概率论几题
概率的定义有三种，现仅介绍其中两种。
•定义：在相同的条件下实行n次重复试验，如果事件A发生了μ次，则比值μ/n 称为事件A的频率，
记作W（A），用公式表示如下：
•W（A）= μ/n
概率的统计定义：在相同的条件下实行大量重复试验，当试验次数充分大时，事件A的频率总是围绕着某一个数值P作微小的摆动，则称P为事件A的概率，记为P（A）。
概率的古典定义：
有一类简单的随机现象可不经过试验，而只要通过理论计算就能确定事件的概率。这类随机现象有以下两个特点：（1）在随机试验的样本空间中只有有限个基本事件；
（2）每个基本事件发生的可能性都相同。
我们把具有这两个特点的随机现象的数学模型称为古典概型。
对于古典概型，假定样本空间所含的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件数为k，则规定事件A的概率为： P（A）=k/n
这就是概率的古典定义。
例1：有一盒子里装了13只白球，7只黄球，10只黑
球。每个球除颜色不一样外，其它都一样。现任意从盒内摸一球，记录后，放回盒内摇均，再做下一次试验……
（1）把试验结果，填入下表：
（2）每次摸到球可能性最大；摸到球可能性最小。
分析：做本题的第⑵问，是用概率来判断。显然每次摸到白球的概率是；摸到黄球的概率是；摸到黑球的概率是 = 。但按照题目要求做第⑴问试验时，因所做试验的次数有限，所以并不见得摸到白球的次数一定就多。每个学生各做一次试验，结果也不尽相同。很可能某人一下手，第一次摸出的竟是一个黄球。
我们在组织学生试验时，一要尽量使盒内的球被摇均匀；二要如实记录下试验结果；三要解释为什么试验结果与理论计算有出入。其实题目中安排比较15次试验结果，就是要让学生体会到当试验次数越来越多时，试验结果越来越接近理论值。
例2：每天出生人口问题
一年内一个地方出生的人口有很多，每个新生儿的出生能够被认为是相互独立事件。假定一年共有365天，其实一天可能容纳无数个新生儿。
这个问题能够转化为这样一个数学模型：把365天看作
365个盒子，每个新生儿能够被看作不同的小球。每个小球落到每个盒子的机会是相等的。
（1）假设一个镇某年364个新生儿，能够断定这个镇一定至少有一天没有新生儿诞生。
（2）如果一个镇某年有366个新生儿，能够断定，这个镇的某年新生儿至少有一对生日相同。
（3）前几年南漳县平均每天出生的人口大约是12人（2006年出生人口约4800多人）。注意这里说的是平均。有些日子可能集中一些，有些日子可能少一些。
①南漳县这4380个新生儿都同出生在某一天的概率是。
能够这样想：每个新生儿在某一天出生的概率是；两个新生儿都在该天出生的概率就是× = ；……所以4380人同在该天出生的概率为。
从上面计算的结果可知，一个地方发生4380个新生儿在同一天出生的可能性是非常小的，通常我们把这种概率很小的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但是在一次试验中发生的可能性很小。所以能够认为，在一次试验中，小概率事件是几乎不会发生的。
②求南漳县每年4380个新生儿都不在某一天出生的概率。
一个新生儿在某一天出生的概率是，不在该天出生的概率是1- = ；两个新生儿同时不在该天出生的概率就是×；……4380个新生儿同时不在该天出生的概率是（）4380≈0.000006043。小于0.3%的概率就能够被认为是小概率事件。所以，就南漳县来说，发生某天不生小孩的概率小到几乎不可能（但不能说一定不可能）。
（4）据统计，现在全世界每年出生的人口大约有1亿左右。某一天，全世界没有一个人出生的概率大约为（0.000006043）22831小到基本上为零。所以，教参上说：全世界每天都有人出生是一定的。但我们认为这是一种近似的说法。
例3：体育彩票中的“七星彩”中奖问题
“七星彩”有七位相互独立的7个数组成。每位有10种选择，一共有107种组合方式，也就是一千万。如果某人投注1注，他的中大奖概率是千万分之一。这是一个典型的小概率事件。所以，我们周围的人，总是买彩票的人多，中大奖的几乎没有。但全国每期“七星彩”能售出1千六七百万元左右。即有800多万注左右，相当于800多万次试验。所以，虽然就一注来讲，中大奖是一个小概率事件，但就做800多万次试验来说，中一次大奖的概率就是一个大概率事件。所以，几乎每期全国总有人中大奖。
其实，概率论教材中有这么一个定理：
设随机试验中某一事件A发生的概率为ε（ε>0)，试证独立地连续重复做试验时，A迟早会发生的概率为1，不论ε如何小。
证：以Ak表示“A在第k次试验中发生”的事件，则
P（Ak） =ε，在前n次实验中，A都不发生的概率为P （……）=P（）P（）……P（）=（1-ε）n。（这里用到了，，……相互独立），于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为1-P（……） =1-（ 1-ε）n →1（n→∞）
这说明决不能轻视小概率事件。
如果一个人买彩票，用大量投注来增加中大奖概率，可能即使中了大奖，也可能得不偿失。
