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这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法 .
线面垂直 面面垂直 面面垂直的性质定理
面面垂直的判定定理
类型 一
平面与平面垂直的性质及应用
【典型例题】
1.(2013·运城高一检测)已知直线m，n和平面α ，β ,若 α ⊥β ,α ∩β ＝m,n⊂α ,要使n⊥β ,则应增加的条件是( A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α )
能得到什么结论?
2.题2中有哪些线面垂直?由此可以推出哪些面面垂直关系?若
α⊥β,则过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线与平面
α有什么关系? 3.题3中为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应如何作出辅助线? 结合条件“PA⊥平面ABC”,应如何作辅助线?
探究提示:
1.应用面面垂直的性质定理需要具备以下条件 :
2 3,
所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD，
因为平面EBD⊥平面ABD,
所以AB⊥平面BDE,同理可证ED⊥平面ABD,
所以AB⊥BE,ED⊥BD,ED⊥AD， 所以四面体ABDE的四个面都是直角三角形， 所以S△ABD= 又S△BDC=S△ABD 1=
2
ABBD 2 3，
而△EBD即为△BDC，
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直
于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一
个平面或在另一个平面内.
【变式训练】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面
ABC,∠ACB=90°,
所以BC⊥AC,
追求卓越，崇尚一流。 主编：齐继鹏
平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直,则___________ 一个平面内 垂直于_____ 交线 的 直线与另一个平面_____ 垂直
符号 语言 图形 语言
α ⊥β ,α ∩β =l,______,_____⇒a⊥β
a⊂α
a⊥l
思考:如果α ⊥β ,那么平面α 内的直线都和平面β 垂直吗? 提示:如果α⊥β,那么平面α内的直线不一定与平面β垂直.
(1)两个平面垂直.(2)在其中一个平面内作交线的垂线.结论:
可以得到垂线与另一个平面垂直.
2.AC⊥平面ABC1.由此可以推出平面ABC⊥平面ABC1,平面 AA1C1C⊥平面ABC1,平面AB1C⊥平面ABC1.若α⊥β,则过平面 α内的一点作平面β的垂线,该垂线在平面α内.
3.为了应用“平面PAB⊥平面PBC”应在平面PAB(或平面PBC) 内作直线PB的垂线.结合条件“PA⊥平面ABC”应在平面PAB内 作直线PB的垂线.
2 3,
2.(2013·济宁高一检测)如图,正方形ABCD的边长为4,沿对角
线BD将△BCD折起,使二面角C-BD-A为直二面角.
(1)求证:AC=BC.
(2)求三棱锥C-ABD的体积.
【解题探究】1.四面体ABDE的四个面是什么图形?如何证明?
2.折叠之后有哪些线线垂直关系是不变的?有哪些线段的长度
2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1
在平面ABC上的射影H必在
(
)
A.直线AB上 C.直线AC上
B.直线BC上 D.△ABC的内部
3.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,
求证:BC⊥平面PAB.
【解题探究】1.应用面面垂直的性质定理需要具备哪些条件 ?
【拓展提升】 1.应用面面垂直性质定理应注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要作辅助线—
—过其中一个平面内一点作交线的垂线,使之转化为线面垂直,
然后,进一步转化为线线垂直.
2.平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第 二个平面的直线在第一个平面内.
又因为侧面ACC1A1⊥平面ABC,
侧面ACC1A1∩平面ABC=AC,
所以BC⊥侧面ACC1A1, 又AA1⊂侧面ACC1A1, 所以BC⊥AA1.
类型 二
折叠问题
【典型例题】 1．如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,BD= 将△CBD
沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD,则四面体ABDE 的表面积是_____.
不变?
探究提示:
1.通过证明AB⊥平面BDE,ED⊥平面ABD可知,四面体ABDE的四 个面都是直角三角形. 2.折叠之后有OC⊥OD,OC⊥OB,AO⊥OB,AO⊥OD,BC⊥CD,AB⊥AD. 线段OA,OB,OC,OD,AB,BC,CD,DA的长度不变.
【解析】1.因为AB=2,AD=4,BD=
【知识点拨】 对平面与平面垂直的性质定理的两点说明
(1)定理的作用
该定理也可以视为直线与平面垂直的判定定理 .
(2)定理的意义
从平面与平面垂直的性质定理可以看出,由平面与平面垂直可
以得到直线与平面垂直.而由平面与平面垂直的判定定理可以
看出,由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直 ,其转化关
系可表示为
【解析】1.选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β, α∩β=m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β. 2.选A.因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B, 所以AC⊥平面ABC1, 又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1. 又平面ABC∩平面ABC1=直线AB, 所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,
2 3,
所以S△BDE=
2 3.
2
因为BE=BC=AD=4，
所以S△ABE= 1 ·AB·BE=4, 又DE=DC=AB=2， 所以S△ADE= ·AD·DE=4.故四面体ABDE的表面积为
答案：
1 2
8 4 3.
8 4 3
2.(1)因为CO⊥BD,平面BCD⊥平面ABD，CO⊂平面BCD, 平面BCD∩平面ABD＝BD, 所以CO⊥平面ABD. 因为正方形ABCD边长为4,所以CO=OA= 在Rt△COA中,
即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.
3.过点A作AE⊥PB,垂足为E,
因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩
平面PBC=PB,所以AE⊥平面PBC,
因为BC⊂平面PBC,所以AE⊥BC,
因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC, 因为PA∩AE=A,所以BC⊥平面PAB.
