高一数学人教a版必修1课后导练：2.1.2指数函数及其性质 含解析

新编人教版精品教学资料2.1.2指数函数及其性质班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在同一坐标系内，函数的图象关于A.原点对称B.轴对称C.轴对称D.直线对称2．已知的图象经过点，则的值域是A. B. C. D.3．已知函数为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则的值为A.-3B.-1C.1 D3 4．函数，满足的的取值范围为A. B.C. D.5．函数的定义域为 .6．已知-1<a<0，则三个数由小到大的顺序是 . 7．已知函数在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记.(1)求a的值；(2)证明；(3)求的值.8．已知为定义在上的奇函数，当时，数.(1)求在上的解析式；(2)求函数的值域.【能力提升】已知.(1)判断的奇偶性；(2)证明在其定义域上为减函数；(3)求的值域.2.1.2指数函数及其性质课后作业·详细答案【基础过关】1．C【解析】作出函数，的图象如图所示，可知两个函数的图象关于y轴对称.2．C【解析】由题意得，∴2－b＝0，b＝2，∴，由2≤x≤4得0≤x－2≤2，所以，所以f(x)的值域是[1，9].3．A【解析】∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，又∵当x≥0时，，∴，∴m＝－1.∴当x≥0时，.∴f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3.4．D【解析】本题考查指数函数的性质与求值.当时，，即，解得；当时，，解得；所以满足的的取值范围为.选D.5．6．【解析】本题考查指数函数的性质与运算.因为-1<a<0，所以,；所以.7．(1)函数(a＞0且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，∴，得a＝4或a＝－5(舍去).(2)由(1)知，∴.(3)由(2)知，，，，∴＝1＋1＋…＋1＝1006.8．(1)因为f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，所以对于任意的x∈(－1，1)都有f(－x)＝－f(x).据此一方面可由x∈(0，1)时的函数解析式求x∈(－1，0)时的函数解析式，另一方面可以根据f(x)为奇函数求得f(0)＝0.(2)求函数f(x)的值域时，可以用换元法，设，先求t的取值范围，再求的取值范围.(1)设－1＜x＜0，则0＜－x＜1，.∵f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，∴.故(2)设，则.∵0＜x＜1，∴－1＜t＜0.∴.∵f(x)是奇函数，∴－1＜x＜0时，.故函数f(x)的值域为.【备注】方法技巧：关于指数型函数的最值的求法指数型函数的最值问题常见类型有：化为指数函数型，化为二次函数型，化为反比例函数型等.形如型的最值问题，通常将f(x)换元，化为指数型的最值问题(求出f(x)的范围后利用指数函数图象求解)；形如型的最值问题通常将换元，化为二次函数型最值问题(求出的范围后利用二次函数图象求解).【能力提升】解：(1),所以是奇函数；(2)证明：令;, 即;所以在其定义域上为减函数.(3);因为, 所以，；所以, ，所以. 所以的值域是.。

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课时提升卷(十六)指数函数的图象及性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若函数y=(2a-3)x是指数函数,则a的取值范围是( )A.a>B.a>,且a≠2C.a<D.a≠22.指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),那么f(4)·f(2)等于( )A.8B.16C.32D.643.(2013·黄冈高一检测)已知集合M={y|y=-x2+2,x∈R},集合M)∩N=( )N={y|y=2x,0≤x≤2},则(RA.[1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)4.当x>0时,指数函数f(x)=(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围是( )A.a>2B.1<a<2C.a>1D.a∈R5.(2012·四川高考)函数y=a x-(a>0,a≠1)的图象可能是( )二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知函数f(x)=则f(2)+f(-2)= .7.(2012·山东高考改编)若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a= .8.(2013·长沙高一检测)关于下列说法:(1)若函数y=2x的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}.(2)若函数y=的定义域是{x|x≥2},则它的值域是{y|y≤}.(3)若函数y=2x的值域是{y|0<y≤4},则它的定义域一定是{x|0<x≤2}.其中不正确的说法的序号是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1).若f(x)的图象如图所示,求a,b 的值.10.(2013·长春高一检测)已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,),其中a>0且a≠1.(1)求a的值.(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.11.(能力挑战题)已知函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.(1)求a的值.(2)证明f(x)+f(1-x)=1.(3)求f()+f()+f()+…+f()的值.答案解析1.【解析】选B.由题意得2a-3>0,且2a-3≠1,所以a>,且a≠2.2.【解析】选D.设f(x)=a x(a>0且a≠1),由已知得=a-2,a2=4,所以a=2,于是f(x)=2x,所以f(4)·f(2)=24·22=26=64.3.【解析】选B.由题可知M=(-∞,2],N=[1,4],∴R M=(2,+∞),(RM)∩N=(2,4].【变式备选】若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},则M∩P等于( ) A.{y|y>1} B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}【解析】选C.y=2-x的值域为{y|y>0},y=的值域为{y|y≥0},因此,其交集为{y|y>0}.故选C.4.【解题指南】结合指数函数的图象,若x>0时,(a-1)x<1恒成立,则必有0<a-1<1,进而求解.【解析】选B.∵x>0时,(a-1)x<1恒成立,∴0<a-1<1,∴1<a<2.5.【解析】选D.当a>1时,y=a x-在R上为增函数,且与y轴的交点为(0,1-),又0<1-<1,故排除A,B.当0<a<1时,y=a x-在R上为减函数,且与y轴的交点为(0,1-),又1-<0,故选D.6.【解析】f(2)+f(-2)=22+3-2=.答案:【举一反三】若对于本题中的函数f(x),有f(a)=16,试求a的值.【解析】当a≤1时,f(a)=3a≤3<16,故a>1,此时有f(a)=2a=16,所以a=4.7.【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.若0<a<1,则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:8.【解题指南】解答本题一方面要注意利用函数的单调性由定义域求值域,由值域求定义域;另一方面要注意结合函数的图象,弄清楚函数值与自变量的关系.【解析】(1)不正确.由x≤0得0<2x≤20=1,值域是{y|0<y≤1}.(2)不正确.由x≥2得0<≤,值域是{y|0<y≤}.(3)不正确.由2x≤4=22得x≤2,所以若函数y=2x的值域是{y|0<y≤4},则它的定义域一定是{x|x≤2}.答案:(1)(2)(3)9.【解析】由图象得,点(2,0),(0,-2)在函数f(x)的图象上,所以解得10.【解析】(1)∵函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,),∴=a2-1,∴a=.(2)由(1)知f(x)=()x-1=2·()x,∵x≥0,∴0<()x≤()0=1,∴0<2·()x≤2,∴函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2].11.【解析】(1)函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,∴a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去).(2)由(1)知f(x)=,∴f(x)+f(1-x)=+=+=+=+=1.(3)由(2)知f()+f()=1,f()+f()=1,…,f()+f()=1,∴f()+f()+f()+…+f()=++…+=1+1+…+1=1 006.关闭Word文档返回原板块。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作012 测标题§2.1.2 指数函数及其性质（1）一．选择题1.下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是 ( ) A.y=(-4)x B.y=πx C.y=-4xD.y=a x+2(a ＞0,a≠1)2.函数f(x)=1-2x 的定义域是 ( ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)3.如果指数函数y=(a 2-1)x 在x ∈R 上是减函数,则a 的取值范围是 ( ) A.|a|＞1 B.|a|＜ 2 C.|a|＞ 2D.1＜|a|＜ 24.下列说法:①任取x ∈R,都有3x ＞2x ;②当a ＞1时,任取x ∈R,都有a x ＞a -x ;③y=(3)-x 是增函数;④y=2|x|的最小值为1,其中正确的是 ( ) A. ①②④ B. ④ C. ②③④D. ①③5.设-1＜x ＜0,则下列关系正确的是 ( ) A. 5-x ＜5x ＜0.5x B. 5x ＜0.5x ＜5-x C. 0.5x ＜5-x ＜5xD. 0.5-x ＜5-x ＜0.5x二．填空题6.已知函数f(x)=a x+4-3)10(≠>a a 且的图象恒过点7.函数)11(22≤≤--=x y x的值域为__________ ;8.函数f(x)=(12)1x 的值域是三．解答题9.(1)已知:x 232-<4325.0-x ，求x 的取值范围.(2) 若21,x x 为方程1211)(2+-=xx 的两个实数解，求21x x +.10.函数y=a x (a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2a,求a 的值答案：1-5.BADBB 6. (-4,-2) 7. ]0,[23- 8. {y|y ＞0且y≠1} 9. (2) － 13＜x ＜1 (2)-110. a>1时，y max -y min =a 2-a= a 2,得a=2 0<a<1时，y max -y min a-a 2= a 2得a=12故a=2或a=12.。

课后训练千里之行 始于足下1．下列式子一定是指数函数的是( )．A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝22x ＋1C ．y ＝(|m |＋2)－xD ．y ＝x 22．函数()f x 的定义域是( )．A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)3．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是( )．A ．(0,3)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,2)4．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是2(,1)a ，则函数y ＝f (x )的图象是( )．5．函数223()x x f x a m +-=+(a >1)恒过定点(1,10)，则m ＝________.6．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是________．7．求函数22811()3x x y --+= (－3≤x ≤1)的值域．8．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点1(2,)2，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．百尺竿头 更进一步设4()42xx f x =+，若0<a <1，试求f (a )＋f (1－a )的值，进一步求 1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋅⋅⋅+的值． 答案与解析1.答案：C解析：根据指数函数的定义求解．2.答案：A解析：要使函数有意义，则1－2x ≥0，即2x ≤1，∴x ≤0.3.答案：C解析：令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(1,3)．4.答案：A解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是2(,1)a ，∴f (x )在(0,2)内单调递减，∴0<a <1，∴选A.5.答案：9解析：由题可知a 0＋m ＝10，即1＋m ＝10，得m ＝9.6.答案：a a ><解析：∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，∴a 2>2，即a ，故a a ><.7.解：令t ＝－2x 2－8x ＋1， 则1()3t y =，又t ＝－2x 2－8x ＋1＝－2(x 2＋4x )＋1＝－2(x ＋2)2＋9，∵－3≤x ≤1，∴当x ＝－2时，t max ＝9，当x ＝1时，t min ＝－9，故－9≤t ≤9，∴9911()()33y -≤≤，即3－9≤y ≤39， 故所求函数的值域为993,3-⎡⎤⎣⎦．8.解：(1)函数图象过点1(2,)2， 所以2112a-=， 则12a =. (2)11()()2x f x -=(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1， 于是11110()()222x --<≤-. 所以函数的值域为(0,2]．百尺竿头 更进一步 解：11444442()(1)14242422444242a a a a a a a a a a f a f a --+-=+=+=+=+++⨯+++. 观察式子，不难发现11000299939981100110011001100110011001+=+=+=⋅⋅⋅=.从而1231000()()()()500 1001100110011001f f f f+++⋅⋅⋅+=.。

课后导练基础达标1.设集合S={y|y=3x ,x ∈R},T={y|y=x 2-1,x ∈R},则S ∩T 等于( )A.SB.TC.∅D.有限集 解析:∵S={y|y ＞0}，T={y|y ≥-1}, ∴S ∩T=S ，故选A. 答案:A2.0<a<1,b<-1,则函数f(x)=a x +b 的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:f （x ）的图象是由y=a x 沿y 轴向下平移|b|个单位，如图，故不过第一象限.答案：A3.设f(x)=a -|x|(a>0且a ≠1),f(2)=4,则( )A.f(-1)>f(-2)B.f(1)>f(2)C.f(2)<f(-2)D.f(-3)>f(-2) 解析:由条件得：4=a -2， ∴a=21， ∴f （x ）=2|x|其图象如右图，由其单调性可得f （-3）＞f （-2）.答案：D 4.若3<(31)x<27,则( ) A.-1<x<3 B.x>3或x<-1 C.-3<x<-1 D.1<x<3 解析：3＜（31）x＜27⇔3＜3-x ＜33⇔1＜-x ＜3⇔-3＜x ＜-1. 答案：C5.当x ＞0时，函数f （x ）=（a 2-1）x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A.1＜|a|＜2 B.|a|＜1 C.|a|＞1 D.|a|＞2 解析：由条件得：a 2-1＞1，即a 2＞2即|a|＞2. 答案：D6.已知y 1=(31)x,y 2=3x ,y 3=10-x ,y 4=10x ,则在同一坐标系内,它们的图象为… ( )解析：当底数a ＞1时，底数越大，图象越靠近y 轴，即y 4=10x 的图象比y 2=3x 的图象更靠近y 轴.当底数0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近y 轴，即y 3=（101）x 比y 1=（31）x 的图象更靠近y 轴，故选A.本题还可取一个特殊值验证即得.答案：A7.f(x)=a x-2-1(a>0且a ≠1)恒过点( )A.(0,2)B.(2,1)C.(2,0)D.(0,0) 解析：y=a x-2是由y=a x 向右平移2个单位得到的.y=a x-2-1是由y=a x-2向下平移1个单位得到的，故过（2，0）点. 答案：C8.若x ∈［-1,1］,则f(x)=3x -2的值域为______________;f(x)=3x -2的值域为_______________. 解析：∵x ∈［-1,1］，∴3x ∈［31,3］，3x -2∈［-35，1］，即f （x ）=3x -2的值域为［-35,1］.∵x ∈［-1,1］，∴x-2∈［-3,-1］,∴3x-2∈［271,31］. 答案：［-35,1］ ［271,31］ 9.若23-2x <(0.5)3x-4,则x 的取值范围为_________________________.解析：原不等式⇔0.52x-3<0.53x-4⇔2x-3＞3x-4⇔x<1. 答案：x<110.a=0.80.7,b=0.80.5,c=1.30.8,则a 、b 、c 的大小关系为_____________________. 解析：由函数单调性可知：0.80.7<0.80.5<1,而c=1.30.8＞1. 答案：a<b<c 综合运用11.若a ＞0，且a ≠1，f （x ）是奇函数，则g （x ）=f （x ）［11-x a +21］( ) A.是奇函数 B.不是奇函数也不是偶函数C.是偶函数D.不确定 解析：g （x ）的定义域为{x|x ≠0，x ∈R}. ∵g （-x ）=f （-x ）［11--xa +21］ =-f （x ）［111-xa +21］ =-f （x ）［)1(212xxx a a a --+］ =-f （x ）［)1(21x xa a -+］=f （x ）［)1(21-+x x a a ］=f （x ）［)1(221-+-x x a a ］=f （x ）［11-x a +21］=g （x ）,∴g （x ）为偶函数.故选C.答案：C 12．函数y=232)21(+-x x 的单调减区间是( )A.（-∞，1）B.［1，2］C.［23，+∞］D.（-∞，23） 解析：设y=（21）μ，μ=x 2-3x+2，原函数的单调减区间，即μ=x 2-3x+2的单调增区间. 答案：C13.已知函数f(x)=11-+x x a a (a>0且a ≠1).(1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性.解析:(1)要使函数有意义,只要a x -1≠0,即a x ≠1,x ≠0, 因此,定义域为{x|x ≠0,且x ∈R}.(2)由定义域{x|x ≠0},对任意x ≠0,f(-x)=11-+--xxa a =1111-+xx a a =xx a a -+11=11-+x x a a =-f(x),所以函数是奇函数.14.关于x 的方程（31）x =a a -+532有负根，求a 的取值范围.解析:因为x ＜0时，（31）x ＞1，故要使原方程有负根，只需a a -+532＞1即可.即aa a -+-+5532＞0，所以（3a-2）（5-a ）＞0.解得32＜a ＜5. 15.函数f(x)=a x (a>0且a ≠1)在区间［1,2］上的最大值比最小值大2a,求a. 解析：当a>1时,f(x)max =f （2）=a 2,f （x ）min =f （1）=a ，∴a 2-a=2a , 解得a=0（舍）或a=23. 当0<a<1时,f(x)max =f （1）=a ，f （x ）min =f （2）=a 2,∴a-a 2=2a ,解得a=0（舍）或a=21. 综上可得a=23或a=21. 拓展探究 16.求函数y=122)31(--x x 的值域及单调区间.解析：设μ=x 2-2x-1，则原函数化为y=（31）μ. 因为μ=（x-1）2-2≥-2，且y=（31）μ为减函数.所以y=（31）μ≤（31）-2=9. 从而函数y=122)31(--x x 的值域为（0，9）.又二次函数μ=x 2-2x-1的单调增区间是［1，+∞］，减区间是（-∞，1），且指数函数y=（31）μ在（-∞，+∞）上是减函数，因而原函数的单调增区间是（-∞，1］，减区间是［1，+∞］.17.若f （x ）和g （x ）都是奇函数，且F （x ）=af （x ）+bg （x ）+2在（0，+∞）上有最大值8.求F （-x ）的最小值. 解析：∵f （x ）、g （x ）都是奇函数， ∴F （-x ）=-［af （x ）+bg （x ）-2］. ∵F （x ）有最大值8，∴af （x ）+bg （x ）+2≤8,即af （x ）+bg （x ）≤6. 于是-［af （x ）+bg （x ）］≥-6. 从而F （-x ）=-［af （x ）+bg （x ）］+2≥-4. ∴F （-x ）min =-4.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2．1.2 指数函数及其性质(一)课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．1．指数函数的概念一般地，__________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，________； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性 是R 上的__________ 是R 上的__________一、选择题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x B ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1) 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)的值为( )A ．－9 B.19C ．－19D ．95．右图是指数函数①y ＝a x；②y ＝b x；③y ＝c x；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( ) A ．a <b <1<c <d B ．b <a <1<d <c C ．1<a <b <c <d D ．a <b <1<d <c6．函数y ＝(12)x －2的图象必过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为________．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2) 1314⎛⎫ ⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格，并回答下列问题．周期数n 体积V (m 3)0 50 000×20 1 50 000×2 2 50 000×22 … … n 50 000×2n(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？ (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．1．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y ＝f (x －a )的图象可由函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位得到．2．1.2 指数函数及其性质(一)知识梳理1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 作业设计1．B [A 中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C 中因有负号，也不是指数函数，D 中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数．]2．C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1.解得a ＝2.]3．B [该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．]4．C [当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.]5．B [作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．]6．D [函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象知选D.]7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考查函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交．12．A [由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.]13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．。

疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x （a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量. 由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x 无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x ，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x =1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x -1，y=2x +1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x 图象要点提示 函数y=a x 与y=a -x 的图象关于y 轴对称.（2）指数函数y=a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用．探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x 的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x (x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x （x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］ 问题3 函数y=a x +h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x (a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x +h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x (x>0) ⑩y=(a-1)x (a>1且a ≠2) 思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x 的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x 向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数． 误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x ，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x 是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x ，y=（31）x ，y=2x ，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？ 我们知道，对指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象： （1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理. 答案：（1）利用函数y=2x 的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xxx作y=0.5x 的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b 的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x 的图象向上平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x 的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x -b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x 的图象关于直线x 轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x 的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x 的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称. 函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x 在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222xx x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212x x -＜1.又f （x 2）=2x 2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x 在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u .因为y=0.5u 为减函数，所以y=2425.0--x x与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u 为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x +1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方.∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］.证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a a aa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xx a a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］；若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］.例8 方程2x -1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x在同一坐标系中画出y=2x 及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。

课后训练1．已知11>a b ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b 的大小关系是( ) A ．1＞a ＞b ＞0 B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞02．下列各关系中，正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．已知指数函数y ＝b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．12－4．已知指数函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )5．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2a ，则a ＝( ) A ．12 B ．32C ．12或32D ．12或236．若函数f (x )的定义域是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数f (2x )的定义域是______． 7．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为__________．8．定义运算,,a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩则函数f (x )＝1]． 9．已知函数y ＝9x －2·3x ＋2，x ∈[1,2]，求函数的值域． 10．已知函数21()21x x f x -+=+. (1)判断并证明函数f (x )的单调性；(2)若4211(3)<3a a f f -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：B2答案：D3答案：A4答案：A5答案：C6答案：(－1,0)7答案：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(1,2) 8答案：19答案：解：y ＝9x －2·3x ＋2＝(3x )2－2·3x ＋2，设t ＝3x ，x ∈[1,2]，则t ∈[3,9]，则原函数化为y ＝t 2－2t ＋2(t ∈[3,9])，∵y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，∴函数y ＝t 2－2t ＋2在[3,9]上为增函数，∴5≤y ≤65.∴所求函数的值域为{y |5≤y ≤65}．10答案：解：(1)函数f (x )在定义域R 上是减函数，证明如下：2121(21)22()121212121x x x x x x x f x -+-+-==-=-=-+++++. 设x 1，x 2是定义域内任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－1＋1221x +－(－1＋2221x +) ＝1221x +－2221x +＝212112122[21(21)]2(22)(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x +-+-=++++ ∵x 1＜x 2，且2＞1，∴22x ＞12x ，即22x －12x ＞0.又12x ＋1＞0, 22x ＋1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )在R 上是减函数．(2)由(1)知，函数f (x )在R 上是减函数． ∵4211(3)<3a a f f -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴32a ＋1＞413a-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即32a ＋1＞3a －4. ∴2a ＋1＞a －4，即a ＞－5.所以实数a 的取值范围是(－5，＋∞)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1.2指数函数及其性质1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1，或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0，且a ≠1解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，⇒a ＝2.答案 C2．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 由已知得14＝a －2，a 2＝4， 所以a ＝2， 于是f (x )＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24·22＝64. 答案 D3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≥4)，2x －1 (x <4)，则f [f (3)]等于( )A ．9B ．53C ．81D ．243解析 f (3)＝2×3－1＝5，∴f [f (3)]＝f (5)＝35＝243，选D. 答案 D4．函数y ＝21x的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 ∵1x ≠0，∴21x ≠1，∴函数y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．答案 C5．若函数y ＝a x －(b ＋1)(a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则有( )A ．a >1，且b <1B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b >0D ．0<a <1，且b <0解析 画图易知，a >1，且b >0. 答案 B6．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是()解析该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝a x的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．答案 B7．函数y＝a x－2＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点________．解析当x＝2时，a x－2＝a0＝1，此时y＝1＋1＝2，故y＝a x－2＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点(2,2)．答案(2,2)8．函数y＝4－2x的定义域________．解析由4－2x≥0，得2x≤4，即2x≤22，∴x≤2.答案(－∞，2]9．函数y＝a x－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是________．解析由a x－1≥0，知a x≥1，又∵x≤0时成立，由指数函数的单调性知，0<a<1.答案0<a<110．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)．若f (x )的图象如图所示，求a ，b 的值．解 由图象得，点(2,0)，(0，－2)在函数f (x )的图象上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.11．已知奇函数f (x )，偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x (a >0，a ≠1)． 求证：f (2x )＝2f (x )·g (x )．证明 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )． 又f (x )＋g (x )＝a x ，① ∴－f (x )＋g (x )＝a －x .②由①②解得f (x )＝a x －a －x 2，g (x )＝a x ＋a －x2. ∴f (2x )＝a 2x －a －2x2. 又2f (x )·g (x )＝2·a x －a －x 2·a x ＋a －x 2＝a 2x －a －2x 2， ∴f (2x )＝2f (x )·g (x )．12．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2,0.5)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的值域．解 (1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2,0.5)， ∴0.5＝a 2－1，即a ＝12.故a 的值为12.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，∵0<12<1，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)在[0，＋∞)上为减函数，又f (0)＝2，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)的值域为(0,2]．。

备课资料1.函数y =a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a 等于 A.21B.2C.4D.41 2.函数y =2－|x |的值域为 A.（0，1］B ［0，1］C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）3.定义运算ab =⎩⎨⎧>≤,,,,b a b b a a 则函数f （x ）=12x 的图象是AB xyO 1C D5.已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =41－x －4·（2）x+2的最大值和最小值. 6.已知n ∈N *，f （n ）=n ·0.9n ，比较f （n ）与f （n +1）的大小，并求f （n ）的最大值. 7.已知函数y =（21）|x －1|，求定义域、值域，并作出其图象. 8.画出函数y =|3x －1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －1|=k 无解，有一解，有两解？解答：1.B2.A3.A4.由题意得1≤4x －3·2x +3≤7，即⎪⎩⎪⎨⎧≤-⋅-≥+⋅-,0434,022342x x x x 由①得2x ≤1或2x ≥2，由②得2x ≤4，故2x ≤1或2， 所以x ∈（－∞，0）∪［1，2］. 5.y min =f （1）=1，y max =f （0）=2.6.f （n +1）－f （n ）=（n +1）·0.9n +1－n ·0.9n =0.9n （0.9n +0.9－n ）=109n-·0.9n . ∵0.9n ＞0，∴当1＜n ＜9时，f （n +1）＞f （n ）， 当n =9时，f （n +1）=f （n ）〔f （10）=f （9）〕， 当n ＞9时，f （n +1）＜f （n ），综上，f （0）＜f （1）＜…＜f （9）=f （10）＞f （11）＞f （12）＞… ∴当n =9或n =10时，f （n ）最大，最大值为f （9）=9×0.99.7.y =⎪⎩⎪⎨⎧<≥--,1,2,1,)21(11x x x x 定义域：R ，值域（0，1］.图象如下图.xy18.图象如下图所示：当k ＜0时，直线y =k 与函数y 当k =0或k ≥1时，直线y =k ∴方程有一解；当0＜k ＜1时，直线y =k 与函数y =|3x －1|图象有两个交点， ∴方程有两解.。

2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质基础达标1．(2013·青岛高一检测)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a ·180°6的值为( )．A ．0 B.33 C ．1 D. 3解析 ∵3a ＝9，∴a ＝2，∴tan a ·180°6＝tan 60°＝ 3.答案 D2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )．A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9]解析 y ＝3－x－1，x ∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.答案 A3．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是( )．A ．(0,3)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,2)解析 令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝2＋1＝3.∴图象恒过定点(1,3)．也可以看作由y ＝a x 的图象先向上平移2个单位，再右移1个单位得到．故定点(0,1)移动至(1,3)点． 答案 C4．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (3)＝________.解析 设f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得，所以a ＝5，故f (x )＝5x .从而f (3)＝53＝125. 答案 1255．(2013·合肥高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析 由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2，且a <0， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案 －36．函数y ＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．解析 由a x －1≥0，得a x ≥1.又函数的定义域是(－∞，0]，∴a x ≥1的解集为(－∞，0]，则0<a <1. 答案 (0,1)7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解 (1)∵f (x )的图象过点(2，12)，∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝(12)x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．能力提升8．若0<a <1，b <－1，则函数f (x )＝a x ＋b 的图象不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵b <－1，∴f (x )＝a x ＋b 的图象可以看作把y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移－b 个单位如图所示．故f (x )＝a x ＋b (0<a <1，b <－1)一定不过第一象限． 答案 A9．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋32，x <0，2－x，x ≥0.则f (x )≥12的解集是________．解析 当x <0时，2x ＋32≥12，x ≥－12，∴－12≤x <0；当x ≥0时，2－x ≥12，即x ≤1，∴0≤x ≤1.因此f (x )≥12的解集是[－12，1]．答案 [－12，1]10．设0≤x ≤2，y ＝－3·2x ＋5，试求该函数的最值．解 令t ＝2x,0≤x ≤2， ∴1≤t ≤4.则y ＝22x －1－3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5.又y＝12(t－3)2＋12，t∈[1,4]，∴y＝12(t－3)2＋12，t∈[1,3]上是减函数；t∈[3,4]上是增函数，∴当t＝3时，y min＝12；当t＝1时，y max＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。

课后训练基础巩固．函数＝(－＋)是指数函数，则的值为( )．．．．或．若集合＝{＝，}，＝{＝，}，则( )．⊆．．＝．∩＝．若函数＝(－)是实数集上的增函数，则实数的取值范围是( )．．(－∞，)．．．设，则( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．对任意实数(＞，且≠)，函数()＝－＋的图象必经过点( )．() ．()．() ．()．若＞，－＜＜，则函数＝＋的图象一定在( )．第一、二、三象限．第一、三、四象限．第二、三、四象限．第一、二、四象限．已知＝，＝，＝，则，，的大小关系是( )．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞．函数的定义域是．．指数函数＝()的图象经过点()，则()·()＝．．若函数()＝－(＞，且≠)的定义域和值域都是[]，求实数的值．．比较下列各组数的大小．()；()－，．能力提升．函数＝在区间[]上的最大值与最小值的和为，则的值是( )．．．．．写出满足条件()·()＝(＋)的一个函数()＝．．已知函数()是定义在上的奇函数，当＞时，()＝－－，则不等式()＜的解集是．．讨论函数()＝的单调性，并求其值域．．已知函数()＝(＞且≠)．()求()的定义域、值域；()讨论()的奇偶性；()讨论()的单调性．错题记录错题号错因分析参考答案．点拨：由题意知解得＝．．点拨：∵＝{＝，}＝{＞}，＝{＝，}＝{≥}，∴．．点拨：由题意得－＞，解得＜．．点拨：∵由已知条件知＜＜＜，∴＜，＜．∴＜＜．．点拨：令－＝，得＝，所以＝＋＝．故函数()的图象过定点()．．点拨：∵＞，且－＜＜，∴其图象如图所示．．点拨：因为函数＝是上的单调减函数，所以＞．又因为＝＜＝，＝＞＝，所以＞．故＞＞．．(－∞，]点拨：由题意得－≥，即≥，≤．．点拨：设()＝，由题意得＝，于是＝，()·()＝×＝．．解：∵当＞时，函数()在区间[]上递增，∴即∴．又＞，∴．当＜＜时，函数()在区间[]上递减，。