新疆乌鲁木齐地区2015届高三第二次诊断性测试数学(理)试题(扫描版)

2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 117．已知向量，，且，则||的最小值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 38．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sinθ=（）A． B． C． D．9．过点M（2，1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且M为AB 的中点，则p的值为（）A． B． 1 C． D． 210．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 211．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 312．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵M={x|0＜x＜2}，∁R N={x|x≤1}，∴M∩∁R N={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：化简复数z，并且按照纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．解答：解：∵，由题意，得且，∴a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算与纯虚数的概念，是基础题目．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充要条件是“2a+a （a﹣3）=0也就是a=0或a=1”，所以“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算y值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：第一次执行循环体后，y=3，此时|y﹣x|=5，不满足退出循环的条件，则x=3 第二次执行循环体后，y=，此时|y﹣x|=，满足退出循环的条件，故输出的y值为故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，如图所示；所以，该四棱锥的底面积为S底=×（+1）×1=，它的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××1=．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 11考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+8a5=0，解得q=﹣，可得数列{}是等比数列，首项为，公比为﹣2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由a2+8a5=0，得，解得，易知是等比数列，公比为﹣2，首项为，∴，，∴．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知向量，，且，则||的最小值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．分析： 首先求出xy ，然后利用x ，y 表示||，利用基本不等式求最小值． 解答： 解：由题意，因为向量，，且， 所以xy=2，所以||2=（x+y ）2+1=x 2+y 2+2xy+1≥4xy+1=9，所以||≥3；故选D ．点评： 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值． 8．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sin θ=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析： 由同角三角函数基本关系结合范围可求cos2θ，由二倍角公式即可求值． 解答： 解：∵，∴，∴cos2θ＜0，由，得，而，∴．故选C ．点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．9．过点M （2，1）且斜率为1的直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2考点： 抛物线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 利用点差法，结合直线的斜率，即可求出p 的值． 解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），依题意x1≠x2，∴，于是y1+y2=2p=2，因此p=1．故选B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 2考点：函数的周期性；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log354）转化为﹣，代入函数解析式求出的值，即可得到f（log354）的值．解答：解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．11．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是AC1的中点推出②正误；利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出③正误；解答：解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1=AC1=2，∴∠AC1B1=90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD=DC1=，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF=FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF=，连结CF，易知CF=，而在Rt△CBD中，CD=，∴DF2+CF2=CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．12．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：a=2RsinA代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析： 4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．解答：解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= 5﹣2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是③④（填写所有正确结论的序号）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n=n．①令n=2，即可判断出正误；②令n=1，即可判断出正误；③作差，利用，即可判断出正误；④作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．解答：解：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1=1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2=2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n=n．①令n=2，，，，①错；②令n=1，，，，②错；③∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故③正确；④∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故④正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；等差数列的通项公式；正弦函数的图象．专题：等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=，根据题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a．（Ⅱ）由题意知，则可求，由得k的值，从而可分类讨论得解．解答：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=∵y=f（x）的图象与直线y=b相切，∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=﹣1或b=1，∵切点横坐标依次成公差为的等差数列，∴f（x）的最小正周期为，即，a＞0，∴a=2，即；…（6分）（Ⅱ）由题意知，则，∴，由得k=1或k=2，因此或．当时，y=f（x）的单调增区间为和，当时，y=f（x）的单调增区间为．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过E作EH∥CD，连接FH，只要证明平面EFH∥平面C1CDD1即可；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，分别求出平面A1BC1？的法向量以及的坐标，利用向量的数量积解答．解答：证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，则FH∥CC1，所以平面EFH∥平面C1CDD1；所以EF∥平面C1CDD1；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，如图：则=（2，0，﹣2），=（2，2，2），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，﹣2，1），G（a，0，c），则=（a，﹣1，c），要使EG⊥平面A1BC1，只要，所以，所以a=c=，所以在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；由以上可知是平面A1GC1的一个法向量；设平面CGC1的法向量为=（x'，y'，z'），则且，所以，令y'=1，则=（﹣2，1，0）为平面CGC1的一个法向量，所以二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值为=．点评：本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．考点：离散型随机变量的期望与方差；函数模型的选择与应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望；（Ⅱ）根据分布列进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为ξ，ξ可取40，30，20，10，0（单位：万元），，，，，则对应的分布列为：ξ 0 10 20 30 40P（万元），（Ⅱ）10000人向保险公司缴纳的保险费为10000×300（元）=300（万元），保险公司为10000人赔付的费用为（万元），所以保险公司一年的盈利为300﹣220=80（万元）．…（12分）点评：本题主要考查与概率有关的应用问题，求出对应的概率是解决本题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和两点的距离公式，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，证明Q也在此圆上．解答：解：（Ⅰ）依题意知，，，即a2+b2=7，又a2﹣b2=c2，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得，则△=12m2﹣12（2m2﹣6）＞0，…①，又，，∴…②，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，于是2D+F+4=0，，，∴，…③令，∵x12+y12+Dx1+Ey1+F1=0，∴=，将①②③式代入此式，并化简，得…④，又=（x2+x1）（x2﹣x1）+（y2+y1）（y2﹣y1）+D（x2﹣x1）+E（y2﹣y1），将①②③式，及代入此式，并化简，得…⑤，依题意，x1≠x2，由④⑤得，，∴t=0，或x2﹣x1=﹣2；若x2﹣x1=﹣2，则，得m2=3，∴或，此时直线l经过点或，这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，所以t=0，故，即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查四点共圆的证法，属于中档题．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（0）=0，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出f（x）的表达式，令g（x）=f（x）﹣x2，通过讨论x的范围，结合导数的应用，求出函数g（x）的单调性，从而证出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（e x﹣1）ln（x+1），令g（x）=（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2（x≥0），则，令h（x）=（x+1）g′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x﹣1﹣2x（x+1），∴h′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x[ln（x+1）+1]+e x﹣（4x+2）令φ（x）=e x﹣x﹣1，则φ′（x）=e x﹣1，（ⅰ）当x≤0时，e x﹣1≤0（ⅱ）当x≥0时，e x﹣1≥0，∴函数φ（x）在区间（﹣∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即e x≥x+1…①，由①知e t﹣1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t﹣1…③，当x≥0时，以代换③式中t，得…④，当x≥0时，e x≥1由①，④得e x（x+1）ln（x+1）≥x，e x ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥x+x+2（x+1）﹣（4x+2）=0，∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0∴当x≥0时，g（x）≥0，∴当x≥0时，f（x）≥x2．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道中档题．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题．分析：（Ⅰ）利用BC为半圆O的直径，AD⊥BC，PA与半圆O切于点A，证明∠PAB=∠BAD，即可证明AB平分∠PAD；（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，=，即可证明．解答：证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACD，∵PA与半圆O切于点A，∴∠PAB=∠ACD，∴∠PAB=∠BAD，∴AB平分∠PAD；（Ⅱ）连接AC，∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴．在Rt△BAC中，AD⊥CD，∴，∴，=，∴，=，∴=，∴．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．解答：解：（1）设AB中点M（x，y），则，所以；（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，所以有，所以ρ2=，设A（ρ1，α），B（ρ2，），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==，∴点O到AB直线的距离为定值．点评：本题重点考查了参数方程、距离公式，考查极坐标系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性质即可证明；（II）由于（a2+b2+c2）=3+++++，利用基本不等式的性质即可证明．解答：证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥3点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验文科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则集合A B=A. B. C. D.2.复数的共轭复数是A. 1+iB. -1+iC. 1-iD. -1-i3、已知，且，则下列命题一定成立的是A、－1B、＋1C、D、4.设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列四个命题：①；②；③；④5、向以（0,0），（1，0），（1,1），（0,1）为顶点的正方形区域内随机投一个点，则该点落在内的概率为A、B、C、D、6.曲线在点（1，e）处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.7.函数A.在上单调递减B.在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.9.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n为A. 2B. 3C. 7D. 1110.已知△ABC中角A,B,C的对边分别是，满足，＝10，△ABC的面积为42，则的值等于A. 5B.10C. 5D. 1011. 过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B。

若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12. 已知函数为奇函数，，即，则数列的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.若角的边过点P（－3，－4），则的值为14.△ABC中，，且CA=3，点M满足，则= _________.15.设函数，实数,且,则的取值范围是__________.16.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与此抛物线交于A,B两点，若，则________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立.（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和。

新疆区乌鲁木齐市高三年级第二次诊断性测验试卷 理科数学(问卷)（理科：必修+选修Ⅱ） 注意事项：1．本卷分为问卷（共4页）和答卷（共4页），答案务必书写在答卷的指定位置处． 2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚． 3．第Ⅰ卷（选择题，共12小题，共60分），在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．如果选用答题卡，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡请将所选项前的字母代号填写在答卷上．不要答在问卷上．4. 第Ⅱ卷（非选择题，共10小题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在问卷中．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.若复数2(1)(,)a bi i a b +=+∈R ,则a bi -= A ． 2i B ．2i - C ．22i + D ．22i - 2．设两个不相等的非空集合M ，N ，那么“a M ∈”是“a M N ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在公差为2的等差数列{}n a 中,124,,a a a 成等比数列,则2a =A ．4B ．6C ．8D ．104. 实数,x y 满足约束条件42,21x y x y z x y x +⎧⎪-=+⎨⎪⎩≤≤则≥的最小值是A ． 1B ． 3C ． 5D ．75. 若函数()f x 满足sin 2f x xπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()x ∈R ，则()f x =A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．从正方体的八个顶点中任取四个点，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是A ．30B ．45C ．60D ．907．函数()f x 的导函数为()1xf x x -'=，则()f x 的单调增区间是A ．(),0-∞ B ．[)1,+∞C ．(]0,1 D ．(),0-∞[)1,+∞8．设()21x f x =-的反函数为1()f x -，若01x >-，则必有 A ．100()0x f x -> B ．100()0x f x -≥ C ．100()0x f x -< D ．100()x f x -≤09．一束光线从点()1,1A -发出并经x 轴反射，到达圆()()22231x y -+-=上一点的最短路程是A ．4B ．5 C．1 D ．10．与直线230x y ++=垂直的抛物线2x y =的切线方程是A ．032=--y xB ．012=--y xC ．012=+-y xD ．032=+-y x11．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为A．2 B． C． D1-12．三个半径为R 的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为r 的球外切．如果这两个半径为r 的球也互相外切，则R 与r 的关系是A ．R r =B ．2R r =C ．3R r =D ．6R r =第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在答卷的相应各题的横线上.13．若向量a 、b 满足1=a ，2=b 且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角的度数为 ．14．已知△ABC 的面积等于6,最大边5AB =，4AC =，则BC = ．15．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有 种（以数字作答）．16.已知62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为15a ，则非零实数a 的值是 ．三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知1cos 2cos 2662x x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan x 的值．18.（本题满分12分） 如图直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，1CA CB ==，且二面角1A CB A --的度数为45°（1）求1AA 的长；（2）求证1C A ⊥平面1A CB.19.（本题满分12分） 函数()2f x x x =-(01)x ≤≤，P 、Q 是其图象上任意不同的两点．（1）求直线PQ 的斜率的取值范围； （2）求函数()f x 图象上一点M 到直线1x =-、 直线1y =距离之积的最大值．20．（本题满分12分）将数字1,2,3,4分别写在大小、形状都相同的4张卡片上，将它们反扣后（数字向下），再从左到右随机的依次摆放，然后从左到右依次翻卡片：若第一次就翻出数字3则停止翻卡片；否则就继续翻，若将翻出的卡片上的数字依次相加所得的和是3的倍数则停止翻卡片；否则将卡片依次翻完也停止翻卡片．设翻卡片停止时所翻的次数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和它的数学期望．21.（本题满分12分）已知抛物线24y x=的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证直线MN恒过定点；（2）求MN的最小值．22．（本题满分12分）已知数列{}na的前n项之积与第n项的和等于1()n∈*N．（1）求证11na⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a的通项公式；（2）设1n nnb aa=+，求证123221nn b b b b n<++++<+．乌鲁木齐地区2008年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选B．∵2(1)2a bi i i+=+=∴0,2a b==，故a bi-=2i-．2．选B．根据题意有M N M．3．选A．根据题意，有2214a a a=⋅()()2224a a=-+，解得24a=．4．选A ．在A(1,-1)处目标函数达到最小值1.5．选D ．()sin cos 222f x f x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．6．选A ．两条棱所在直线异面时所成角的度数是90；面对角线与棱异面时所成角的度数是45或90；两条面对角线异面时所成角的度数是60或90；体对角线与棱所在直线异面时所成角的度数是；体对角线与面对角线异面时所成角的度数是90．7．选C ．当()10x f x x -'=≥，即01x <≤时，()f x 单调递增.8．选B ．12()log (1)f x x -=+，其图像上的点100(,())x f x -在一，三象限或与原点重合．∴()1000x f x -≥9．选A ．原问题可转化为：点()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1A '--到达圆C 的最短路程，画图可知其值为14A C r '-=-=．10．选B ．易知与直线230x y ++=垂直的直线方程的斜率是2，设切点为()00,x y ，则2x y =在此处的切线斜率是2x ，故022x =，∴A 1001, 1.x y ==∴所求切线方程是()121y x -=-．11．选C ．不妨设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意得椭圆上的点P 坐标为,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得221144a b +=，即223a b =，∴222233()a b a c ==-，∴2223a c =，∴3e =．12．选D ．设123,,O O O 分别是半径为R 的三个球的球心，12,C C 分别是半径为r 的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），H 是△123O O O 的中心．因为△123O O O 是边长为2R 的正三角形，所以，13O H R=．又11C O H ∆是以11C HO ∠为直角的直角三角形，故2221111C O C H O H =+，即()222R r r R ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得6R r =．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．23π14．3 15．50 16．113．由()⊥a a +b ，得()0⋅=a a +b ，即+⋅2a a b =0，又1=a 故⋅a b =1-，∴1cos 2⋅==-a b a b a b , ∴a 与b 的夹角的度数为23π．2O O 114．1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅⋅，即1654sin ,2A =⨯⨯⨯3sin 5A =， ∵AB 是最大边，∴C ∠是最大角，故A ∠不可能是钝角，∴4cos 5A =2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅9=， ∴3BC =．15．从8门课程中选修5门，有58C 种方案；甲、乙两门课程都没选有56C种方案，故不同的选课方案有558650C C -=种．16．2616()rrr r a T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭1236()r r r a C x -=-,令1230r -=得4r =,所以常数项为446()15a C a-=，解得1a =.三、解答题（共6小题，共70分）17.cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin 666666x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sinsin 262x x π=-=-=，即1sin 22x =-又3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴32,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是，726x π=即712x π=∴tan x =tantan734tantan 12341tan tan 34πππππππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭-2=--． …10分18.解法一：（1）由题意知90ACB ∠=°，即AC CB ⊥，又1A A ⊥平面ABC ，∴1A C CB⊥于是1A CA∠就是二面角1A CB A--的平面角且1A CA ∠45=°在1Rt A AC ∆中，190A AC ∠=°，1AC =，∴1AA 1= …6分（2）由（1）知11A ACC 是正方形，11AC CA ⊥，又111ABC A B C -是直棱柱且BC CA ⊥∴BC ⊥平面11A ACC ，于是1BC AC ⊥，故1C A ⊥平面1A CB. …12分解法二：由题意知90ACB ∠=°，又111ABC A B C -是直棱柱设1A A m=，如图建立直角坐标系易知()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,,1,0,C A B C m A m 于是()11,0,CA m =，()0,1,0CB =，()10,0,CC m =，易知平面ABC 的一个法向量为()10,0,CC m =，设平面1A CB 的法向量为()a,b,c n =由100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得 00a cm b +=⎧⎨=⎩，取1c =所以a m =-，则()0,1-m,n =由于二面角1A CB A--等于45°∴121cos 451CC CC m m ⋅==+n n ，得1m = ∴1AA 1= …6分（2）由（1）得()11,0,1CA =，()11,0,1C A =-，易知110C A CA ⋅=，故11C A CA ⊥10C A CB ⋅=，故1C A CB ⊥ ∴1C A ⊥平面1A CB . …12分19．设P 、Q 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则2111y x x =-，2222y x x =- 于是，()()221122121212PQx x x x y y k x x x x ----==--=()()1212121x x x x x x -+--=121x x +-∵[]12,0,1x x ∈且12x x ≠， ∴12111x x -<+-<.故直线PQ 斜率的取值范围是()1,1-. …5分（2）设点()00,M x y ,其中[]00,1x ∈，则M 到直线1x =-的距离101d x =+M 到直线1y =的距离201d y =-则d =()()120011d d x y =+-=()()200011x x x ⎡⎤+--⎣⎦=30021x x -++232d x '=-+，当003x <≤时，0d '>，d 递增当013x <≤时，0d '<，d 递减；∴当03x =时，12d d d =有最大值19+． …12分20．由题意知1,2,3,4.ξ=ξ=1，表示仅翻了1张卡片，则翻出的一定是写有3的卡片，∴()114P ξ==；ξ=2，表示依次翻了2张卡片，若用有序数组(),a b 表示这个事件所包含的结果，其中a ，b分别表示第一次、第二次翻出的卡片上的数字， a 3≠且a b +是3的整数倍，此时共有以下四种情形()1,2、()2,1、()2,4、()4,2，试验所包含的结果总数为2412A = ∴()412123P ξ===；ξ=3，表示依次翻了3次卡片， 同理用有序数组(),,a b c 表示这个事件所包含的结果，其中a 3≠，且ab +不是3的整数倍，只有a bc ++是3的整数倍．此时共有以下四种情形()1,3,2、()2,3,1、()2,3,4、()4,3,2，试验所包含的结果总数为3424A = ∴()413246P ξ===；ξ=4，表示依次翻了4次卡片， 用有序数组(),,,a b c d 表示这个事件所包含的结果，其中a3≠，且a b +、a b c ++都不是3的整数倍，此时共有以下六种情形()1,3,4,2、()1,4,2,3、()1,4,3,2、()4,1,2,3、()4,1,3,2、()4,3,1,2，试验所包含的结果总数为4424A = ∴()614244P ξ===．∴ξ的分布列为2912E ξ=…12分21．（1）由题意可知直线AB 、CD 的斜率都存在且不等于零，()1,0F ．设():1AB l y k x =-，代入24y x =，得()2222220k x k x k -++=∴2222A B M x x k x k ++==，()21M M y k x k =-=，故2222,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为CD AB ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为1k -，得()221,2N k k +-当1k ≠±时，则()222222:221221MNk k l y k x k k k k --+=--++-，ξ123 4P14131614即()()213k y k x -=-此时直线MN 恒过定点()3,0T ； ② 当1k =±时，MN 的方程为3x =，也过()3,0点．故不论k 为何值，直线MN 恒过定点()3,0T ． …7分（2）由（1）知2222,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()221,2N k k +-，∴MN====4=当且仅当221k k =，即1k =±时，上式取等号，此时MN 的最小值是4． …12分22． （1）1231()n n a a a a a n +=∈*N ，易知0,1,1,2,i i a a i ≠≠= 则1231n na a a a a ⋅⋅=-…① ，123111()n n a a a a a n ++⋅⋅=-∈N …②两式相除得1111n n n a a a ++-=-，即112n n a a +=-，∴121111111112n n n n na a a a a +-===------．∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以111a -为首项，1-为公差的等差数列，在已知中令1n =可得11.2a =∴111(1)(1)111n n n a a =+-⋅-=----，∴1n n a n =+ …6分 （2）由1121n n n n n b a a n n +=+=+>=+（1,2,n =）所以122n b b b n+++> （1,2,n =）又因为nb =11n n n n +++1121n n =+-+，(1,2,)n = ∴1211111212231n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n n =+-+21n <+综上12221(1,2,)n n b b b n n <+++<+=成立． …12分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选C .【解析】∵{}31A x x =-<<，{|22}B x x =-<<，∴()2,1A B =-，故选C . 2.选D .【解析】∵()()()2122211112i i i i i i i i +-===-+--+，其共轭复数是1i --故选D. 3.选C .【解析】依题意，3cos 5a =-，则cos(2)p a -=()27cos22cos 1=25a a -=-- 故选C .4.选B . 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.5.选D .【解析】x x y e xe ¢=+，曲线在()1,e 处切线的斜率2k e =，∵此切线与直线0ax by c ++=垂直，∴直线0ax by c ++=的斜率12a b e-=-，即12a b e =. 故选D. 6.选A .【解析】由题意得()12cos 0f x x ¢=- ，即1cos 2x ³解得：()22,33k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∵()2sin f x x x =-是区间[,]2t t π+上的减函数,∴[,]2t t π+Í2,233k k p p p p 轾犏-+犏臌，∴2236k t k ppp p -＃-，故选A . 7.选A .【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得)2221r r=+，解得r =∴216=43S rpp =球，故选A . 8.选C .【解析】执行第一次运算91,119,91r m n ===，执行第二次运算28,91,28r m n ===，执行第三次运算7,28,7r m n ===，执行第四次运算0r =输出7n =.故选C .9.选C .【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有44A 种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1,2,4. 其中()449308P A ξ===，()14442113C P A ξ⨯===,()2444124C P A ξ===,()4411424P A ξ===，31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选C.10.选C .【解析】∵12f x 骣÷ç+÷ç÷ç桫为奇函数，则函数()y f x =的图像关于点1,02骣÷ç÷ç÷ç桫对称，则函数()y g x =的图象关于点1,12骣÷ç÷ç÷ç桫对称，故函数()g x 满足()()12g x g x +-=. 设1215=161616S g g g 骣骣骣鼢 珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，倒序后得15141=161616S g g g 骣骣骣鼢珑 +++鼢 珑 鼢 珑 桫桫桫，两式相加后得1152141512=++=152161616161616S g g g g g g 轾轾轾骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏++++ 鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏桫桫桫桫桫桫臌臌臌， ∴=15S .故选C .11.选A .【解析】()2,0F c ，渐近线方程为,b by x y x a a==-直线AB 的方程为：y x c =-+，设()11,A x y ，()22,B x y 依题意知，,A B 分别满足y x c b y x a ì=-+ïïïíï=ïïî，y x c b y x a ì=-+ïïïíï=-ïïî，得12,,ac ac x x a b a b ==+-∵2F A AB =，∴222F B F A =, ∴2acac c c a ba b骣÷ç-=-÷ç÷ç桫-+，化简得3b a =.故选A . 12.选B .【解析】∵()cos c a A C =+，∴()sin sin cos C A A C =+,即()()sin sin cos A C A A A C 轾+-=+臌,整理的()()sin cos 2sin cos A C A A A C +??,则()tan 2tan A C A +=,∵()cos 0c a A C =+>,∴()cos 0AC +>,∴AC +为锐角，故A 为锐角，则tan 0A >，()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan A C A AC A C A A C AA +-轾=+-==臌+++ 12tan tan A A=?+,当且仅当12tan tan A A=时等号成立， ∴tan C 故选B .二、填空题13.填1±.【解析】由题意得：552r+155=10rr rr r r m T C xC m x x x --骣÷ç==÷ç÷ç桫，∴2,1r m == . 14.填18.【解析】∵90C ∠=︒,∴0CA CB ⋅=,∵2BM AM =, ∴()2CM CB CM CA -=-,∴2CM CA CB =-, ∴()2222218CM CACA CB CACA CA ?-?==15.填(),0-∞.【解析】()()()120210xx x f x x ìï- ï=íï->ïî若0a b < ，由()()f a f b =得1212a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得2121a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得1221a b -=-，得222a b +=，而22a b +>，∴0212a b +<=，∴0a b +<16.填4.【解析】依题意知，直线AB 的斜率k 存在，且0k ¹，()()1,0,1,0F Q - 设其方程为()1y k x =-代入24y x =有()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y 则121x x =，又2114y x =，2224y x =，∴2212121616y y x x ==,而12,y y 异号，∴124y y =-，∵()()11221,,1,FA x y QB x y =-=+,又∵QB AF ^， 故()()11221,1,0x y x y -?=，即()12121210x x x x y y +-+-=,将121x x =，124y y =-代入，有()121410x x +---=,∴124x x -=，又121,1AF x BF x =+=+, ∴4AF BF -=三、解答题 17．（12分）（Ⅰ）当=1n 时，11213S a =+-，得12a =，由23n n S a n =+-得11213n n S a n ++=++-，两式相减，得11221n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，而111a -=，∴数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111122n n n a ---=?，即121n n a -=+，()11212n n na n n n --=+=?∴()()()()0121n =1212223232n T n n -?+?+?++? ()()01211222322123n n n -=???+?++++()0121(1)12223222n n n n -+=???+? 令0121n 1222322n V n -=???+ 则123n 21222322n V n =???+两式相减得()121n 11212222=221212n n n n n n V n n n -?-=++++-??-- -∴()n 221121nn n V n n =?+=-+，∴()n (1)1212n n n T n +=-++ …12分18. (12分)（Ⅰ）连结A C ，∵四边形A BCD 是菱形，∴AB BC =又∵60ABC ? ，∴A BC D 是等边三角形， ∵M 是BC 中点, ∴AM BC ^，∵PA ^平面A BCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥，在平面PMA 中AM PA A = ∴BC ^平面PMA∴平面PBC ^平面PMA ； …6分 （Ⅱ）设,AC BD 交于点O ，过O 作//OZ AP ,以点O 为坐标原点，分别以,,AC BD OZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形A BCD 是边长为2的菱形，60ABC? 得2AC =,BD =PA =于是()()()(1,0,0,0,,,A B D P ---∵N 是PB 的中点,∴1,2N 骣ç?-çç桫，∵PA ^平面A BCD , ∴平面ABD 的一个法向量为1(0,0,1)=n 设平面A ND 的法向量2111(,,)x y z =n∵136(,,),(1,3,0)2AN AD =-=,由00AN AD ìï=ïíï=ïî22n n得11111102x y x ìïï-+=ïïíïïï+=ïî，令11y=，得1x=-1z=,∴2(=-n,∴1212123cos,n n×==n nn n∴二面角N AD B--．…12分19．（12分）（Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76, 83,84,87,88,91,93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72, 72,73,77,79,81,88,92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：()5510 3.7505050E X=-⨯+⨯+⨯=…5分()225061691960.857252515357K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于0.857 3.841<，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”.…12分20.（12分）（Ⅰ）已知椭圆2222x1ayb+=的右焦点为()1,0F，∴221a b-=又直线y x=-与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组2222x1ay xybìï=-ïïïíï+=ïïïî有且仅有一个解，即方程()222222270b a x x a a b+-+-=有且仅有一个解∴()()42222228470a ab a a bD=-+-=，即227a b+=，又∵221a b-=，∴224,3a b==，∴椭圆M的标准方程是22x143y+=；…5分（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点F 的坐标为()1,0，直线AB 的方程为x ky t =+（其中t 为直线AB 在x 轴上的截距）设()()1122,,,A x y B x y解方程组22x 143x ky t y ì=+ïïïíï+=ïïïî，得关于y 的一元二次方程()2234120ky t y ++-= 即()2223463120k y tky t +++-=()()()()22222=643431248340tk k t k t D -+-=-+>，即234k t >-∵12,y y 是方程的两个解，∴122634tk y y k -+=+，212231234t y y k -=+，∵11x ky t =+，22x ky t =+∴()()()222212121212241234t k x x ky t ky t k y y kt y y t k -=++=+++=+()121228234tx x k y y t k +=++=+，∵FA FB ^，∴()()11221,1,0x y x y -?=即()12121210x x x x y y -+++=，∴222222412831210343434t k t t k k k ---++=+++ 即227889t t k --=，又234k t >-，∴()2278834t t t -->-，即()210t ->，∴1t ≠，而20k ≥，∴27880t t --，解得t £t ³，∴t £t ³ …12分 21．（12分）（Ⅰ）∵()()1ln 1ln ln 1f x x x x 骣÷ç¢=+-=+÷ç÷ç桫,∵0,x >∴111x +>，∴1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴()0f x '>,∴函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当0a ≤时，0a - ，由0x >知111x+>，11x +>，则1ln 10x 骣÷ç+>÷ç÷ç桫，ln(1)0x +>， ∴()()()1g x f x a x =-+()1=ln 1ln 10x a x a x 轾骣÷ç犏+-++->÷ç÷ç犏桫臌∴当a 0£时，函数()g x 在()0+¥，上无零点；⑵当0ln 2a <<时，()()''1g ln 1x fx a a x 骣÷ç=-=+-÷ç÷ç桫， 令()'g 0x =，得1x 1ae =-，由0ln 2a <<，知12a e <<,∴011ae <-<， ∴111a e >-，∴当101a x e <<-时，1ln 10a x 骣÷ç+->÷ç÷ç桫,∴()'g 0x >, 当11a x e >-时，1ln 10a x 骣÷ç+-<÷ç÷ç桫，∴()'g 0x < ∴函数()g x 在区间10,e 1a 纟çúççúè-û，上为增函数，在区间1+e 1a 骣÷ç¥÷ç÷ç桫-，上为减函数. ∴()0111max ln 1ln 0111a a a x g x g a e e e >骣骣鼢珑==+-=>鼢珑鼢珑桫桫--- 由0x ≥，()ln 1x +≤；03x ?，()3ln 13xx x +<+成立，∴1x ln 1x x 骣÷ç+<÷ç÷ç桫()3ln 13xx x +<+，()0,3x Î， 取231=min ,,993a a a d 骣÷ç÷ç÷ç÷-桫当0ln 2a <<时，01d <<，∴当0x d <<时()()11ln 1ln x 1ln 1ln x 1x ax x ax x x 骣骣鼢珑++++?+++鼢珑鼢珑桫桫3333333xx a a ax ax ax a x x <+<+<++=++ ∴()()1x ln 1ln 110x a x x 骣÷ç+++-+<÷ç÷ç桫，即()0g x < 又()()g 12ln222ln20a a =-=->由函数零点定理和函数()g x 在区间10e 1a 纟çúççúè-û，为增函数,且()0,1Ì10e 1a 纟çúççúè-û， ∴()1x 0,1$ 使得()10g x =，取2max M a 禳镲镲=-睚镲镲镲铪， 由0ln 2a <<，知1M > ，∴当x M >时，都有21x a>-，x >∴1x 12a <+2a ，∵()0,ln 1x x x >+ ， ∴()x 1111ln 1ln 111122a ax a x x x x x 骣÷ç+++<?<+=÷ç÷ç桫+++ 从而()1f x a x <+，∴()g 0x <，∴()2x 1,$?使得()20g x =∴当0<a<ln2时，函数()g x 在()0+¥，上有两个零点； ⑶当a=ln2时由⑵知函数()g x 在区间(]0,1上为增函数，在区间()1+¥，为减函数. ∴()()max 10g x g ==，∴对x 0">，()0g x £且当01x <<时，()()g 10x g <=，当1x >时，()()g 10x g <= 从而当a=ln2时，函数()g x 有且仅有一个零点； ⑷当a>ln2时，2ae >，11ae -> 由⑵知函数()g x 在区间10,1a e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦为增函数，在区间1,01a e ⎛⎫⎪-⎝⎭为减函数， ()011max ln 011a a x g x g e e >⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴对()0,x ∀∈+∞，()0g x <。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0M x x =≤，{}2,0,1N =-，∴MN ={}2,0-，故选B .2.选B .【解析】∵()()()()121121311122i i i z ii i i +++===-+--+，对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B .3.选A.【解析】依题意，令sin cos 0αα+=，∴22sin cos 2sin cos 0αααα++=， ∴12sin cos 0αα+=，故1sin cos 2αα=-，∴()102f =-，故选A . 4.选A .【解析】∵0x e >，∴222e ->-，又,2x x e m R ∀∈->，∴2m ≤-；由22l o g 1m >，得m <m >；∵ “2m ?”Þ“m <-m >”故选A .5.选D .【解析】()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位得()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，它的图象关于原点对称，∴()3k k πϕπ+=∈Z ，即3k πϕπ=-，又2πϕ<，∴3πϕ=-，∴()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()0f =D . 6.选A .【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底面ABCD 是正方形，PC ^平面AC ，1AC =,2PC =.222AD DC AC +=,又AD DC =,∴212AD =，∴正方形 ABCD 的面积12S =，∴111123323V Sh ==创=.故选A .7.选A .【解析】已知,x y 都是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取的一个实数，则,x y 满足的区域面积是由A B C D P0,,0,22x x y y ππ====围成的正方形，其面积是2224πππ⨯=，而满足sin y x ≤的区域面积为2200sin cos 1xdx x ππ=-=⎰∴22144P ππ==.故选A .8.选D .【解析】设{}n a 的公差为d ，∴1392,2,27a d a d a d =-=+=+，又139,,a a a 成等比数列，∴2319a a a =，即()()()22227d d d +=-+，0d ≠，故1d =，121a a d =-=，∴()211222n n n n n S na d -=+=+，故选D . 9.选B .【解析】执行第1次运算打印点()1,1，5i =；执行第2次运算打印点12,2骣÷ç÷ç÷ç桫，4i =；执行第3次运算打印点13,3骣÷ç÷ç÷ç桫，3i =；执行第4次运算打印点14,4骣÷ç÷ç÷ç桫，2i =；执行第5次运算打印点15,5骣÷ç÷ç÷ç桫，1i =；执行第6次运算打印点16,6骣÷ç÷ç÷ç桫，0i =；结束循环，其中在圆2210x y +=内的点有()1,1，12,2骣÷ç÷ç÷ç桫，13,3骣÷ç÷ç÷ç桫共3个，故选B . 10.选C .【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线是b y x a = ，圆 ()2221x y -+=的圆心是()2,0，半径是11，即()22241c a c -> 化简得2243c a >，即3e >.故选C . 11.选D .【解析】分别过A B ，点作准线的垂线，垂足分别为11A B ，， ∴1BF BB =,1AA AF =.又∵2BC BF =，∴12BC B B =，∴160CBB ∠= ∴60AFD CFO ?? ,又3AF =,∴32FD =，∴1332AA p =+=，∴32p =，∴抛物线方程为23y x =.故选D .12.选C .【解析】已知1n n a S +=，当1n =时，得112a =；当2n ³时，111n n a S --+=,两式相减，得10n n n a a a --+=，12n n a a -=，由题意知，10n a -¹，∴112n n a a -=（2n ³），∴数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，∴11122111212n nn S 轾骣犏÷ç-÷ç犏÷ç桫骣犏臌÷ç==-÷ç÷ç桫-， ∴n S Î1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选C . 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.13.填2.【解析】如图可知2z x y =+的最小值是2．14.【解析】由题意得四面体ABCD 是底面边长为的正三角形，侧棱AD 垂直底面，且3AD =，AB AC ==，BD BC DC ===，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于AD的一半，∴R =∴3344=33V R p p =桫球. 15.填12.【解析】在PQR D 中设,,P Q R 行所对的边分别为,,p q r 由题意知：cos 7qr P ?，()236PQ PR -=，即222cos 36r qr P q -仔+= 可知2250r q +=又2sin 1cos P P ?-? ∴11sin 22PQR S rq P D =? 而22250qr r q ?=，当且仅当5q r ==时等号成立所以，当且仅当5q r ==时()max 12PQR S D =16.a <<.【解析】已知()322()3630f x x a x a a a =--+> 则22()33f x x a ¢=-①()0f x ¢³恒成立，则0a =，这与0a >矛盾.②若()0f x ¢£恒成立，显然不可能.③()0f x ¢=有两个根,a a -，而0a >，则()f x 在区间(),a -?单调递增，在区间(),a a -单调递减，在区间(),a +单调递增.故()0f a -<，即22630a a -+<，a <<. 三、解答题：共6小题，共70分.17．（12分） （Ⅰ）∵1cos cos 2a Bb Ac -= 由正弦定理得 ()()111sin cos sin cos sin sin sin 222A B B A C A B A B p 轾-==-+=+臌 ∴()1sin cos sin cos sin cos cos sin 2A B B A A B A B -=+ 即13sin cos sin cos 22A B B A =，易知90A 拱，且90B 拱， 上式两边除以1cos cos 2A B ,得tan 3tan A B =…………………………………… 6分 （Ⅱ）∵tan 3A =,∴sin ,cos A A == 由sin sin a b A B=，又b =45B = ，得3a = 而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=∴11sin 3322ABC S ab C D ==创 …12分 18．（12分） （Ⅰ）根据题意，建立如图空间直角坐标系1C xyz -：则(0,2,2),(2,0,2),(0,0,2),(0,0,1),(1,1,0)A B C E F(0,2,1),(2,0,0),(1,1,2)AE BC BF =--=-=--∵0AE BC ? 0A E B F ?∴,AE BC AE BF ^^ 即AE BC ^,AE BF ^，又BC Ì平面BCF ，且BC BFB ?∴AE BCF ^平面 …… ……6分（Ⅱ）设平面ACF 的法向量1(,,)x y z =n∵(0,2,0),(1,1,2)CA CF ==-由1100CA CF ìï?ïíï?ïîn n 得2020y x y z ì=ïïíï+-=ïî，令1z =，得2x =，∴1(2,0,1)=n 同理可得平面BCF 的一个法向量2(0,2,1)=n ，∴1212121cos ,5×==n n n n n n 由图判断二面角A CF B --的平面角为钝角，∴其余弦值为15-．………12分19．（12分） 根据题意得到x 取的各组中点值依次为3,7,11,15,19；x 取这些中点值的概率依次为0.25,0.4,0.2,0.1,0.05（Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 有3种情况：3km 和15km ；3km 和19km ；7km 和19km ．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 的概率为：0.250.10.250.050.40.050.0575P =⨯+⨯+⨯= ………………………… 5分（Ⅱ）答案一：依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km.乘车里程为3km 的乘客其打车总费用3001%0.2510=7.5⨯⨯⨯（万元）乘车里程为7km 的乘客其打车总费用()3001%0.410+1.34=18.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为11km 的乘客其打车总费用()3001%0.210+1.38=12.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为15km 的乘客其打车总费用()3001%0.110+1.312=7.68⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为19km 的乘客其打车总费用()3001%0.0510+1.316=4.62⨯⨯⨯⨯（万元） ∴出租车公司一天的总收入为7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28（万元）…12分 答案二：依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为：第一组：()()3001%1020.0625+10+1 1.310.0625+10+2 1.310.0625⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦=()3001%0.062540+1+2 1.3=8.231258.23轾创创 臌（万元） 第二组：()()()()3001%10+3 1.310.1+10+4 1.310.1+10+5 1.310.1+10+6 1.310.1轾创创创创创创创臌=()3001%0.140+3+4+5+6 1.3=19.02轾创创臌（万元） 第三组：()()()()3001%10+7 1.310.05+10+8 1.310.05+10+9 1.310.05+10+10 1.310.05轾创创创创创创创臌=()3001%0.0540+7+8+9+10 1.3=12.63轾创创臌（万元） 第四组：()()()()3001%10+11 1.310.025+10+12 1.310.025+10+13 1.310.025+10+14 1.310.025轾创创创创创创创臌=()3001%0.02540+11+12+13+14 1.3=7.8757.88轾创创 臌（万元） 第五组：()()()()3001%10+15 1.310.0125+10+16 1.310.0125+10+17 1.310.0125+10+18 1.310.0125轾创创创创创创创臌=()3001%0.012540+15+16+17+18 1.3=4.7175 4.72轾创创 臌（万元） ∴出租车公司一天的总收入为8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48（万元）………… 12分 以上两种答案均视为正确．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，即2c a =，又∵222c a b =- ∴222a b = 又∵1290F PF ? ，∴1212112F PF S PF PF D =?， 由点P 在椭圆上，∴122PF PF a +=，在12Rt F PF D 中，222124PF PFc += 可得21b =，22a =∴椭圆的标准方程为2212x y += ………………………… 5分 （Ⅱ）不妨设1F 是左焦点，11(,)P x y ，22(,)Q x y 依题意知,PQ PM PQ QN ^^,点M ,N 分别在x 轴上，∴直线PQ 的倾斜角不等于90°.设直线PQ 的斜率为k ，倾斜角为q ，则直线PQ 的方程为:()y k x c =+ 解方程组2222()1y k x c x y ab ì=+ïïïíï+=ïïïî，得：22222222222()20b a k x a ck x ac k a b +++-= 设此方程的两个根为12,x x ，由韦达定理得222222212122222222a ck a c k a b x x x x b a k b a k ，--+==++ 且1122(),()y k x c y k x c =+=+可得PQ =()2222221ab k b a k +=+ 故MN=(2222221cos ab k PQb a k q +=+，又∵c e a ==，222a b c =+∴222a b = ∴2232224(1)(12)a k MNk +=+，令()211t k t =+ ， 32()(21)t f t t =- 则()22343(21)4(21)(21)t t t t f t t ---¢=-=24(21)(23)(21)t t t t --- ∴()0f t ¢=，得0t =，或12t =，或32t =当312t＃时，()0f t ¢£，故函数()f t 在31,2轾犏犏臌上为减函数， 当32t <时，()0f t ¢>，故函数()f t 在3,2骣÷ç+ ÷ç÷ç桫上为增函数， ∴()f t 有最小值327232f 骣÷ç=÷ç÷ç桫， ∴MN时，2312k +=，即2k = ．………………………… 12分21．（12分）（Ⅰ）已知()ln()ln()(0)f x a x a x a =+-->则'22112()af x a x a x a x =+=+--， '222(0)a f a a==，由题意知'(0)2f =，∴22a = ∴1a = …………… 4分（II ）令32()()2(0)3x g x f x x x =-- 则3222222()()2()22223x a g x f x x f x x x a x ¢骣÷çⅱ÷=--=--=--ç÷÷ç-桫4222222=((1))x a x a a a x--+-- i)当01a < 时，210a - ，20a a - 当0xa ?时，4222(1)0x a x a a --+- ，即()0g x '≥∴函数()g x 在[)0,a 上为增函数 ∴()(0)0g x g ?，即当01a < 时，32()23x f x x? ii)当1a >时，210a ->，20a a -<∴0x a <<时，22(1)0x a --<，222(1)0x x a 轾--<犏臌从而4222(1)0x a x a a --+-<，即()0g x '< 从而函数()g x在(上为减函数∴0x <<当时()(0)0g x g <=，这与题意不符综上所述当0x ³时，32()23x f x x ?，a 的取值范围为01a < …………… 12分22．（10分）（Ⅰ）∵GA GF =∴GAF GFA ? ， ∵GC 与圆相切于C ∴EAC GCEFCD ??∵,GAF EAC CAD GFA FCD CDA ??行=? ，∴CAD CDA ? ∴CA CD =. ……………………………………………………………… 5分（Ⅱ）∵H 为AD 的中点, CA CD =，∴CH AB ^，连结BC ，∵AB 是直径, C 点在圆上∴90ACB ? ， ∴2BH BA BC ?，∵,BCF CAB CAB CDA ?行= ，∴BCF D ? ，又∵CBF DBC ? ， ∴CBF D ∽DBC D ，∴CB BFDB BC=∴2BC DB BF = ， 故BH BA BF BD ? ． …………… 10分23．（10分）（Ⅰ）以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，设点Q ,P 的极坐标分别为(),r q ，()1,r q ，由题意11r r ?，0r ¹，得11r r =，∴点P 的直角坐标为cos sin ,q q r r 骣÷ç÷ç÷ç÷桫， P 在直线2210x y +-=上，∴2cos 2sin 10q qr r+-=，2cos 2sin r q q =+， 化成直角坐标方程得22(1)(1)2x y -+-=()0,0x y 构且，∴Q 点的轨迹是以(1,1)为半径的圆（原点除外）． …………………5分（Ⅱ）Q点轨迹的参数方程为15()41x y 为参数,jpj j jìï=+ï¹íï=+ïî则77810sin()x y q q j a +++=++，其中1tan 7a =∴7x y +的最大值是18． ………………………………………10分 24．（10分） （Ⅰ）111()()()()f x f x a a x a a x xx+-=-+--?---112x x x x=+=+ ……………………………………5分 （Ⅱ）函数()23()(2)22322a x x a a y f x f x x a x a xa x a x a x ìïïïï- ïïï骣ïï÷ç=+=-+-=-< ÷íç÷çï桫ïïï骣ï÷çï->÷çï÷çï桫ïî函数的图象为：当2a x =时，min 2a y =-，依题意，122a -<，则1a >- ∴a 的取值范围是10a -<< …………………………………………………………10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={}13<<-x x ，B={}42<x x ，则集合A ⋂B= A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数ii -12的共轭复数是 A. 1+i B. -1+i C. 1-i D. -1-i3.若角α的终边过点P(-3,-4),则cos )2(απ-的值为 A. 2524- B. 257- C. 257 D. 25244.设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题： ① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④ m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 。

其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线x xe y =在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则b a 的值为 A. e 21- B. e 2- C. e 2 D. e21 6.设函数2sinx -x ）f(x =是区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的减函数，则实数t 的取值范围是 A. 2,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ B. 112,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,2()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 72,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为 A.163π B. 83π C.43π D. 23π 8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n 为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 考点：正、负相关．4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =，故选C ．考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图．9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】考点：函数的图象和性质． 11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2 CD【答案】D 【解析】DPCx试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项CDCBDAACCCAB1.选C.【解析】∵{}31A x x =-<<，{|22}B x x =-<<，∴()2,1A B I =-， 故选C. 2.选D.【解析】∵()()()2122211112i i i i i i i i +-===-+--+，其共轭复数是1i --故选D. 3.选C.【解析】依题意，3cos 5a =-，则cos(2)p a -=()27cos22cos 1=25a a -=-- 故选C.4.选B. 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.5.选D.【解析】x xy e xe ¢=+，曲线在()1,e 处切线的斜率2k e =，∵此切线与直线0ax by c ++=垂直，∴直线0ax by c ++=的斜率12a b e -=-，即12a b e = . 故选D.6.选A .【解析】由题意得()12cos 0f x x ¢=-?，即1cos 2x ³解得：()22,33k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∵()2sin f x x x =-是区间[,]2t t π+上的减函数,∴[,]2t t π+Í2,233k k p p p p 轾犏-+犏臌，∴2236k t k p pp p -＃-，故选A . 7.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得()22231r r=-+，解得23r =∴216=43S r pp =球，故选A. 8.选C.【解析】执行第一次运算91,119,91r m n ===，执行第二次运算28,91,28r m n ===，执行第三次运算7,28,7r m n ===，执行第四次运算0r =输出7n =.故选C.9.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有44A 种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1,2,4. 其中()449308P A ξ===，()14442113C P A ξ⨯===,()2444124C P A ξ===,()4411424P A ξ===，31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选C.10.选C.【解析】∵12f x 骣÷ç+÷ç÷ç桫为奇函数，则函数()y f x =的图像关于点1,02骣÷ç÷ç÷ç桫对称，则函数()y g x =的图象关于点1,12骣÷ç÷ç÷ç桫对称，故函数()g x 满足()()12g x g x +-=. 设1215=161616S g g g 骣骣骣鼢?珑?+++鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫L ，倒序后得15141=161616S g g g 骣骣骣鼢?珑?+++鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫L ，两式相加后得1152141512=++=152161616161616S g g g g g g 轾轾轾骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏++++?鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏桫桫桫桫桫桫臌臌臌L ， ∴=15S .故选C.11.选A.【解析】()2,0F c ，渐近线方程为,b by x y x a a==-直线AB 的方程为：y x c =-+，设()11,A x y ，()22,B x y 依题意知，,A B 分别满足y x c by x a ì=-+ïïïíï=ïïî，y x c by x a ì=-+ïïïíï=-ïïî，得12,,ac ac x x a b a b ==+-∵2F A AB =u u u r u u u r ，∴222F B F A =u u u u v u u u u v , ∴2acac c c a ba b骣÷ç-=-÷ç÷ç桫-+，化简得3b a =.故选A. 12.选B.【解析】∵()cos c a A C =+，∴()sin sin cos C A A C =+,即()()sin sin cos A C A A A C 轾+-=+臌,整理的()()sin cos 2sin cos A C A A A C +??,则()tan 2tan A C A +=,∵()cos 0c a A C =+>,∴()cos 0A C +>,∴A C +为锐角，故A 为锐角，则tan 0A >，()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan A C A A C A C A A C A A+-轾=+-==臌+++1142tan tan A A=?+当且仅当12tan tan A A=时等号成立， ∴tan C的最大值为4.故选B.二、填空题13.填1±.【解析】由题意得：552r+155=10rr rr r r m T C xC m x x x --骣÷ç==÷ç÷ç桫，∴2,1r m ==?. 14.填18.【解析】∵90C ∠=︒,∴0CA CB u u u r u u u r ⋅=,∵2BM AM =u u u u v u u u u v,∴()2CM CB CM CA -=-u u u r u u u u v u u u u v u u u v,∴2CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =-,∴()2222218CM CACA CB CACA CA u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ?-?==15.填(),0-∞.【解析】()()()120210x x x f x x ìï-?ï=íï->ïî若0a b <?，由()()f a f b =得1212a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得2121a b -=-，得a b =，与a b <矛盾； 若0a b <<，由()()f a f b =得1221a b -=-，得222a b +=，而22a b +>，∴0212a b +<=，∴0a b +<16.填4.【解析】依题意知，直线AB 的斜率k 存在，且0k ¹，()()1,0,1,0F Q - 设其方程为()1y k x =-代入24y x =有()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y 则121x x =，又2114y x =，2224y x =，∴2212121616y y x x ==,而12,y y 异号，∴124y y =-，∵()()11221,,1,FA x y QB x y u u u v u u u v =-=+,又∵QB AF ^u u u v u u u v，故()()11221,1,0x y x y -?=，即()12121210x x x x y y +-+-=,将121x x =，124y y =-代入，有()121410x x +---=,∴124x x -=，又121,1AF x BF x =+=+, ∴4AF BF -=三、解答题 17．（12分）（Ⅰ）当=1n 时，11213S a =+-，得12a =，由23n n S a n =+-得11213n n S a n ++=++-，两式相减，得11221n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，而111a -=，∴数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111122n n n a ---=?，即121n n a -=+，()11212n n na n n n --=+=?∴()()()()0121n =1212223232n T n n L -?+?+?++?()()01211222322123n n n L L -=???+?++++ ()0121(1)12223222n n n n L -+=???+? 令0121n 1222322n V n L -=???+? 则123n 21222322n V n L =???+?两式相减得()121n 11212222=221212n n n n n n V n n n -?-=++++-??--?-L L∴()n 221121nn n V n n =?+=-+，∴()n (1)1212n n n T n +=-++ …12分18. (12分)（Ⅰ）连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =又∵60ABC ??，∴ABC D 是等边三角形， ∵M 是BC 中点, ∴AM BC ^，∵PA ^平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥，在平面PMA 中AM PA A =I ∴BC ^平面PMA∴平面PBC ^平面PMA ； …6分 （Ⅱ）设,AC BD 交于点O ，过O 作//OZ AP ,以点O 为坐标原点，分别以,,AC BD OZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC??得2AC =,23BD =,6PA =，于是()()()()1,0,0,0,3,0,0,3,0,1,0,6A B D P ---∵N 是P B 的中点, ∴136,,2N 骣÷ç÷?-÷ç÷ç桫，∵PA ^平面ABCD , ∴平面ABD 的一个法向量为1(0,0,1)=n 设平面AND 的法向量2111(,,)x y z =n ∵136(,,),(1,3,0)2AN AD =-=u u u u v u u uu v ,由00AN AD ìï=ïíï=ïîu u u u rg u u u u r g 22n n 得111111020x x ìïï-+=ïïíïïï+=ïî， 令11y =，得1x =-1z =,∴2(=-n ,∴121212cos ,n n ×==u u v u u v g n n n n ∴二面角N AD B --的平面角的余弦值为3． …12分19．（12分）（Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,83,84,87,88,91,93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,72,73,77,79,81,88,92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.()5510 3.7505050E X =-⨯+⨯+⨯= …5分（Ⅱ）由题意得：()225061691960.857252515357K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由于0.857 3.841<，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. (12)分20.（12分）（Ⅰ）已知椭圆2222x 1a y b+=的右焦点为()1,0F ，∴221a b -=又直线y x =-与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组2222x 1a y x y b ìï=-ïïïíï+=ïïïî有且仅有一个解，即方程()222222270b a x x a a b +-+-=有且仅有一个解∴()()42222228470a a b a a b D =-+-=，即227a b +=，又∵221a b -=，∴224,3a b ==，∴椭圆M 的标准方程是22x 143y +=； …5分（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点F 的坐标为()1,0，直线AB 的方程为x ky t =+（其中t 为直线AB 在x 轴上的截距）设()()1122,,,A x y B x y解方程组22x 143x ky t y ì=+ïïïíï+=ïïïî，得关于y 的一元二次方程()2234120ky t y ++-= 即()2223463120k y tky t +++-=()()()()22222=643431248340tk k t k t D -+-=-+>，即234k t >-∵12,y y 是方程的两个解，∴122634tky y k -+=+，212231234t y y k -=+，∵11x ky t =+，22x ky t =+∴()()()222212121212241234t k x x ky t ky t k y y kt y y t k -=++=+++=+ ()121228234tx x k y y t k +=++=+，∵FA FB ^u u u v u u u v ，∴()()11221,1,0x y x y -?=即()12121210x x x x y y -+++=，∴222222412831210343434t k t t k k k ---++=+++即227889t t k --=，又234k t >-，∴()2278834t t t -->-，即()210t ->，∴1t ≠，而20k ≥，∴27880t t --?，解得4t 7-£或4t 7+³，∴4t 7-£或4t 7+³ …12分 21．（12分） （Ⅰ）∵()()1ln 1ln ln 1f x x x x 骣÷ç¢=+-=+÷ç÷ç桫,∵0,x >∴111x +>，∴1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴()0f x '>,∴函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当0a ≤时，0a -?，由0x >知111x+>，11x +>，则1ln 10x 骣÷ç+>÷ç÷ç桫，ln(1)0x +>，∴()()()1g x f x a x =-+()1=ln 1ln 10x a x a x 轾骣÷ç犏+-++->÷ç÷ç犏桫臌 ∴当a 0£时，函数()g x 在()0+¥，上无零点；⑵当0ln2a <<时，()()''1g ln 1x fx a a x 骣÷ç=-=+-÷ç÷ç桫， 令()'g 0x =，得1x 1ae =-，由0ln2a <<，知12a e <<,∴011a e <-<， ∴111a e >-，∴当101a x e <<-时，1ln 10a x 骣÷ç+->÷ç÷ç桫,∴()'g 0x >, 当11a x e >-时，1ln 10a x 骣÷ç+-<÷ç÷ç桫，∴()'g 0x < ∴函数()g x 在区间10,e 1a 纟çúççúè-û，上为增函数，在区间1+e 1a 骣÷ç¥÷ç÷ç桫-，上为减函数. ∴()0111max ln 1ln 0111a a a x g x g a e e e >骣骣鼢珑==+-=>鼢珑鼢珑桫桫---由0x ≥，()ln 1x +≤；03x ?，()3ln 13xx x +<+成立，∴1x ln 1xx 骣÷ç+<÷ç÷ç桫()3ln 13xx x +<+，()0,3x Î， 取231=min ,,993a a a d 骣÷ç÷ç÷ç÷-桫当0ln2a <<时，01d <<，∴当0x d <<时()()11ln 1ln x 1ln 1ln x 1x ax x ax x x骣骣鼢珑++++?+++鼢珑鼢珑桫桫 3333333xx a a ax ax ax a x x <+<+<++=++ ∴()()1x ln 1ln 110x a x x 骣÷ç+++-+<÷ç÷ç桫，即()0g x < 又()()g 12ln 222ln 20a a =-=->由函数零点定理和函数()g x 在区间10e 1a 纟çúççúè-û，为增函数,且()0,1Ì10e 1a 纟çúççúè-û，∴()1x 0,1$?使得()10g x =，取2max M a 禳镲镲=-睚镲镲镲铪， 由0ln2a <<，知1M > ，∴当x M >时，都有21x a>-，x >∴1x 12a<+2a ，∵()0,ln 1x x x >+?， ∴()x 1111ln 1ln 111122a ax a x x x x x骣÷ç+++<?+=÷ç÷ç桫+++ 从而()1f x a x <+，∴()g 0x <，∴()2x 1,$??使得()20g x =∴当0<a<ln2时，函数()g x 在()0+¥，上有两个零点；⑶当a=ln2时由⑵知函数()g x 在区间(]0,1上为增函数，在区间()1+¥，为减函数.∴()()max 10g x g ==，∴对x 0">，()0g x £且当01x <<时，()()g 10x g <=，当1x >时，()()g 10x g <= 从而当a=ln2时，函数()g x 有且仅有一个零点； ⑷当a>ln2时，2ae >，11ae -> 由⑵知函数()g x 在区间10,1a e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦为增函数，在区间1,01a e ⎛⎫⎪-⎝⎭为减函数， ()011max ln 011a a x g x g e e >⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴对()0,x ∀∈+∞，()0g x <。

乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|13,|4A x x B x x =<<=<，则AB =（ ）A ．()2,3-B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,4 【答案】B 【解析】试题分析：∵{}22B x x =-<<，∴()1,2A B =；故选B ．考点：1.不等式的解法；2.集合的运算． 2.复数534ii+-对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：因为i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，所以对应的点为()1,1；故选A ． 考点：1.复数的除法运算；2.复数的几何意义．3.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1223，⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】试题分析：∵()f x 是偶函数，∴()()f x fx =，∴()1213f x f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据()f x 的单调性，得1|21|3x -<，解得1233x <<；故选A ． 考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性．4. 若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线2xy =-，可知当经过点()1,0A 时， 2z x y =+取最小值1；故选B ．考点：简单的线性规划．5.已知α是第二象限角，且sin 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3cos sin cos 4ααπα+=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A．15-B．-【答案】C 【解析】 试题分析：由552sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ,得55cos -=α，又∵α是第二象限角, ∴tan 2α=-，∴原式22cos tan 1tan 52ααα+==+；故选C ． 考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．100B ．92C ．84D ．76【答案】A 【解析】试题分析：由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的长方体，其直观图如图所示，所以其体积1166344310032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选A ．ABCD 1C 1A 1M NB 1D42243考点：1.三视图；2几何体的体积.．7.在平行四边形ABCD 中，02,1,60,AB AD DAB E ==∠=是BC 的中点，则AE DB ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：()12AE DB AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2211322AB AB AD AD =-⋅-=；故选C ．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算． 8.执行如图所示的程序框图，若4m =，则输出的结果为（ ） A ．1 B ．53 C ．2 D ．83【答案】D 【解析】试题分析：由234k k ≥+，解得1k ≤-或4k ≥.由框图可知，开始，0k =，4P =.第一步，02422P =⨯=，011k =+=.第二步， 213222P =⨯=，112k =+=.第三步，325222P =⨯=，213k =+=.第四步，538222P =⨯=，314k =+=.第五步，因为44k =≥，满足判断框内的条件，故输出结果为888log 23z ==；故选D ．考点：程序框图．9.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为（ ） A ．1315 B ．2 C ．94D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，20,10x y +>+>，()()214x y +++=，则4121x y +=++ ()()()41141121215+54214214y x x y x y x y ⎡+⎡⎤⎛⎫+++++=+≥+⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎢⎝⎭⎣⎦⎣94=， 当且仅当31,32==y x 时，112+++y x x 取最小值49；故选C ．考点：基本不等式． 10.设函数()[]cos ,0,2f x x x x π=+∈，若01a <<，则方程()f x α=的所有根之和为（ ） A ．43π B ．2π C ．83π D ．3π 【答案】C 【解析】试题分析：()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵[]0,2x π∈，∴()[]2,2f x ∈- ，01a <<，方程()f x a =有两根12,x x ，由对称性，有1236622x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，∴1283x x π+=；故选C ． 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质． 11.设1a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．ln ln a b b a >B ．ln ln a b b a <C ．baae be > D ．baae be < 【答案】D 【解析】试题分析：令()()ln 0x f x x x =>，则()21ln xf x x-'=，令()0='x f 则e x =， 当()e x ,0∈时，0ln 1>-x ，()0>'x f ，当[)+∞∈,e x 时，0ln 1<-x ，()0<'x f ， ∴函数()f x 的增区间为()e ,0，减区间为[)+∞,e ，又()+∞∈,1e ∴当b a e >>时，()()a f b f <，即aab b ln ln <，即a b b a ln ln < 而e b a >>时，bba a ln ln <，即ab b a ln ln >，故A 、B 不正确， 令()x e x g x=，同理可知函数()x g 的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-∴当1>>b a 时，()()b g a g >，即be a e ba >，即ab be ae <；故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性．12.设P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，O 是坐标原点，以OP 为直径的圆与直线by x a=的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．)∞ D ．)∞【答案】B 【解析】试题分析：设()00,P x y ，交点(),A A A x y ，则()00:PA al y y x x b-=--，与b y x a =联立，得()()00002222,a ax by b ax by A a b a b ++⎛⎫⎪++⎝⎭，若要点A 始终在第一象限，需要000ax by +>即要00bx y a>-恒成立，若点P 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时00y ≤，∴222002a x y b >，而2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2222022a b x b ba ⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，只需22220ab b a -≥，即a b ≥，∴1e <≤B ．考点：1.双曲线的结合性质；2.直线与圆的位置关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()()5121x x ++的展开式中2x 的系数是 .【答案】20 【解析】试题分析：()51x+展开式的通项为15r rr T C x +=，由题意可知，2x的系数为21551220C C ⨯+⨯=；故填20．考点：二项式定理．14.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为 . 【答案】362 【解析】试题分析：不妨设椭圆方程为12222=+by a x ()0a b >>，依题意得1b c ==，a =圆方程为2212x y +=，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为()00,x x ，代入椭圆方程，得360=x ，所以正方形边长为362；故填362．考点：椭圆的标准方程．15.在三角形ABC 中，角角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22,2sin a c b a A +===，则此三角形的面积ABC S ∆= .【答案】4336- 【解析】试题分析：由题意得，2sin sin b a B A==，而1=b ，∴21si n =B ，又2b a c =+，B 不可能是钝角，cos B =，而()22232cos 22a c ac b ac B ac ac+---==，即322ac ac -=，∴336323-=+=ac ，∴ABC S ∆=B ac sin 214336-=；故填4336-．考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式．16.已知四面体ABCD 满足2AB CD AC AD BC BD ======，则四面体ABCD的外接球的表面积是 . 【答案】π7 【解析】试题分析：在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连结BE AE ,，2AC AD BC BD ====，则CD BE CD AE ⊥⊥,，在AED Rt ∆中6=CD ,∴AE =，同理210=BE ，取AB 的中点为F ,由BE AE =，得AB EF ⊥，在E F A Rt ∆中，6=AB ，1EF =,取EF 的中点为O ，则21=OF ,在OFA Rt ∆中OA =，OD OC OB OA ===,∴该四面体的外接球的半径是27，其外接球的表面积是π7；故填π7．考点：1.球的表面积；2.多面体和球的组合．三、解答题 （第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和为n T . 【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）1222nn n T n +=⋅-+．考点：1.n a 与n S 的关系；2.等比数列；3.错位相减法．18.如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形，PC ⊥平面ABC ，PC AC =，E 为AC 中点，EF AP ⊥，垂足为F . (Ⅰ)求证：AP FB ⊥；（Ⅱ）求二面角A FC B --的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明略；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用线面垂直的性质和判定证得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PAC ,∴BE AP ⊥,又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ^； …6分（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB ,EC 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -.由题意得()0,1,0A -，110,,22F ⎛⎫-⎪⎝⎭，)B ，()0,1,0C ，则()BC =,113,,22FB ⎛⎫=-⎪⎭，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ， 则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即011022y y z ⎧+=⎪+-=，令y =，则1x =，z =，于是(=n ，易知，平面AFC 的法向量为()1,0,0EB ==p ,∴cos ,⋅==n p n p n p ，即二面角A FC B --的平面角的余弦31…12分考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用．19.在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？（Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为X ，求X 得分布列及数学期望. 附：.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（Ⅰ）有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关；（Ⅱ）分布列略，31． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用列联表和2K 公式求出2K 值，再利用临界值表进行判定；（Ⅱ）先利用分层抽样确定各类同学的人数，列出随机变量的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再求其期望值． 试题解析：（Ⅰ）由题意得22⨯列联表()22421614488.145 6.63524182220K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯所以根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. …6分 （Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X 的可能取值为2,1,0()51350318212212316212212===C C C C C C X P , ()211623185117C C P X C ===,()121623181251C C P X C ===, 所以X 的分布列为其期望值为()31=X E . …12分 考点：1.独立性检验思想的应用；2.分层抽样；3.随机变量的分布列和期望． 20.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1. (Ⅰ)求点P 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点F 任作直线l ，交曲线E 于,A B 两点，交直线1x =-于点C ，M 是AB 的中点，求证：||||||||CA CB CM CF ⋅=⋅. 【答案】（Ⅰ）24yx =；（Ⅱ）证明略．【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用抛物线的定义判定动点的轨迹，再利用待定系数法求抛物线方程；（Ⅱ）先利用分析法将所证结论进行和合理转化，再设出直线方程，与抛物线方程进行联立，利用根与系数的关系的关系进行求解．试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24y x =； …5分（Ⅱ）根据对称性只考虑AB 的斜率为正的情形，设点,,,A B M F 在准线上的投影分别为11,,,A B N H ，要证CA CB CM CF ⋅=⋅，就是要证CA CF CMCB=，只需证11CA CH CNCB =，即证11CA CB CN CH ⋅=⋅…①设直线AB 的方程为1x my =+，代入24y x =，得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=…②，124y y =-…③， 在1x my =+中，令1x =-，得2y m-=，即21,C m -⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，要证①式成立，只需证：()()()12122c c c c y y y y y y y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭只需证：121202c y y y y y +-=…④， 由②③两式，可知121224202c y y y y y m m +⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭， ∴④式成立，∴原命题获证． …12分 考点：1.抛物线的定义和标准方程；2.直线与抛物线的位置关系．21.已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中0m >. （Ⅰ）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（Ⅱ）试讨论函数()y f x =的零点个数.【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）当01m <<和1m >时，函数()y f x =有两个零点，当1m =时，函数()y f x =有且仅有一个零点．【解析】试题分析：（Ⅰ）作差构造函数，求导，利用导函数研究函数的单调性和最值进行求解；（Ⅱ）求导，讨论m 的取值范围，比较导函数的零点的大小，确定函数的极值，再由极值的正负判定函数零点的个数．试题解析：（Ⅰ）当1m =时，令()()()3103x g x f x x =--<≤，则()31x g x x -'=+， 当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()33x f x ≤…① …5分（Ⅱ）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+ …② 令()0f x '=，得10x =，21x m m=-，⑴当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+…③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y fx =，在1x>-上有且只有一个零点0x = ；⑵当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， 此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；∴函数()y fx =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >= ∴函数()y fx =，1,x m m⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =；又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤， ∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…⑤ 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m ex mm----<<时，()21ln 11mx m +<--…⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+…⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=…⑧ 又函数()y fx =在11,m m m ⎛⎤--⎥⎝⎦上递增，21111m em m m---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点，⑶当1m >时，10m m ->，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦和1,m m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭…⑨ 由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<= 从而10f m m⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当2x m >时，12m m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭其中，11mx +> ()()()()2ln 1ln 12022x xf x mx mx mx x m =++-=++->…⑩ 又1x m m >-时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭使得()00f x =，根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，有()0f x <；10,x m m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，()0f x =，∴函数()11,y f x x m mm ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y fx =有两个零点，当1m =时，函数()y fx =有且仅有一个零点． …12分考点：1.函数的单调性和零点；2.导数在研究函数中的应用．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆中，以BC 为直径的⊙O 分别交,AC AB 于点,,,E F BE CF 交于点H . 求证：（Ⅰ）过C 点平行于AH 的直线是⊙O 的切线； （Ⅱ）2BH BE CH CF BC ⋅+⋅=.【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）证明略． 【解析】试题分析：（Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明．试题解析：（Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，过C 点平行于AH 的直线是CM ， ∵BC 是直径，∴90BEC BFC ∠=∠=︒，∴180AFH AEH ∠+∠=︒，∵,,,A F H E 四点共圆，∴1=2∠∠，又∵BFEC 是圆内接四边形，∴1=3∠∠， ∴2=3∠∠，而=C C ∠∠,∴ADC ∆∽BEC ∆, ∴=90ADC BEC ∠∠=︒, ∴AD BC ⊥, ∴CM BC ⊥,∴CM 是⊙O 的切线． …5分（Ⅱ）∵180HDC HEC ∠+∠=︒,∴,,,H D C E 四点共圆， ∴BH BE BD BC ⋅=⋅, 同理CH CF CD BC ⋅=⋅,两式相加++BH BE CH CF BD BC CD BC ⋅⋅=⋅⋅()2=BD CD BC BC +⋅= …10分考点：圆内接四边形．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆2cos ρθ=与圆sin ρθ=交于,O A 两点.（Ⅰ）求直线OA 的斜率；（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点,B C ，求||BC . 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）5．考点：圆的极坐标方程． 24. 选修4-5：不等式选讲设函数()23f x x x =-.（Ⅰ）若()1,0λμλμ+=>，求证：()()()1212fx x f x f x λμλμ+≤+；（Ⅱ）若对任意[]12,0,1x x ∈，都有()()1212||L f x f x x x -≤-，求L 的最小值. 【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）3． 【解析】试题分析：（Ⅰ）作差，消元，利用配方法进行证明；（Ⅱ）作差，分解因式，利用[]12,0,1x x ∈确定123x x +-的最值即可． 试题解析：（Ⅰ）∵()()()1212fx x f x f x λμλμ+-+⎡⎤⎣⎦()()()()22212121122333x x x x x x x x λμλμλμ⎡⎤=+-+--+-⎣⎦()()2222112211221212x x x x x x x x λλλμμμλμλμλμ=-++-=-+-()2120x x λμ=--≤ ∴()()()f λx μx λf x μf x ≤1212++ …5分（Ⅱ）∵()()221211221212333f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-∵120,1x x ≤≤，∴1202x x ≤+≤，∴12331x x -≤+-≤-，∴1233x x +-≤，∴使()()1212f x f x L x x -≤-恒成立的L 的最小值是3． …10分考点：作差法比较大小．。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则集合A B=A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数的共轭复数是A. 1+iB. -1+iC. 1-iD. -1-i3.若角的终边过点P(-3,-4),则cos的值为A. B. C. D.4.设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列四个命题：①；②；③；④。

其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线在点（1，e）处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6.设函数是区间上的减函数，则实数t的取值范围是A. B.C. D.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。

设放对的个数记为，则的期望的值为A. B. C. 1 D. 210.已知函数为奇函数，，即，则数列的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 1611. 过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B。

若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.12.已知△ABC中角A,B,C的对边分别是，满足，则的最大值为A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.二项式的展开式中的系数为10，则实数m等于_______.(用数字填写答案)14.△ABC中，，且CA=3，点M满足，则= _________.15.设函数，实数,且,则的取值范围是__________.16.设抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与此抛物线交于A,B两点，若，则________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立.（Ⅰ）求证数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和。

高考模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.（）A3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8）A4.6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A5.）A ．4B ．2 C．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18 B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+3cos()x ωϕ++0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，3410.设函数212()log (1)f x x =+112x ++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN F M =u u u u r u u u u r，则此双曲线的离心率为（ ）A ．132 B ．53 C ．43D ．263 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =r ，(2,)b x =r，若a b +r r 与3a b -r r 平行，则实数x 的值是 ．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为 ．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为 ．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ；点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ；点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ；点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=.（1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆的面积为3，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]频数4369628324（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计 合格品 不合格品 合计（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率．．．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点； （2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(2222)4y x x =--<<上，求AB 的最大值.21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程].以原（1（2.23.[选修4-5：不等式选讲]（1（2.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD二、填空题三、解答题17.【解析】（1）根据正弦定理，（218.【解析】（1）【解法一（几何法）】又由图1∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ，且平面1ADO O I 平面11BCO O OO =， ∴OB ⊥平面1ADO O ，∴PF ⊥平面1ADO O ， 又∵OD ⊂平面1ADO O ，∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=o，∴AF OD ⊥.∵AF PF F =I ，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ，∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m .∵点P 为BC 中点，∴9(0,,3)2P ，∴(3,0,6)OD =u u u r ，(0,,0)AQ m =u u u r ，9(6,,3)2PQ m =--u u u r ，∵0OD AQ ⋅=u u u r u u u r ，0OD PQ ⋅=u u u r u u u r ， ∴OD AQ ⊥u u u r u u u r ，OD PQ ⊥u u u r u u u r ，且AQ uuu r 与PQ uuu r不共线，∴OD ⊥平面PAQ .（2）∵2BE AE =，//AQ OB ，∴132AQ OB ==， 则(6,3,0)Q ，∴(6,3,0)QB =-u u u r ，(0,3,6)BC =-u u u r.设平面CBQ 的法向量为1(,,)n x y z =u r，19.【解析】（1）根据图3和表1∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1更优.（3）由表1知：240，300，360，420，480.20.【解析】（1（221.【解析】（1）【解法一】..因此：（i不符合题意，舍去.（ii.（1）【解法二】.∴.（2）【证法一】由（1（2）【证法二】由（122.【解析】（1（223.【解析】（1优质文档优质文档 （2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={}13<<-x x ，B={}42<x x ，则集合A ⋂B= A. (-2，2)B. (-3，2)C. (-2，1)D. (-3，1)2.复数ii -12的共轭复数是 A. 1+i B. -1+i C. 1-i D. -1-i3.若角α的终边过点P(-3,-4),则cos )2(απ-的值为 A. 2524- B. 257- C. 257 D. 25244.设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题：① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④ m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 。

其中为真命题的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.曲线x xe y =在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则b a 的值为 A. e 21- B. e 2- C. e 2 D. e21 6.设函数2sinx -x ）f(x =是区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的减函数，则实数t 的取值范围是 A. 2,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ B. 112,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,2()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 72,2()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为A.163πB. 83π C. D. 8.如图算法，若输入m=210，n=119，则输出的n 为A. 2B. 3C. 7D. 119.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式即可求．【考点】等比数列通项公式和性质．5.【答案】C【解析】由已知得2(2)1+log 43f -==，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)+(log 12)9f f -=．【提示】先求2(2)1+log (2+2)1+23f -===，再由对数恒等式，求得2(log 12)6f =，进而得到所求和．【考点】函数定义域以及指数对数的运算． 6.【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故选D ．【提示】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【考点】几何图形的三视图． 7.【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，2+7341CB k ==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)+(+2)25x y -=，令0x =，得2y =±，所以||MN =，故选C ．【提示】设圆的方程为22+++0x y Dx Ey F =，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令0x =，即可得出结论．【考点】直线与圆的相交，距离的计算． 8.【答案】B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．【提示】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【考点】程序框图． 9.【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -体积最大，设球O 的半径为R ，此时23--11136326O ABC C ABC V V R R R ==⨯⨯==，故R ＝6，则球O 的表面积为：24π144πS R ==，选C ．【提示】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【考点】球面的表面积和锥体的体积． 10.【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即π04x ≤≤时，P A ＋PBtan x ； 当点P在CD边上运动时，即π3π44x ≤≤，π2x ≠时，+PA P B =当π2x =时，+PA PB = 当点P 在AD 边上运动时，3ππ4x ≤≤时，P A ＋PB＝tan +P A P x B =， 从点P 的运动过程可以看出轨迹关于直线π2x =对称，且ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非线型，故选B ．【提示】根据函数图像关系，利用排除法进行求解即可． 【考点】动点的函数图像． 11.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=︒，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，||BN a =，||MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b c a ==-，即222c a =，所以e 故选D ．【提示】设M 在双曲线22221x ya b -=的左支上，由题意可得M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得a b =，再由离心率公式即可得到所求值． 【考点】双曲线离心率． 12.【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(,+)∞0单调递减，又因为函数()f x ()x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．【提示】由已知当0x >时总有()()0xf x f x '-<成立，可判断函数()()f x g x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(,0)(0,+)-∞∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,+)∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图像，而不等式()0f x >等价于()0x g x >，数形结合解不等式组即可．【考点】奇函数，导数，定义域的求解．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】12【解析】因为向量+a b λ与+2a b 平行，所以+(+2)a b k a b λ=，则12k k λ=⎧⎨=⎩，，所以12λ=．【提示】利用向量平行即共线的条件，得到向量+a b λ与+2a b 之间的关系，利用向量相等解析【考点】平面向量的基本定理．14.【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为+y x z =，当z 取最大时，直线+y x z=的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到11,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，则+z x y =的最大值为32．【提示】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值【考点】线性规划问题的最值求解． 15.【答案】3【解析】由已知得4234(1+)1+4+6+4+x x x x x =，故4(+)(1+)a x x 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为4+4+1+6+132a a =，解得3a =． 【提示】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【考点】排列组合． 16.【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以+1n n S S ，得+1111n nS S -=-，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n n n S =---=-，所以1n S n =-． 【提示】通过111n n n n n a S S S S +++=-=，并变形可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项和公差均为1-的等差数列，进而可得结论． 【考点】数列的求和运算． 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）BD =1AC =【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD =∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =∠△． 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠， 所以2AB AC =． 由正弦定理得：sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为:ABD ADC S S BD DC ==△△所以BD =．在ABD △和ADC △，由余弦定理知：222+2cos AB AD BD AD BD ADB =-∠，222+2cos AC AD DC AD DC ADC =-∠，故22222+23++26AB AC AD BD DC == 由（Ⅰ）知2AB AC =， 所以1AC =．【提示】（Ⅰ）过A 作AE BC ⊥于E ，由已知及面积公式可得2BD DC =，由AD 平分BAC ∠及正弦定理可得sin sin AD BAD B BD ⨯∠∠=，sin sin AD DAC C DC ⨯∠∠=，从而得解sin sin BC∠∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD =D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，由AD平分BAC ∠，可求2AB AC =，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长． 【考点】正弦定理，余弦定理． 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）0.48【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1AC 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或不满意”； 记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 记1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 记2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =，112211221122()()()+()()()+()()B A B A B A B A B A B A P C P C C C C P C C P C C P C P C P C P C ===由所给数据的1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820，故116()20A P C =，24()20A P C =，110()20B P C =，28()20B PC =，101684()+202020200.48P C =⨯⨯=.【提示】（Ⅰ）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （Ⅱ）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可． 【考点】茎叶图，古典概型的相关运算． 19.【答案】（Ⅰ）见如图（Ⅱ）15【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==.因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，所以10AH =.以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图示空间直角坐标系D xyz -， 则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ．(0,6,8)HE =-，(10,0,0)FE =． 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1006+80x y z =⎧⎨-=⎩，所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=．故||45sin |cos ,|=15||||n AF n AF n AF θ==．所以AF 与平面EHGF ． 【提示】（Ⅰ）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（Ⅱ）分别以直线DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A ，H ，E ，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，根据n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量n ，AF 坐标可以求出，可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sin |cos ,|n AF θ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解． 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）能4【解析】（Ⅰ）设直线l ：+(00)y kx b k b =≠≠，，11(,)A x y ，22(,)B x y (,)M M M x y ．将+y kx b =代入2229+x y m =得2222(+9)+2+0k x kbx b m -=．故122+2+9M x x kb x k -==，29++9M M by kx b k ==， 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，9OM k k =-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由22299+y x k xy m⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22229+81P k m x k =，即P x = 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此()233+9M kk m x k -=（）四边形OAPB 为平行四边形且当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =， 于是()2323+9k k m k =－（），解得14k =-2k =因为0i k>，3i k ≠，12i =，， 所以当l 的斜率为4OAPB 为平行四边形．【提示】（Ⅰ）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（Ⅱ）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，建立方程关系即可得到结论．【考点】直线的点斜式方程，平行四边形的判定． 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）(1,1)-【解析】（Ⅰ）因为2()e mx f x x mx =+-，所以()e 2mx f x m x m '=+-，2()e +20mxf x m ''=≥在R 上恒成立， 所以()e 2mxf x m x m '=+-在R 上单调递增，而(0)0f '=，所以0x >时，()0f x '>； 所以0x <时，()0f x '<．所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()(0)1f x f ==，当0m =时，2()1+f x x =， 此时()f x 在[]1,1-上的最大值是2. 所以此时12()()|e 1f x f x -≤-|成立．当0m ≠时，(1)e +1+m f m --=，(1)e +1mf m =-，令()(1)(1)e e 2m mg m f f m -=--=--在R 上单调递增，而(0)0g =，所以0m >时，()0g m >，即(1)(1)f f >-， 0m <时，()0g m <，即(1)(1)f f <-．当0m >时，12|()()|(1)1e e 101mf x f x f m m -≤-=-≤-⇒<<，当0m <时，12|()()|(1)1e +e ()e 110m mf x f x f m m m ---≤--=≤--≤-⇒-<<．所以，综上所述m 的取值范围是(1,1)-．【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥说明函数为增函数，利用()0f x '≤说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-单调递减，在[0,1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围． 【考点】导数的运算，单调性的判别，分类讨论，运算求解能力． 22.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥， 所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，故AD EF ⊥． 所以EF BC ∥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥， 故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为O 的弦， 所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥． 由AG 等于O 的半径的2AO OE =，所以30OAE ∠︒＝，因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE = 所以4AO =，2OE =．因为2OE OM ==，12DM MN == 所以1OD =.于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯=⎝⎭（．【提示】（Ⅰ）通过AD 是CAB ∠的角平分线及圆O 分别与AB ．AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE AE ⊥，利用ABC AEF S S -△△计算即可．【考点】等腰三角形，线线平行的判别，运算求解能力，面积的求解 23.【答案】（Ⅰ）(0,0)32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为22+0x y -=．联立2222+20+0x y y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和32⎫⎪⎪⎝⎭．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=(0)ρρ∈≠R ，，其中0πα≤<． 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以π|||2sin |4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当5π6α=时，||AB 取得最大值，最大值为4. 【提示】（Ⅰ）由曲线C 2：2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=，把222s n +i x y y ρρθ⎧=⎨=⎩代入可得直角坐标方程．同理，由C 3：ρθ=，可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标． （Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：tan y x α=，其中0πα≤<，其极坐标方程为：θα=(0)ρρ∈≠R ，，利用|||2sin |AB αα=-即可得出． 【考点】极坐标与参数方程，求解交点坐标，最大值的求解24.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为2+a b =2+c d = 由题设++a b c d =，ab cd >得22>>（Ⅱ）(ⅰ)若||||a b c d -<-则22()()a b c d -<-，即22(+)4(+)4a b ab c d cd -<-．因为++a b c d =，所以ab cd >．>(ⅱ)22>，即2++a b c d >． 因为++a b c d =，所以ab cd >，于是2222()(+)4(+)4()a b a b ab c d cd c d -=-<-=-因此||||a b c d -<-．||||a b c d-<-的充要条件．【提示】（Ⅰ）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且++a b c d=，ab cd>，即可得证；（Ⅱ）从两方面证，>证得||||a b c d-<-，②若||||a b c d-<-，证>【考点】不等式的证明和判定，充分、必要条件．。

乌鲁木齐地区2016年高三年级第二次诊断性测验理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 1~5 BAADC 6~10 ACDCC 11~12 DB1.选B .【解析】∵{}22B x x =-<<，∴()1,2A B =I ，故选B. 2.选A.【解析】∵i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，对应的点为()1,1.故选A. 3.选A .【解析】∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =，∴()1213f x f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据()f x 的单调性，得1|21|3x -<，解得1233x <<.故选B . 4.选D .【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 平移直线2xy =-，可知当经过点()1,0A 时， 2z x y =+取最小值1.故选D .5.选C .【解析】由552sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ,得55cos -=α，又∵α是第二象限角, ∴tan 2α=-，∴原式=()22cos tan 9221tan 52cos sin 2ααααα+=⋅=++.故选C . 6.选A .【解析】由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的 长方体，其直观图如图所示，所以其体积1166344310032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选A .7.选C .【解析】()12AE DB AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211322AB AB AD AD =-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选C .8.选D .【解析】由234k k ≥+，解得1k ≤-或4k ≥.由框图可知，开始，0k =，4P =.第一步，02422P =⨯=，011k =+=.第二步， 213222P =⨯=，112k =+=.第三步，325222P =⨯=，213k =+=.第四步，538222P =⨯=，314k =+=.第五ABCD 1C 1A 1M NB 1D42243步，因为44k =≥，满足判断框内的条件，故输出结果为888log 23z ==.故选D . 9.选C.【解析】由题意知，20,10x y +>+>，()()214x y +++=，则4121x y +=++ ()()()41141121215+54214214y x x y x y x y ⎡+⎡⎤⎛⎫+++++=+≥+⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎢⎝⎭⎣⎦⎣ 94=，当且仅当31,32==y x 时，112+++y x x 取最小值49.故选C . 10.选C .【解析】()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵[]0,2x π∈，∴()[]2,2f x ∈- ，01a <<，方程()f x a =有两根12,x x ，由对称性，有1236622x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，∴1283x x π+=，故选C .11.选D .【解析】令()()ln 0x f x x x =>，则()21ln xf x x-'=，令()0='x f 则e x =， 当()e x ,0∈时，0ln 1>-x ，()0>'x f ，当[)+∞∈,e x 时，0ln 1<-x ，()0<'x f ， ∴函数()f x 的增区间为()e ,0，减区间为[)+∞,e ，又()+∞∈,1e ∴当b a e >>时，()()a f b f <，即aab b ln ln <，即a b b a ln ln < 而e b a >>时，bba a ln ln <，即ab b a ln ln >，故A 、B 不正确， 令()x e x g x=，同理可知函数()x g 的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-∴当1>>b a 时，()()b g a g >，即be a e ba >，即ab be ae <,故选D . 12.选B .【解析】设()00,P x y ，交点(),A A A x y ，则()00:PA a l y y x x b-=--，与by x a =联立，得()()00002222,a ax by b ax by A a b a b ++⎛⎫⎪++⎝⎭，若要点A 始终在第一象限，需要000ax by +>即要00bx y a>-恒成立，若点P 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时00y ≤，∴222002a x y b>，而2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2222022a b x b b a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，只需22220a b b a -≥，即a b ≥，∴1e <≤故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.填20.【解析】()51x +展开式的通项为15r rr T C x +=，由题意可知，2x 的系数为21551220C C ⨯+⨯=.14.填362．【解析】不妨设椭圆方程为12222=+by a x ()0a b >>，依题意得1b c ==，a =得椭圆方程为2212x y +=，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为()00,x x ，代入椭圆方程，得360=x ，所以正方形边长为362.15.填4336- ．【解析】由题意得，2sin sin b a B A ==，而1=b ，∴21sin =B ，又2b a c =+，B 不可能是钝角，cos 2B =，而()22232cos 22a c ac b ac B ac ac+---==，即3222ac ac -=336323-=+=ac ，∴ABC S ∆=B ac sin 214336-=.16.填π7．【解析】在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连结BE AE ,，2AC AD BC BD ====，则CD BE CD AE ⊥⊥,，在AED Rt ∆中6=CD ,∴2AE =，同理210=BE ，取AB 的中点为F ,由BE AE =，得AB EF ⊥，在EFA Rt ∆中，6=AB ，1EF =,取EF 的中点为O ，则21=OF ,在OFA Rt ∆中2OA =，OD OC OB OA ===,∴该四面体的外接球的半径是27，其外接球的表面积是π7.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤． 17.（12分）（Ⅰ）当1n =时，由1121S a =-得11a =，2n =时，由12221a a a +=-，22a =， 当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=- ，两式相减，得122n n n a a a -=-， 即12nn a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=. …6分 （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-，令n n n c a b =，则()121n n c n -=-记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，即()012102122212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L 则()()123120212222212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ， 两式相减，得()()()11212120222121212n n n n n T n n ----=++++--⋅=--⋅-L1222n n n +=-+-⋅ ∴1222n n n T n +=⋅-+ …12分18.（12分）（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PAC ,∴BE AP ⊥,又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ^； …6分（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB u u u r ,EC u u ur 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -.由题意得()0,1,0A -，110,,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)B，()0,1,0C ，则()BC =u u u r,11,22FB ⎫=-⎪⎭u u u r ，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，即011022y y z ⎧+=⎪+-=，令y =1x =，z =(=n ，易知，平面AFC 的法向量为()1,0,0EB ==u u u r p ,∴cos ,31⋅==n p n p n p ， 即，二面角A FC B --…12分 19.（12分）()22421614488.145 6.63524182220K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯所以根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. …6分 （Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X 的可能取值为2,1,0()51350318212212316212212===C C C C C C X P , ()211623185117C C P X C ===,()121623181251C C P X C ===, 所以X 的分布列为()31=X E …12分 20.(12分)（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =（或x 轴负半轴； …6分 （Ⅱ）根据对称性只考虑AB 的斜率为正的情形，设点,,,A B M F 在准线上的投影分别为11,,,A B N H ，要证CA CB CM CF ⋅=⋅，就是要证CA CFCM CB=， 只需证11CA CHCN CB =，即证11CA CB CN CH ⋅=⋅…① 设直线AB 的方程为1x my =+，代入24yx =，得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=…②，124y y =-…③， 在1x my =+中，令1x =-，得2y m -=，即21,C m -⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，要证①式成立，只需证：()()()12122c c c c y y y y y y y y +⎛⎫-⋅-=-⋅-⎪⎝⎭只需证：121202c y y y y y +-=…④， 由②③两式，可知121224202c y y y y y m m +⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭， ∴④式成立，∴原命题获证． …12分21.(12分)（Ⅰ）当1m =时，令()()()3103x g x f x x =--<≤，则()31x g x x-'=+， 当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()33x f x ≤…① …5分（Ⅱ）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+ …② 令()0f x '=，得10x =，21x m m=-，⑴当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+…③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y fx =，在1x>-上有且只有一个零点0x = ；⑵当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；∴函数()y fx =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >=∴函数()y fx =，1,x m m⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =；又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤， ∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…⑤ 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m ex mm----<<时，()21ln 11mx m+<--…⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+…⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=…⑧ 又函数()y fx =在11,m m m ⎛⎤--⎥⎝⎦上递增，21111m em m m---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x mm ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， ⑶当1m >时，10m m ->，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦和1,m m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭…⑨由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<= 从而10f m m⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当2x m >时，12m m m ⎛⎫>-⎪⎝⎭其中，11mx +> ()()()()2ln 1ln 12022x xf x mx mx mx x m =++-=++->…⑩ 又1x m m >-时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭使得()00f x =，根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，有()0f x <；10,x m m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，()0f x =，∴函数()11,y f x x m mm ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y fx =有两个零点，当1m =时，函数()y fx =有且仅有一个零点． …12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22．（10分） （Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，过C 点平行于AH 的直线是CM ， ∵BC 是直径，∴90BEC BFC ∠=∠=︒，∴180AFH AEH ∠+∠=︒，∵,,,A F H E 四点共圆，∴1=2∠∠，又∵BFEC 是圆内接四边形，∴1=3∠∠， ∴2=3∠∠，而=C C ∠∠,∴ADC ∆∽BEC ∆, ∴=90ADC BEC ∠∠=︒, ∴AD BC ⊥, ∴CM BC ⊥,∴CM 是⊙O 的切线． …5分 （Ⅱ）∵180HDC HEC ∠+∠=︒,∴,,,H D C E 四点共圆， ∴BH BE BD BC ⋅=⋅, 同理CH CF CD BC ⋅=⋅, 两式相加++BH BE CH CF BD BC CD BC ⋅⋅=⋅⋅()2=BD CD BC BC +⋅= …10分23．（10分）（Ⅰ）由=2cos =sin ρθρθ⎧⎨⎩，得2cos =sin θθ，tan 2θ=，∴2OA k = …5分（Ⅱ）设A 的极角为θ，tan 2θ=，则255sin ,cos 55θθ==，则1,2B ρθπ⎛⎫-⎪⎝⎭,代入=2cos ρθ得1=2cos 2sin 25ρθπθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭2,2C ρθπ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入=sin ρθ得2π=sin +cos 25ρθθ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴1255BC ρρ=+=+= …10分 24．（10分） （Ⅰ）∵()()()1212fx x f x f x λμλμ+-+⎡⎤⎣⎦()()()()22212121122333x x x x x x x x λμλμλμ⎡⎤=+-+--+-⎣⎦()()2222112211221212x x x x x x x x λλλμμμλμλμλμ=-++-=-+- ()2120x x λμ=--≤ ∴()()()f λx μx λf x μf x ≤1212++ …5分（Ⅱ）∵()()221211221212333f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-∵120,1x x ≤≤，∴1202x x ≤+≤，∴12331x x -≤+-≤-，∴1233x x +-≤，∴使()()1212f x f x L x x -≤-恒成立的L 的最小值是3． …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。