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第二章 误差理论

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第二章：误差理论

第二章：误差理论

重物的误差是多少？ 重物的误差是多少？
∆x = x ⋅ δ = 500× 0.1% = 0.5g
相对误差的特征： 相对误差的特征： ⑴大小与被测量单位无关 ⑵能反映误差的大小和方向 ⑶能反映测量工作的精细程度
相对误差比较符合实际检测需要，一般地， 相对误差比较符合实际检测需要，一般地，测 量范围越小，要求的绝对误差越小。 量范围越小，要求的绝对误差越小。比如量程为 1000Kg的秤 相对误差为1％，则测量10Kg重物的 的秤， 则测量10Kg 1000Kg的秤，相对误差为1％，则测量10Kg重物的 误差为0.1Kg 而测量500Kg重物的误差为5Kg 0.1Kg， 500Kg重物的误差为5Kg。 误差为0.1Kg，而测量500Kg重物的误差为5Kg。
对残余误差进行列表或作图进行观察。 对残余误差进行列表或作图进行观察。
U U U
0
n
差 周期性系统误差
b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): b)残余误差之和相减法(马利科夫判据): 残余误差之和相减法 当测量次数较多时， 当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。 差之和，减去测量列后一半的残余误差之和。
举例说明： 举例说明： 1.测量温度的绝对误差为 例1.测量温度的绝对误差为±10C，测量水的沸点 温度100 测量的相对误差是多少？ 温度1000C，测量的相对误差是多少？
1 δ = × 100 % = 1 % 100 2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g 某电子天平的相对误差是0.5% 例2.某电子天平的相对误差是0.5%，测量500g
学习误差的意义: 学习误差的意义: 1.正确认识误差的性质, 1.正确认识误差的性质,分析误差产生的原 正确认识误差的性质 以便消除或减小它; 因,以便消除或减小它; 2.正确处理数据,合理计算所得结果,以便在 2.正确处理数据,合理计算所得结果, 正确处理数据 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 一定条件下,得到更接近真实值的数据; 3.正确组成检测系统, 3.正确组成检测系统,合理设计检测系统或选 正确组成检测系统 用测量仪表,正确选择检测方法, 用测量仪表,正确选择检测方法,以便在最经济 的条件下,得到理想的测量结果. 的条件下,得到理想的测量结果.

第二章 误差理论及应用

第二章 误差理论及应用

第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。

尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。

所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。

测量值与真值之差称为误差。

在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。

当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。

但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。

这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。

实际上，误差仍然是存在的。

由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。

测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。

二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。

1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。

由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。

在正确的测量结果中不应包含系统误差。

2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。

这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。

随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。

理论误差

理论误差

设平均值为
x ，观测值为xi，误差为
i

x i
x
由推导可知：
n1
n


i
2
i 1
n1
习题2—1 （2—10）
表示测量中约有68.3%的点落在 x 范围内， 反映了测量的
精密性。这可以由图2—2’加以说明。在式（2—8）中，当n很大时，可
以认为算术平均值等于真值。
3、算术平均值 x 的误差 x 的计算
x
x -
x
图2—2’
三、不等精度测量中的最可信赖值
1、加权平均值
试验中常常对同一物理量 a 作很多组的平行测量，以提高准确度。 而每一组均有足够的测量次数，
设第1组 :
平均值x1,
测量次数为n1,
标准误差 1
n1


ni越大，测量的 准确度越大，对
落在±3 范围之外的误差为系统误差或粗差。
二、等精度测量中的最可信赖值
1、算术平均值 x
等精度测量——测量的全部条件都相同，它们的权相同。或者说标 准差相同的测量。
设 x 为某测量的最佳值，测量值为xi，误差为∆ｉ＝ xi－ x ，由
高斯方程，可知各个误差产生的概率可由下式计算：
f (i )
x1dx1
x2dx2
xndxn
对误差x，则有： d ln f ( x) k(常数) xdx
d ln f ( x) kxdx
积分后得：
或
ln f (x) 1 kx2 ln c 2
1 kx 2
f (x) ce2
根据随机误差的对称性可知，误差x增大，概率分布密度f（x）应减小，
这样上式中的指数应为负数。令：1 k h2 2

误差理论第二章

误差理论第二章

机误差都服从正态分布，因此
正态分布在误差理论中占有十
分重要的地位。
返回本章目录
误差理论与数据处理
第一节 随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值 为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐 标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。
误差理论与数据处理
第一节 随机误差
2000.05
-0.017
2000.08
+0.013
2000.06
-0.007
2000.07
+0.003
11
li 22000.74
i 1
11
vi 0.003
i 1
11
x
li
i 1
22000.74 mm 2000.0673mm
11
11
误差理论与数据处理
第一节 随机误差
用第一种规则校核，则有：
三、算术平均值
对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此 其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的 测量结果。
(一)算术平均值的意义 设 l1, l为2 ,n次, l测n 量所得的值，则算术平均值为:
x l1 l2
n
ln
1 n
n
li
i 1
(2-8)
误差理论与数据处理
满足无偏性、有效性、一致性， 并满足最小二乘法原理；在正 态分布条件下满足最大似然原 理。
误差理论与数据处理
第一节 随机误差
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。
表 2－1
序号
li
li
vi
解：任选参考值 l0=1879.65，

2.1- 理论误差ppt课件

2.1- 理论误差ppt课件

2
式中、 为参数，可记为 x～N（ , 2 ）。其分布函数为：
x
F (x)
1
e dx ( x )2 2 2
（2-2）
2
F〔x〕的图形关于中心轴对称，由此可以得出：
（2-3）
F(x) 1 F(x)
图2.3表示 f (x) 中不同σ的正态密度曲线，图形是关于的x =μ轴对称， σ的大小影响图形的形状， σ大图形胖而矮， σ小图形瘦而高。
例2.2（ 1） F(axa)2(1)168.27% 或 者 ， F(axa)(1)(1)68.27% 图例说明 （ 2） F(a2xa2)2(2)195.45% 或 者 ， F(a2xa2)(2)(2)95.45% （ 3） F(a3xa3)2(3)199.73% 或 者 ， F(a3xa3)(3)(3)99.73%
（2〕环境方面的因素，如温度的微小波动、温度与气压的微量变化、光照 强度的变化、灰尘以及电磁场的变化等。
（3〕人员方面的因素，如瞄准、读数的不稳定、情绪的波动等。
这些误差表面上看来是毫无规律的，但从整体上观察是服从统计规律的，
这种统计规律往往可以通过试验的方法得到。
2.6 方差
在第1章中给出了一个实际测量结果的例子，以 误差作为横坐标，以频率数 f 作为纵坐标，将所得数 据画成频率分布的直方f 图i 18，% 如图2.1所示。
利用Excle进行计算
f (x) 占68.2 %
o
-
-
x
x
x
x
例 2 .3（ 1 ） 已 知 F ( k x a k ) 9 % ， 5 查 表 得 k 1 .96 （ 2 ） 已 知 F ( k x a k ) 9 % ， 9 查 表 得 k 2 .58

第二章 误差理论

第二章 误差理论


对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
xG

n
x1 x2 ...xn ( x1 x2 ...xn )
1 n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。 几何平均值≤算术平均值
n
i i
w
i 1
i
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
加权平均数
例：下面是一个同学的某一科的考试成绩： 平时测验 80， 期中 90， 期末 95 学校规定的科目成绩的计算方式是： 平时测验占 20%；期中成绩占 30%；期末成绩占 50%；
这里，每个成绩所占的比重叫做权数或权重。那么，
加权平均值 = 80*20% + 90*30% + 95*50% = 90.5 算数平均值 = (80 + 90 + 95)/3 = 88.3

随机误差不可完全避免的
（4）消除：增加平行测定次数。
3、 过失误差 （mistake ）
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因：
实验人员粗心大意造成
（3）特点：

可以完全避免

没有一定的规律
如测量时对错了标志, 误读了数码, 实验仪器未达到预想的指标等. 含有 粗差的测量值常称为坏值或异常值, 应予以剔除.

x
i 1
n
2 i
( xi ) 2 / n
i 1
nபைடு நூலகம்
n
试验次数为有限次时，样本标准差：
s

第2章 测量误差理论

第2章 测量误差理论

e x xcon.true
绝对误差: 测量误差=测量结果-被测量的约定真值
20
（五） 相对误差
1) 定义: 测量误差与被测量真值的比值。
由于真值不可知，所以用误差估算值表示。
x xcon.true 100% 2) 定义式为：rx xcon.true
绝对误差 相对误差 100% 约定真值
2
人们在对自然界的各种现象进行测量和研究，由 于受到认识能力、测量仪器的性能、实验方法的不 完善等 因素的影响，测量的数据与被测量的真值之 间存在着差异，这些差异在数值上即表现为误差。 误差存在的必然性和普遍性已为大量实践所证明:
任何测量均有误差，为了认识并 减小误差，必须 对测量过程和科学实验中的误差进行研究。
第二章 测量误差理论
1
在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确 及时地掌握各种信息, 大多数情况下是要获取被测对 象信息的大小, 即被测量的大小。这样，信息采集的 主要含义就是测量, 取得测量数据。 为了更好地掌握传感器, 需要对测量的基本概念; 测量系统的特性; 测量误差及数据处理等方面的理论 及工程方法进行学习和研究, 只有了解和掌握了这些 基本理论, 才能更有效地完成检测任务。
相对误差： 对于单个测量结果，一般用绝对误差衡量测量的 准确性，但在比较不同被测对象测量结果的准确性 时，用绝对误差就无法判别了。 21
【例2-1】用一个4位多量程数字频率计，测量标准频 率信号源输出100kHz时的频率， 量程选择为0～ 10MHz，频率计测量值为101kHz，求频率计在该 点的绝对误差和相对误差。

测量结果可用一定的数值表示, 也可以用一条曲线 或某种图形表示。 但无论其表现形式如何, 测量结果应包括两部分： 比值和测量单位。如：

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2

参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10

第二章误差基本理论

第二章误差基本理论
（1）误差超出一定限值的概率为零； 误差超出一定限值的概率为零； （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； （3）绝对值相等的正负误差出现的概率相等； 绝对值相等的正负误差出现的概率相等； （4）偶然误差的数学期望值等于零，即E()=0。 偶然误差的数学期望值等于零， E()=0。
2 2 mC = ± m A + m B = ± 6 2 + 8 2 = ±10′′
线性函数
设有函数：z = k1 x1 + k 2 x2 + … + k n xn + k 0 xi的中误差为mi , 则z的中误差为：
2 2 2 2 2 mz = ± k12 mx + k 2 m2 + … k n mn
第二章 测量误差的基础知识
测量误差及分类 衡量精度的指标 误差传播定律及其应用 等精度直接观测值的最可靠值 非等精度观测的未知量估值和精度估值
§2-1 测量误差及分类
一、测量误差及来源
观测误差总是存在的， 观测误差总是存在的，如fh = h测 － h理 ≠ 0 180° 内角和 ≠ 180° 仪器的不完善； 仪器的不完善； 人感觉器官的局限性； 人感觉器官的局限性； 外界条件的影响 本章的学习目的：了解误差产生的原因及规律； 本章的学习目的：了解误差产生的原因及规律； 正确处理观测数据，评定观测质量；指导测量实践。 正确处理观测数据，评定观测质量；指导测量实践。 D往 ≠ D返 A B 观测误差产生的原因(观测条件)： 观测误差产生的原因(观测条件) C
Hale Waihona Puke §2-2 衡量精度的指标一、精度的含义
问题1 问题1：个别误差的大小能否反映精 度的高低？ 度的高低？ 例：不同的两组观测对应着两条不 同的误差分布曲线，如图。 同的误差分布曲线，如图。 若σ1<σ2，那么 σ1 σ2 第一组观测，误差分布密集， 第一组观测，误差分布密集，图形 陡峭，精度较高； 陡峭，精度较高； 第二组观测，误差分布离散， 第二组观测，误差分布离散，图形 平缓，精度较低。 平缓，精度较低。

第二章《误差理论与数据处理》

第二章《误差理论与数据处理》
2 2 12 2 ...... n

n

i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x

n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1

误差理论第二章系统误差处理

误差理论第二章系统误差处理
1
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。

1. 误差理论基础

1. 误差理论基础
例：用两种方法测量 L1=100 mm 的尺寸，其测量误差分别为 E1 10 μ m ，
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念

电子测量 第二章误差理论和数据处理

电子测量 第二章误差理论和数据处理
0
产生系统误差的主要原因有： ①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。例如
刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程 中零点漂移，安放位置不当等.
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电 压等与仪器使用要求不一致等。
③采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 ④测量人员估计读数时习惯偏于某“方向等原 因所引起的误差。 系统误差体现了测量的正确度，系统误差小， 表明测量的正确度高。
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
= (RV
// Rx )I I
=
Rx RV Rx + RV
R
=
R'x
-
Rx
=
-RV2 Rx + RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
3 理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
±S% 0.1
0.2
0.5
1.0
1.5
2.5
5.0
例[2]：检定量程为100μA的1.5级电流表，在50μA刻度上 标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？
解： x0=49μA
x=50μA
xm=100μA
m
=
x
- x0 xm
×100%
=
50 - 49×100% 100
一、随机误差的定义、起因和特点
1、定义：
测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、 同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测 量，称为等精度测量。
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二、消除系统误差的方法
1.交换低销法 将测量中的某些条件相互交换，使产生系统误 差的原因相互抵消。 2.替代消除法 在一定的测量条件下，用一个精度较高的已知 量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指 示值保持不变，则被测量等与该已知量。 3.预检法 将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理 量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均值为L’, 基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’- L0’，看作 是测量仪器对该物理量测量时的误差。
p [−K ≤ z ≤ K ] = ∫
+K −K
δ z= σ (δ )
dz =
dδ
式中Φ ( K )称为拉普拉斯函数，具体计算比较复杂。 在实际工程应用中，可查前人已做好的拉普拉斯 函数专用表格。
1 e 2π
− z2 2
dz =
2 2π
∫
K
0
e
− z2 2
dz = Φ ( K )
工程上，通常把测量误差绝对值大于 3σ 的 测量值作为坏值，而予以剔除（此剔除原则称为 拉伊达准则）；也就是说把测量误差 ∆x > 3σ 作 为粗大误差而予以剔除。 当等精度测量次数n大于30次时，其测量误差 趋近于正态分布；因而可以用以上方法来估计测 量误差的大小和相应的置信概率。但工程上，为 保证等精度测量条件和提高测量效率，一般测量 次数仅为几次到一二十次，此时因测量样本小， 其误差已不符合正态分布，而成为“t分布”。
第二章 误差理论及应用
本章主要内容
• 误差来源、概念与分类(★ ★ ★) • 系统误差 分类(★ ★) 消除方法(★ ★ ★) 综合(★ ) • 随机误差 • 过失误差
第一节 误差的来源与分类
一、来源及基本概念 • 误差的来源：测量方法、测量仪器、测试环境条件 误差的来源： 以及测试人员的技术水平等 • 误差的概念： 误差的概念： 绝对误差：测量值与真值之差。 ∆ x = X − X 0 相对误差：测试系统测量值（即示值）的绝对误差 与被测参量真值X0 的比值，称之为测试系统测量 （示值）的相对误差 ，常用百分数表示
3.产生系统误差的主要原因 ⑴仪器不良，如零点未校准刻度不准; ⑵测试环境的变化，如外界湿度、温 度、压力变化等; ⑶安装不当; ⑷测试人员的习惯偏向，如读数偏高; ⑸测量方法不当。
• 随机误差 1.定义 在相同条件下多次重复测量同一被测参量时， 测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误 差称为随机误差。 2.随机误差是不可控的，不可排除的 随机误差必然存在于测量结果之中 3.随机误差完全服从统计规律 误差的大小及正负符号的出现，完全由概率 决定；误差与测量的次数有关，随着测量次数 的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于 零。
σ ( x ) = lim
2
2π σ ( x )
1
− ( x − µ )2
e
2 [σ ( x )]2
准差）；
n →∞
∑ ( xi − µ )
i =1
n
2
n
σ ( x) —随机变量的方差，数学上通常用D表示；
n
—随机变量的个数。
µ 从概率论可知， 和σ 是决定正态分布曲线的两 个特征参数。其中 µ 影响随机变量分布的集中位置， σ 或称正态分布的位置特征参数； 表征随机变量的 分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。
（1）有界性 即各个随机误差的绝对值（幅度）均 不超过一定的界限； （2）单峰性 即绝对值（幅度）小的随机误差总要 比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大； （3）对称性 （幅度）等值而符号相反的随机误差 出现的概率接近相等； （4）抵偿性 当等精度重复测量次数时，所有测量 值的随机误差的代数和为零，即:
图1-1 对正态分布的影响示意图 图1-2 对正态分布的影响示意图
在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f (∆x) =
1 2π σ ( ∆x )
2.按误差产生的原因分 仪器误差：由于测量仪器本身不完善或老 化所产生的误差。 安装误差：由于测量仪器安装和使用不正 由于测量仪器安装和使用不正 确而产生的误差。 环境误差：由于测量仪器使用环境条件不 符而引起的误差。
方法误差：由于测量方法或计算方法不当， 测量或计算理论本身不完善等原因产生的 误差。 操作误差：也称人为误差，由于测量者先 天缺陷或观测位置不对或操作不当引起的 误差。 动态误差：由于测量仪器的自振频率、阻 尼以及与被测迅变量之间的关系而产生的 振幅和相位的误差。
i =1
n
i
− X0) n
2
= lim
n →∞
∑ ∆x
i =1
n
2 i
n
σ 2 ,即 [σ (∆x )]2 —随机误差的方差；
1 n 1 n 2 2 2 σ (∆x) = lim ∑( Xi − X 0 ) = lim ∑∆xi n→∞ n n→∞ n i=1 i=1
方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测 量结果的表示中不是很方便，因而工程上经常不用 方差而使用方差的正的算术平方根—标准偏差 （简称标准差）。
精密（随机误差小） 精密（随机误差小） 不准确（ 不准确（系统误差大）
不精密（随机误差大） 不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大） 不准确（系统误差大）
精密（随机误差小） 精密（随机误差小） 准确（系统误差小） 准确（系统误差小）
精密度： 精密度： ( precision ) 概念： 重复测量时， 概念： 重复测量时，测量结果的分散性 表述： 表述： 随机误差的标准差 ( standard deviation ) 准确度： 准确度： 性质： 测量结果与真值的接近程度， 性质： 测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 表述： 表述： 平均值与真值的偏差 ( deviation ) 精确度： 正确度) 精确度： ( 正确度 性质： 性质： 系统误差和随机误差综合影响程度 表述： 表述： 不确定度 ( uncertainty ) 工程表示： 工程表示： 最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数
e
− ( ∆x− µ )2 x− 2 {σ ( ∆x )}2
式中 ∆x —随机误差变量，相当于高斯方程中的变 量 x ；这里 ∆xi = X i − X 0 ，其中 X i为某个测量示值， X 0 为真值； e—自然对数的底；
—随机误差的标准偏差（简称标准差）；
σ (∆x ) = lim
n →∞
∑ (X
X − X0 ∆x δ= × 100% = × 100% X0 X0
*用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测 量的精确程度，一般来说相对误差值小，其测量精 度就高；相对误差本身没有量纲。 •误差是绝对的 误差是绝对的 测量条件相同，测量结果不同，表明误差存在 测量结果相同，但不能说明没有误差 •测量误差分析的目的：研究在测量中产生误差的大 测量误差分析的目的： 测量误差分析的目的 小、性质及产生的原因 ，以便对测量精度做出评价。
lim ∑ ∆xi = 0
n→∞ i =1
n
所以，在等精度重复测量次数足够大时， 其算术平均值 X 就是其真值 X 0 较理想的替代 值。
1.正态分布 高斯于1795年提出连续型正态分布随机 变量 x 的概率密度函数表达式为：
p(x ) =
式中
e σ ( x)
µ ——数学期望值；
—自然对数的底； —随机变量的均方根差或称标准偏差（简称标
Байду номын сангаас
三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
2.算术综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小,但不能确 定符号： 绝对误差： Δ= ± （ |Δ1|+| Δ2|+…+ |Δn|） 相对误差：δ= ± （|δ1|+ |δ2|+…+| δn|）
A= ∆ max xmax − xmin
0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级
第二节 系统误差
一、系统误差分类 1.按误差值变化规律分 误差值恒定不变的又称为定值系统误差 定值系统误差。 定值系统误差 误差值变化的则称为变值系统误差 变值系统误差。 变值系统误差
A.累进性系统误差：指在整个测量过程中，误差的 数值向一个方向变化。 B.周期性系统误差：指在测量过程中，数值是按周 期性变化的。 C.按复杂规律变化的系统误差：指误差变化的规律 复杂，一般用表格、曲线或公式表示。
+ −
p (δ ) = ∫
+2σ
−2σ
p (σ ) dδ = 0.9545
p (δ ) = ∫
+3σ
−3σ
p (σ )dδ = 0.9973
另外，当置信区间扩大到 −∞至 + ∞ 时，则有
p (δ ) = ∫
+∞ −∞
p (σ ) d δ = 1
为上述不同置信区间的概率分布示意图。
为表达和计算方便，作积分变换，令 则有 σ (δ ) 而从 dδ 的积分限 [ −kσ , + kσ ]相应得到 dz 的积分限 为 [ − K， K ] ，将上述关系代入式 + 得
二、测量误差的分类
• 按产生误差因素的出现规律以及它们对测量结 果的影响程度分为：系统误差、随机误差、过 失误差。 • 系统误差 1.定义 在相同条件下，多次重复测量同一被测参 量时，其测量误差的大小和符号保持不变；或 在条件改变时，误差按某一确定的规律变化， 这种测量误差称为系统误差。 2.系统误差可控，结果可加以修正 正确的测量结果不应该包含系统误差