误差理论第一章

《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于：相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定级（即引用误差为%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高 解：多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。

《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。

1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=I L 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o解：多级火箭的相对误差为：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。

第二章 误差的基本性质与处理2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。

第1章认识测量1.1测量自然界有许许多多的物理量，这些物理量在人类出现之前就已经客观存在。

人类的工业文明恰恰就是给这些物理量赋予数量值开始的。

给物理量赋予数值的过程就是测量。

这里提前说明，测量这个过程是指包括从该物理量的定义开始、所有仪器制造校准以及你当前的测量操作在内的全部过程，是一个全局过程。

一个测量结果的形成是众多测量工作者共同劳动的结果。

这一基本认识是新概念测量理论的哲学基础。

1.2真值人类在科学研究中发现各种物理量之间存在内在联系，于是通过定义把这些量之间的数学关系固定下来，譬如：通过万有引力常数把质量距离和力之间的关系固定下来、功率等于电流乘以电压等。

通过定义各种物理量的单位而使得各种物理量形成完整统一的整体，这就是科学量制体系。

因为物理量的定义已经约定，一个物理量与其定义一致的数量值就是真值（真实值）。

目前，国际计量大会给出的7个SI基本物理量单位是：米：光在真空中（1/299 792 458）s时间间隔内所经过路径的长度。

[第17届国际计量大会（1983）]千克：国际千克原器的质量。

[第1届国际计量大会（1889）和第3届国际计量大会（1901）]秒：铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间。

[第13届国际计量大会（1967），决议1]安培：在真空中，截面积可忽略的两根相距1 m的无限长平行圆直导线内通以等量恒定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2×10-7 N，则每根导线中的电流为1 A。

[国际计量委员会（1946）决议2。

第9届国际计量大会（1948）批准]开尔文：水三相点热力学温度的1/273.16。

[第13届国际计量大会（1967），决议4] 摩尔：是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元（原子、分子、离子、电子及其他粒子，或这些粒子的特定组合）数与0.012 kg碳-12的原子数目相等。

[第14届国际计量大会（1971），决议3]坎德拉：是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为540×1012 Hz的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为（1/683）W/sr。

误差理论与数据处理总结三、误差分类三、数据运算规则在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。

第一章绪论 (1)近似加减运算。

结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。

称偶然误差)和粗大误差三类。

第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。

运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。

在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。

按乘除运算处理。

持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。

(4)对数运算。

n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。

如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。

2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。

, 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。

(5)三角函数。

角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 78 ,—右半部面积的平分线的横坐标。

以便在最经济条件下，得到最理想结果。

(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。

(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。

第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。

制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。

) 2、按误差出现规律分(1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。

—真值差。

ii00nnn(2)变化系统误差:(指绝对值和符号为变化)相当于未定系统随机误差的代数和 ,,,,,lLlnL，，,,,iii00定义:在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的一、误差定义及表示方法误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。

《误差理论与测量平差》课程教案（电子版）葛永慧付培义胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系授课题目：第一章 观测误差及其传播律教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学 本章教学时数：10学时内容提要：主要讲观测误差及其分类、偶然误差的4个特性、精度、衡量精度的指标、方差、协方差、权、定权方法、协因数等基本概念，在此基础上导出协方差传播律和协因数传播律两个重要的传播律，并举例进一步说明两个传播律的应用。

教学要求：理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，熟练掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用。

理解由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法。

本章重点：重点理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，并在此基础上掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用，以及由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法 教学难点：协方差传播律、定权方法及协因数传播律。

本章教学总的思路：首先讲较简单的误差分类、偶然误差特性，接着在对数理统计有关知识复习的基础上，方差、协方差概念，并给出协方差传播律公式，通过示例讲解加深理解；用同样的方法讲权的概念和常用定权方法、协因数概念及协因数传播律；举例说明在本章讲解过程中非常重要，它是帮助学生理解几个重要概念及两个传播律的最好方法。

最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。

教学内容：§1-1～§1-4共2学时§1-1 概述简述引入有关概念测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。

解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。

本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。

第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差0.01%110111±=±=mm mI μ0.0082%11092±=±=mm mI μ%008.0150123±=±=mmm I μ123I I I <<第三种方法的测量精度最高2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.00115x ++++=20.0015()mm =0.00025σ==正态分布 p=99%时，t 2.58=lim t δσ=±21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o2.58=± 0.0003()mm =±测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

第一章 误差估算与数据处理方法课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。

(1)000.1=U kV 有效位数：4 (2)000123.0=L mm 有效位数：3 (3)010.10=m kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。

(1)0350.0=I A 35=mA错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为0350.0=I A 11050.3⨯=mA 。

(2)()3.0270.53+=m kg错，测量结果(即最佳估计值270.53=m )有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。

测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。

故应将上式改成()3.03.53±=m kg 。

(3)()2000103.274±⨯=h km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。

因此，上式应改为()km h 4102.03.27⨯±=。

(4)()004.0325.4±=x A 正确。

3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。

3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26383.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.264．按有效数字的确定规则，计算下列各式。

(1)?6386.08.7537.343=++解：原式8.41981.41964.08.7537.343==++= (2)?543.76180.845.88=--解：原式73.3727.3543.76180.845.88==--= (3)?5.20725.0=⨯解：原式18.05.20725.0=⨯= (4)()?001.247.0052.042.8=÷-+解：原式()00.4001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+=5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。

第一章1-3解：某量值的测得值与真值之差为绝对误差，通常称为误差，即绝对误差=测得值—真值由此可知，绝对误差可能是正值或负值。

其中，绝对误差的大小（正值即为本身，负值为其相反数）为误差的绝对值。

误差的绝对值非负。

例如：三个人对一个三角形的内角和进行测量，测量结果分别为：180.001°，180.000°，179.999°。

对于三人的测量，测量量的绝对误差分别为：0.001°，0，-0.001°。

而三人测量值误差的绝对值分别为：0.001°，0，0.001°。

1-4解：测量误差是测量结果减去被测量的真值，测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。

为了消除系统误差用代数法而加减到测量结果上的数值称为修正值。

将测得值加上修正值后可得到近似的真值，但是一般情况下难以得到真值，因为修正值本身也有误差，修正后只能得到教测得值更为准确的结果。

1-5解：由绝对误差=测得值—真值，易得绝对误差为：180°00′02′′－180°=0°00′02′′同样，由相对误差=绝对误差／真值，易得到绝对误差为：0°00′02′′／180°=3.08642E-061-6解：最大绝对误差满足：△%=（AX/满度值）×100%。

其中A是准确度等级。

（题目中未能给出万能测长仪的参数，因此再次不做数值计算）1-7解：当用二等标准活塞压力计测量压力为100.2Pa，用更精确的办法测量得到100.5 Pa，则视后者为实际值，测试二等标准活塞压力计的测量误差为-0.3Pa。

1-10解：由题意，在50V刻度点的示值误差为2V，则引用误差为2/100=0.02<2.5%在50V时，示值误差为最大误差，因此易知，最大引用误差为2%，故，该电压表合格。

1-12解：由于两次测量的物理量不同，因此用相对误差来评定第一次测量的相对误差为（50.004-50）/50=8E-05第二次测量的相对误差为（80.006-80）/80=7.5E-05通过比较可知，第二种方法测量精度高。

《误差理论与数据处理》第1章习题解答1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】：真值＝100.5Pa ，测得值＝100.2Pa绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa1-8在测量某一长度时,读数值为m 31.2,其最大绝对误差为m 20,试求其最大相对误差。

【解】：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，所以：最大相对误差%1066.8%1002.3110204-6-⨯=⨯⨯≈1-9 使用凯特摆时，由公式由公式()22124Th h g +=π给定。

今测出长度()21h h +为()m 00005.004230.1±，振动周期T 为()s 0005.00480.2±。

试求g 及其最大相对误差。

如果()21h h +测出为()m 0005.00422.1±，为了使g 的误差能小于2/001.0s m ，T 的测量必须精确到多少？解：由 ()22124T h h g +=π 令 ()21h h h += 得 222/81053.90480.204230.14s m g =⨯=π 取对数并全微分得：TT h h g g ∆-∆=∆2 g 的最大相对误差为：%103625.50480.20005.0204230.100005.024maxmax max -⨯=⨯+=∆-∆=∆TT h h g g 因为04790.281053.90422.114159.34422=⨯⨯==g h T π 可由 22T g g hh T g g h h T T ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆<∆⇒∆-∆<∆ 得())(0003.000038.0000386834.002385.1000377823.002385.1000101931.0000479754.0204790.281053.9001.004220.10005.0s T ===⨯=⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-<∆1-10检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格?【解】：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 %2%1001002=⨯ 因为 2％＜2.5％所以，该电表合格。

第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。