0011 第三章 曲线拟合

ϕ 1 ( x ) = cos x
63.2589 -49.0086 1002.5
ϕ 2 ( x) = e x
1.6163 -2.3827 26.7728
通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为 通过计算 得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为
（2） ）
∑| P( x ) − y
i =0 i
n
i
| 最小
n
（3） ）
2 2
= ∑δ =
i =0 2 i
n
| P( xi ) − yi |2 ∑
i =0
最小
2 范数计算方便，常作为 范数计算方便，
总体误差的衡量标准
最小二乘拟合
3、最小二乘法的基本思路 、
一般要求 m ≤ n
设 ( x i , y i )( i = 0 ,1, L , n )为给定的一组数据
时的电阻R。 求600C时的电阻 。 时的电阻
1100 1000 900 800 700 20
20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 826 873 942 1032
电阻R(Ω 电阻 Ω) 765
设 R=at+b a,b为待定系数 为待定系数
得到 a=3.3940, b=702.4918
40 60 80 100
的方法称为曲线拟合 有的还称为配曲线或找经 曲线拟合， 这种构造近似函数 的方法称为曲线拟合，有的还称为配曲线或找经 验公式。 验公式。 在回归分析中称为残差
2、“使 P(xi) − yi 尽可能地小”有不同的准则 、 尽可能地小” （1） ）
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 0≤i≤n 使 使 δ
p( x ) 严格遵从数据 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),L ( x n , yn );另一类是拟合 另一类是拟合
方法， 在数据点上有误差， 方法，允许函数 p( x ) 在数据点上有误差，但要求达到某种误差 指标最小化。 指标最小化。
插 值
拟 合
插值方法比较适合数据准确或数据量小的情形。 插值方法比较适合数据准确或数据量小的情形。 拟合方法比较适合数据有误差且数据量大的情形。 拟合方法比较适合数据有误差且数据量大的情形。
其中a0 , a1为待定参数
纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系， 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系，故可选取线性函数
y( x ) = a0 + a1 x
其基函数为 ϕ 0 ( x ) = 1
ϕ 1 ( x) = x
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 1 , ϕ 0 ) a0 ( f , ϕ 0 ) = 建立法方程组 ϕ ,ϕ a ( f , ϕ ) ϕ 1 , ϕ 1 1 0 1 1
用Gauss列主元消去法,得
a b = c
实例： 实例：求拟合下列数据的最小二乘解 x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 .10 -.29 .24 .56 1
y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 解：数据的散点图
1
0 .5
0
y -0 .5
-1
-1 .5 0 0 .5 1 1 .5 x 2 2 .5 3
编 号 拉伸倍数 1 1.9 2 2 2.1 3 4 2.5 5 2.7 6 2.7 7 3.5 8 3.5 9 4 10 4 11 4.5 12 4.6
xi
强 度 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
y i 编 号 拉伸倍数 x i
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 5.2 6 6.3 6.5 7.1 8 8 8.9 9 9.5 10
则法方程组为： 则法方程组为：
( f , ϕ 1 ) = 731.6
a0 113.1 = 731.6 a 731. 1
127.5 24 127.5 829.61
解得： 解得：
a0 = 0.1505
a1 = 0.8587
m
即 P ( x ) = ∑ a jϕ j ( x )
j =0
= a0ϕ 0 ( x ) + a1ϕ 1 ( x ) + L + a mϕ m ( x )
δ
2 2
= ∑ ( P ( x i ) − y i ) 2 = ∑ ( ∑ a jϕ j ( x i ) − y i ) 2
i =0
i =0 j =0
y( x ) = 0.1505 + 0.8587 x
即为所求的最小二乘解
实例: 实例 已知 sin 0 = 0, sin
π
6
= 0.5000, sin
π
3
= 0.8660, sin
π
2
= 1，
用最小二乘法求 sin x的拟合曲线 p( x ) = ax + bx 3 。 温度t( 温度 0C) 实例：已知热敏电阻数据： 实例：已知热敏电阻数据：
该方程称为法方程组或正则方程组。且方程组有唯一解。 该方程称为法方程组或正则方程组。且方程组有唯一解。 法方程组或正则方程组
内积满足交换律 (ϕ j , ϕ k ) = (ϕ k , ϕ j )
作为一种简单的情况, 作为一种简单的情况
常使用多项式 Pm ( x ) 作为 ( x i , y i )( i = 0 ,1, L , n )的拟合函数 拟合函数 Pm ( x )的基函数为
∑ 2[(∑ a ϕ
i =0 j =0 j
n
m
j
( x i ) − y i )ϕ k ( x i )] = 0
∑ [∑ a ϕ
i =0 j =0 j
n
m
j
( x i )ϕ k ( x i ) − y iϕ k ( x i )] = 0
∑ [∑ a ϕ
i =0 j =0 j n m i = 0 j =0
将其表示成矩阵形式
(ϕ0 , ϕ0 ) (ϕ1, ϕ0 ) L (ϕm , ϕ0 ) a0 ( f , ϕ0 ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) L (ϕ , ϕ ) a ( f , ϕ ) m 1 1 1 1 0 1 1 = M M L L L L (ϕ0 , ϕm ) (ϕ1, ϕm ) L (ϕm , ϕm ) am ( f , ϕm )
i =0
i =0
i =0 n
i =0
i =0
n
4、最小二乘法曲线拟合的步骤 、 （1）列出已知的函数对（xi，yi） ）列出已知的函数对（ （2）给出基函数 ） （3）列法方程组 ） （4）解法方程组（计算内积等） ）解法方程组（计算内积等） （5）得到曲线拟合函数 ）
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个 纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:
设x , y的关系为
使满足 δ
2 2
y = P( x)
| P( xi ) − yi |2 达到最小 ∑
i =0 n
= ∑ δ i2 =
i =0
n
其中 P ( x )来自函数类 Φ , Φ = {ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),L , ϕ m ( x )}
P ( x ) 为 { j ( x )}( j = 0 ,1, L m ) 的线性组合。 的线性组合。 ϕ
第八节 曲线拟合
已知函数 y = f ( x ) 的一批数据 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),L ( x n , yn ), 的近似，这类数值计算问题称为数 求得一个函数 p( x ) 作为 f ( x ) 的近似，这类数值计算问题称为数 据建模。 据建模。 数据建模有两大类方法：一类是插值方法， 数据建模有两大类方法：一类是插值方法，要求所求函数 插值方法
n
m
j
( x i )ϕ k ( x i ) − y iϕ k ( x i )] = 0 ( x i )ϕ k ( x i ) = ∑ y iϕ k ( x i )
i =0
n n
∑∑ a ϕ
j
n i =0
n
j
a0 ∑ ϕ 0 ( x i )ϕ k ( x i ) + a1 ∑ ϕ 1 ( x i )ϕ k ( x i ) + L + a m ∑ ϕ m ( x i )ϕ k ( x i )
1、曲线拟合问题 、 已知 x０ … xn ; y0 … yn, 求一个简单易算的近似函数 p(x) ，能充 的大致面目， 有最好的拟合 拟合（ 分反映 y = f ( x ) 的大致面目，也就是与 f ( x )有最好的拟合（或逼 近）。 但是① 很大； 但是① n 很大； 本身是测量值，不准确， ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi ≠ p (xi) 这时没必要取 p(xi) = yi , 而要使 δ i 总体上尽可能地小 尽可能地小。 = p( x i ) − yi 总体上尽可能地小。
从图中可以看出： 从图中可以看出：
y与x之间具有三角函数关系 cos x
y与x之间还具有指数函数关 系e x
y与x之间还具有对数函数关 系 ln x
因此假设拟合函数为
S ( x ) = a ln x + b cos x + ce x
ϕ 0 ( x ) = ln x
6.7941 -5.3475 5.1084 -5.3475 63.2589 -49.0086
= ∑ yiϕ k ( xi )
i =0
n
( k = 0 ,1, L m )