高数B(二)期末参考复习资料

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。

经济数学（Ⅱ）复习考试范围：教材6－10章第六章： 空间解析几何初步1．主要内容：（1）空间直角坐标系，空间两点间的距离公式。

（2）向量的坐标、模、方向角与方向余弦；向量的运算；向量平行和垂直的充要条件． （3）平面及其方程：点法式、一般式和截距式，特殊平面的方程；两平面的夹角；点到平面的距离公式。

（4）空间直线及其方程：点向式、一般式和参数式，且要理解三种方程之间的关系和互化；两直线及直线与平面的夹角。

（5）曲面及其方程，二次曲面；熟悉球面，柱面，椭球面，锥面，双曲面，旋转面方程。

2．重点：建立平面及空间直线的方程。

3．典型例题与习题（1）§6-1 例题1 习题1-4（2）§6-2 例题1-3 习题1，2，4，8-11 （3）§6-3 例题1-6 习题1，2，4，6 （4）§6-4 例题1-4 习题1-6 （5）§6-5 例题1-3 习题1-4 4．典型方法（1）向量平行和垂直的充要条件：设{,,}x y z a a a =a ，{,,}x y z b b b =b ，则①//k ⇔=a b b a 0⇔⨯=a b y x zx y za a ab b b ⇔==②0⊥⇔⋅=a b a b 0x x y y z z a b a b a b ⇔++=例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。

例2 求与{1,2,1}=-a 及=++b i j k 都垂直的单位向量。

（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：设{,,}x y z a a a =a ，{,,}x y z b b b =b ，则向量的模：=a方向余弦：0{,,}{cos ,cos ,cos }a a a αβγ===a a a方向角：根据方向余弦来求，注意方向角的范围0,,αβγπ≤≤ 向量的夹角：cos θ⋅=a b a b例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M 的模、方向余弦及方向角。

高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。

在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。

本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。

一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。

在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。

1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。

导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。

导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。

2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。

例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。

对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。

此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。

3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。

例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。

在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。

二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。

在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。

1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。

其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。

不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。

2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。

例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。

三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。

此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。

3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。

例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。

高等数学B（2）复习要点
第六章定积分
1.定积分的概念和性质；
2．牛顿—莱布尼茨公式；
3．定积分与广义积分的计算；
4．定积分的应用：求平面图形的面积，求旋转体的体积。

第七章无穷级数
1.级数敛散性的定义及性质；
2.几何级数和P-级数；
3.比较判别法及极限形式；
4.比值判别法；
5.求级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；
6.函数间接展开为幂级数。

第八章多元函数
1．求一阶、二阶偏导数及全微分，包括复合函数，隐函数，抽象函数；
2．极值的应用，求最值问题，判别式及拉格朗日乘数法；
3．直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。

第九章微分方程
1．一阶线性微分方程及应用；
2．二阶常系数线性微分方程。

高等数学B(下)期末复习题一、选择题1．平面3510x z -+= ( )（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴2.向量}6,3,2{-=a ，则与a同向的单位向量为（ ） （A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71--（C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 3、当k =（ ）时，向量}{k ,1- , 1=a与向量 }{ 2 ,4 , 2=b 垂直。

（A ）-1 （B ）1 （C ） 2 （D ）-24、设a ，b均为非零向量，且满足b a b a +=-，则必有( ).(A) 0 =+b a (B) 0 =-b a (C) 0 =⨯b a (D) 0 =⋅b a5、平面032=+y z 是( ).(A) 与x 轴平行但无公共点的平面 (B) 与yOz 平面平行的平面 (C) 通过x 轴的平面 (D) 与x 轴垂直的平面 6、直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是( ). (A) 垂直 (B) 平行 (C) 直线在平面上 (D) 斜交7、空间坐标系中三点的坐标为)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为( ).(A)2π (B) 3π(C) 66arccos (D) 66arccos -π8、直线22112zy x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系是( ). (A) 平行 (B) 重合 (C) 垂直 (D) 斜交 9、在空间直角坐标系中点)2,3,1(--关于原点的对称点是( ).(A) )2,3,1(- (B) )2,3,1( (C) )2,3,1(-- (D) )2,3,1(-10、点M(4,-3,5)到Oy 轴的距离d=( ).11、设向量(1,1,0),(1,0,1)a b ==，则a 在b 上的投影为（ ）(A) (B)(C)12(D) 212、与向量}{1 , -1, 0a =与向量 }{1 , 0, -2 b = 同时垂直的单位向量是( ) （A ）}{1, 2, 2 （B ）221,, 333⎧⎫⎨⎬⎭⎩ （C ） }{2, 2, 1 （D ）122, , 333⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 13、yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y (C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y12、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ） (A) A D ==0(B) B C =≠00, (C) B C ≠=00, (D) B C ==015、设向量)6,3,2(-=→a ,则与→a 平行的单位向量是( ) :(A) )6,3,2(- (B) )6,3,2(71-- (C) )6,3,2(71-± (D) )6,3,2(71-16.设向量}6,3,2{-=a ，则与a反向且平行的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ） }6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71-17. 设空间直线 210zy x == ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴 (C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴 18. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)--关于x 轴的对称点坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，-3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1） 19. 平面3510x z -+= ( ) .（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴 （C ）垂直于y 轴（D ）垂直于x 轴20. 函数)1ln(4arcsin 2222-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y x z 的定义域是（ ）. （A ） 22{(,)|14}x y x y ≤+≤ （B ） 22{(,)|14}x y x y <+≤ （C ） 22{(,)|14}x y x y ≤+< （D ） 22{(,)|14}x y x y <+<21. 设)cos(2y x z =，则=∂∂yz（ ）. （A ） )sin(2y x - （B ）)sin(22y x x - （C ） )sin(2y x （D ） )sin(22y x x22. 若=--=+)2 , 1( , ) , (22f y x xyy x f 则 （ ）。

高数B(2)考试相关问题及复习总结一、 考试相关问题1、 考试范围：第五章第六节------第八章第四节（其中第七章第九节和第八章第五节均不在考试范围内） 2、 各章分值所占大致比例：第五章：10% 第六章：15% 第七章：50% 第八章：25% 3、 考试基本题型：填空，选择，计算二、 复习重点总结（红色部分为重点的重点）第五章 定积分的应用1. 平面图形的面积例1 求由抛物线21y x =-和直线0y =所围成的平面图形的面积。

(答案：43）例2 求由曲线y =直线1y =及0x =所围成的平面图形的面积。

(答案：16)例3 求由1y x =，y x =，x e =所围平面图形的面积。

(答案：21(3)2e -)2. 旋转体的体积基本公式： []2()bx a V f x dx π=⎰ []2()dy c V y dy πϕ=⎰例4 由曲线2,y x =直线2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积32.5x V π=由曲线2,y x =直线4y =及y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积 8 .y V π=3. 边际及变化率问题基本公式： 成本 0()()(0)xC x C x dx C '=+⎰收入 0()()(0)x R x R x d xR '=+⎰（一般(0)0R =）利润 0()()(0)xL x L x d x C '=-⎰()()()L x R x C x =- 在时间[,]a b 内的总产量 ()()ba Q t Q t dt '=⎰例5 见课本P174 习题5-7 第3题 例6 见课本P172 例3第六章 微分方程与差分方程1. 变量可分离方程例1 见课本P181 例2 例2 见课本P185习题6-2 1（1） 2. 齐次方程例3 见课本P186习题6-2 4（2） 3. 一阶非齐次线性方程 ：()()y p x y q x '+=通解公式 ()()()p x dx p x dx y e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 例4 求微分方程2xdy ydx xdx +=的通解。

第八章 空间解析几何知识要点：会向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解单位向量、方向余弦的概念。

两向量平行或垂直的充要条件。

向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法。

1、向量→→→→+-=k j i a 32与→→→→++=k j i b 254的夹角是（ C ） A 、4π B 、3π C 、2π D 、6π 2、向量()111,,a x y z →=与 ()222,,b x y z →=平行的充要条件是（ A ）A 、0=⨯→→b a B 、1212120x x y y z z ++= C 、cos ,0a b →∧→⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、0=⋅→→b a3、若c a b a⋅=⋅，则（ D ）A 、c b =B 、b a ⊥且c a⊥ C 、0 =a 或()0 =-c b D 、()c b a -⊥4、直线与平面的位置关系是（ D ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行． 5、直线与平面的位置关系是（ A ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行．6、直线431232--=+=-z y x 与平面03=-++z y x 的关系是（ C ） A 、垂直 B 、平行 C 、直线在平面上 D 、以上都不对7、在z 轴上与两点()7,1,4-A 和()2,5,3-B 等距离的点的坐标为 ⎪⎭⎫⎝⎛91400， 8、在轴上与点和点等距离的点为 9、z 轴上与点()1,7,3A -和点()5,5,7B -等距离的点是 （0,0,2） . 10、设向量与垂直，则 8 11、设，且，则=12、设()2,1,2=→a ，()10,1,4-=→b ，→→→-=a b c λ，且→→⊥c a ，则=λ 3 13、已知两点和，平行于37423zy x =-+=-+3224=--z y x 723zy x =-=8723=+-z y x y ()7,3,1-A()5,7,5-B ()0,2,0(0,1,4)a =-(1,,2)b k =k =4,2λ=+-=+a i j k b i k ⊥a b λ12()5,0,4A ()3,1,7B AB )2,1,3-14、平行于()6,7,6a →=-的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭. 15、已知点()1,3,4A -，()2,1,1B --，()3,1,1C --，则ABC ∠= 4π16、求平行于y 轴，且经过点()2,2,4-P 和()7,1,5Q 的平面方程 解：y 轴的方向向量()0,1,0=s ，()9,1,1-=PQ则所求平面的法向量为()1,0,9911010-=-=⨯=k j i PQ s n 所求平面方程为()()()()0212049=+-+-+-z y x 即0389=--z x17、求过点()()27413821，，，，，P P -且垂直于平面0217531=+-+z y x ：π的平面方程。

高等数学B(二)复习题一、填空题：（定义，性质）向量x 与向量(2,1,2)a =-共线，且18a x ⋅=- ，则向量x = （-4,2,-4）,2．向量(1,0,)x m = 与向量(2,3,1)a =垂直，则m = -2(1)交换积分次序:=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy .一、填空题1.选择:(1)设平面区域(){}(){}0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( ). (A)⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f . (B)⎰⎰⎰⎰=14D Dxydxdy xydxdy.(C)14DD =. (D)⎰⎰⎰⎰=14D Dxdxdy xdxdy .(2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+⎰⎰Ddxdy y x xy )sin cos (( ).(A)⎰⎰1sin cos2Dydxdyx. (B)⎰⎰12Dxydxdy.(C)⎰⎰+1)sin cos( 4Ddxdyyxxy. (D)0.三、计算题（计算公式-求导数，复合函数偏导数，隐函数偏导数，求微分，二重积分，曲线积分，格林公式，幂级数的和函数，函数展开成幂级数）四、应用题：（求直线，平面方程，求曲线的切线和法平面，求曲面的切平面和法线方程；求无条件极值，条件极值，最值；格林公式及与路径无关的四个等价条件）3、 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体. ？ 解： 设(,,)x y z 为长方体在第一卦限内的顶点体积为：8v xyz = 且2222x y z a ++=令2222(,,,)8()F x y z xyz x y z a λλ=+++-求解2222820820820Fyz x x F xz y y Fxy z z x y z aλλλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪++=⎩，得：x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩故内接于半径为a 的球的长方体的最大体积为38a五、证明题：（二重积分，与路径无关四个等价条件，证明极限不存在）填空，计算，应用练习题一）填空题（本题总分25分，每小题5分）.2．向量x 与向量(2,1,2)a =-共线，且18a x ⋅=- ，则向量x = （-4,2,-4）,2．向量(1,0,)x m = 与向量(2,3,1)a =垂直，则m = -21．设2222(,),(,)f x y x y x y x y ϕ=+=-，则2[(,),]__________f x y y ϕ=. 2．1_________y x y →→=.3．将二次积分⎰⎰-1011),(x dy y x f dx 交换积分次序后得 .4．将()x f x e =展开成x 的幂级数为x e =__________.答:（1）422422x x y y -+ （2） ln 2 (3) 1101(,)ydy f x y dx -⎰⎰(4) 212!!nxx x e x n =+++++ 1．已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，则(,,)f x y x y xy +-=______________. 2．(0,2)sin()limxy x →（x,y）=_____________.3．若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=_____________________.4．曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为______________. （1）2()()xy x x y xy ++ （2） 2 (3) 0 (4) 245x y z +-=1．函数2222y xz y x +=-在_____22y x =_____间断.2．00x y →→=_____14-3．估计积分22sin sin DI x yd σ=⎰⎰的值，其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，则____I ≤≤. (3) 20π≤≤I4．某级数的前n 项和1n ns n =+，则它的一般项____n u =，其和____s =. (4)21;1n u s n n ==+ 1．函数z =的定义域为____________________. 2．00x y →→3．=⎰⎰dxdy D1_____________（其中D 为122=+y x 围成的区域）.4．若lim 0n n u →∞≠或不存在，则1n n u ∞=∑________________.答：（1）20y x ≤≤ （2） 2 (3) π (4)发散 1.函数arcsin2x yz +=的定义域为 . {}(,)|22x y x y -≤+≤ 2. 级数1n n u ∞=∑收敛，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1()n n n u v ∞=+∑_____________. 发散三、计算下列积分 1．设(2)y z x =，求(1,1)z x ∂∂，(1,1)zy ∂∂.2．已知z =，求dz .3．设20,zx y z x∂++-=∂求. 解：（1）11(2)22(2)y y z y x y x x --∂=⋅=∂(2)ln(2)y z x x y∂=⋅∂22ln 2(1,1)(1,1)zzx y ∂∂==⋅∂∂（2）z x ∂=∂z y∂=∂)z z dz dx dy xdx ydy x y ∂∂=+=-∂∂（3）法一)对所给的方程两边对x 求导1)0z z z x x x ∂∂+-+⋅=∂∂则zx ∂=∂（其中0≠）法二) F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz , X F =1-xyzyz , X F =1-xyzxy=-=∂∂ZX F F x z6. 已知()22,xy z f x y e =-（其中f 具有一阶连续偏导数），求,z zx y∂∂∂∂. 解：6. 设 22,xyu x y v e =-= 则''2xy u v zxf ye f x ∂=+∂ ''2xy u v z yf xe f y∂=-+∂1．已知ln(z x =+求2z x y∂∂∂.2．设23z x y =，当2,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=-时，计算dz . 3．设函数(,)z z x y =由方程(1)ln 10xz z y e ++-=确定，求(1,1,0)z y∂∂.解：（1）z x∂=∂2z x y ∂=∂∂ （2）z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 且32223zzxy x y xy∂∂==∂∂ 当2,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=-时0.2dz =-（3）对所给的方程对y 求导得1l n (1)0xz z z y z e x y y y∂∂⋅++⋅+⋅⋅=∂∂ 当1,1,0x y z ===时，上式中1(1,1,0)zy ∂=-∂三、计算下列积分（本题总分16分，每小题8分）.1．计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是以原点为圆心，a 为半径的上半圆的区域.2．计算曲线积分22(6)(32)Ly xy dx x xy dy +++⎰，L 是从点（0，0）沿3y x =到点(1,1)A 的一段弧.解：（1）用极坐标系来求此积分值{(,)0,0}D a ρθθπρ=≤≤≤≤cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 0[cos ]aDxdxdy d d πρθρρθ=⎰⎰⎰⎰20cos 0ad d πθθρρ=⋅=⎰⎰（2）26P y x y ∂=+∂ 26Q y x x ∂=+∂ P Qy x ∂∂=∂∂(,),(,)P x y Q x y 具有一阶连续偏导数, 故此曲线积分与路径无关则22(6)(32)Ly xy dx x xy dy +++⎰2210(6)(32)(32)4oB BAy xy dx x xy dyy dy +=+++=+=⎰⎰1． 计算Dxyd σ⎰⎰，其中D是由两条抛物线2y y x ==所围成的区域.答：2{(,)01,D x y x x y =≤≤≤≤21xDxydxdy dx ∴=⎰⎰⎰14011()212x x x dx =-=⎰ 1．计算1120sin xI dx y dy =⎰⎰，解：（x 型求不出，先交换积分次序再计算积分.） {(,)01,1}D x y x x y =≤≤≤≤ 先取x 后取y 的次序 ，则{(,)0,01}D x y x y y =≤≤≤≤故有120sin ydy y dx =⎰⎰I1201220sin (0)11sin ()(1cos1)22y y dyy d y =-==-⎰⎰1. 求⎰⎰Ddxdy yx 22,其中D: 由x=2,y=x,xy=1围成. 解：1. I=dy yx dx xx ⎰⎰21122I= 492.求⎰+Lds y x 22 ,其中L 为圆周ax y x =+22 (a >0).解：2. L 参数方程为θθsin 2,cos 22ay a a x =+=I=θθπd aa 2)cos 1(2202⎰+ = 22a1. 计算()()2,321,12xydx x dy +⎰.解：. 22,,2P Q P xy Q x x y x∂∂==∴==∂∂，即曲线积分与路径无关。

高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。

计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面 例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面 例如 圆锥面222y x z +=（3）球面 例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　则：所确定的函数）方程（， ， 则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法近似计算： 全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求）　不必记忆公式，用解线数的偏导求法 所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。