正方体、长方体的涂色问题

一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型． 难点：复杂三视图问题．2.右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？知识框架重难点例题精讲专项二十三 表面涂色与三视图（2）⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方【巩固】右图是456体各有多少块？⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的3.右图是333小正方体各有多少块？⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的【巩固】右图是456小正方体各有多少块？4.将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有5.右图是115几面被涂成红色？⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的【巩固】右图是225涂色情况？⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的6.右图是125涂色情况？【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

7.小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。

从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 。

（填序号）【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。

从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 。

长方体涂色问题公式(二)长方体涂色问题公式1. 基本概述长方体涂色问题是一个数学问题，涉及到对长方体的各个面进行涂色的方式问题。

在这个问题中，我们需要找到一种涂色方式，使得相邻面颜色不相同。

2. 公式说明在长方体涂色问题中，我们可以使用以下两个公式来解决问题：公式1：涂色组合数涂色组合数公式可以帮助我们计算长方体的涂色方案总数。

该公式可以表示为：C = 6 * (n-1)!其中，C表示涂色方案总数，n表示可用颜色的种类数。

公式2：可行涂色方案数可行涂色方案数公式可以帮助我们计算长方体的可行涂色方案总数。

该公式可以表示为：P = (n-1)^3 * (n^3)其中，P表示可行涂色方案总数，n表示可用颜色的种类数。

3. 示例解释为了更好地理解以上公式的使用方法，我们举一个简单的例子来解释说明。

假设有一个长方体，它的每个面都可以选择红色、蓝色或绿色来进行涂色。

现在我们需要计算该长方体的涂色方案总数和可行涂色方案总数。

根据公式1，我们可以得到涂色方案总数：C = 6 * (3-1)! = 6意思是在可用颜色种类数为3的情况下，有6种不同的涂色方案。

根据公式2，我们可以得到可行涂色方案总数：P = (3-1)^3 * (3^3) = 64意思是在可用颜色种类数为3的情况下，有64种可行的涂色方案。

通过以上示例，我们可以看到，涂色组合数公式和可行涂色方案数公式对于解决长方体涂色问题是十分有用的。

4. 结论长方体涂色问题是一个有趣且具有实际应用的数学问题。

通过使用涂色组合数公式和可行涂色方案数公式，我们可以计算长方体的涂色方案总数和可行涂色方案总数。

这些公式为我们解决长方体涂色问题提供了有效的工具和方法。

希望以上内容对您理解长方体涂色问题的公式有所帮助！。

表面涂色与三视图知识框架一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

重难点重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型．难点：复杂三视图问题．例题精讲【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,36【例 2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1【答案】6,1【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1【答案】52【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】填空【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)-⨯-⨯+-=-个，因各面n n 均没有红色的小方块为24块，所以，12(1)24n=．n-=，解得3【答案】3【例 4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。

公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。

长方体与正方体必须掌握的几种题型涂色问题、刷墙问题、有盖无盖问题1、一个长方体的鱼缸，长0.8米，宽0.4米，高0.5米，做这样一个鱼缸至少用多少玻璃？2、有一个深2米的长方体泳池，要在泳池的四周及地面铺砖，泳池的长是25米，宽是15米，求铺砖的面积。

如果选用边长是10厘米的瓷砖，要把泳池铺满，至少用多少块？如果一块砖0.3元，一共要花多少钱？3、学校要靠墙修一条长4.5米，宽3.5米，高1.5米的长方体领操台，要在领操台的外表抹一层水泥，求水泥的面积。

4、一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做2个这样的抽屉，至少需要木板多少平方厘米？5、在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？6、学校要粉刷新教室，已知教室的长8米，宽6米，高3米，门窗面积是11.4平方米。

粉刷的面积是多少平方米，如果每平方米需要花涂料费4元，一共要多少元？分段1、一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米？2、将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？切1、将一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？2、把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？3、一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？4、一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的体积是多少立方厘米？5、一个正方体的表面积是90平方厘米，将它平均分成三个小长方体，每个小长方体的体积是多少立方厘米？拼（拼表面积发生变化，体积不变）1、将三个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少多少平方厘米？最少减少多少平方厘米？2、用两块大小相同的正方体木块拼成长方体，已知长方体的棱长总和是48厘米，每块正方体木块的体积是多少？3、用四个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少？4、用8个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？5、用12个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，一共有多少种拼法，每种拼法拼成的长方体的表面分别是多少？6、用三个正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是420平方厘米，那么长方体的体积是多少？扩大和增加倍数1、正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。

小学一年级数学长方体涂色练习题数学是一门重要的学科，对培养学生的逻辑思维和分析能力有着重要作用。

在小学一年级的数学课程中，涂色练习题是培养学生直观感受数学概念的一种有效方式。

本文将为小学一年级学生设计一道关于长方体涂色的练习题，帮助学生巩固形状与颜色的认知。

练习题：以下是一个由长方体构成的模型：①┌──────┐/ /|②/ / |──┼───────┼③/ /|④⑤/ / |──┼───────┼⑥/ /|/ / |└───────┘1. 请你从下面的颜色中选择5种不同的颜色，使用短线表示，对上面的模型中的各表面进行涂色。

每个面都需要涂色。

你可以自由选择每个面的颜色，但相邻的面不能涂成相同的颜色。

颜色选项：红色、橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色、粉色、棕色先来看看正确答案：①┌──────┐/ 红色 /|②/红色 / |──┼───────┼黄色/ /|绿色蓝色/ 红色/ |──┼───────┼橙色/ /|/ 蓝色 / |└───────┘2. 现在请你设计一种涂色方案，使得下面三个对面颜色相同，另外三个对面颜色不同。

颜色选项：红色、橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色、粉色、棕色请你思考一下，再看看正确答案：①┌──────┐/ 黄色 /|②/ 橙色 / |──┼───────┼橙色/ /|黄色黄色/ 绿色/ |──┼───────┼绿色/ /|/蓝色 / |└───────┘通过以上的练习题，我们可以帮助小学一年级的学生巩固长方体的形状认知，培养学生对颜色的感知和辨认能力。

这些基础的数学概念与技能为后续更深入的数学学习打下了坚实的基础。

小学一年级的学习生活中，充满了无数的用心与探索，通过涂色练习题，寓教于乐地培养了学生对数学的兴趣，激发了他们学习数学的动力。

希望同学们在接下来的学习中能够继续努力，不断提升自己的数学能力。

通过这道涂色练习题，我们可以发现数学并不只是冷冰冰的数字，而是一个有趣的学科。

希望同学们能够在认真完成作业的同时，发现数学隐藏的趣味和实用价值。

重点：观． 难点：活．【例 1】 右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色后拆开，那么27个小正方体中有多少种不同的涂色情况？各有多少块？【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中零面、一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例题精讲重难点表面涂色与三视图【例2】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【例3】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

【巩固】将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。

【例4】将16个相同的小正方体拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中2面涂漆的小正方体有8个，那么3面涂漆的小正方体有__________个，4面涂漆的小正方体有__________个。

【巩固】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例5】有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？。

北京大学附属小学 2014年5月27日 【知识导航】一个长方体或正方体的的表面染色，然后切成若干个小正方体。

三面图色的立方体都在原来立体图形的顶点处；两个面涂色的都在原来立体图形的棱上，一个面涂色的都在原来立体图形的面上, 中间的心是无色的。

【典型例题】 【例1】将一个7×7×7的正方体表面涂上红色，再将切割成343个1×1×1的小正方体，其中恰有一面涂色的小正方体有多少个？两面、三面和没有被涂色的呢？ 【分析】三面涂色在顶点处。

两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，无色在里面。

【答案】（150,60,8,125）【例2】一个 3×3×3的正方体，如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。

问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n 3块小正方体构成的n ×n ×n 正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n －2）块，一面涂有红色的有6×（n －2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n ＝6．6×6×6=216。

【例3】如图，将边长为3的正方体的一个面、边长为5的正方体的一个面和边长为7的正方体一个面粘合在一起，使得较小的面恰好位于较大的面的一角。

将新得到的立体图形的表面涂成红色，然后把它沿刚才的粘合面切开得到三个正方体，接着将这三个正方体都切成边长为1的小正方体，那么在全部3×3×3+5×5×5+7×7×7=495个小正方体中，恰好有两个面涂成红色的有多少个？（没有染色、一面染色、三面染色的各多少个呢？）【答案】（183，208，90，14）【例4】有一个n ×n ×n 的大正方体，将它的六个面中的一些面涂上红色，再将它全部切割成1×1×1的小正方体，结果发现至少一面被涂上红色的小正方体有281块，问：这之中恰好只有一面涂色的小正方体共有多少块？【答案】（240）【例5】一个长方体木块表面涂满了红漆，把它切成棱长全为1厘米的小正方体后，各个面都没有漆的只有11块。

生活趣味数学题：涂色的正方体一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面都涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面都涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=3 84个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：1. 1000－8－96－384=512（个）；2. 8×8×8=512（个）。

注意正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色, 则未被涂色的小立方体有(n-2)的三次方个.则一面被涂色的小立方体为(n-2)*(n-2)*6两面被涂色的小立方体有(n-2)*12三面被涂色的有8长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个选择是难，更何况是心灵选择。

高渐离为了荆轲，他选择了死；马本斋母亲为了革命，她选择了牺牲；祝英台为了真挚爱情，她选择了化蝶。

在这友情、亲情与爱情之间选择，他们是这样做。

长方体涂色问题公式(一)
长方体涂色问题公式
•问题描述
•相关公式
•示例解释
问题描述
长方体涂色问题是一个常见的数学问题，通常用于计算需要涂色的长方体的表面积或体积。

在这个问题中，我们假设长方体的六个面都需要涂上颜色，且要求每个面的颜色都不同。

相关公式
以下是与长方体涂色问题相关的公式：
表面积公式
长方体的表面积可通过以下公式计算：
A = 2lw + 2lh + 2wh
其中A表示表面积，l表示长，w表示宽，h表示高。

体积公式
长方体的体积可通过以下公式计算：
V = lwh
其中V表示体积，l表示长，w表示宽，h表示高。

示例解释
假设有一个长方体，长为5单位，宽为3单位，高为2单位。

计算表面积
利用表面积公式，可以计算出该长方体的表面积：
A = 2lw + 2lh + 2wh
将长、宽、高分别代入公式中：
A = + + = 30 + 20 + 12 = 62
因此，该长方体的表面积为62平方单位。

计算体积
利用体积公式，可以计算出该长方体的体积：
V = lwh
将长、宽、高分别代入公式中：
V = = 30
因此，该长方体的体积为30立方单位。

通过以上示例，我们可以看到使用相关公式可以轻松计算长方体的表面积和体积，帮助解决长方体涂色问题。

五年级：美妙数学之“表⾯涂⾊”（0428五）表⾯涂⾊问题美妙数学天天见，每天进步多⼀点！亲爱的同学们：你们好！我是来⾃宁波市镇海蛟川双语⼩学的郑永达⽼师，今天我们⼀起探究的是“表⾯涂⾊问题”。

把⼀个长⽅体、正⽅体表⾯涂⾊后，切成⼩正⽅体，表⾯涂⾊的情况有⼏种？每种情况各有⼏个⼩正⽅体呢？有三⾯涂⾊的、两⾯涂⾊的、⼀⾯涂⾊的以及没涂⾊的四种情况。

每种情况各有⼏个⼩正⽅体，需要根据具体情况来分析。

那就让我们⼀起来探索吧！表⾯涂⾊问题探索规律（1）三⾯涂⾊的⼩正⽅体各有多少个？三⾯涂⾊的⼩正⽅体都有8个。

我发现：三⾯涂⾊的都在⼤正⽅体的顶点处，所以三⾯涂⾊的个数=顶点数。

从位置去探索表⾯涂⾊问题，你说得很对！探索规律（2）两⾯涂⾊的⼩正⽅体各有多少个？图1 图2 图3 图4我来说吧！两⾯涂⾊的都在每条棱的中间，图1每条棱上只有顶点处的2个⼩正⽅体，所以没有两⾯涂⾊的⼩正⽅体；图2每条棱上有3个⼩正⽅体，减去2个顶点，还有1个两⾯涂⾊的⼩正⽅体，12条棱就有12个；图3每条棱上有2个两⾯涂⾊的⼩正⽅体，2×12=24（个）；图4两⾯涂⾊的共有3×12=36（个）。

通过观察，我发现：两⾯涂⾊的⼩正⽅体的个数=12×（棱长－2）这个⽅法⾮常好！把问题变得简单多了。

探索规律（3）探索规律（3）⼀⾯涂⾊的⼩正⽅体各有多少个？⼀⾯涂⾊的每个⾯的中间，每边的个数⽐⼤正⽅体每边的个数少2。

⼤正⽅体每边有n个，那⼀⾯涂⾊的个数=6（n-2）²你还会⽤字母来表⽰你发现的规律，真是太棒了！探索规律（4）没有涂⾊的⼩正⽅体各有多少个？图1 图2 图3通过观察，我发现：没有涂⾊的⼩正⽅体在正⽅体的中⼼，也组成了⼀个正⽅体，只是每条棱上的个数⽐原来的少了2，原正⽅体每条棱上有n个，那没涂⾊的的正⽅体每条棱上就有（n-2）个，所以没涂⾊的个数=(n-2)³。

图1有(3-2)³=1（个），图2有(4-2)³=8（个），图3有(5-2)³=27（个），对吗？你们两个都⾮常善于动脑！通过观察发现了表⾯涂⾊问题的规律。

（1）三面涂色：大正方体每个顶点处的
小正方体有三面涂色，正方体共有8个顶
点，所以是8个
（2）两面涂色：大正方体每条棱上除去
顶点处的1个小正方体，其余每个小正方
体各有两面被涂色，共有12条棱，所以是
12个
（3）一面涂色：大正方体每个面上除上、
下两排和左、右两列外，剩下的小正方体有
一面被涂色，大正方体共有6个面，所以
是6个
（4）分析法解决数正方体的问题，我们知道正中间的那个小整体被余下了，所以没涂色的就剩1个。

或者用减法：27-8-12-6=1（个）
正方体涂色专项练习
【练习1】
如图是用27个小正方体拼成的一个大正方体，把它的
表面都涂成红色
请你数一数，算一算：每条棱上3个小正方体，a=3
（1）三面涂成红色的小正方体有（8）块；
（2）两面涂成红色的小正方体有（12）块；
（3）一面涂成红色的小正方体有（6）块；
（4）没有涂成红色的小正方体有（1）块。

【方法总结】
用若干个小正方体拼成一个大正方体，并将拼成的大正方体的表面涂色。

如果大正方体的每条棱上有a个小正方体，则
三面涂色的小正方体在顶点处，共有8 个；
两面涂色的小正方体在棱上，共有[(a-2)×12] 个；
一面涂色的小正方体在面上，共有[(a-2)×(a-2)×6] 个。

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间2013-03-23 授课题目有关长方体、正方体的等积变形和涂色问题课型新授课使用教具教学目标1.熟练掌握三种情形下的等积变形问题的解法；2.会画图分析，并会解决有关正方体涂色的问题；3. 培养学生空间和空间想象能力。

教学重点和难点区分各种情形的等积变形，并能通过相应的方法解决问题。

参考教材教学流程及授课详案一、课本知识复习：1、长方体、正方体的表面积和体积公式；长方体的表面积及体积公式：方法1、设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么长方体的表面积为：S=（a*b+a*c+b*c）*2长方体的体积为：V=abc方法2、假设长方体的底面积为s,高为h，那么长方体的体积为：V=sh正方体的表面积及体积公式：设正方体的边长为a,那么正方体的表面积为：S=6*a*a 正方体的体积为：V=a*a*a2、如何求不规则物体的体积。

求不规则物体的体积一般用：排水法。

即将物体放入盛有水的规则容器中，那么升高的那部分水所占的体积就是所求物体的体积。

二、新课引入：1、等积变形例题1：有一只长方体水槽，它的底面是边长为20厘米的正方形，有一时间分配及备注段横截面是80平方厘米的长方体钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出后，水桶内的水下降了3厘米，求这段钢材厂。

分析：根据题意可知钢材的体积相当于水槽内下降部分水的体积，即20*20*3=1200立方厘米，再根据横截面面积*长=体积求出这段钢材的长，即1200/80=15厘米。

解：20*20*3/80=15厘米答：这段钢材的长是15厘米。

练习1：有一个小金鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。

把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。

这块石头的体积是多少立方分米？4*2*1=8（立方分米）练习2：有一块棱长是4厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。

取出铁后，水面下降了0.5厘米。

这长方体容器的底面积是多少平方厘米？4*4*4/0.5=128（平方厘米）例题2：有一只装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。

暑假五年级奥数第三讲几何新长方体与正方体涂色与三视图A级新新教师版TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）长方体与正方体涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。

三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例 2】【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8, 12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8, 36【例 3】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【例 4】一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1-⨯-⨯-=块【答案】6, 1【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1-⨯-⨯-=块【例 5】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)-⨯-⨯+-=-n n个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，12(1)24n-=，解得n=．【答案】33【例 6】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【例 7】【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 8】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。

三、立方体（1）涂色问题、刷墙问题、有盖无盖问题（魔方涂色问题）1、3面在顶点，2面在棱上，1面在面上，没有的用减法2、窗户不刷，地面不刷抽屉 通风管 流水管 水池 等例题：1、 一个长方体的鱼缸，长0.8米，宽0.4米，高0.5米，做这样一个鱼缸至少用多少玻璃？2、有一个神2米的长方体泳池，要在泳池的四周及地面铺砖，泳池的长是25米，宽是15米，求铺砖的面积？如果选用边长是10厘米的瓷砖，要把泳池铺满，至少用多少块？如果一块砖0.3元，一共要花多少钱？2、 学校要靠墙修一条长4.5米，宽3.5米，高1.5米的长方体领操台，要在领操台的外表抹一层水泥，求水泥的面积？3、 有一个长方体玻璃钟罩，长7分米，宽30厘米，比高短一半，要做这样的玻璃罩，至少需要多少平方分米？4、一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做2个这样的抽屉，至少需要木板多少平方厘米？5、在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？6、学校要粉刷新教室，已知教室的长8米，宽6米，高3米，门窗面积是11.4平方米。

粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米需要花涂料费4元，一共要多少元？7、右图是一个机器零件。

现在要对这个零件进行表面电镀防锈处理。

需要电镀的面积有多大？３（2）拼切问题1、拼组时面的变化2、拼组时棱的变化3、拼组时体积的变化4、如何拼组使表面积最小、棱长之和最小5、切小一段后表面积和体积的变化(当两个相等的正方体或长方体拼在一起时,它们减少了2个面,也就是减少了8条棱.)例：1、棱长1厘米的正方体小木块拼成棱长2厘米的正方形，需要小木块多少块2、将4个体积相等的小正方形拼成一个长方形，表面积减少24平方厘米，求长方形的表面积和体积3、两个一样的正方体拼成一个长方体，长方体的棱长之和是32厘米，正方体的棱长是多少？4、一个地面是正方形的长方体木块，高是10分米，如果高减少2分米，它的表面积就会减少48平方分米，原来长方体的体积是多少立方米？(画图)5、一个长方体，如果从它的高度方向拒掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但是表面积减少72平方厘米，长方体的体积是多少？6、三个一样的小正方体拼成一个长方体，表面积减少36平方分米，大长方体的表面积是多少？一个小正方体的体积是多少？长方体得棱长总和是多少？7、把一个棱长为6厘米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是多少平方厘米？8、一个长方体，如果长减少2cm，宽和高不变，则体积减小48cm2；如果宽增加3cm,长和高不变，则体积增加99cm2；如果高增加4厘米，长和宽不变，则体积增加352cm2。

表面涂色的正方体和长方体【基础训练】1.一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体，在这些小正方体中：（1）三个面涂上红色的有多少个？（2）两个面涂上红色的有多少个？（3）一个面涂上红色的有多少个？（4）六个面都没涂色的有多少个？2.把若干个体积相等的小正方体拼成一个大正方体，然后在其表面涂上红色，已知两面涂色的小正方体有24个，那么一面涂色的小正方体有多少个？3.把若干个体积相等的小正方体拼成一个大正方体，然后在其表面涂上红色，已知一面涂色的小正方体有96个，那么两面涂色的小正方体有多少个？4.把若干个体积相等的小正方体拼成一个大正方体，然后在其表面涂上红色，已知六个面都没有涂色的小正方体有27个，那么这些小正方体一共有多少个？5.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一点红色都没有涂的小正方体只有3块，原来长方体的表面积是多少平方厘米？6.将一个长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体的六个面都涂上红色，然后把这个长方体切割成若干个棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体中有两个面涂上红色的是多少个？7.有30个棱长为1分米的正方体，在地面上摆成下图的形式，然后把露出的表面涂成红色。

求被涂成红色的表面积是多少平方分米？【拓展提高】1.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少？最大是多少？2.有一个长方体模型，它的正面和上面的面积之和是209平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.如图，是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个棱长为1厘米的小正方体，做成一种玩具，它的表面积是多少平方厘米？4.有一个棱长是3厘米的正方体，先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体。

长方体涂色规律公式
长方体的涂色规律可以通过以下公式来描述：
假设长方体有6个面，我们可以用不同的变量来表示每个面的
颜色。

假设长方体的顶部面为A，底部面为B，前面为C，后面为D，左侧面为E，右侧面为F。

那么我们可以用以下公式来描述长方体的
涂色规律：
A = B.
C = D.
E = F.
这个公式表示长方体的对立面（例如顶部和底部，前面和后面，左侧和右侧）颜色是相同的。

这是因为在普通的长方体中，对立面
通常具有相同的形状和大小，因此涂色规律也是相同的。

当然，如果涂色规律不是简单的对立面颜色相同，可以根据具
体的涂色规律来进行描述。

例如，可以使用更复杂的公式来描述长
方体各个面的颜色变化规律，这可能涉及到颜色的渐变、图案、纹理等方面的规律。

总的来说，长方体的涂色规律可以通过对各个面颜色的关系进行描述，可以是简单的对立面颜色相同，也可以是更复杂的规律，具体取决于实际情况。