].根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为()A. 5B. 10C. 20D. 806.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 与AC 交于点G ，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )A. 97B. 74C. 72D. 929. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长和侧棱长相等，D 为A 1A 的中点，则直线BD 与B 1C 所成的角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10. 已知函数f (x )=2sin x2(cos x2−√3sin x2)+√3，先将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再沿x 轴向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数y =g(x)，若g(x)的图象关于直线x =3π4对称，则θ的最小值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π311. 已知以双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心，以a 为半径的圆与直线y =ba x 交于A,B 两点，若|AB |=√2a ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. √6212. 已知点A(a,b)在y =−x 2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y =x +2的图象上，则(a −m)2+(b −n)2的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={2x −5(x ⩾2)f(x +2)(x <2)，则f(−2)=_________________．14. 抛物线y 2=4x 上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为___________．15. △ABC 中，A =120°，AB =4，点M 是边BC 上一点，且CM =4MB ，AM =8√35，则BC 的长为______．16.四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，PA=√2，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，且a3=4，S4=S2+12，求：(1)首项a1及公比q的值；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在如图所示的多面体ABCDE中，AB//DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=√5，F是CD的中点．(Ⅰ)求证AF//平面BCE；(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积．19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；(附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，P 是C 上的一个动点．当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1． (1)求C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t 的取值范围．21.已知函数f(x)=xe x−ae x−1，且f′(1)=e．(1)求a的值及f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)=kx2−2(k>2)存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1−x2|>ln4．e22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，)，将直线l1绕极点O x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2个单位得到直线l2．逆时针旋转π3(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O,A两点，直线l2和曲线C交于O,B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|，(1)解不等式f(x)≥2x+1；(2)∃x∈R，使不等式f(x−2)−f(x+6)<m成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查并集及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．化简集合A，B，进而利用并集的定义即可求得结果．解：因为A={x|−1<x<1},B={x|−3<x<0},所以A∪B={x|−3<x<1}，故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的模与四则运算，属于一般题．解析：解：设z=a+bi则|a+(b−1)i|=1，则√a2+(b−1)2=1则x，y满足的关系是.x2+(y−1)2=1故选C．3.答案：A解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．解：若sin(π+α)=23=−sinα，∴sinα=−23，则cos2α=1−2sin2α=1−2×49=19，故选：A．4.答案：C解析：本题考查等比数列的公比的求法，由已知条件利用等比数列的通项公式推导出q2−q−2=0，由此能求出q=−1或q=2.是基础题．解：∵等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，∴2a1q3=a1q5−a1q4，整理，得：q2−q−2=0，解得q=−1或q=2．故选C．5.答案：C解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．根据已知中的频率分布直方图，先计算出平均一周使用互联网的时间不少于12小时的频率，进而可得使用互联网的时间不少于12小时的频数．解：一周使用互联网的时间不少于12小时的频率为：0.05×4=0.2，故一周使用互联网的时间不少于12小时的频数为：0.2×100=20．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题．先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解．解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件， 故选：A ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量加法的平行四边形法则可知，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ −32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得， GC⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ−12(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λ−22(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −32(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，F ，G 三点共线， 可得−λ−22(1+λ)32(1+λ)=−32(1+λ)2λ−12(1+λ)，解得λ=7或−1(舍去)．2故选C．9.答案：D解析：本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题.设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，计算出对应线段的长，可得结论；解：设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，如图所示：，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，B1C=2√2，EF=√2，A1E=√5，AF=√22+(√3)2=√7，1故A1E2+EF2=A1F2，故A1E⊥EF，故异面直线BD与B1C所成的角为90∘．故选D．10.答案：A解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及函数图象变换，同时考查辅助角公式，属于一般题．将f(x)化简，利用平移法则求出变换以后的函数解析式，然后由正弦函数的性质求解即可．解：因为，所以将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数的图象，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到函数的图象，又得到的图象关于直线x=3π4对称，所以，即，又θ>0，所以当k=1时，θ的最小值为π6．故选A．11.答案：D解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．解：∵双曲线的一个焦点为F(c,0)，双曲线的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=√a2+b2=bcc=b，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|=√AF2−DF2=√a2−b2，则|AB|=2|AD|=2√a2−b2=√2a，平方得2(a2−b2)=a2，a2=2b2，即a2=2(c2−a2)则2c2=3a2，所以e2=c2a2=32，所以e=√62．故选D．12.答案：D解析：解：∵点A(a,b)在y=−x2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y=x+2的图象上，又∵(a−m)2+(b−n)2的几何意义是点A(a,b)与点B(m,n)两点间距离的平方；∴(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；∵y=−x2+3lnx，∴y′=−2x+31x =3−2x2x，(x>0)故y max=−32+32ln32<0，故y=−x2+3lnx的图象始终在y=x+2的图象的下方，令y′=−2x+31x=1得，x=1；此时y=−1+0=−1，故切线方程为y=x−2；y=x−2与y=x+2的距离为4√2=2√2；故(a−m)2+(b−n)2的最小值为(2√2)2=8，故选D．(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；从而求导，求出切线，求平行线间的距离即可．本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，属于中档题．13.答案：−1解析：本题主要考查分段函数求值，属于基础题．解：f(−2)=f(0)=f(2)=2×2−5=−1，故答案为−1．14.答案：4解析：本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．先求出焦点坐标和对应点的坐标，再求出两点间的距离即可．解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，横坐标为3的对应点坐标为(3,±√12)，∴PF=√(3−1)2+(±√12)2=4，故答案为4．15.答案：4√7解析：解：过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，如图所示：则△BDM∽△CAM，可得AM=4MD=8√35，即有AD=2√35+8√35=2√3，由∠ABD=180°−120°=60°，可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+BD2−2×4BD×12=12，解得BD=2，由AB2=AD2+BD2，可得∠ADB=90°，∠BAD=30°，在三角形MAB中，可得MB2=AM2+AB2−2AB⋅AM⋅cos∠BAM=19225+16−2×4×8√35×√32=4√75，则BC=5BM=4√7．故答案为：4√7．过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，可得△BDM∽△CAM，求得AD，分别在三角形ABD和三角形ABM中，运用余弦定理可得BM，BC．本题考查三角形的余弦定理的运用，运用三角形的相似和性质是解题的关键，属于中档题．16.答案：4π3解析：本题考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．由题意四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长，则球的体积可得．解：四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R=12√12+12+(√2)2=1，所以球的体积为：4π3×13=4π3．故答案为4π3．17.答案：解：(1)∵a3=4，S4=S2+12，∴a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解得a1=1，q=2．(2)由(1)可得：a n=2n−1．∴b n=na n=n⋅2n−1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，2T n=2+22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，∴−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=2n−12−1−n⋅2n，化为：T n=(n−1)⋅2n+1．解析：(1)a3=4，S4=S2+12，可得a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解出即可得出．(2)由(1)可得：a n=2n−1.b n=na n=n⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=12DE．又AB//DE，且AB=12DE．∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(II)解：∵直角梯形ABED的面积为1+22×2=3，C到平面ABED的距离为√32×2=√3，∴四棱锥C−ABED的体积为V=13×3×√3=√3．即多面体ABCDE的体积为√3．解析：(Ⅰ)取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF//BP，利用线面平行的判定，可以证明AF//平面BCE；(Ⅱ)求出直角梯形ABED的面积和C到平面ABED的距离，则多面体ABCDE的体积可求．本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种∴P(A)=P(A)=515=13(2)由数据求得x=11,y=24，由公式求得b=187，再由a=y−b x求得a=−307∴y关于x的线性回归方程为y^=187x−307解析：(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．(2)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中20.答案：解：(1)∵椭圆的离心率为√22，当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为1．由题意得{ca=√22,12×b×2c=1, b2+c2=a2,∴{a=√2 b=1 c=1,故椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点为N(x0,y0)，设直线PQ的方程为y=k(x−1)，当k=0时，t=0符合题意，当k≠0时，y=k(x−1)代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0．则x1+x2=4k21+2k2，∴x0=x1+x22=2k21+2k2，y0=k(x0−1)=−k1+2k2．即N(2k21+2k2,−k1+2k2).∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，则k TN·k PQ=−1．所以−k1+2k22k21+2k2−t×k=−1,t=k21+2k2=12+1k2∈(0,12).综上，t的取值范围为[0,12).解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率，三角形的面积的值列出方程，解方程即可求出椭圆方程．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1).联立{x22+y2=1 y=kx−k,得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理求出PQ的中点N(x0,y0)，由|TP|=|TQ|，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由k TN·k QP=−1，建立关于t的函数即可．21.答案：解：(1)解：f′(x)=(1+x)e x−ae x−1，∴f′(1)=2e−a=e，解得：a=e，故f(x)=xe x−e x，f′(x)=xe x，令f′(x)>0，解得：x>0，令f′(x)<0，解得：x<0，∴f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)证明：方程f(x)=kx2−2，即为(x−1)e x−kx2+2=0，设g(x)=(x−1)e x−kx2+2，g′(x)=x(e x−2k)，令g′(x)>0，解得：x>ln(2k)，令g′(x)<0，解得：0<x<ln(2k)，∴g(x)在(0,ln(2k))递减，在(ln(2k),+∞)递增，由k>2，得ln(2k)>ln4>1，∵g(1)=−k+2<0，∴g(ln(2k))<0，不妨设x1<x2，(其中x1，x2为f(x)的两个不相等的正实数根)，∵g(x)在(0,ln(2k))递减，且g(0)=1>0，g(1)=−k+2<0∴0<x1<1，同理根据函数g(x)在(ln(2k),+∞)上递增，且g(ln(2k))<0，得：x2>ln(2k)>ln4，∴|x1−x2|=x2−x1>ln4−1=ln4e，即：|x1−x2|>ln4e．解析：(1)求出函数的导数，根据f′(1)=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为求函数g(x)=(x−1)e x−kx2+2的单调性，得到x1，x2的范围，从而证出结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)将C的参数方程化为普通方程得(x−1)2+(y−√3)2=4，将代入，并化简得C的极坐标方程为．l2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)．(2)依题意可得，即，，即，，因为0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2，即时，|OA|+|OB|取得最大值4√3.解析：本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程可得C的极坐标方程，由旋转的性质可得l2的极坐标方程；(2)利用极坐标的几何意义，得出A，B坐标，利用三角函数求出最值．23.答案：解：(1)当x+1≥0即x≥−1时，x+1≥2x+1，∴−1≤x≤0；当x+1<0即x<−1时，−x−1≥2x+1，∴x<−1，∴不等式的解集为{x|x≤0}；(2)∵f(x−2)=|x−1|，f(x+6)=|x+7|，∴|x−1|−|x+7|<m，∵∃x∈R，使不等式|x−1|−|x+7|<m成立，∴m>(|x−1|−|x+7|)min，∵|x−1|−|x+7|≥|x−1−x−7|=−8，∴m>−8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道基础题．(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；(2)得到|x−1|−|x+7|<m，问题转化为求m>(|x−1|−|x+7|)min，求出m的范围即可．。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合{|20}A x x =-…，{|01}B x x =剟，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[1-，2]2．（5分）已知i 为虚数单位，若(1)2z i i +=g ，则||(z = ) A ．2B ．2C ．1D ．23．（5分）已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则tan (α= ) A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（5分）若实数x ，y 满足23300x y x y y +⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则2z x y =-的最小值是( )A ．2B ．52C ．4D ．65．（5分）已知函数3()1f x x =+，若a R ∈，则f （a ）()(f a +-= ) A ．0B ．322a +C ．2D ．322a -6．（5分）若函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．(12π-，0)是函数()f x 图象的一个对称中心B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间[3π-，]3π上单调递增D ．函数()f x 的图象可由sin y A = 2x 的图象向左平移6π个单位得到 7．（5分）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为(0)a a r <<，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A ．22(1)a p r -B ．22(1)a p r +C ．(1)ap r-D ．(1)ap r+8．（5分）在三棱柱111ABC A B C -中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面11ACC A （包括边界）上一点，若//EF 平面11BCC B ，则动点F 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分9．（5分）已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-⎩„，则()(1)f x f x <+的解集为( )A ．(1,)-+∞B ．(1,1)-C ．1(,)2-+∞D ．1(,1)2-10．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 6b C c B +=，3c =，2B C =，则cos C 的值为( )A 3B 3C 3D 3 11．（5分）若关于x 的不等式22(22)1lnx ax a x +-+„恒成立，则a 的最小整数值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若223F P F A =u u u u r u u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．y x =±C ．12y x =±D ．25y x =±二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题文本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B． C． D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.绝密★启用前2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为，所以．………………………………………………1分化简得．………………………………………………2分即．………………………………………………………………………3分因在中，，则．……………………………4分从而．…………………………………………………………………………… 5分由正弦定理，得．所以． (6)分（2）由（1）知，且，所以．……………………………………………………7分因为，所以．……………………………………9分即．所以．……………………………………………………………………………………………10分所以．所以△的面积为． (12)分18．（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．…………………………………1分因为为的中点，所以．……………2分在△中，，为的中点，所以．………………………………………3分因为，所以平面．………4分因为平面，所以．………………………………………………………………5分（2）解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………6分在△中，，，，因为，所以．……………………………………………………………7分【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】由（1）有，且，平面，平面，所以平面．…………………………………………………………………………………8分在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．…………………………………………………………………9分在△中，，，所以．………………………………………………………10分设点到平面的距离为，因为，即．……………………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………………6分过点作于点．…………………………7分由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．…………………………………8分在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分在△中，，，，因为，所以．…………………………………………………………10分【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】在△中，根据等面积关系得．…………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．…………………………………2分（ⅱ）…………3分…………………………………4分．…………………………………………………………………………5分因为，，所以． (6)分由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强． (7)分（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】……………………………10分所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．……………………………………11分所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………………12分【结论没写%扣1分】20．解：（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，………………………………………………………………………1分即 (2)分因为点在抛物线上，所以，即．………………………………………………………………………3分所以点的轨迹的方程为．…………………………………………………………………4分（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………5分设点，则．………………………………………………………6分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………7分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………8分如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．…………………………9分因为．所以．………………………………………………………………10分即，解得或．……………………………………………………………11分故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．…………………………………………………6分设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………7分设点，则．………………………………………………………8分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………9分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………10分若点满足要求，则满足．因为．……11分所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分21．（1）解：当时，，函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分且．……………………………………………………………………………2分设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………3分所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………………4分即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………………5分因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．…………………………………………………6分（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分当时，，………………………………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分即当时，所以在上单调递增．……………………………………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分证法2：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．……………………………………………8分可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分则．所以，即在定义域上单调递增．…………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分解法2：因为直线的参数方程为（为参数），则有……………………………………………………………2分所以直线的直角坐标方程为．………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分因为，可设该方程的两个根为，，则，．……………………………………………………7分所以．…………………………………………………………8分整理得，故．…………………………………………………………………………………9分因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分②当时，直线的方程为．所以，………………………………………………………………8分整理得．解得．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分当时，，解得．当时，，解得．…………………………………………………………4分综上可知，不等式的解集为．……………………………………5分（2）解法1：由，得．则．…………………………………………………………………………………6分令，则问题等价于因为……………………………………………………………………9分．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分解法2：因为，………………………………………………6分即，则．……………………………………………7分所以，…………………………………………8分当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则A. 4B. 2C.D.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为A. B. C. D.4.若x，y满足约束条件，则的最大值是A. 9B. 7C. 3D. 65.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.8.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.9.已知数列满足，且，设，记数列的前n项和为，则A. B. C. 2019 D.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B. ，C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记等比数列的前n项和为，若，，则公比______．14.已知向量，，且向量与的夹角为，则______．15.对于任意实数a，b，定义，函数，，，若函数有两个零点，则k的取值范围为______．16.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；若，且AB边上的高等于，求sin C的值．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求三棱锥的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1．求曲线C的方程；曲线C任意一点处的切线不含x轴与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数在点处的切线方程；若函数的极小值为，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，即，所以．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可．本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.答案：A解析：解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，小青不站在两边的概率为．故选：A．基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为，，解得，圆锥的高，该圆锥的体积为：．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，由内接圆柱的体积为，求出，从而圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，又由，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及分析可得：等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.答案：B解析：解：数列满足，整理得：，所以：，故，由于且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．故：，所以．设，所以．所以．故选：B．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：A解析：解：椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，可得：，解得，，所以：椭圆方程为：．故选：A．利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．12.答案：B解析：解：当时，，显然此时函数的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程有唯一解，即函数与函数的图象有唯一交点，当时，如图，函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项D；当时，如图，由二次函数的性质可知，函数的开口向下，且a越大，函数的开口越小，由图可知，此时函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当，由余弦函数的周期性可知，此时函数的零点不唯一，当时，问题等价于函数与函数的图象有唯一交点，分及三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.答案：或2解析：解：由，，，化为：．解得或2．故答案为：或2．由，，可得：，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：，，，．故答案为：2．根据向量的坐标即可求出，进而求出的值，进而得出的值，从而得出．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：因为单调递减，单调递增，且，故，作出函数的图象如下：函数有两个零点等价于函数与直线图象有2个交点，由图可知，；故答案为：．根据题意得到解析式为，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.答案：解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故答案为：．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.答案：解：，，由正弦定理可得，，，，解得，．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理，可得，在中，根据正弦定理，可得．解析：利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，，可得cos A，进而可求A的值．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理可得BC，在中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：四边形ABCD是菱形，，O是AC的中点，，，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，，平面ABCD．解：由四边形ABCD是菱形，，得和都是等边三角形，，是BD的中点，，在中，，在中，，取BC的中点F，连结DF，则，在中，，在中，由余弦定理得，，，，，，三棱锥的体积．解析：推导出，，从而平面PAC，，推导出，由此能证明平面ABCD．取BC的中点F，连结DF，则，由余弦定理得，，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；根据题目所给数据得到如下的列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由列联表可知：，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，天，估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．解析：根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，曲线C的方程为：；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，代入得：，由得，整理得：，故切线m的方程可写为，分别令，得点M，N的坐标为，，，，，即为定值0．解析：利用抛物线的定义可得曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线C的方程；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，与抛物线方程联立，利用得到，故切线m的方程可写为，进而求出点M，N的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：，，则，，又，所求切线方程为，即；函数的定义域为R，，当时，对任意都成立，在R上递减，此时无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，在递减，在递增，当时，取得极小值，，即，令，则，，，在上递增，又，．解析：将代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；分及两种情形讨论，当时显然不合题意，当时，利用导数可求得当时，取得极小值，进而得解．本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

2022年广州二模数学文科试卷(含解析）2020年广州市一般高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2020.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++> B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤ 2．假如函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3．关于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a bB ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a 4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．3 6．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也能够写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y xω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范畴是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情形如下表：A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k+个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）图3图214．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BF FC 的值为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情形，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估量高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长．PA B图4在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范畴； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．通过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．2020年广州市一般高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力对比评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查差不多知识和差不多运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题查差不多知识和差不多运算，表达选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题要紧考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估量高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，因此任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种．……………………10分因此抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题要紧考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC∠为△ABC的内角，因此3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，因此点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ， 在△ABC中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，因此sin A =．因此2R ==，即3R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，OB R==，703522BCBD===，因此OD==………………………………………………………11分3=．因此点O到直线BC的距离为m．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，因此点O为△ABC外接圆的圆心．……………………5分连结OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D，…………………6分由（1）知3BACπ∠=，因此3BOC2π∠=．因此3BODπ∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt△BOD中，703522BCBD===，因此3535tan tan603BDODBOD===∠．…………………………………………………………11分因此点O到直线BC的距离为m．……………………………………………………………12分18．（本小题要紧考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积运算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC∠=∠=，因此PA AB⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为AB AC A=，因此PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC，因此BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，因此BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PA CA A=，因此BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC，因此平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 因此PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分因此AC ==9分 因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△16=………………………………………………………………………………10分=()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =时等号成立．………………………………………………………13分因此当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ， 因此PA是三棱锥P ABC-的PAB高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，……………………………………………………8分则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分因此112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分因此13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分 因为02πθ<<， 因此当4πθ=，P ABCV -有最大值13． …………………………………………………………………12分 现在2cos4BC π==………………………………………………………………………………13分因此当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题要紧考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………………………………3分因此()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-． 因此数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分因此数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列， 则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分 即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分因此224361m n m m =-++．因为0n >，因此23610m m -++>．即23610m m --<． 因为1m >，因此113m <<+<． 因为*m ∈N ，因此2m =．…………………………………………………………12分现在22416361m n m m ==-++．……………………………………………………13分 因此存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题要紧考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）数学资源网 ://shuxue2020 解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，因此函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．…………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，因此0a ≤． ………………………………………4分 由已知0a ≠，因此实数a 的取值范畴为(),0-∞．……………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．因此函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………6分②若0a >，由于(2222()x x x a f x x x--'==， 因此函数()f x在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．……7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，因此函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………9分（ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，因此函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．…………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，数学资源网 ://shuxue2020因此函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题要紧考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．………1分整理，得24x y =．因此轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，依照抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．因此动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， AB CDOxylE则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………6分 因此BAD CAD ∠=∠．……………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45=．………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………10分 因此)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分因此△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BCk =， 直线BC的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到AB 的距离等于，可知BAD ∠45=．…………………………………8分数学资源网 ://shuxue2020由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，因此CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 因此1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为02AB ==-，同理02AC =+． …………………………………………………………11分 以下同方法1．。

2020年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前。

考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A 满足A ⊆{1，2}，则集合A 的个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或03．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．14 C ．14- D ．-4 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l ，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x y +的值为A ．7B ．8C ．9D ．105．已知向量OA u u u r =(3，-4)，OB uuu r =(6，-3)，OC u u u r=(m ，m +1)，若AB u u u r ∥OC u u ur ，则实数m 的值为A ．32-B ．14-C ．12D ．326已知函数1xxf (x )e e -=-+(e 是自然对数的底数)，若2f (a )=，则f (a )-的值为A ．3B ．2C ．1D ．07．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥β B ．m l ⊥，αβI ，m α⊂ C ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂ D ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥ 8．下列说法正确的是 A ．函数1f (x )x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R,x x ∃∈++>”的否定是“210x R,x x ∀∈++<” D ．给定命题P 、q ，若P ∧q 是真命题，则⌝P 是假命题 9．阅读图2的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．1210．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数1f (x )a sin x bcos x =++的最大值记为(a,b )ϕ，则(a,b )ϕ的最小值为A ．1B ．2C ．31+D ．3二、填空题：本大题共5小题。