3.4简单线性规划的应用 第3课时 教案(北师大版必修五)

3.4.3简单的线性规划的应用本节教材分析教材设计了两个实际问题，代表了线性规划研究的两大类问题：一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.这两类问题的两个方面，即寻求整个问题的某种指标的最优解.三维目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点:把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

教学建议：教学中应注意：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，则应作适当调整，其方法应以与线性目标函数的直线的的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上课适当采用多媒体和投影仪等辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率. 新课导入设计导入一[直接导入]上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题，这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题，看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课.导入二[复习导入]生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题：一是一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力安排任务；另一类是在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，以获得最大效益.1。

知能目标解读1. 能从实质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.2. 能利用简单线性规划知识解决实质问题.要点难点点拨要点： 1. 正确理解题意，由线性拘束条件列出不等式，找出目标函数.2. 数形联合找出最优解的存在地点，特别是整数最优解问题.难点：最优解存在地点的探究和整点最优解的找法.学习方法指导1. 列线性规划问题中的线性拘束条件不等式时，要正确理解题意，特别是“至多”、“起码”“不超出”等反应“不等关系”的词语 . 还要注意隐含的限制条件，如x、y 是正数. x、y 是正整数等等.有时把拘束条件用图示法或列表表示，便于正确的写出不等式组.2.线性规划的应用：线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其要点是列出这些限制条件，不可以有遗漏的部分，若有时变量要求为正实数或自然数. 其次是正确找到目标函数，假如数目关系多而杂，能够用列表等方法把关系理清.应用线性规划的方法，一般须具备以下条件：（1）必定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）必定要有达到目标的不一样方法，即一定要有不一样选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有拘束（限制）条件的；（ 4）一定将拘束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数.线性规划的理论和方法常常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资本等资源必定的条件下，如何使用其达成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资本等资源来达成这项任务.3. 解线性规划应用题的步骤：（ 1）转变——设元，写出拘束条件和目标函数，进而将实质问题转变为数学上的线性规划问题.(2) 求解——解这个纯数学的线性规划问题.求解过程：①作图——画出拘束条件所确立的平面地区和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线l .②平移——将l 平行挪动，以确立最优解所对应的点的地点.③求值——解相关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（ 3）作答——就应用题提出的问题作出回答.4. 可行域内最优解为整点的问题的办理用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精准度要求较高，平行直线系 f ( x,y )＝ t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准. 那么如何解决这一实质问题呢？确立最优整数解常按以下思路进行：(1) 若可行域的“极点”处恰巧为整点，那么它就是最优解（在包含界限的状况下）；(2)若可行域的“极点”不是整点或不包含界限时，一般采纳网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 l 、最初经过或最后经过的整点坐标是整数最优解. 这类方法依靠作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.1(3) 采纳优值调整法，此法的一般步骤为：①先求出非整点最优解及其相应的最优值；②调整最优值，代入拘束条件，解不等式组；③依据不等式组的解挑选出整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常有问题有问题、问题、问题、问题、问题等 . ［答案］ 物质分配 产品安排 合理下料 产品配方 方案设计思路方法技巧命题方向务实质应用问题中的最大值［例 1］某公司计划 2011 年在甲、乙两个电视台做总时间不超出300 分钟的广告，广告总花费不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 / 分钟和 200 元 / 分钟 . 已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的利润分别为0.3 万元和 0.2 万元，问该公司如何分派在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的利润最大，最大利润是多少万元？［剖析］设出未知数，列出拘束条件，作出可行域，确立最优解 .［分析］设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总利润为 z 元 . 由题意得x+y ≤300500x +200y ≤ 90000，目标函数为 z =3000x +2000y .x ≥ 0， y ≥ 0x+y ≤ 300二元一次不等式组等价于5x +2 ≤900 ，yx ≥ 0，y ≥ 0作出可行域（以下图），如上图，作直线 l :3000 x +2000y =0,当直线 z =3000x +2000y 过点 M 时， z 最大 .x+y =300由，得 M （ 100， 200） .5x +2y =900∴ z max =3000× 100× +2000× 200=700 000( 元 ).所以该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告， 公司的利润最大，最大值为 70万元 .［说明］解答线性规划应用题应注意以下几点：（ 1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件许多，所以仔细审题特别重要；2（ 2）线性拘束条件中有无等号要依照条件加以判断；（ 3) 联合实质问题，剖析未知数x、y 等能否有限制，如x、y 为正整数、非负数等；（ 4）分清线性拘束条件和线性目标函数，线性拘束条件一般是不等式，而线性目标函数倒是一个等式；（ 5）图对解决线性规划问题至关重要，要点步骤基本上都是在图上达成的，所以作图应尽可能地正确，图上操作尽可能规范 . 但作图中必定会有偏差，若是图上的最长处不简单看出时，需将几个有可能是最长处的坐标都求出来，而后逐个检查，以确立最优解.变式应用 1 某公司计划在今年内同时销售变频空调机和智能洗衣机，因为这两种产品的市场需求量特别大，有多少就能销售多少，所以该公司要依据实质状况（如资本、劳动力）确立产品的月供给量，以使得总利润达到最大 . 已知对这两种产品有直接限制的要素是资本和劳动力，经过检查，获取对于这两种产品的相关数据以下表：资本单位产品所需资本（百元）月资本供给量空调机洗衣机（百元）成本3020300 劳动力 (薪资 )510110 单位利润68试问：如何确立两种货物的月供给量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？［分析］设生产空调机x 台，洗衣机y 台，则30x+20y≤ 30000， 5x+10y≤ 11000x，y∈ N,3x+2y≤3000即 x+2y≤2200，利润 z=6x+8y.x,y ∈N3 x+2y=3000 x=400由，得.+2 =2200y =900x y绘图可知当直线6x+8y=z经过可行域内点A（400，900）时， z 取最大值， z max=6×400+8×900=9600 （百元） .答：当生产空调机400 台，洗衣机900 台时，可获最大利润96 万元 .命题方向务实质应用问题中的最小值［例 2］某营养师要为某个小孩预定午饭和晚饭. 已知一个单位的午饭含12 个单位的碳水化合物 63个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C . 一个单位的晚饭含 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 10个单位的维生素. 此外，该小孩这两餐需要的营养中起码含64 个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白质C和 54 个单位的维生素 C . 假如一个单位的午饭、晚饭的花费分别是 2.5 元和 4 元，那么要知足上述的营养要求，而且花销最少，应该为该小孩分别预定多少个单位的午饭和晚饭？［剖析］ 能够先设出未知数，列出拘束条件和目标函数，再在可行域内找出最优解 .［分析］设需要预定知足要求的午饭和晚饭分别为x 个单位和 y 个单位，所花的花费为 z 元，则依题意得： z =2.5 +4 ,且x,y 知足x yx ≥ 0， y ≥ 0, x ≥ 0， y ≥ 012 x +8 ≥64. 即3 +2 ≥16 .yx y6x +6y ≥ 42x+y ≥ 7 6x +10y ≥ 543x +5y ≥ 27让目标函数表示的直线2.5 x ＋ 4y=z 在可行域上平移 . 由此可知 z =2.5 x +4y 在 B (4,3) 处获得最小值 .( 如图 )所以，应该为该小孩预定4 个单位的午饭和 3 个单位的晚饭，便可知足要求 .变式应用 2某公司租借甲、乙两种设施生产 A 、B 两类产品，甲种设施每日能生产 A 类产品 5 件和 B类产品 10 件，乙种设施每日能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 . 已知设施甲每日的租借费为200 元，设施乙每日的租借费为300 元 . 现该公司起码要生产 A 类产品 50 件， B 类产品 140 件，所需租借费最少为元 .［答案］2300［剖析］①甲、乙两种设施每日生产A 类、B 类产品件数已知；②甲、乙两种设施的租借已知；③生产 A 类、 B 类产品数目已知 .解答此题可先设出变量，成立目标函数和拘束条件，转变为线性规划问题来求解.［分析］设需租借甲种设施 x 台，乙种设施 y 台，租借费 z 元，5x +6y ≥ 50由题意得10 x +20y ≥ 140x,y ≥ 0 且 x,y ∈ N,z =200x +300y .作出以下图的可行域.4令 z=0,得 l 0:2 x+3y=0,平移 l 0可知，当 l 0过点 A 时， z 有最小值.5 x+6y=50又由，得 A 点坐标为（4，5）.10x+20y=140所以 z max=4×200+5×300=2300.探究延拓创新命题方向线性规划中的整点问题［例 3］要将两种大小不一样的钢板截成A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数以下表所示：规格种类 A 规格B规格C规格钢板种类第一种钢板21 2第二种钢板12 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少.［分析］设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张.2x+y≥15可得x+2y≥18，且x,y都是整数，2x+3y≥ 27x≥0, y≥0求目标函数z=x+y 取最小值时的x,y .作出可行域以下图：平移直线z=x+y 可知直线经过点（18，39）时，z取最小值.此时x+y=57，但18与39都不是整5555 5数，所以可行域内点（18，39）不是最优解. 如何求整点最优解呢？5 5法一：平移求解法：第一在可行域内打网格，其次找出A（18 39l : x+y=0，会发现当5，）邻近的全部整点，接着平移直线55移至 B （ 3， 9）， C （4， 8）时，直线与原点的距离近来，即 z 的最小值为 12.法二：特值考证法 :由法一知，目标函数获得最小值的整点应散布在可行域的左下侧凑近界限的整点，挨次取知足条件的整点 A 0（ 0， 15）， A 1（1， 13）， A 2（ 2， 11）， A 3（ 3，9）， A 4（ 4，8）， A 5（ 5，8）， A 6（6， 7）， A 7（7， 7），A 8 （8， 7），A 9 （9， 6），A 10（ 10， 6）， A 27（ 27，0） .将这些点的坐标分别代入z=x+y ，求出各个对应值，经考证可知，在整点 A 3（ 3， 9）和 A 4（ 4， 8）处z 获得最小值 .法三：调整优值法 :由非整点最优解（18 39575 ， ）知， z =,55∴ z ≥ 12，令 x+y =12, 则 y =12- x 代入拘束条件整理，得 3≤ x ≤ 9,2∴ x =3, x =4，这时最优整点为（ 3，9）和（ 4， 8） .变式应用 3某人有楼房一幢 , 室内面积合计 180 m 2，拟切割成两类房间作为旅行客房 . 大房间每间面积为 18 m 2，可住游客 5 名，每名游客每日住宿费 40 元；小房间每间面积为 15 m 2 ，能够住游客 3 名，每 名游客每日住宿费为 50 元；装饰大房间每间需要1000 元，装饰小房间每间需 600 元 . 假如他只好筹款 8000元用于装饰，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获取最大利润？［分析］设隔出大房间x 间，小房间 y 间，利润为 z 元，则 x,y 知足18 +15 y ≤ 180 6 x +5 ≤60xy1 000 x +600y ≤ 8 000 ，即 5 x +3y ≤ 40x ≥ 0， y ≥ 0， x ≥ 0， y ≥0z =200x +150y .作出可行域，以下图.当直线 z =200 x +150 经过可行域上的点时， z 最大 .y M6x +5y =60解方程组，得点的坐标为（ 20 60），，M775x +3y =40因为点 B 的坐标不是整数，而最优解（x,y ）是整点，所以可行域内点M （20 60 ）不是最优解 .7，7经考证：经过可行域内的整点， 且使 z =200x +150y 获得最大值， 整点是（0，12）和（ 3，8），此时 z max =18006元 .答：应只隔出小房间 12 间，或大房间 3 间、小房间 8 间，能够获取最大利润，最大利润为1800 元 .名师辨误做答［例 4］已知一元二次方程 x 2+ax +b =0 的一个根在 -2 与 -1 之间，另一个根在 1 与 2 之间，如图示以a,b 为坐标的点（ a,b ）的存在范围 . 并求 a+b 的取值范围 .［误会］令 f （ x ） 2=x +ax+b . 由题设f （ -2 ）＞ 02a-b -4 ＜ 0f （ -1 ）＜ 0 ，∴ a-b -1 ＞ 0 ，f （1）＜ 0+1＜ 0a+bf （ 2）＞ 02a+b +4＞ 0作出平面地区如图 .令 t=a+b ，则 t 是直线b=-a+t 的纵截距， 明显当直线b=-a+t 与直线+1=0 重合时， t 最大，max=-1.a+b t当直线 b=-a+t 经过点（ 0， -4 ）时 . t 最小，∴ t min =-4 ，∴ -4 ≤ t ≤ -1.［辨析］ 误会中忽略了点（ a,b ）的存在范围不包含界限 . ［正解］令 f （ ） = 2+. 由题设xx ax+b f （ -2 ）＞ 02a-b -4 ＜ 0 f （ -1 ）＜ 0，∴ a-b -1 ＞ 0 f （ 1）＜ 0a+b +1＜ 0f （ 2）＞ 0 2a+b +4＞ 0 ,作出平面地区如图 .7令 t=a+b，则 t 是直线 b=-a+t 的纵截距，明显当直线b=-a+t 与直线 a+b+1=0重合时， t 最大， t max=-1.当直线 b=-a+t 经过点（0，-4）时.t 最小，∴ t min=-4，又∵点（ a,b ）的范围是如图暗影部分且不含界限，∴ -4< t <-1.讲堂稳固训练一、选择题1. 某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3吨、 B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、 B原料3吨.销售每吨甲产品可获取利润 5 万元，每吨乙产品可获取利润 3 万元，该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨，B原料不超出18 吨，那么该公司可获取最大利润是（）A.12 万元B.20 万元C.25 万元D.27 万元［答案］ D［分析］设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨时，则获取的利润为z＝5x+3y.x≥0由题意，得y≥0，3x+y≤ 132x+3y≤ 18可行域如图暗影所示.由图可知当x、 y 在 A 点取值时， z 获得最大值，此时x=3, y=4, z =5×3+3×4＝27（万元）.2. 有 5 辆载重 6 吨的汽车， 4 辆载重 4 吨的汽车，要运送最多的货物，设需载重 6 吨的汽车有x 辆，载重4 吨的汽车y 辆，则达成这项运输任务的线性目标函数为（）A. z=6x+4yB. z=5x+4yC. z=x+yD. z=4x+5y［答案］ A83. 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品，甲车间加工一箱原料需耗资工时10小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品赢利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗资工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品赢利 50 元. 甲、乙两车间每日共能达成至多 70 箱原料的加工，每日甲、乙两车间耗资工时总和不得超出480 小时，甲、乙两车间每日总赢利最大的生产计划为（）A. 甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱B. 甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C. 甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱D. 甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 ［答案］ B［分析］设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，由题意可知x+y ≤7010x +6y ≤ 480，x ≥ 0y ≥ 0甲、乙两车间每日总赢利为z =280x +200y .画出可行域以下图 .点 （ 15， 55）为直线x+y =70 和直线 10 +6 =480 的交点，由图像知在点（ 15，55）处 z 获得最大值 .Mx yM二、填空题4.(2010 ·陕西 ) 铁矿石 A 和 B 的含铁率为 a , 冶炼每万吨铁矿石的 CO 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价钱c ，2以下表：a(万吨)c (百万元)bA 50% 1 3B70%0.56某冶炼厂起码要生产1.9 （万吨）铁，若要求 CO 2 的排放量不超出 2（万吨），则购置铁矿石的最少花费为（百万元） .［答案］15［分析］设购置 A,B 两种矿石分别为x 万吨、 y 万吨 , 购置铁矿石的花费为 z 百万元，则 z =3x +6y .由题意可得拘束条件为1x7y ≥ 1.92109x+1y≤2，2x≥0y≥0作出可行域以下图，由图可知，目标函数z=3x+6y 在点 A（1，2）处获得最小值,z min=3×1+6×2=15.课后加强作业一、选择题1.在△ ABC中，三极点分别为 A（2，4）， B（-1，2）， C（1，0），点 P（ x，y）在△ ABC内部及其界限上运动，则 m=y-x 的取值范围为（）A. ［1，3］B. ［-3，1］C.［-1 ， 3］D.［-3， -1 ］［答案］ C［分析］∵直线, 斜率k =1＞k2，=m=x 1 AB3∴经过 C时 m最小为-1，经过 B 时 m最大为 3.x+y-3≥02. 设z=x-y，式中变量x 和 y 知足条件，则z的最小值为（）x-2 y≥0A.1B.-1C.3D.-3［答案］ A［分析］作出可行域如图中暗影部分. 直线z=x-y即y=x-z . 经过点A（ 2，1）时，纵截距最大，∴z 最小 .z min=1.103.(2011 ·安徽理， 4) 设变量x,y 知足 | x |+| y | ≤1, 则 x +2 的最大值和最小值分别为（）yA.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1［答案］ B［分析］此题主要考察线性规划问题 .不等式 | x |+| y | ≤ 1 表示的平面地区以下图， 当目标函数 z=x +2y过点 (0,-1),(0,1) 时，分别取最小和最大值， 所以 x +2 y 的最大值 和最小值分别为2,-2, 应选 B.4. 某厂拟用集装箱托运甲、 乙两种货物， 集装箱的体积、 重量、可赢利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获取最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（）货物 体积每箱 (m 3)重量每箱 50 kg利润每箱 ( 百元 )甲 5 2 20乙45 10托运限制2413A.4 ，1B.3 ，2C.1，4D.2，4［答案］A5x -11 y ≥ -225. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名， x 和 y 需知足拘束条件2x +3 y ≥9 ，则 z =10 +10yx2x ≤ 11的最大值是（ ）A.80B.85C.90D.95［答案］C5x -11 y ≥-22［分析］画出不等式组 2 x +3y ≥ 9表示的平面2x ≤ 11地区，如右图所示 .11x =由，解得 A (11, 9)2 25x -11 y =-22而由题意知 x 和 y 一定是正整数，直线y=-x + z向下平移经过的第一个整点为（ 5，4）.10z =10x +10y 获得最大值 90，应选 C. x+y -1 ≤ 06. 已知x-y +1≥ 0, z =x 2+y 2 -4 x -4 y +8，则 z 的最小值为（）y ≤ 1A.3 2B.9C.2 D.12222［答案］ B［分析］画出可行域以下图 .z =( x -2) 2 +( y -2) 2 为可行域内的点到定点（ 2，2）的距离的平方，∴ z min = ( | 22 1|)2=9 .1212 27. 某学校用 800 元购置 A 、B 两种教课用品， A 种用品每件 100 元， B 种用品每件 160 元，两种用品起码各 买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为（） A.2 件，4件B.3 件， 3件C.4 件，2 件D.不确立［答案］ B［分析］设买 A 种用品 x 件， B 种用品 y 件，剩下的钱为z 元，则x ≥ 1 y ≥ 1，100x +160y ≤ 800求 z =800-100 x -160 y 获得最小值时的整数解（ x,y ），用图解法求得整数解为（ 3， 3）.8.(2011 ·四川理， 9) 某运输公司有12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 . 某天需送往 A 地起码 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人；运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当日派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z=（）A.4650 元B.4700 元C.4900 元D.5000 元［答案］ C［分析］ 设当日派用甲型卡车x 辆，乙型卡车 y 辆，由题意得2≤19x+y x+y ≤ 1210 x +6 ≥ 72y0≤ y ≤7x,y ∈N设每日的利润为 z 元，则 z ＝ 450x +350y .画出可行域如图暗影部分所示．x+y =12由图可知 z =450x +350y =50(9 x +7y ), 经过点 A 时获得最大值，又由得2x+y =19x =7．即 A (7 ，5) ．y =5∴当 x =7, y =5 时， z 取到最大值， z max =450×7＋ 350×5＝ 4900（元） .应选 C.二、填空题x+y ≤ 19. 设 x 、y 知足拘束条件y ≤ x ，则 z =2 x+y 的最大值是 .y ≥ 0［答案］2［分析］可行域如图 , 当直线 z =2x+y 即 y =-2 x+z 经过点 A （ 1，0）时， z max =2.y ≥ x ,10.(2011 ·湖南文， 14) 设>1, 在拘束条件y ≤ ，下，目标函数 +5 的最大值为 4，m mx z=x yx+y ≤ 1则 m 的值为 .［分析］此题是线性规划问题. 先画出可行域，再利用最大值为4 求m.由 m>1可画出可行域以下图，则当直线z=x+5y 过点 A时 z 有最大值.由y=mx得 ( 1 m ), 代入得 1 5m=4,Am , 1 m 1 m 11 mx+y=1即解得 m=3.11. 某运输公司接受了向地震灾区每日起码运送180t 增援物质的任务，该公司有8 辆载重为6t 的A型卡车和 4 辆载重为 10t 的B型卡车，有10 名驾驶员，每辆卡车每日来回的次数为 A 型卡车 4 次，B型卡车 3 次，每辆卡车每日来回的成本花费为 A 型卡车为320元，B 型卡车为504元.每日分配 A 型卡车辆，B 型卡车辆，可使公司所花的成本花费最低.［答案］ 5 2［分析］设每日调出 A型车 x 辆， B 型车 y 辆，公司所花的成本为z 元，x≤8y≤40≤x≤ 8x+y≤100≤ y≤4依题意有4x·6+3y·10≥180x+y≤10 .x≥0, y≥04x+5y ≥ 30x,y ∈N x,y ∈N目标函数 z=320x+504y(此中 x,y ∈N).作出上述不等式组所确立的平面地区以下图，即可行域.由图易知，直线z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中，点（5， 2）使z＝ 320x+504y获得最小值，z 最小值＝320·5＋504·2＝2608（元）.12. 购置 8 角和 2 元的邮票若干张，并要求每种邮票起码有两张. 假如小明带有10 元钱，共有种买法．［答案］12［分析］设购置 8 角和 2 元邮票分别为x 张、 y 张，则0.8 x+2y≤ 10 2 x+5y≤ 25x,y ∈N，即x≥2.x≥2, y≥2y≥2x,y ∈N∴ 2≤x≤ 12， 2≤y≤5，当 y=2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；当 y=3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；当y=4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x=2有一种；当 y=5时，由2x≤0及 x≥0知 x=0，故有一种.综上可知，不一样买法有：6+4+1+1=12 种 .三、解答题13. 制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A 药品3 g、 B 药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2g、B药品 11 g 、C药品 6 g. 已知每日原料的使用限额为A药品120 g、 B 药品400 g、 C药品240 g.甲种烟花每枚可赢利 2 元，乙种烟花每枚可赢利 1 元，问每日应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能赢利最大 .［分析］设每日生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，赢利为z 元，则3x+2y≤ 1204x+11y≤ 4004x+6y≤ 240 ，作出可行域以下图.x≥0y≥0目标函数为：z=2x+y.作直线l ： 2 =0，将直线l向右上方平移至l 1的地点时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最x+y大 . 此时z=2x+y取最大值 . 解方程组4x+6y-240=0 x =24得.3x+2y-120=0y=24故每日生产甲、乙两种烟花各24 枚才能使赢利最大 .14. （ 2012·开封高二检测）某人承包一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个，现有两种规格的原2 2，可做文字标牌 2 个，绘料，甲种规格每张 3m, 可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个，乙种规格每张 2m画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？［分析］设需要甲种原料x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌（ x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个 .2x+y≥ 5x ≥ 0y ≥ 0在一组平行直线 3x +2y =t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线 2x+y =5 和直线 x +2y =4 的交点（ 2,1 ） ,∴最优解为： x =2, y =1∴使用甲种规格原料2 张，乙种规格原料1 张，可使总的用料面积最小 .15. 电视台某广告公司特约播放两部片集，此中片集甲每片播放时间为 20 分钟，广告时间 1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每片播放时间为10 分钟，广告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万，广告公司规定每周起码有 6 分钟广告，而电视台每周只好为该公司供给不多于 86 分钟的节目时间（含广告时间） .（ 1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多？（ 2）在获取最多收视观众的状况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和 （万元）的效益，若b广告公司本周共获取 1 万元的效益，记 S = 1+1为效益调解指数，求效益调解指数的最小值.(取 2＝a b1.41)［分析］（ 1）设片集甲、乙分别播放 x 、 y 集，则有x+y ≥621x +11y ≤ 86，x,y ∈N要使收视观众最多，则只需z =60x +20y 最大即可 .如图作出可行域，易知知足题意的最优解为（2， 4），z max =60· 2+20· 4＝ 200，故电视台每周片集甲播出 2 集，片集乙播出 4 集，其收视观众最多 .（ 2）由题意得： 2a +4b =1,S =1 +11 +12a 4b≥ 6+4 2 ＝ 11.64 （万元） .a =(a ) ·(2 a +4b )=6++b b b a所以效益调解指数的最小值为 11.64 万元 .。

§4.3 简单线性规划的应用教学设计授课人：课题：简单线性规划的应用教学目标：1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题；2.增强学生的应用意识，培养学生理论联系实际的观点.教学重点：求得最优解教学难点：化抽象为具体教学方法：讲练结合数形结合教材分析：线性规划研究的两类重要实际问题：1.给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.2.给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小.【教学思路】一、复习引入二、讲解新课1.典例分析：例1: 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.问:甲、乙两种产品应各生产多少吨时，才能使利润总额达到最大(精确到0.1t)?例2: 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g 含５单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？2.解线性规划应用问题的一般步骤：(1)理清题意，列出表格;(2)设好变元并列出不等式组和目标函数;(3)准确作图，准确计算;(4)还原成实际问题.三、巩固练习咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？四、课堂小结本节学习了把实际问题转化成线性规划问题：即建立数模的方法五、布置作业课本习题4.3 B组第2题六、板书设计（略）七、教学反思。

《简单线性规划》教学设计教材的内容着重介绍线性规划的有关概念，并且推导出了“最优解一般在可行域的边界上，而且通常在可行域的顶点处取得”的重要结论。

【知识与能力目标】使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；【过程与方法目标】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；【情感态度价值观目标】培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题。

【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学过程◆教学目标（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ……………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。

§4.2 简单线性规划（1）教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2.能根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解. 教学过程：（一）复习练习：画出下列不等式表示的平面区域：（1）()(233)0x y x y -+-<； （2）|341|5x y +-<．（二）新课讲解：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则y x z 32+=，这样，上述问题就转化为：当y x ,满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把y x z 32+=变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。

当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。

北师大版高中高三数学必修5《简单线性规划》教案及教学反思一、教学目标1.了解简单线性规划的定义和基本概念2.掌握解决简单线性规划问题的基本方法和步骤3.应用简单线性规划进行实际问题的求解，增强数学建模能力二、教学重点1.简单线性规划的基本概念2.解决简单线性规划问题的基本方法和步骤三、教学难点1.如何进行例题的拓展，将所学内容与实际问题结合起来2.如何理解线性规划的约束条件四、教学方法1.板书法：通过画图、写式子等方式将问题呈现给学生2.案例法：通过具体例子讲解简单线性规划的运用3.组织学生小组进行讨论和答题，提升学生的思维能力和发散性思维能力五、教学内容1. 线性规划的定义和基本概念定义线性规划是一种数学方法，用于求解线性约束条件下的最优解。

基本概念•目标函数：即要优化的问题，通常为最大化或最小化某个目标•约束条件：对目标函数有制约的限制条件•决策变量：问题中所涉及的可变量，用字母表示，根据决策的不同而不同•最优解：目标函数达到最大或最小值时，决策变量的取值2. 简单线性规划模型的建立以具体问题为例，展示如何建立简单线性规划模型。

例题：某工厂生产 A、B 两种产品，生产一个 A 产品需要 2 分钟，生产一个 B 产品需要 3 分钟。

已知一天可以生产的时间是 360 分钟， A 产品的售价为 2 元， B 产品的售价为 3 元。

问该工厂如何安排生产，才能获得最大的收益？建模过程：1.设生产 A 产品的数量为x1，生产 B 产品的数量为x2，则目标函数为f(x)=2x1+3x2（最大化收益）；2.约束条件为 $2x_1+3x_2\\le360$（生产时间不超过360 分钟）；3.决策变量的非负性条件为 $x_1\\ge0, x_2\\ge0$。

3. 简单线性规划的解法基本步骤1.写出目标函数和约束条件2.求解约束条件中每一个x的取值范围3.在相应取值范围内确定目标函数的最优值解题技巧1.将目标函数与约束条件画出来，可以方便理解问题2.若初始解不在可行域内，则需要进行改进4. 简单线性规划的应用通过案例分析，将简单线性规划应用到实际生活中的问题当中。